Upcoming SlideShare
×

# Ayrık Matematik - Cebirsel Yapılar

4,208 views

Published on

Cebir aileleri, gruplar, halkalar. Kısmi sıralı kümeler, kafesler, Boole cebirleri.

1 Comment
5 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Bütün Ayrık Matematik dersi sunumları 2011 bahar döneminde yenilendi.

Are you sure you want to  Yes  No
Views
Total views
4,208
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
18
Actions
Shares
0
98
1
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Ayrık Matematik - Cebirsel Yapılar

1. 1. Ayrık Matematik Cebirsel YapılarH. Turgut Uyar Ay¸eg¨l Gen¸ata Yayımlı s u c Emre Harmancı 2001-2012
2. 2. Lisans c 2001-2012 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı You are free: to Share – to copy, distribute and transmit the work to Remix – to adapt the work Under the following conditions: Attribution – You must attribute the work in the manner speciﬁed by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes. Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
3. 3. Konular 1 Cebirsel Yapılar Giri¸ s Gruplar Halkalar 2 Kafesler Kısmi Sıralı K¨meler u Kafesler Boole Cebirleri
4. 4. Konular 1 Cebirsel Yapılar Giri¸ s Gruplar Halkalar 2 Kafesler Kısmi Sıralı K¨meler u Kafesler Boole Cebirleri
5. 5. Cebirsel Yapı cebirsel yapı: <k¨me, i¸lemler, sabitler> u s ta¸ıyıcı k¨me s u i¸lemler: ikili, tekli s sabitler: etkisiz, yutucu
6. 6. ˙slemI¸ her i¸lem bir fonksiyon s ikili i¸lem: s ◦:S ×S →T tekli i¸lem: s ∆:S →T kapalı: T ⊆ S
7. 7. ˙slemI¸ her i¸lem bir fonksiyon s ikili i¸lem: s ◦:S ×S →T tekli i¸lem: s ∆:S →T kapalı: T ⊆ S
8. 8. Kapalı ˙slem Ornekleri I¸ ¨ ¨ Ornek c ¸ıkarma i¸lemi Z k¨mesinde kapalı s u ¸ıkarma i¸lemi Z+ k¨mesinde kapalı de˘il c s u g
9. 9. Kapalı ˙slem Ornekleri I¸ ¨ ¨ Ornek c ¸ıkarma i¸lemi Z k¨mesinde kapalı s u ¸ıkarma i¸lemi Z+ k¨mesinde kapalı de˘il c s u g
10. 10. ˙ ˙slem OzellikleriIkili I¸ ¨ Tanım de˘i¸me: gs ∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a Tanım birle¸me: s ∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
11. 11. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
12. 12. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
13. 13. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
14. 14. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
15. 15. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
16. 16. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
17. 17. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
18. 18. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
19. 19. ˙ ˙slem Orne˘iIkili I¸ ¨ g ¨ Ornek ◦:Z×Z→Z a ◦ b = a + b − 3ab de˘i¸me: gs a ◦ b = a + b − 3ab = b + a − 3ba = b ◦ a birle¸me: s (a ◦ b) ◦ c = (a + b − 3ab) + c − 3(a + b − 3ab)c = a + b − 3ab + c − 3ac − 3bc + 9abc = a + b + c − 3ab − 3ac − 3bc + 9abc = a + (b + c − 3bc) − 3a(b + c − 3bc) = a ◦ (b ◦ c)
20. 20. Sabitler Tanım Tanım etkisiz eleman: yutucu eleman: x ◦1=1◦x =x x ◦0=0◦x =0 soldan etkisiz: 1l ◦ x = x soldan yutucu: 0l ◦ x = 0 sa˘dan etkisiz: x ◦ 1r = x g sa˘dan yutucu: x ◦ 0r = 0 g
21. 21. Sabitler Tanım Tanım etkisiz eleman: yutucu eleman: x ◦1=1◦x =x x ◦0=0◦x =0 soldan etkisiz: 1l ◦ x = x soldan yutucu: 0l ◦ x = 0 sa˘dan etkisiz: x ◦ 1r = x g sa˘dan yutucu: x ◦ 0r = 0 g
22. 22. ¨Sabit Ornekleri ¨ Ornek < N, max > i¸in etkisiz eleman 0 c < N, min > i¸in yutucu eleman 0 c < Z+ , min > i¸in yutucu eleman 1 c ¨ Ornek ◦ a b c a a b b b soldan etkisiz b a b c a ve b sa˘dan yutucu g c a b a
23. 23. ¨Sabit Ornekleri ¨ Ornek < N, max > i¸in etkisiz eleman 0 c < N, min > i¸in yutucu eleman 0 c < Z+ , min > i¸in yutucu eleman 1 c ¨ Ornek ◦ a b c a a b b b soldan etkisiz b a b c a ve b sa˘dan yutucu g c a b a
24. 24. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
25. 25. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
26. 26. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
27. 27. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
28. 28. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
29. 29. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
30. 30. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
31. 31. Sabitler Teorem Teorem ∃1l ∧ ∃1r ⇒ 1l = 1r ∃0l ∧ ∃0r ⇒ 0l = 0r Tanıt. Tanıt. 1l ◦ 1r = 1l = 1r 0l ◦ 0r = 0l = 0r
32. 32. Evrik x ◦ y = 1 ise: x elemanı y elemanının sol evri˘i g y elemanı x elemanının sa˘ evri˘i g g x ◦ y = y ◦ x = 1 ise x ile y evrik
33. 33. Evrik Teorem ◦ i¸lemi birle¸me ¨zelli˘i ta¸ıyorsa: s s o g s w ◦x =x ◦y =1⇒w =y Tanıt. w = w ◦1 = w ◦ (x ◦ y ) = (w ◦ x) ◦ y = 1◦y = y
34. 34. Evrik Teorem ◦ i¸lemi birle¸me ¨zelli˘i ta¸ıyorsa: s s o g s w ◦x =x ◦y =1⇒w =y Tanıt. w = w ◦1 = w ◦ (x ◦ y ) = (w ◦ x) ◦ y = 1◦y = y
35. 35. Evrik Teorem ◦ i¸lemi birle¸me ¨zelli˘i ta¸ıyorsa: s s o g s w ◦x =x ◦y =1⇒w =y Tanıt. w = w ◦1 = w ◦ (x ◦ y ) = (w ◦ x) ◦ y = 1◦y = y
36. 36. Evrik Teorem ◦ i¸lemi birle¸me ¨zelli˘i ta¸ıyorsa: s s o g s w ◦x =x ◦y =1⇒w =y Tanıt. w = w ◦1 = w ◦ (x ◦ y ) = (w ◦ x) ◦ y = 1◦y = y
37. 37. Evrik Teorem ◦ i¸lemi birle¸me ¨zelli˘i ta¸ıyorsa: s s o g s w ◦x =x ◦y =1⇒w =y Tanıt. w = w ◦1 = w ◦ (x ◦ y ) = (w ◦ x) ◦ y = 1◦y = y
38. 38. Evrik Teorem ◦ i¸lemi birle¸me ¨zelli˘i ta¸ıyorsa: s s o g s w ◦x =x ◦y =1⇒w =y Tanıt. w = w ◦1 = w ◦ (x ◦ y ) = (w ◦ x) ◦ y = 1◦y = y
39. 39. Cebir Ailesi cebir ailesi: cebirsel yapı, aksiyomlar de˘i¸me, birle¸me gs s evrik elemanlar
40. 40. ¨Cebir Ailesi Ornekleri ¨ Ornek aksiyomlar: x ◦y =y ◦x (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) x ◦1=x bu aksiyomları sa˘layan yapılar: g < Z, +, 0 > < Z, ·, 1 > < P(S), ∪, ∅ >
41. 41. ¨Cebir Ailesi Ornekleri ¨ Ornek aksiyomlar: x ◦y =y ◦x (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) x ◦1=x bu aksiyomları sa˘layan yapılar: g < Z, +, 0 > < Z, ·, 1 > < P(S), ∪, ∅ >
42. 42. Altcebir Tanım altcebir: A =< S, ◦, ∆, k > ∧ A =< S , ◦ , ∆ , k > olsun A cebrinin A cebrinin bir altcebri olması i¸in: c S ⊆S ∀a, b ∈ S a ◦ b = a ◦ b ∈ S ∀a ∈ S ∆ a = ∆a ∈ S k =k
43. 43. Altcebir Tanım altcebir: A =< S, ◦, ∆, k > ∧ A =< S , ◦ , ∆ , k > olsun A cebrinin A cebrinin bir altcebri olması i¸in: c S ⊆S ∀a, b ∈ S a ◦ b = a ◦ b ∈ S ∀a ∈ S ∆ a = ∆a ∈ S k =k
44. 44. ¨Altcebir Ornekleri ¨ Ornek < Z+ , +, 0 > cebri, < Z, +, 0 > cebrinin bir altcebridir. < N, −, 0 > cebri, < Z, −, 0 > cebrinin bir altcebri de˘ildir. g
45. 45. ¨Altcebir Ornekleri ¨ Ornek < Z+ , +, 0 > cebri, < Z, +, 0 > cebrinin bir altcebridir. < N, −, 0 > cebri, < Z, −, 0 > cebrinin bir altcebri de˘ildir. g
46. 46. Konular 1 Cebirsel Yapılar Giri¸ s Gruplar Halkalar 2 Kafesler Kısmi Sıralı K¨meler u Kafesler Boole Cebirleri
47. 47. Yarıgruplar Tanım yarıgrup: < S, ◦ > ∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
48. 48. ¨Yarıgrup Ornekleri ¨ Ornek < Σ+ , & > Σ: alfabe, Σ+ : en az 1 uzunluklu katarlar &: katar biti¸tirme i¸lemi s s
49. 49. Monoidler Tanım monoid: < S, ◦, 1 > ∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) ∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a
50. 50. ¨Monoid Ornekleri ¨ Ornek < Σ∗ , &, > Σ: alfabe, Σ∗ : herhangi uzunluklu katarlar &: katar biti¸tirme i¸lemi s s : bo¸ katar s
51. 51. Grup Tanım grup: < S, ◦, 1 > ∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) ∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a ∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = 1 Abel grubu: ∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a
52. 52. Grup Tanım grup: < S, ◦, 1 > ∀a, b, c ∈ S (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) ∀a ∈ S a ◦ 1 = 1 ◦ a = a ∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = 1 Abel grubu: ∀a, b ∈ S a ◦ b = b ◦ a
53. 53. ¨Grup Ornekleri ¨ Ornek < Z, +, 0 > bir gruptur. < Q, ·, 1 > bir grup de˘ildir. g < Q − {0}, ·, 1 > bir gruptur.
54. 54. ¨Grup Ornekleri ¨ Ornek < Z, +, 0 > bir gruptur. < Q, ·, 1 > bir grup de˘ildir. g < Q − {0}, ·, 1 > bir gruptur.
55. 55. ¨ gGrup Orne˘i: Permutasyon Bile¸kesi s permutasyon: k¨me i¸i bijektif bir fonksiyon u c g¨sterilim: o a1 a2 ... an p(a1 ) p(a2 ) . . . p(an )
56. 56. ¨Permutasyon Ornekleri ¨ Ornek A = {1, 2, 3} 1 2 3 1 2 3 p1 = p2 = 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 p3 = p4 = 2 1 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 p5 = p6 = 3 1 2 3 2 1
57. 57. ¨ gGrup Orne˘i: Permutasyon Bile¸kesi s permutasyon bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir s s o g o birim permutasyon: 1A a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an bir k¨me uzerindeki permutasyonların k¨mesi, u ¨ u permutasyon bile¸kesi i¸lemi s s ve birim permutasyon bir grup olu¸turur s
58. 58. ¨ gGrup Orne˘i: Permutasyon Bile¸kesi s permutasyon bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir s s o g o birim permutasyon: 1A a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an bir k¨me uzerindeki permutasyonların k¨mesi, u ¨ u permutasyon bile¸kesi i¸lemi s s ve birim permutasyon bir grup olu¸turur s
59. 59. ¨ gGrup Orne˘i: Permutasyon Bile¸kesi s ¨ Ornek ({1, 2, 3, 4} k¨mesindeki u permutasyonlar) A 1A p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 4 4 3 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 4 4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 1 p12 p13 p14 p15 p16 p17 p18 p19 p20 p21 p22 p23 1 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 2 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 3 3 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2 4 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1
60. 60. ¨ gGrup Orne˘i: Permutasyon Bile¸kesi s ¨ Ornek p8 p12 = p12 p8 = 1A : −1 −1 p12 = p8 , p8 = p12 p14 p14 = 1A : −1 p14 = p14 G1 =< {1A , p1 , . . . , p23 }, , 1A > bir gruptur
61. 61. ¨ gGrup Orne˘i: Permutasyon Bile¸kesi s ¨ Ornek p8 p12 = p12 p8 = 1A : −1 −1 p12 = p8 , p8 = p12 p14 p14 = 1A : −1 p14 = p14 G1 =< {1A , p1 , . . . , p23 }, , 1A > bir gruptur
62. 62. ¨ gGrup Orne˘i: Permutasyon Bile¸kesi s ¨ Ornek 1A p2 p6 p8 p12 p14 1A 1A p2 p6 p8 p12 p14 p2 p2 1A p8 p6 p14 p12 p6 p6 p12 1A p14 p2 p8 p8 p8 p14 p2 p12 1A p6 p12 p12 p6 p14 1A p8 p2 p14 p14 p8 p12 p2 p6 1A < {1A , p2 , p6 , p8 , p12 , p14 }, , 1A > G1 ’in bir altgrubudur
63. 63. Sa˘dan ve Soldan Kaldırma g Teorem a◦c =b◦c ⇒a=b c ◦a=c ◦b ⇒a=b Tanıt. a◦c = b◦c ⇒ (a ◦ c) ◦ c −1 = (b ◦ c) ◦ c −1 ⇒ a ◦ (c ◦ c −1 ) = b ◦ (c ◦ c −1 ) ⇒ a◦1 = b◦1 ⇒ a = b
64. 64. Sa˘dan ve Soldan Kaldırma g Teorem a◦c =b◦c ⇒a=b c ◦a=c ◦b ⇒a=b Tanıt. a◦c = b◦c ⇒ (a ◦ c) ◦ c −1 = (b ◦ c) ◦ c −1 ⇒ a ◦ (c ◦ c −1 ) = b ◦ (c ◦ c −1 ) ⇒ a◦1 = b◦1 ⇒ a = b
65. 65. Sa˘dan ve Soldan Kaldırma g Teorem a◦c =b◦c ⇒a=b c ◦a=c ◦b ⇒a=b Tanıt. a◦c = b◦c ⇒ (a ◦ c) ◦ c −1 = (b ◦ c) ◦ c −1 ⇒ a ◦ (c ◦ c −1 ) = b ◦ (c ◦ c −1 ) ⇒ a◦1 = b◦1 ⇒ a = b
66. 66. Sa˘dan ve Soldan Kaldırma g Teorem a◦c =b◦c ⇒a=b c ◦a=c ◦b ⇒a=b Tanıt. a◦c = b◦c ⇒ (a ◦ c) ◦ c −1 = (b ◦ c) ◦ c −1 ⇒ a ◦ (c ◦ c −1 ) = b ◦ (c ◦ c −1 ) ⇒ a◦1 = b◦1 ⇒ a = b
67. 67. Sa˘dan ve Soldan Kaldırma g Teorem a◦c =b◦c ⇒a=b c ◦a=c ◦b ⇒a=b Tanıt. a◦c = b◦c ⇒ (a ◦ c) ◦ c −1 = (b ◦ c) ◦ c −1 ⇒ a ◦ (c ◦ c −1 ) = b ◦ (c ◦ c −1 ) ⇒ a◦1 = b◦1 ⇒ a = b
68. 68. Sa˘dan ve Soldan Kaldırma g Teorem a◦c =b◦c ⇒a=b c ◦a=c ◦b ⇒a=b Tanıt. a◦c = b◦c ⇒ (a ◦ c) ◦ c −1 = (b ◦ c) ◦ c −1 ⇒ a ◦ (c ◦ c −1 ) = b ◦ (c ◦ c −1 ) ⇒ a◦1 = b◦1 ⇒ a = b
69. 69. Grupların Temel Teoremi Teorem a ◦ x = b denkleminin tek ¸oz¨m¨: x = a−1 ◦ b. c¨ u u Tanıt. a◦c = b ⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b ⇒ 1◦c = a−1 ◦ b ⇒ c = a−1 ◦ b
70. 70. Grupların Temel Teoremi Teorem a ◦ x = b denkleminin tek ¸oz¨m¨: x = a−1 ◦ b. c¨ u u Tanıt. a◦c = b ⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b ⇒ 1◦c = a−1 ◦ b ⇒ c = a−1 ◦ b
71. 71. Grupların Temel Teoremi Teorem a ◦ x = b denkleminin tek ¸oz¨m¨: x = a−1 ◦ b. c¨ u u Tanıt. a◦c = b ⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b ⇒ 1◦c = a−1 ◦ b ⇒ c = a−1 ◦ b
72. 72. Grupların Temel Teoremi Teorem a ◦ x = b denkleminin tek ¸oz¨m¨: x = a−1 ◦ b. c¨ u u Tanıt. a◦c = b ⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b ⇒ 1◦c = a−1 ◦ b ⇒ c = a−1 ◦ b
73. 73. Grupların Temel Teoremi Teorem a ◦ x = b denkleminin tek ¸oz¨m¨: x = a−1 ◦ b. c¨ u u Tanıt. a◦c = b ⇒ a−1 ◦ (a ◦ c) = a−1 ◦ b ⇒ 1◦c = a−1 ◦ b ⇒ c = a−1 ◦ b
74. 74. Konular 1 Cebirsel Yapılar Giri¸ s Gruplar Halkalar 2 Kafesler Kısmi Sıralı K¨meler u Kafesler Boole Cebirleri
75. 75. Halka Tanım halka: < S, +, ·, 0 > ∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c) ∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a, b ∈ S a + b = b + a ∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ S a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a
76. 76. Halka Tanım halka: < S, +, ·, 0 > ∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c) ∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a, b ∈ S a + b = b + a ∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ S a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a
77. 77. Halka Tanım halka: < S, +, ·, 0 > ∀a, b, c ∈ S (a + b) + c = a + (b + c) ∀a ∈ S a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ S ∃(−a) ∈ S a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a, b ∈ S a + b = b + a ∀a, b, c ∈ S (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ S a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a
78. 78. Alan Tanım alan: < S, +, ·, 0, 1 > b¨t¨n halka ¨zellikleri uu o ∀a, b ∈ S a · b = b · a ∀a ∈ S a · 1 = 1 · a = a ∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a · a−1 = a−1 · a = 1
79. 79. Alan Tanım alan: < S, +, ·, 0, 1 > b¨t¨n halka ¨zellikleri uu o ∀a, b ∈ S a · b = b · a ∀a ∈ S a · 1 = 1 · a = a ∀a ∈ S ∃a−1 ∈ S a · a−1 = a−1 · a = 1
80. 80. Kaynaklar Grimaldi Chapter 5: Relations and Functions 5.4. Special Functions Chapter 16: Groups, Coding Theory, and Polya’s Method of Enumeration 16.1. Deﬁnitions, Examples, and Elementary Properties Chapter 14: Rings and Modular Arithmetic 14.1. The Ring Structure: Deﬁnition and Examples
81. 81. Konular 1 Cebirsel Yapılar Giri¸ s Gruplar Halkalar 2 Kafesler Kısmi Sıralı K¨meler u Kafesler Boole Cebirleri
82. 82. Kısmi Sıralı K¨me u Tanım kısmi sıra ba˘ıntısı: g yansımalı ters bakı¸lı s ge¸i¸li cs kısmi sıralı k¨me (poset): u elemanları uzerinde kısmi sıra ba˘ıntısı tanımlanmı¸ k¨me ¨ g s u
83. 83. Kısmi Sıralı K¨me u Tanım kısmi sıra ba˘ıntısı: g yansımalı ters bakı¸lı s ge¸i¸li cs kısmi sıralı k¨me (poset): u elemanları uzerinde kısmi sıra ba˘ıntısı tanımlanmı¸ k¨me ¨ g s u
84. 84. ¨Kısmi Sıra Ornekleri ¨ Ornek (k¨meler k¨mesi, ⊆) u u A⊆A A⊆B ∧B ⊆A⇒A=B A⊆B ∧B ⊆C ⇒A⊆C
85. 85. ¨Kısmi Sıra Ornekleri ¨ Ornek (Z, ≤) x ≤x x ≤y ∧y ≤x ⇒x =y x ≤y ∧y ≤z ⇒x ≤z
86. 86. ¨Kısmi Sıra Ornekleri ¨ Ornek (Z+ , |) x|x x|y ∧ y |x ⇒ x = y x|y ∧ y |z ⇒ x|z
87. 87. Kar¸ıla¸tırılabilirlik s s a b: a b’nin ¨n¨ndedir o u a b∨b a: a ile b kar¸ıla¸tırılabilir s s c ¸izgisel sıra: her eleman ¸ifti kar¸ıla¸tırılabiliyor c s s
88. 88. Kar¸ıla¸tırılabilirlik s s a b: a b’nin ¨n¨ndedir o u a b∨b a: a ile b kar¸ıla¸tırılabilir s s c ¸izgisel sıra: her eleman ¸ifti kar¸ıla¸tırılabiliyor c s s
89. 89. ¨Kar¸ıla¸tırılabilirlik Ornekleri s s ¨ Ornek Z+ , |: 3 ile 5 kar¸ıla¸tırılamaz s s Z, ≤: ¸izgisel sıra c
90. 90. ¨Kar¸ıla¸tırılabilirlik Ornekleri s s ¨ Ornek Z+ , |: 3 ile 5 kar¸ıla¸tırılamaz s s Z, ≤: ¸izgisel sıra c
91. 91. Hasse Cizenekleri ¸ a b: a b’nin hemen ¨n¨ndedir o u ¬∃x a x b Hasse ¸izene˘i: c g a b ise a ile b arasına ¸izgi c o ¨nde olan eleman a¸a˘ıya s g
92. 92. Hasse Cizenekleri ¸ a b: a b’nin hemen ¨n¨ndedir o u ¬∃x a x b Hasse ¸izene˘i: c g a b ise a ile b arasına ¸izgi c o ¨nde olan eleman a¸a˘ıya s g
93. 93. g ¨Hasse Cizene˘i Ornekleri ¸ ¨ Ornek {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} | ba˘ıntısı g
94. 94. Tutarlı Sayılama tutarlı sayılama: f :S →N a b ⇒ f (a) ≤ f (b) birden fazla tutarlı sayılama olabilir
95. 95. ¨Tutarlı Sayılama Ornekleri ¨ Ornek {a −→ 5, b −→ 3, c −→ 4, d −→ 1, e −→ 2} {a −→ 5, b −→ 4, c −→ 3, d −→ 2, e −→ 1}
96. 96. ¨Tutarlı Sayılama Ornekleri ¨ Ornek {a −→ 5, b −→ 3, c −→ 4, d −→ 1, e −→ 2} {a −→ 5, b −→ 4, c −→ 3, d −→ 2, e −→ 1}
97. 97. En B¨y¨k - En K¨¸uk Eleman u u uc¨ Tanım en b¨y¨k eleman: max u u ∀x ∈ S max x ⇒ x = max Tanım en k¨¸uk eleman: min uc¨ ∀x ∈ S x min ⇒ x = min
98. 98. En B¨y¨k - En K¨¸uk Eleman u u uc¨ Tanım en b¨y¨k eleman: max u u ∀x ∈ S max x ⇒ x = max Tanım en k¨¸uk eleman: min uc¨ ∀x ∈ S x min ⇒ x = min
99. 99. u u uc¨ ¨En B¨y¨k - En K¨¸uk Eleman Ornekleri ¨ Ornek max : 18, 24 min : 1
100. 100. Sınırlar Tanım Tanım A⊆S A⊆S A’nın ustsınırı M: ¨ A’nın altsınırı m: ∀x ∈ A x M ∀x ∈ A m x M(A): A’nın ustsınırları k¨mesi ¨ u m(A): A’nın altsınırları k¨mesi u A’nın en k¨¸uk ustsınırı sup(A): uc¨ ¨ A’nın en b¨y¨k altsınırı inf (A): u u ∀M ∈ M(A) sup(A) M ∀m ∈ m(A) m inf (A)
101. 101. Sınırlar Tanım Tanım A⊆S A⊆S A’nın ustsınırı M: ¨ A’nın altsınırı m: ∀x ∈ A x M ∀x ∈ A m x M(A): A’nın ustsınırları k¨mesi ¨ u m(A): A’nın altsınırları k¨mesi u A’nın en k¨¸uk ustsınırı sup(A): uc¨ ¨ A’nın en b¨y¨k altsınırı inf (A): u u ∀M ∈ M(A) sup(A) M ∀m ∈ m(A) m inf (A)
102. 102. ¨ gSınır Orne˘i ¨ Ornek (36’nın b¨lenleri) o inf = en b¨y¨k ortak b¨len u u o sup = en k¨¸uk ortak kat uc¨
103. 103. Konular 1 Cebirsel Yapılar Giri¸ s Gruplar Halkalar 2 Kafesler Kısmi Sıralı K¨meler u Kafesler Boole Cebirleri
104. 104. Kafes Tanım kafes: < L, ∧, ∨ > ∧: kar¸ıla¸ma, ∨: b¨t¨nle¸me s s uu s a∧b =b∧a a∨b =b∨a (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) a ∧ (a ∨ b) = a a ∨ (a ∧ b) = a
105. 105. Kafes Tanım kafes: < L, ∧, ∨ > ∧: kar¸ıla¸ma, ∨: b¨t¨nle¸me s s uu s a∧b =b∧a a∨b =b∨a (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) a ∧ (a ∨ b) = a a ∨ (a ∧ b) = a
106. 106. Kısmi Sıralı K¨me - Kafes ˙ skisi u Ili¸ P bir kısmi sıralı k¨me ise < P, inf , sup > bir kafestir. u a ∧ b = inf (a, b) a ∨ b = sup(a, b) Her kafes bu tanımların ge¸erli oldu˘u bir kısmi sıralı k¨medir. c g u
107. 107. Kısmi Sıralı K¨me - Kafes ˙ skisi u Ili¸ P bir kısmi sıralı k¨me ise < P, inf , sup > bir kafestir. u a ∧ b = inf (a, b) a ∨ b = sup(a, b) Her kafes bu tanımların ge¸erli oldu˘u bir kısmi sıralı k¨medir. c g u
108. 108. Dualite Tanım dual: ∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧ Teorem (Dualite Teoremi) Kafeslerde her teoremin duali de teoremdir.
109. 109. Dualite Tanım dual: ∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧ Teorem (Dualite Teoremi) Kafeslerde her teoremin duali de teoremdir.
110. 110. Kafes Teoremleri Teorem a∧a=a Tanıt. a ∧ a = a ∧ (a ∨ (a ∧ b))
111. 111. Kafes Teoremleri Teorem a∧a=a Tanıt. a ∧ a = a ∧ (a ∨ (a ∧ b))
112. 112. Kafes Teoremleri Teorem a b ⇔a∧b =a⇔a∨b =b
113. 113. ¨Kafes Ornekleri ¨ Ornek < P{a, b, c}, ∩, ∪ > ⊆ ba˘ıntısı g
114. 114. Sınırlı Kafesler Tanım Tanım L kafesinin altsınırı: 0 L kafesinin ustsınırı: I ¨ ∀x ∈ L 0 x ∀x ∈ L x I Teorem Sonlu her kafes sınırlıdır.
115. 115. Sınırlı Kafesler Tanım Tanım L kafesinin altsınırı: 0 L kafesinin ustsınırı: I ¨ ∀x ∈ L 0 x ∀x ∈ L x I Teorem Sonlu her kafes sınırlıdır.
116. 116. Sınırlı Kafesler Tanım Tanım L kafesinin altsınırı: 0 L kafesinin ustsınırı: I ¨ ∀x ∈ L 0 x ∀x ∈ L x I Teorem Sonlu her kafes sınırlıdır.
117. 117. Kafeslerde Da˘ılma g da˘ılma ¨zellikli kafes: g o ∀a, b, c ∈ L a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∀a, b, c ∈ L a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
118. 118. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
119. 119. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
120. 120. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
121. 121. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
122. 122. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
123. 123. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
124. 124. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ c = c
125. 125. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
126. 126. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
127. 127. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
128. 128. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
129. 129. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
130. 130. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
131. 131. s ¨Kar¸ı Ornekler ¨ Ornek a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = I ∧ I = I
132. 132. Kafeslerde Da˘ılma g Teorem Bir kafes yalnız ve ancak bu iki yapıdan birine izomorﬁk bir altkafes i¸eriyorsa da˘ılma ¨zelli˘i g¨stermez. c g o g o
133. 133. B¨t¨nle¸meyle ˙ uu s Indirgeme Tanım b¨t¨nle¸meyle indirgenemez eleman: uu s a = x ∨ y ⇒ a = x veya a = y atom: altsınırın hemen ardından gelen, b¨t¨nle¸meyle indirgenemez eleman uu s
134. 134. B¨t¨nle¸meyle ˙ uu s Indirgeme Tanım b¨t¨nle¸meyle indirgenemez eleman: uu s a = x ∨ y ⇒ a = x veya a = y atom: altsınırın hemen ardından gelen, b¨t¨nle¸meyle indirgenemez eleman uu s
135. 135. B¨t¨nle¸meyle ˙ uu s ¨ g Indirgeme Orne˘i ¨ Ornek (b¨l¨nebilirlik ba˘ıntısı) ou g asal sayılar ve 1 b¨t¨nle¸meyle indirgenemez uu s 1 altsınır, asal sayılar atom
136. 136. B¨t¨nle¸meyle ˙ uu s ¨ g Indirgeme Orne˘i ¨ Ornek (b¨l¨nebilirlik ba˘ıntısı) ou g asal sayılar ve 1 b¨t¨nle¸meyle indirgenemez uu s 1 altsınır, asal sayılar atom
137. 137. B¨t¨nle¸meyle ˙ uu s Indirgeme Teorem B¨t¨nle¸meyle indirgenebilir b¨t¨n elemanlar, b¨t¨nle¸meyle uu s uu uu s indirgenemez elemanların b¨t¨nle¸mesi ¸eklinde yazılabilir. uu s s
138. 138. T¨mleyen u Tanım a ile x t¨mleyen: u a ∧ x = 0 ve a ∨ x = I
139. 139. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
140. 140. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
141. 141. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
142. 142. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
143. 143. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
144. 144. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
145. 145. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
146. 146. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
147. 147. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
148. 148. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
149. 149. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
150. 150. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
151. 151. T¨mlemeli Kafesler u Teorem Sınırlı, da˘ılma ¨zellikli bir kafeste t¨mleyen varsa tektir. g o u Tanıt. a ∧ x = 0, a ∨ x = I , a ∧ y = 0, a ∨ y = I x = x ∨ 0 = x ∨ (a ∧ y ) = (x ∨ a) ∧ (x ∨ y ) = I ∧ (x ∨ y ) = x ∨ y = y ∨ x = I ∧ (y ∨ x) = (y ∨ a) ∧ (y ∨ x) = y ∨ (a ∧ x) = y ∨ 0 = y
152. 152. Konular 1 Cebirsel Yapılar Giri¸ s Gruplar Halkalar 2 Kafesler Kısmi Sıralı K¨meler u Kafesler Boole Cebirleri
153. 153. Boole Cebri Tanım Boole cebri: < B, +, ·, x, 1, 0 > a+b =b+a a·b =b·a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a+0=a a·1=a a+a=1 a·a=0
154. 154. Boole Cebri Tanım Boole cebri: < B, +, ·, x, 1, 0 > a+b =b+a a·b =b·a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a+0=a a·1=a a+a=1 a·a=0
155. 155. Boole Cebri Tanım Boole cebri: < B, +, ·, x, 1, 0 > a+b =b+a a·b =b·a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a+0=a a·1=a a+a=1 a·a=0
156. 156. Boole Cebri Tanım Boole cebri: < B, +, ·, x, 1, 0 > a+b =b+a a·b =b·a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a+0=a a·1=a a+a=1 a·a=0
157. 157. Boole Cebri Tanım Boole cebri: < B, +, ·, x, 1, 0 > a+b =b+a a·b =b·a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a+0=a a·1=a a+a=1 a·a=0
158. 158. Boole Cebri - Kafes ˙ skisi Ili¸ Tanım Bir Boole cebri sonlu, da˘ılma ozellikli, g ¨ her elemanın t¨mleyeninin oldu˘u bir kafestir. u g
159. 159. Dualite Tanım dual: + yerine ·, · yerine + 0 yerine 1, 1 yerine 0 ¨ Ornek (1 + a) · (b + 0) = b teoreminin duali: (0 · a) + (b · 1) = b
160. 160. Dualite Tanım dual: + yerine ·, · yerine + 0 yerine 1, 1 yerine 0 ¨ Ornek (1 + a) · (b + 0) = b teoreminin duali: (0 · a) + (b · 1) = b
161. 161. ¨Boole Cebri Ornekleri ¨ Ornek B = {0, 1}, + = ∨, · = ∧ ¨ Ornek B = { 70’in b¨lenleri }, + = okek, · = obeb o
162. 162. ¨Boole Cebri Ornekleri ¨ Ornek B = {0, 1}, + = ∨, · = ∧ ¨ Ornek B = { 70’in b¨lenleri }, + = okek, · = obeb o
163. 163. Boole Cebri Teoremleri a+a=a a·a=a a+1=1 a·0=0 a + (a · b) = a a · (a + b) = a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a=a a+b =a·b a·b =a+b
164. 164. Boole Cebri Teoremleri a+a=a a·a=a a+1=1 a·0=0 a + (a · b) = a a · (a + b) = a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a=a a+b =a·b a·b =a+b
165. 165. Boole Cebri Teoremleri a+a=a a·a=a a+1=1 a·0=0 a + (a · b) = a a · (a + b) = a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a=a a+b =a·b a·b =a+b
166. 166. Boole Cebri Teoremleri a+a=a a·a=a a+1=1 a·0=0 a + (a · b) = a a · (a + b) = a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a=a a+b =a·b a·b =a+b
167. 167. Boole Cebri Teoremleri a+a=a a·a=a a+1=1 a·0=0 a + (a · b) = a a · (a + b) = a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a=a a+b =a·b a·b =a+b
168. 168. Boole Cebri Teoremleri a+a=a a·a=a a+1=1 a·0=0 a + (a · b) = a a · (a + b) = a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a=a a+b =a·b a·b =a+b
169. 169. Kaynaklar Okunacak: Grimaldi Chapter 7: Relations: The Second Time Around 7.3. Partial Orders: Hasse Diagrams Chapter 15: Boolean Algebra and Switching Functions 15.4. The Structure of a Boolean Algebra