Ayrık Matematik - Çizgeler

6,792 views

Published on

Çizgeler, yönlü çizgeler, izomorfizm, bağlılık, geçit veren çizgeler, düzlemsel çizgeler. Ağaçlar, köklü ağaçlar, ikili ağaçlar, karar ağaçları. Ağırlıklı çizgeler, en kısa yol, en hafif kapsayan ağaç.

Published in: Education, Technology, Spiritual
3 Comments
8 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
6,792
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
20
Actions
Shares
0
Downloads
178
Comments
3
Likes
8
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ayrık Matematik - Çizgeler

  1. 1. Ayrık Matematik¸CizgelerH. Turgut Uyar Ay¸seg¨ul Gen¸cata Yayımlı Emre Harmancı2001-2013
  2. 2. Lisansc 2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. HarmancıYou are free:to Share – to copy, distribute and transmit the workto Remix – to adapt the workUnder the following conditions:Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
  3. 3. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  4. 4. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  5. 5. ¸CizgelerTanım¸cizge: G = (V , E)V : d¨u˘g¨um k¨umesiE ⊆ V × V : ayrıt k¨umesie = (v1, v2) ∈ E ise:v1 ve v2 d¨u˘g¨umleri e ayrıtının u¸cd¨u˘g¨umlerie ayrıtı v1 ve v2 d¨u˘g¨umlerine ¸cakı¸sıkv1 ve v2 d¨u˘g¨umleri biti¸sikhi¸cbir ayrıtın ¸cakı¸smadı˘gı d¨u˘g¨um: yalıtılmı¸s d¨u˘g¨um
  6. 6. ¸CizgelerTanım¸cizge: G = (V , E)V : d¨u˘g¨um k¨umesiE ⊆ V × V : ayrıt k¨umesie = (v1, v2) ∈ E ise:v1 ve v2 d¨u˘g¨umleri e ayrıtının u¸cd¨u˘g¨umlerie ayrıtı v1 ve v2 d¨u˘g¨umlerine ¸cakı¸sıkv1 ve v2 d¨u˘g¨umleri biti¸sikhi¸cbir ayrıtın ¸cakı¸smadı˘gı d¨u˘g¨um: yalıtılmı¸s d¨u˘g¨um
  7. 7. ¸Cizge ¨Orne˘gi¨OrnekV = {a, b, c, d, e, f }E = {(a, b), (a, c),(a, d), (a, e),(a, f ), (b, c),(d, e), (e, f )}
  8. 8. Y¨onl¨u ¸CizgelerTanımy¨onl¨u ¸cizge: D = (V , A)A ⊆ V × V : yay k¨umesiba¸slangı¸c ve biti¸s d¨u˘g¨umleri
  9. 9. Y¨onl¨u ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Ornek
  10. 10. ¸Coklu ¸CizgelerTanımko¸sut ba˘glı ayrıtlar: aynı iki d¨u˘g¨um arasındaki ayrıtlartek-¸cevre: aynı d¨u˘g¨umde ba¸slayan ve sonlanan ayrıtyalın ¸cizge: ko¸sut ba˘glı ayrıt ya da tek-¸cevre i¸cermeyen ¸cizge¸coklu ¸cizge: yalın olmayan ¸cizge
  11. 11. ¸Coklu ¸CizgelerTanımko¸sut ba˘glı ayrıtlar: aynı iki d¨u˘g¨um arasındaki ayrıtlartek-¸cevre: aynı d¨u˘g¨umde ba¸slayan ve sonlanan ayrıtyalın ¸cizge: ko¸sut ba˘glı ayrıt ya da tek-¸cevre i¸cermeyen ¸cizge¸coklu ¸cizge: yalın olmayan ¸cizge
  12. 12. ¸Coklu ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Ornekko¸sut ba˘glı ayrıtlar:(a, b)tek-¸cevre:(e, e)
  13. 13. Alt¸cizgeTanımG = (V , E ) ¸cizgesi G = (V , E) ¸cizgesinin bir alt¸cizgesi:V ⊆ VE ⊆ E∀(v1, v2) ∈ E v1, v2 ∈ V
  14. 14. G¨osterilim¸cakı¸sıklık matrisi:satırlara d¨u˘g¨umler, s¨utunlara ayrıtlarayrıt d¨u˘g¨ume ¸cakı¸sıksa 1, de˘gilse 0biti¸siklik matrisi:satırlara ve s¨utunlara d¨u˘g¨umlerh¨ucrelere d¨u˘g¨umler arasındaki ayrıt sayısı
  15. 15. G¨osterilim¸cakı¸sıklık matrisi:satırlara d¨u˘g¨umler, s¨utunlara ayrıtlarayrıt d¨u˘g¨ume ¸cakı¸sıksa 1, de˘gilse 0biti¸siklik matrisi:satırlara ve s¨utunlara d¨u˘g¨umlerh¨ucrelere d¨u˘g¨umler arasındaki ayrıt sayısı
  16. 16. ¸Cakı¸sıklık Matrisi ¨Orne˘gi¨Orneke1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8v1 1 1 1 0 1 0 0 0v2 1 0 0 1 0 0 0 0v3 0 0 1 1 0 0 1 1v4 0 0 0 0 1 1 0 1v5 0 1 0 0 0 1 1 0
  17. 17. Biti¸siklik Matrisi ¨Orne˘gi¨Ornekv1 v2 v3 v4 v5v1 0 1 1 1 1v2 1 0 1 0 0v3 1 1 0 1 1v4 1 0 1 0 1v5 1 0 1 1 0
  18. 18. Biti¸siklik Matrisi ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 0 0 1b 2 1 1 0c 0 0 0 0d 0 1 1 0
  19. 19. KerteTanımkerte: d¨u˘g¨ume ¸cakı¸san ayrıtların sayısıTeoremvi d¨u˘g¨um¨un¨un kertesi di olsun|E| = i di2
  20. 20. KerteTanımkerte: d¨u˘g¨ume ¸cakı¸san ayrıtların sayısıTeoremvi d¨u˘g¨um¨un¨un kertesi di olsun|E| = i di2
  21. 21. Kerte ¨Orne˘gi¨Ornek (yalın ¸cizge)da = 5db = 2dc = 2dd = 2de = 3df = 2Toplam = 16|E| = 8
  22. 22. Kerte ¨Orne˘gi¨Ornek (¸coklu ¸cizge)da = 6db = 3dc = 2dd = 2de = 5df = 2Toplam = 20|E| = 10
  23. 23. Y¨onl¨u ¸Cizgelerde Kertekerte ikiye ayrılırgiri¸s kertesi: dvi¸cıkı¸s kertesi: dvogiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kaynak¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kuyuv∈V dvi= v∈V dvo= |A|
  24. 24. Y¨onl¨u ¸Cizgelerde Kertekerte ikiye ayrılırgiri¸s kertesi: dvi¸cıkı¸s kertesi: dvogiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kaynak¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kuyuv∈V dvi= v∈V dvo= |A|
  25. 25. Y¨onl¨u ¸Cizgelerde Kertekerte ikiye ayrılırgiri¸s kertesi: dvi¸cıkı¸s kertesi: dvogiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kaynak¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: kuyuv∈V dvi= v∈V dvo= |A|
  26. 26. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  27. 27. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  28. 28. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  29. 29. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  30. 30. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  31. 31. KerteTeoremY¨ons¨uz bir ¸cizgede kertesi tek olan d¨u˘g¨umlerin sayısı ¸cifttir.Tanıt.ti : kertesi i olan d¨u˘g¨umlerin sayısı2|E| = i di = 1t1 + 2t2 + 3t3 + 4t4 + 5t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · = t1 + t3 + · · · + 2t3 + 4t5 + . . .2|E| − 2t2 − 4t4 − · · · − 2t3 − 4t5 − · · · = t1 + t3 + t5 + . . .sol yan ¸cift oldu˘guna g¨ore sa˘g yan da ¸cifttir
  32. 32. D¨uzenli ¸CizgelerTanımd¨uzenli ¸cizge: b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kertesi aynın-d¨uzenli: b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kertesi n
  33. 33. D¨uzenli ¸Cizge ¨Ornekleri¨Ornek
  34. 34. Tam Ba˘glı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi tam ba˘glı:∀v1, v2 ∈ V (v1, v2) ∈ Eher d¨u˘g¨um ¸cifti arasında ayrıt varKn: n d¨u˘g¨uml¨u tam ba˘glı ¸cizge
  35. 35. Tam Ba˘glı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi tam ba˘glı:∀v1, v2 ∈ V (v1, v2) ∈ Eher d¨u˘g¨um ¸cifti arasında ayrıt varKn: n d¨u˘g¨uml¨u tam ba˘glı ¸cizge
  36. 36. Tam Ba˘glı ¸Cizge ¨Ornekleri¨Ornek (K4)¨Ornek (K5)
  37. 37. ˙Iki Par¸calı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi iki par¸calı:∀(v1, v2) ∈ E v1 ∈ V1 ∧ v2 ∈ V2V1 ∪ V2 = V , V1 ∩ V2 = ∅tam ba˘glı iki par¸calı: ∀v1 ∈ V1 ∀v2 ∈ V2 (v1, v2) ∈ EKm,n: |V1| = m, |V2| = n
  38. 38. ˙Iki Par¸calı ¸CizgelerTanımG = (V , E) ¸cizgesi iki par¸calı:∀(v1, v2) ∈ E v1 ∈ V1 ∧ v2 ∈ V2V1 ∪ V2 = V , V1 ∩ V2 = ∅tam ba˘glı iki par¸calı: ∀v1 ∈ V1 ∀v2 ∈ V2 (v1, v2) ∈ EKm,n: |V1| = m, |V2| = n
  39. 39. Tam Ba˘glı ˙Iki Par¸calı ¸Cizge ¨Ornekleri¨Ornek (K2,3) ¨Ornek (K3,3)
  40. 40. ˙IzomorfizmTanımG = (V , E) ile G = (V , E ) ¸cizgeleri izomorfik:∃f : V → V (u, v) ∈ E ⇒ (f (u), f (v)) ∈ Ef birebir ve ¨ortenG ile G aynı ¸sekilde ¸cizilebilir
  41. 41. ˙IzomorfizmTanımG = (V , E) ile G = (V , E ) ¸cizgeleri izomorfik:∃f : V → V (u, v) ∈ E ⇒ (f (u), f (v)) ∈ Ef birebir ve ¨ortenG ile G aynı ¸sekilde ¸cizilebilir
  42. 42. ˙Izomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornekf = {(a, d), (b, e), (c, b), (d, c), (e, a)}
  43. 43. ˙Izomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornekf = {(a, d), (b, e), (c, b), (d, c), (e, a)}
  44. 44. ˙Izomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornek (Petersen ¸cizgesi)f = {(a, q), (b, v), (c, u), (d, y), (e, r),(f , w), (g, x), (h, t), (i, z), (j, s)}
  45. 45. HomeomorfizmTanımG = (V , E) ile G = (V , E ) ¸cizgeleri homeomorfik:E k¨umesindeki ayrıtlardan bazılarının ek d¨u˘g¨umlerle b¨ol¨unm¨u¸solmaları dı¸sında G and G ¸cizgeleri izomorfik
  46. 46. Homeomorfizm ¨Orne˘gi¨Ornek
  47. 47. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  48. 48. Dola¸sıTanımdola¸sı: bir ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨unden (v0) bir varı¸s d¨u˘g¨um¨une (vn)bir d¨u˘g¨um ve ayrıt sekansıv0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vnei = (vi−1, vi )ayrıtları yazmaya gerek yokuzunluk: dola¸sıdaki ayrıt sayısıv0 = vn ise a¸cık, v0 = vn ise kapalı
  49. 49. Dola¸sıTanımdola¸sı: bir ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨unden (v0) bir varı¸s d¨u˘g¨um¨une (vn)bir d¨u˘g¨um ve ayrıt sekansıv0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vnei = (vi−1, vi )ayrıtları yazmaya gerek yokuzunluk: dola¸sıdaki ayrıt sayısıv0 = vn ise a¸cık, v0 = vn ise kapalı
  50. 50. Dola¸sıTanımdola¸sı: bir ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨unden (v0) bir varı¸s d¨u˘g¨um¨une (vn)bir d¨u˘g¨um ve ayrıt sekansıv0, e1, v1, e2, v2, e3, v3, . . . , en−1, vn−1, en, vnei = (vi−1, vi )ayrıtları yazmaya gerek yokuzunluk: dola¸sıdaki ayrıt sayısıv0 = vn ise a¸cık, v0 = vn ise kapalı
  51. 51. Dola¸sı ¨Orne˘gi¨Ornek(c, b), (b, a), (a, d), (d, e),(e, f ), (f , a), (a, b)c, b, a, d, e, f , a, buzunluk: 7
  52. 52. GeziTanımgezi: ayrıtların yinelenmedi˘gi dola¸sıdevre: kapalı gezikapsayan gezi: ¸cizgedeki b¨ut¨un ayrıtlardan ge¸cen gezi
  53. 53. GeziTanımgezi: ayrıtların yinelenmedi˘gi dola¸sıdevre: kapalı gezikapsayan gezi: ¸cizgedeki b¨ut¨un ayrıtlardan ge¸cen gezi
  54. 54. Gezi ¨Orne˘gi¨Ornek(c, b), (b, a), (a, e), (e, d),(d, a), (a, f )c, b, a, e, d, a, f
  55. 55. YolTanımyol: d¨u˘g¨umlerin yinelenmedi˘gi dola¸sı¸cevre: kapalı yolkapsayan yol: ¸cizgedeki b¨ut¨un d¨u˘g¨umlere u˘grayan yol
  56. 56. YolTanımyol: d¨u˘g¨umlerin yinelenmedi˘gi dola¸sı¸cevre: kapalı yolkapsayan yol: ¸cizgedeki b¨ut¨un d¨u˘g¨umlere u˘grayan yol
  57. 57. Yol ¨Orne˘gi¨Ornek(c, b), (b, a), (a, d), (d, e),(e, f )c, b, a, d, e, f
  58. 58. Ba˘glılıkTanımba˘glı ¸cizge: her d¨u˘g¨um ¸cifti arasında bir yol varba˘glı olmayan bir ¸cizge ba˘glı bile¸senlere ayrılabilir
  59. 59. Ba˘glılıkTanımba˘glı ¸cizge: her d¨u˘g¨um ¸cifti arasında bir yol varba˘glı olmayan bir ¸cizge ba˘glı bile¸senlere ayrılabilir
  60. 60. Ba˘glı Bile¸sen ¨Orne˘gi¨Ornek¸cizge ba˘glı de˘gil:a ile c arasında yol yokba˘glı bile¸senler:a, d, eb, cf
  61. 61. UzaklıkTanımvi ile vj d¨u˘g¨umleri arasındaki uzaklık:vi ile vj arasındaki en kısa yolun uzunlu˘guTanım¸cap: ¸cizgedeki en b¨uy¨uk uzaklık
  62. 62. UzaklıkTanımvi ile vj d¨u˘g¨umleri arasındaki uzaklık:vi ile vj arasındaki en kısa yolun uzunlu˘guTanım¸cap: ¸cizgedeki en b¨uy¨uk uzaklık
  63. 63. Uzaklık ¨Orne˘gi¨Orneka ile e d¨u˘g¨umlerininuzaklı˘gı: 2¸cap: 3
  64. 64. Uzaklık ¨Orne˘gi¨Orneka ile e d¨u˘g¨umlerininuzaklı˘gı: 2¸cap: 3
  65. 65. Kesitleme NoktasıTanımG − v:G ¸cizgesinden v d¨u˘g¨um¨u ve ona ¸cakı¸sık b¨ut¨un ayrıtların¸cıkarılmasıyla elde edilen ¸cizgeTanımv d¨u˘g¨um¨u G ¸cizgesi i¸cin bir kesitleme noktası:G ba˘glı ama G − v ba˘glı de˘gil
  66. 66. Kesitleme NoktasıTanımG − v:G ¸cizgesinden v d¨u˘g¨um¨u ve ona ¸cakı¸sık b¨ut¨un ayrıtların¸cıkarılmasıyla elde edilen ¸cizgeTanımv d¨u˘g¨um¨u G ¸cizgesi i¸cin bir kesitleme noktası:G ba˘glı ama G − v ba˘glı de˘gil
  67. 67. Kesitleme Noktası ¨Orne˘giG G − d
  68. 68. Y¨onl¨u Dola¸sılary¨ons¨uz ¸cizgelerle aynıyayların y¨onleri g¨ozardı edilirse:yarı-dola¸sı, yarı-gezi, yarı-yol
  69. 69. Zayıf Ba˘glı ¸CizgeTanımzayıf ba˘glı:her d¨u˘g¨um ¸cifti arasındabir yarı-yol var¨Ornek
  70. 70. Tek-Y¨onl¨u Ba˘glı ¸CizgeTanımtek-y¨onl¨u ba˘glı:her d¨u˘g¨um ¸cifti arasındabirinden di˘gerine yol var¨Ornek
  71. 71. G¨u¸cl¨u Ba˘glı ¸CizgeTanımg¨u¸cl¨u ba˘glı:her d¨u˘g¨um ¸cifti arasındaher iki y¨onde yol var¨Ornek
  72. 72. K¨onigsberg K¨opr¨ulerib¨ut¨un k¨opr¨ulerden bir kere ge¸cilerekba¸slangı¸c noktasına d¨on¨ulebilir mi?
  73. 73. Ge¸cit Veren ¸CizgeTanımG ge¸cit verir: G ¨uzerinde kapsayan bir gezi d¨uzenlenebilir
  74. 74. Ge¸cit Veren ¸Cizgekertesi tek olan bir d¨u˘g¨um varsa gezininya ba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨u ya da varı¸s d¨u˘g¨um¨u olmalıba¸slangı¸c d¨u˘g¨um¨u ve varı¸s d¨u˘g¨um¨u dı¸sındakib¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kerteleri ¸cift olmalı
  75. 75. Ge¸cit Veren ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Orneka, b ve c d¨u˘g¨umlerininkerteleri ¸ciftd ve e d¨u˘g¨umlerininkerteleri tekd d¨u˘g¨um¨unden ba¸slayıpe d¨u˘g¨um¨unde biten (ya da tersi)bir kapsayan gezi olu¸sturulabilir:d, b, a, c, e, d, c, b, e
  76. 76. Ge¸cit Veren ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Orneka, b ve c d¨u˘g¨umlerininkerteleri ¸ciftd ve e d¨u˘g¨umlerininkerteleri tekd d¨u˘g¨um¨unden ba¸slayıpe d¨u˘g¨um¨unde biten (ya da tersi)bir kapsayan gezi olu¸sturulabilir:d, b, a, c, e, d, c, b, e
  77. 77. K¨onigsberg K¨opr¨ulerib¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kerteleri tek: ge¸cit vermez
  78. 78. Euler ¸CizgeleriTanımEuler ¸cizgesi: kapalı, kapsayan bir gezi d¨uzenlenebilen ¸cizgeG bir Euler ¸cizgesi ⇔ G’deki b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerin kerteleri ¸cift
  79. 79. Euler ¸Cizgesi ¨Ornekleri¨Ornek (Euler ¸cizgesi) ¨Ornek (Euler ¸cizgesi de˘gil)
  80. 80. Hamilton ¸CizgeleriTanımHamilton ¸cizgesi: kapalı, kapsayan bir yol d¨uzenlenebilen ¸cizge
  81. 81. Hamilton ¸Cizgesi ¨Ornekleri¨Ornek (Hamilton ¸cizgesi) ¨Ornek (Hamilton ¸cizgesi de˘gil)
  82. 82. Ba˘glantı Matrisi¸cizgenin biti¸siklik matrisi A iseAk matrisinin (i, j) elemanı i. d¨u˘g¨um ile j. d¨u˘g¨um arasındakik uzunluklu dola¸sıların sayısını g¨osterirn d¨u˘g¨uml¨u y¨ons¨uz bir ¸cizgede iki d¨u˘g¨um arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilirba˘glantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · · + An−1b¨ut¨un elemanlar sıfırdan farklı ise ¸cizge ba˘glıdır
  83. 83. Ba˘glantı Matrisi¸cizgenin biti¸siklik matrisi A iseAk matrisinin (i, j) elemanı i. d¨u˘g¨um ile j. d¨u˘g¨um arasındakik uzunluklu dola¸sıların sayısını g¨osterirn d¨u˘g¨uml¨u y¨ons¨uz bir ¸cizgede iki d¨u˘g¨um arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilirba˘glantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · · + An−1b¨ut¨un elemanlar sıfırdan farklı ise ¸cizge ba˘glıdır
  84. 84. Ba˘glantı Matrisi¸cizgenin biti¸siklik matrisi A iseAk matrisinin (i, j) elemanı i. d¨u˘g¨um ile j. d¨u˘g¨um arasındakik uzunluklu dola¸sıların sayısını g¨osterirn d¨u˘g¨uml¨u y¨ons¨uz bir ¸cizgede iki d¨u˘g¨um arasındaki uzaklıken fazla n − 1 olabilirba˘glantı matrisi:C = A1 + A2 + A3 + · · · + An−1b¨ut¨un elemanlar sıfırdan farklı ise ¸cizge ba˘glıdır
  85. 85. Warshall Algoritmasıd¨u˘g¨umler arasındaki dola¸sıların sayısı yerinedola¸sı olup olmadı˘gını belirlemek daha kolaysırayla her d¨u˘g¨um i¸cin:o d¨u˘g¨ume gelinebilen d¨u˘g¨umlerden(matriste o s¨utunda 1 olan satırlardan)o d¨u˘g¨umden gidilebilen d¨u˘g¨umlere(matriste o satırda 1 olan s¨utunlara)
  86. 86. Warshall Algoritmasıd¨u˘g¨umler arasındaki dola¸sıların sayısı yerinedola¸sı olup olmadı˘gını belirlemek daha kolaysırayla her d¨u˘g¨um i¸cin:o d¨u˘g¨ume gelinebilen d¨u˘g¨umlerden(matriste o s¨utunda 1 olan satırlardan)o d¨u˘g¨umden gidilebilen d¨u˘g¨umlere(matriste o satırda 1 olan s¨utunlara)
  87. 87. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 0 1 0
  88. 88. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 0
  89. 89. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 0
  90. 90. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 0 0 0 1d 1 1 1 1
  91. 91. Warshall Algoritması ¨Orne˘gi¨Orneka b c da 0 1 0 0b 0 1 0 0c 1 1 1 1d 1 1 1 1
  92. 92. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  93. 93. D¨uzlemsel ¸CizgelerTanımAyrıtları kesi¸smeyecek ¸sekilde bir d¨uzleme ¸cizilebilenbir ¸cizge d¨uzlemseldir.G ¸cizgesinin bir haritası: G ¸cizgesinin d¨uzlemsel bir ¸cizimi
  94. 94. D¨uzlemsel ¸Cizge ¨Orne˘gi¨Ornek (K4)
  95. 95. B¨olgelerbir harita d¨uzlemi b¨olgelere ayırırbir b¨olgenin kertesi:b¨olgeyi ¸cevreleyen kapalı gezinin uzunlu˘guTeoremri b¨olgesinin kertesi driolsun|E| = i dri2
  96. 96. B¨olgelerbir harita d¨uzlemi b¨olgelere ayırırbir b¨olgenin kertesi:b¨olgeyi ¸cevreleyen kapalı gezinin uzunlu˘guTeoremri b¨olgesinin kertesi driolsun|E| = i dri2
  97. 97. B¨olge ¨Orne˘gi¨Ornekdr1 = 3 (abda)dr2 = 3 (bcdb)dr3 = 5 (cdefec)dr4 = 4 (abcea)dr5 = 3 (adea)r dr = 18|E| = 9
  98. 98. Euler Form¨ul¨uTeorem (Euler Form¨ul¨u)G = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsunve R bu ¸cizgenin bir haritasındaki b¨olgeler k¨umesi olsun:|V | − |E| + |R| = 2
  99. 99. Euler Form¨ul¨u ¨Orne˘gi¨Ornek|V | = 6, |E| = 9, |R| = 5
  100. 100. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  101. 101. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  102. 102. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  103. 103. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  104. 104. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  105. 105. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  106. 106. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  107. 107. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  108. 108. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  109. 109. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:|E| ≤ 3|V | − 6Tanıt.b¨olge kertelerinin toplamı: 2|E|bir b¨olgenin kertesi en az 3⇒ 2|E| ≥ 3|R| ⇒ |R| ≤ 23|E||V | − |E| + |R| = 2⇒ |V | − |E| + 23|E| ≥ 2 ⇒ |V | − 13|E| ≥ 2⇒ 3|V | − |E| ≥ 6 ⇒ |E| ≤ 3|V | − 6
  110. 110. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  111. 111. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  112. 112. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  113. 113. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  114. 114. D¨uzlemsel ¸Cizge TeoremleriTeoremG = (V , E) ba˘glı, d¨uzlemsel bir ¸cizge olsun ve |V | ≥ 3 olsun:∃v ∈ V dv ≤ 5Tanıt.∀v ∈ V dv ≥ 6 olsun⇒ 2|E| ≥ 6|V |⇒ |E| ≥ 3|V |⇒ |E| > 3|V | − 6
  115. 115. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  116. 116. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  117. 117. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  118. 118. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  119. 119. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK5 d¨uzlemsel de˘gildir.Tanıt.|V | = 53|V | − 6 = 3 · 5 − 6 = 9|E| ≤ 9 olmalıama |E| = 10
  120. 120. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  121. 121. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  122. 122. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  123. 123. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  124. 124. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  125. 125. D¨uzlemsel Olmayan ¸CizgelerTeoremK3,3 d¨uzlemsel de˘gildir. Tanıt.|V | = 6, |E| = 9d¨uzlemsel ise |R| = 5 olmalıbir b¨olgenin kertesi en az 4⇒ r∈R dr ≥ 20|E| ≥ 10 olmalıama |E| = 9
  126. 126. Kuratowski TeoremiTeoremG’nin K5 ya da K3,3’e homeomorfik bir alt¸cizgesi var.⇔G d¨uzlemsel de˘gil.
  127. 127. Platon Cisimlerid¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨u: b¨ut¨un y¨uzleri birbirinin e¸sid¨uzg¨un ¸cokgenler olan ¨u¸c boyutlu cisimbir d¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨un¨un iki boyutlu d¨uzleme izd¨u¸s¨um¨ud¨uzlemsel bir ¸cizgedirher k¨o¸se bir d¨u˘g¨umher kenar bir ayrıther y¨uz bir b¨olge
  128. 128. Platon Cisimlerid¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨u: b¨ut¨un y¨uzleri birbirinin e¸sid¨uzg¨un ¸cokgenler olan ¨u¸c boyutlu cisimbir d¨uzg¨un ¸coky¨uzl¨un¨un iki boyutlu d¨uzleme izd¨u¸s¨um¨ud¨uzlemsel bir ¸cizgedirher k¨o¸se bir d¨u˘g¨umher kenar bir ayrıther y¨uz bir b¨olge
  129. 129. Platon Cisimleri¨Ornek (k¨up)
  130. 130. Platon Cisimleriv: d¨u˘g¨um (k¨o¸se) sayısıe: ayrıt (kenar) sayısır: b¨olge (y¨uz) sayısın: bir k¨o¸sede birle¸sen y¨uz sayısı (d¨u˘g¨um kertesi)m: bir y¨uz¨u ¸cevreleyen ayrıt sayısı (b¨olge kertesi)m, n ≥ 32e = n · v2e = m · r
  131. 131. Platon Cisimleriv: d¨u˘g¨um (k¨o¸se) sayısıe: ayrıt (kenar) sayısır: b¨olge (y¨uz) sayısın: bir k¨o¸sede birle¸sen y¨uz sayısı (d¨u˘g¨um kertesi)m: bir y¨uz¨u ¸cevreleyen ayrıt sayısı (b¨olge kertesi)m, n ≥ 32e = n · v2e = m · r
  132. 132. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  133. 133. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  134. 134. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  135. 135. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  136. 136. Platon CisimleriEuler form¨ul¨unden:2 = v − e + r =2en− e +2em= e2m − mn + 2nmn> 0e, m, n > 0:2m − mn + 2n > 0 ⇒ mn − 2m − 2n < 0⇒ mn − 2m − 2n + 4 < 4 ⇒ (m − 2)(n − 2) < 4bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan de˘gerler:1 m = 3, n = 32 m = 4, n = 33 m = 3, n = 44 m = 5, n = 35 m = 3, n = 5
  137. 137. Tetrahedron - D¨uzg¨un D¨ort Y¨uzl¨um = 3, n = 3
  138. 138. Hexahedron - D¨uzg¨un Altı Y¨uzl¨um = 4, n = 3
  139. 139. Octahedron - D¨uzg¨un Sekiz Y¨uzl¨um = 3, n = 4
  140. 140. Dodecahedron - D¨uzg¨un Oniki Y¨uzl¨um = 5, n = 3
  141. 141. Icosahedron - D¨uzg¨un Yirmi Y¨uzl¨um = 3, n = 5
  142. 142. ¸Cizge BoyamaTanımG = (V , E) ¸cizgesi i¸cin bir d¨uzg¨un boyama: f : V → CC bir renk k¨umesi∀(vi , vj ) ∈ E f (vi ) = f (vj )|C| en k¨u¸c¨uk olacak ¸sekilde
  143. 143. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornekkimyasal maddeler ¨ureten bir firmabazı maddeler birlikte tutulamıyorbirbiriyle tutulamayan maddeler farklı alanlara depolanmalıen az sayıda depo alanı kullanılacak ¸sekilde maddeleri depola
  144. 144. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornekkimyasal maddeler ¨ureten bir firmabazı maddeler birlikte tutulamıyorbirbiriyle tutulamayan maddeler farklı alanlara depolanmalıen az sayıda depo alanı kullanılacak ¸sekilde maddeleri depola
  145. 145. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornekher madde bir d¨u˘g¨umbirlikte tutulamayan maddeler biti¸sik
  146. 146. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  147. 147. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  148. 148. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  149. 149. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek
  150. 150. Kromatik SayıTanımG ¸cizgesinin kromatik sayısı: χ(G)G ¸cizgesini boyamak i¸cin gerekli en az renk sayısıχ(G)’nin hesaplanması ¸cok zor bir problemχ(Kn) = n
  151. 151. Kromatik SayıTanımG ¸cizgesinin kromatik sayısı: χ(G)G ¸cizgesini boyamak i¸cin gerekli en az renk sayısıχ(G)’nin hesaplanması ¸cok zor bir problemχ(Kn) = n
  152. 152. Kromatik Sayı ¨Orne˘gi¨Ornek (Herschel ¸cizgesi)kromatik sayı: 2
  153. 153. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek (Sudoku)her h¨ucre bir d¨u˘g¨umaynı satırdaki h¨ucreler biti¸sikaynı s¨utundaki h¨ucreler biti¸sikaynı 3 × 3’l¨uk bloktaki h¨ucrelerbiti¸sikher rakam bir renkproblem: kısmen boyalıbir ¸cizgenin d¨uzg¨un boyanması
  154. 154. ¸Cizge Boyama ¨Orne˘gi¨Ornek (Sudoku)her h¨ucre bir d¨u˘g¨umaynı satırdaki h¨ucreler biti¸sikaynı s¨utundaki h¨ucreler biti¸sikaynı 3 × 3’l¨uk bloktaki h¨ucrelerbiti¸sikher rakam bir renkproblem: kısmen boyalıbir ¸cizgenin d¨uzg¨un boyanması
  155. 155. B¨olge Boyamabir haritayı biti¸sik b¨olgelere farklı renkler atayacak ¸sekildeboyamaTeorem (D¨ort Renk Teoremi)Bir haritadaki b¨olgeleri boyamak i¸cin d¨ort renk yeterlidir.
  156. 156. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  157. 157. ¸Cizgelerde AramaG = (V , E) ¸cizgesinin d¨u˘g¨umlerininv1 d¨u˘g¨um¨unden ba¸slanarak aranmasıderinlemesineenlemesine
  158. 158. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  159. 159. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  160. 160. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  161. 161. Derinlemesine Arama1 v ← v1, T = ∅, D = {v1}2 2 ≤ i ≤ |V | i¸cinde (v, vi ) ∈ E ve vi /∈ D olacak ¸sekildeen k¨u¸c¨uk i’yi bulb¨oyle bir i yoksa: 3. adıma gitvarsa: T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }, v ← vi , 2. adıma git3 v = v1 ise sonu¸c T4 v = v1 ise v ← parent(v), 2. adıma git
  162. 162. Enlemesine Arama1 T = ∅, D = {v1}, Q = (v1)2 Q bo¸s ise: sonu¸c T3 Q bo¸s de˘gilse: v ← front(Q), Q ← Q − v2 ≤ i ≤ |V | i¸cin (v, vi ) ∈ E ayrıtlarına bak:vi /∈ D ise: Q = Q + vi , T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }3. adıma git
  163. 163. Enlemesine Arama1 T = ∅, D = {v1}, Q = (v1)2 Q bo¸s ise: sonu¸c T3 Q bo¸s de˘gilse: v ← front(Q), Q ← Q − v2 ≤ i ≤ |V | i¸cin (v, vi ) ∈ E ayrıtlarına bak:vi /∈ D ise: Q = Q + vi , T = T ∪ {(v, vi )}, D = D ∪ {vi }3. adıma git
  164. 164. KaynaklarOkunacak: GrimaldiChapter 11: An Introduction to Graph TheoryChapter 7: Relations: The Second Time Around7.2. Computer Recognition: Zero-One Matricesand Directed Graphs
  165. 165. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  166. 166. A˘ga¸cTanıma˘ga¸c: ¸cevre i¸cermeyen, ba˘glı ¸cizgeorman: ba˘glı bile¸senleri a˘ga¸clar olan ¸cizge
  167. 167. A˘ga¸cTanıma˘ga¸c: ¸cevre i¸cermeyen, ba˘glı ¸cizgeorman: ba˘glı bile¸senleri a˘ga¸clar olan ¸cizge
  168. 168. A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek
  169. 169. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta herhangi iki farklı d¨u˘g¨um arasındabir ve yalnız bir yol vardır.a˘ga¸c ba˘glı oldu˘gu i¸cin en az bir yol vardırbirden fazla yol olsaydı ¸cevre olu¸stururlardı
  170. 170. A˘ga¸c TeoremleriTeoremT = (V , E) bir a˘ga¸c olsun:|E| = |V | − 1tanıt y¨ontemi: ayrıt sayısı ¨uzerinden t¨umevarım
  171. 171. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: taban adımı|E| = 0 ⇒ |V | = 1|E| = 1 ⇒ |V | = 2|E| = 2 ⇒ |V | = 3|E| ≤ k i¸cin |E| = |V | − 1 varsayalım
  172. 172. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: taban adımı|E| = 0 ⇒ |V | = 1|E| = 1 ⇒ |V | = 2|E| = 2 ⇒ |V | = 3|E| ≤ k i¸cin |E| = |V | − 1 varsayalım
  173. 173. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  174. 174. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  175. 175. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  176. 176. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  177. 177. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  178. 178. A˘ga¸c TeoremleriTanıt: t¨umevarım adımı.|E| = k + 1(y, z) ayrıtını ¸cıkaralım:T1 = (V1, E1), T2 = (V2, E2)|V | = |V1| + |V2|= |E1| + 1 + |E2| + 1= (|E1| + |E2| + 1) + 1= |E| + 1
  179. 179. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  180. 180. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  181. 181. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  182. 182. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  183. 183. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  184. 184. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  185. 185. A˘ga¸c TeoremleriTeoremBir a˘ga¸cta kertesi 1 olan en az iki d¨u˘g¨um vardır.Tanıt.2|E| = v∈V dvkertesi 1 olan tek bir d¨u˘g¨um oldu˘gunu varsayalım:⇒ 2|E| ≥ 2(|V | − 1) + 1⇒ 2|E| ≥ 2|V | − 1⇒ |E| ≥ |V | − 12 > |V | − 1
  186. 186. A˘ga¸c TeoremleriTeoremT bir a˘ga¸ctır (ba˘glıdır ve ¸cevre i¸cermez).⇔T’de her d¨u˘g¨um ¸cifti arasında bir ve yalnız bir yol vardır.⇔T ba˘glıdır ama herhangi bir ayrıt ¸cıkarılırsa artık ba˘glı olmaz.⇔T ¸cevre i¸cermez ama herhangi iki d¨u˘g¨um arasına bir ayrıt eklenirsebir ve yalnız bir ¸cevre olu¸sur.
  187. 187. A˘ga¸c TeoremleriTeoremT bir a˘ga¸ctır (T ba˘glıdır ve ¸cevre i¸cermez.)⇔T ba˘glıdır ve |E| = |V | − 1.⇔T ¸cevre i¸cermez ve |E| = |V | − 1.
  188. 188. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  189. 189. K¨okl¨u A˘ga¸cd¨u˘g¨umler arasında hiyerar¸si tanımlanırhiyerar¸si ayrıtlara do˘gal bir y¨on verir⇒ giri¸s ve ¸cıkı¸s kertelerigiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: k¨ok¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨umler: yaprakyaprak olmayan d¨u˘g¨umler: i¸cd¨u˘g¨um
  190. 190. K¨okl¨u A˘ga¸cd¨u˘g¨umler arasında hiyerar¸si tanımlanırhiyerar¸si ayrıtlara do˘gal bir y¨on verir⇒ giri¸s ve ¸cıkı¸s kertelerigiri¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨um: k¨ok¸cıkı¸s kertesi 0 olan d¨u˘g¨umler: yaprakyaprak olmayan d¨u˘g¨umler: i¸cd¨u˘g¨um
  191. 191. D¨u˘g¨um D¨uzeyleriTanımbir d¨u˘g¨um¨un d¨uzeyi: d¨u˘g¨um¨un k¨oke olan uzaklı˘gıanne: bir ¨ust d¨uzeydeki biti¸sik d¨u˘g¨um¸cocuk: bir alt d¨uzeydeki biti¸sik d¨u˘g¨umlerkarde¸s: aynı annenin ¸cocu˘gu olan d¨u˘g¨umler
  192. 192. K¨okl¨u A˘ga¸c ¨Orne˘gi¨Ornekk¨ok: ryapraklar: x y z u vi¸cd¨u˘g¨umler: r p n t s q wy d¨u˘g¨um¨un¨un annesi: ww d¨u˘g¨um¨un¨un ¸cocukları: y ve zy ve z karde¸s
  193. 193. K¨okl¨u A˘ga¸c ¨Orne˘gi¨OrnekKitapB1B1.1B1.2B2B3B3.1B3.2B3.2.1B3.2.2B3.3
  194. 194. Sıralı K¨okl¨u A˘ga¸ckarde¸s d¨u˘g¨umler soldan sa˘ga do˘gru sıralanırevrensel adresleme sistemik¨oke 0 adresini ver1. d¨uzeydeki d¨u˘g¨umlere soldan sa˘ga do˘grusırayla 1, 2, 3, . . . adreslerini verv d¨u˘g¨um¨un¨un adresi a ise, v d¨u˘g¨um¨un¨un ¸cocuklarınasoldan sa˘ga do˘gru sırayla a.1, a.2, a.3, . . . adreslerini ver
  195. 195. S¨ozl¨uk SırasıTanımb ve c iki adres olsun.b’nin c’den ¨once gelmesi i¸cin a¸sa˘gıdakilerden biri sa˘glanmalı:1 b = a1a2 . . . amx1 . . .c = a1a2 . . . amx2 . . .x1 x2’den ¨once gelir2 b = a1a2 . . . amc = a1a2 . . . amam+1 . . .
  196. 196. S¨ozl¨uk SırasıTanımb ve c iki adres olsun.b’nin c’den ¨once gelmesi i¸cin a¸sa˘gıdakilerden biri sa˘glanmalı:1 b = a1a2 . . . amx1 . . .c = a1a2 . . . amx2 . . .x1 x2’den ¨once gelir2 b = a1a2 . . . amc = a1a2 . . . amam+1 . . .
  197. 197. S¨ozl¨uk Sırası ¨Orne˘gi¨Ornek0 - 1 - 1.1 - 1.2- 1.2.1 - 1.2.2 - 1.2.3- 1.2.3.1 - 1.2.3.2- 1.3 - 1.4 - 2- 2.1 - 2.2 - 2.2.1- 3 - 3.1 - 3.2
  198. 198. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  199. 199. ˙Ikili A˘ga¸clarTanımT = (V , E) bir ikili a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo∈ {0, 1, 2}T = (V , E) bir tam ikili a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo∈ {0, 2}
  200. 200. ˙I¸slem A˘gacıbir ikili i¸slem bir ikili a˘ga¸cla temsil edilebilirk¨okte i¸sle¸c, ¸cocuklarda i¸slenenlerher matematiksel ifade bir a˘ga¸cla temsil edilebiliri¸cd¨u˘g¨umlerde i¸sle¸cler, yapraklarda de˘gi¸skenler ve de˘gerler
  201. 201. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek (7 − a) ¨Ornek (a + b)
  202. 202. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek ((7 − a)/5) ¨Ornek ((a + b) ↑ 3)
  203. 203. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek (((7 − a)/5) ∗ ((a + b) ↑ 3))
  204. 204. ˙I¸slem A˘gacı ¨Ornekleri¨Ornek (t + (u ∗ v)/(w + x − y ↑ z))
  205. 205. ˙I¸slem A˘gacında Ge¸ci¸sler1 i¸cek ge¸ci¸si: sol alta˘gacı tara, k¨oke u˘gra, sa˘g alta˘gacı tara2 ¨onek ge¸ci¸si: k¨oke u˘gra, sol alta˘gacı tara, sa˘g alta˘gacı tara3 sonek ge¸ci¸si: sol alta˘gacı tara, sa˘g alta˘gacı tara, k¨oke u˘graters Polonyalı g¨osterilimi
  206. 206. ˙I¸cek Ge¸ci¸si ¨Orne˘gi¨Ornekt + u ∗ v / w + x − y ↑ z
  207. 207. ¨Onek Ge¸ci¸si ¨Orne˘gi¨Ornek+ t / ∗ u v + w − x ↑ y z
  208. 208. Sonek Ge¸ci¸si ¨Orne˘gi¨Ornekt u v ∗ w x y z ↑ − + / +
  209. 209. ˙I¸slem A˘gacının De˘gerlendirilmesii¸cek ge¸ci¸sinde ¨oncelik i¸cin parantez gerekir¨onek ve sonek ge¸ci¸slerinde parantez gerekmez
  210. 210. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  211. 211. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  212. 212. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  213. 213. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  214. 214. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  215. 215. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  216. 216. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  217. 217. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  218. 218. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  219. 219. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  220. 220. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  221. 221. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  222. 222. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  223. 223. Sonek De˘gerlendirme ¨Orne˘gi¨Ornek (t u v ∗ w x y z ↑ − + / +)4 2 3 ∗ 1 9 2 3 ↑ − + / +4 2 3 ∗4 6 1 9 2 3 ↑4 6 1 9 8 −4 6 1 1 +4 6 2 /4 3 +7
  224. 224. D¨uzenli A˘ga¸cTanımT = (V , E) bir m-li a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo≤ mT = (V , E) bir tam m-li a˘ga¸c: ∀v ∈ V dvo∈ {0, m}
  225. 225. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  226. 226. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  227. 227. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  228. 228. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  229. 229. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  230. 230. D¨uzenli A˘ga¸c TeoremiTeoremT = (V , E) bir tam m’li a˘ga¸c olsun.n: d¨u˘g¨um sayısıl: yaprak sayısıi: i¸cd¨u˘g¨um sayısıO halde:n = m · i + 1l = n − i = m · i + 1 − i = (m − 1) · i + 1i =l − 1m − 1
  231. 231. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek27 oyuncunun katıldı˘gı bir tenis turnuvasında ka¸c ma¸c oynanır?her oyuncu bir yaprak: l = 27her ma¸c bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 2ma¸c sayısı: i = l−1m−1 = 27−12−1 = 26
  232. 232. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek27 oyuncunun katıldı˘gı bir tenis turnuvasında ka¸c ma¸c oynanır?her oyuncu bir yaprak: l = 27her ma¸c bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 2ma¸c sayısı: i = l−1m−1 = 27−12−1 = 26
  233. 233. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek25 adet elektrikli aygıtı 4’l¨u uzatmalarla tek bir prizeba˘glamak i¸cin ka¸c uzatma gerekir?her aygıt bir yaprak: l = 25her uzatma bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 4uzatma sayısı: i = l−1m−1 = 25−14−1 = 8
  234. 234. D¨uzenli A˘ga¸c ¨Ornekleri¨Ornek25 adet elektrikli aygıtı 4’l¨u uzatmalarla tek bir prizeba˘glamak i¸cin ka¸c uzatma gerekir?her aygıt bir yaprak: l = 25her uzatma bir i¸cd¨u˘g¨um: m = 4uzatma sayısı: i = l−1m−1 = 25−14−1 = 8
  235. 235. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  236. 236. Karar A˘ga¸cları¨Ornek8 madeni paranın biri sahte (daha a˘gır)bir teraziyle sahtenin hangisi oldu˘gu bulunacak
  237. 237. Karar A˘ga¸cları¨Ornek (3 tartmada bulma)
  238. 238. Karar A˘ga¸cları¨Ornek (2 tartmada bulma)
  239. 239. KaynaklarOkunacak: GrimaldiChapter 12: Trees12.1. Definitions and Examples12.2. Rooted Trees
  240. 240. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  241. 241. A˘gırlıklı ¸Cizgelerayrıtlara etiket atanabilir:a˘gırlık, uzunluk, maliyet, gecikme, olasılık, . . .
  242. 242. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  243. 243. En Kısa Yolbir d¨u˘g¨umden b¨ut¨un di˘ger d¨u˘g¨umlere en kısa yolları bulma:Dijkstra algoritması
  244. 244. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)ba¸slangı¸c: ca (∞, −)b (∞, −)c (0, −)f (∞, −)g (∞, −)h (∞, −)
  245. 245. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (c d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=0)c → f : 6, 6 < ∞c → h : 11, 11 < ∞a (∞, −)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )g (∞, −)h (11, ch)en yakın d¨u˘g¨um: f
  246. 246. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (c d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=0)c → f : 6, 6 < ∞c → h : 11, 11 < ∞a (∞, −)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )g (∞, −)h (11, ch)en yakın d¨u˘g¨um: f
  247. 247. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (c d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=0)c → f : 6, 6 < ∞c → h : 11, 11 < ∞a (∞, −)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )g (∞, −)h (11, ch)en yakın d¨u˘g¨um: f
  248. 248. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (f d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=6)f → a : 6 + 11, 17 < ∞f → g : 6 + 9, 15 < ∞f → h : 6 + 4, 10 < 11a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (15, cfg)h (10, cfh)en yakın d¨u˘g¨um: h
  249. 249. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (f d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=6)f → a : 6 + 11, 17 < ∞f → g : 6 + 9, 15 < ∞f → h : 6 + 4, 10 < 11a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (15, cfg)h (10, cfh)en yakın d¨u˘g¨um: h
  250. 250. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (f d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=6)f → a : 6 + 11, 17 < ∞f → g : 6 + 9, 15 < ∞f → h : 6 + 4, 10 < 11a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (15, cfg)h (10, cfh)en yakın d¨u˘g¨um: h
  251. 251. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (h d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=10)h → a : 10 + 11, 21 17h → g : 10 + 4, 14 < 15a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: g
  252. 252. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (h d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=10)h → a : 10 + 11, 21 17h → g : 10 + 4, 14 < 15a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: g
  253. 253. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (h d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=10)h → a : 10 + 11, 21 17h → g : 10 + 4, 14 < 15a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: g
  254. 254. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (g d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=14)g → a : 14 + 17, 31 17a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: a
  255. 255. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (g d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=14)g → a : 14 + 17, 31 17a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: a
  256. 256. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (g d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=14)g → a : 14 + 17, 31 17a (17, cfa)b (∞, −)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√en yakın d¨u˘g¨um: a
  257. 257. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (a d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=17)a → b : 17 + 5, 22 < ∞a (17, cfa)√b (22, cfab)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√son d¨u˘g¨um: b
  258. 258. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (a d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=17)a → b : 17 + 5, 22 < ∞a (17, cfa)√b (22, cfab)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√son d¨u˘g¨um: b
  259. 259. Dijkstra Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (a d¨u˘g¨um¨unden - taban uzaklık=17)a → b : 17 + 5, 22 < ∞a (17, cfa)√b (22, cfab)c (0, −)√f (6, cf )√g (14, cfhg)√h (10, cfh)√son d¨u˘g¨um: b
  260. 260. Konular1 ¸CizgelerGiri¸sBa˘glılıkD¨uzlemsel ¸Cizgeler¸Cizgelerde Arama2 A˘ga¸clarGiri¸sK¨okl¨u A˘ga¸clar˙Ikili A˘ga¸clarKarar A˘ga¸cları3 A˘gırlıklı ¸CizgelerGiri¸sEn Kısa YolEn Hafif Kapsayan A˘ga¸c
  261. 261. En Hafif Kapsayan A˘ga¸cTanımkapsayan a˘ga¸c:¸cizgenin b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerini i¸ceren, a˘ga¸c ¨ozellikleri ta¸sıyanbir alt¸cizgesiTanımen hafif kapsayan a˘ga¸c:ayrıt a˘gırlıklarının toplamının en az oldu˘gu kapsayan a˘ga¸c
  262. 262. En Hafif Kapsayan A˘ga¸cTanımkapsayan a˘ga¸c:¸cizgenin b¨ut¨un d¨u˘g¨umlerini i¸ceren, a˘ga¸c ¨ozellikleri ta¸sıyanbir alt¸cizgesiTanımen hafif kapsayan a˘ga¸c:ayrıt a˘gırlıklarının toplamının en az oldu˘gu kapsayan a˘ga¸c
  263. 263. Kruskal AlgoritmasıKruskal algoritması1 i ← 1, e1 ∈ E, wt(e1) minimum2 1 ≤ i ≤ n − 2 i¸cin:¸su ana kadar se¸cilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan ¨oyle bir ei+1 se¸c ki:wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 alt¸cizgesi ¸cevre i¸cermesin3 i ← i + 1i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
  264. 264. Kruskal AlgoritmasıKruskal algoritması1 i ← 1, e1 ∈ E, wt(e1) minimum2 1 ≤ i ≤ n − 2 i¸cin:¸su ana kadar se¸cilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan ¨oyle bir ei+1 se¸c ki:wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 alt¸cizgesi ¸cevre i¸cermesin3 i ← i + 1i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
  265. 265. Kruskal AlgoritmasıKruskal algoritması1 i ← 1, e1 ∈ E, wt(e1) minimum2 1 ≤ i ≤ n − 2 i¸cin:¸su ana kadar se¸cilen ayrıtlar e1, e2, . . . , ei isekalan ayrıtlardan ¨oyle bir ei+1 se¸c ki:wt(ei+1) minimum olsune1, e2, . . . , ei , ei+1 alt¸cizgesi ¸cevre i¸cermesin3 i ← i + 1i = n − 1 ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n − 1 ⇒ 2. adıma git
  266. 266. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 1(e, g)T = {(e, g)}
  267. 267. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 1(e, g)T = {(e, g)}
  268. 268. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 1(e, g)T = {(e, g)}
  269. 269. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (d, f ), (f , g)T = {(e, g), (d, f )}i ← 2
  270. 270. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (d, f ), (f , g)T = {(e, g), (d, f )}i ← 2
  271. 271. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (d, f ), (f , g)T = {(e, g), (d, f )}i ← 2
  272. 272. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (f , g)T = {(e, g), (d, f ), (d, e)}i ← 3
  273. 273. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (f , g)T = {(e, g), (d, f ), (d, e)}i ← 3
  274. 274. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(d, e), (f , g)T = {(e, g), (d, f ), (d, e)}i ← 3
  275. 275. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  276. 276. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  277. 277. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  278. 278. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 6)en d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 2(f , g) ¸cevre olu¸sturuyoren d¨u¸s¨uk a˘gırlık: 3(c, e), (c, g), (d, g)(d, g) ¸cevre olu¸sturuyorT = {(e, g), (d, f ), (d, e), (c, e)}i ← 4
  279. 279. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e)}i ← 5
  280. 280. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e)}i ← 5
  281. 281. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e), (a, b)}i ← 6
  282. 282. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 6)T = {(e, g), (d, f ), (d, e),(c, e), (b, e), (a, b)}i ← 6
  283. 283. Kruskal Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (6 6)toplam a˘gırlık: 17
  284. 284. Prim AlgoritmasıPrim algoritması1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 i¸cin:P = {v1, v2, . . . , vi }, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − P¨oyle bir vi+1 ∈ N d¨u˘g¨um¨u se¸c ki, bir x ∈ P d¨u˘g¨um¨u i¸cine = (x, vi+1) /∈ T, wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}3 i ← i + 1i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n ⇒ 2. adıma git
  285. 285. Prim AlgoritmasıPrim algoritması1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 i¸cin:P = {v1, v2, . . . , vi }, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − P¨oyle bir vi+1 ∈ N d¨u˘g¨um¨u se¸c ki, bir x ∈ P d¨u˘g¨um¨u i¸cine = (x, vi+1) /∈ T, wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}3 i ← i + 1i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n ⇒ 2. adıma git
  286. 286. Prim AlgoritmasıPrim algoritması1 i ← 1, v1 ∈ V , P = {v1}, N = V − {v1}, T = ∅2 1 ≤ i ≤ n − 1 i¸cin:P = {v1, v2, . . . , vi }, T = {e1, e2, . . . , ei−1}, N = V − P¨oyle bir vi+1 ∈ N d¨u˘g¨um¨u se¸c ki, bir x ∈ P d¨u˘g¨um¨u i¸cine = (x, vi+1) /∈ T, wt(e) minimum olsunP ← P + {vi+1}, N ← N − {vi+1}, T ← T + {e}3 i ← i + 1i = n ⇒ e1, e2, . . . , en−1 ayrıtlarından olu¸sanG alt¸cizgesi bir en hafif kapsayan a˘ga¸ctıri < n ⇒ 2. adıma git
  287. 287. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1P = {a}N = {b, c, d, e, f , g}T = ∅
  288. 288. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (ba¸slangı¸c)i ← 1P = {a}N = {b, c, d, e, f , g}T = ∅
  289. 289. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 7)T = {(a, b)}P = {a, b}N = {c, d, e, f , g}i ← 2
  290. 290. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (1 < 7)T = {(a, b)}P = {a, b}N = {c, d, e, f , g}i ← 2
  291. 291. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 7)T = {(a, b), (b, e)}P = {a, b, e}N = {c, d, f , g}i ← 3
  292. 292. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (2 < 7)T = {(a, b), (b, e)}P = {a, b, e}N = {c, d, f , g}i ← 3
  293. 293. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g)}P = {a, b, e, g}N = {c, d, f }i ← 4
  294. 294. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (3 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g)}P = {a, b, e, g}N = {c, d, f }i ← 4
  295. 295. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g), (d, e)}P = {a, b, e, g, d}N = {c, f }i ← 5
  296. 296. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (4 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g), (d, e)}P = {a, b, e, g, d}N = {c, f }i ← 5
  297. 297. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g)}P = {a, b, e, g, d, f }N = {c}i ← 6
  298. 298. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (5 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g)}P = {a, b, e, g, d, f }N = {c}i ← 6
  299. 299. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (6 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g), (c, g)}P = {a, b, e, g, d, f , c}N = ∅i ← 7
  300. 300. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (6 < 7)T = {(a, b), (b, e), (e, g),(d, e), (f , g), (c, g)}P = {a, b, e, g, d, f , c}N = ∅i ← 7
  301. 301. Prim Algoritması ¨Orne˘gi¨Ornek (7 7)toplam a˘gırlık: 17
  302. 302. KaynaklarOkunacak: GrimaldiChapter 13: Optimization and Matching13.1. Dijkstra’s Shortest Path Algorithm13.2. Minimal Spanning Trees:The Algorithms of Kruskal and Prim

×