Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar

8,387 views

Published on

Bağıntılar, bağıntı bileşkesi, evrik bağıntı, yansıma, bakışlılık, geçişlilik, eşdeğerlilik. Fonksiyonlar, evrik fonksiyon, birebir, örten, bijektif fonksiyonlar, güvercin deliği ilkesi, rekürsiyon.

Published in: Education, Technology, Business
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
8,387
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
21
Actions
Shares
0
Downloads
158
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar

  1. 1. Ayrık Matematik Ba˘ıntılar ve Fonksiyonlar gH. Turgut Uyar Ay¸eg¨l Gen¸ata Yayımlı s u c Emre Harmancı 2001-2013
  2. 2. Lisans c 2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı You are free: to Share – to copy, distribute and transmit the work to Remix – to adapt the work Under the following conditions: Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes. Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
  3. 3. Konular 1 Ba˘ıntılar g Giri¸ s Ba˘ıntı Nitelikleri g E¸de˘erlilik s g 2 Fonksiyonlar Giri¸ s G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Rek¨rsiyon u
  4. 4. Konular 1 Ba˘ıntılar g Giri¸ s Ba˘ıntı Nitelikleri g E¸de˘erlilik s g 2 Fonksiyonlar Giri¸ s G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Rek¨rsiyon u
  5. 5. Ba˘ıntı g Tanım ba˘ıntı: α ⊆ A × B × C × · · · × N g c ¸oklu: ba˘ıntının her bir elemanı g α ⊆ A × B: ikili ba˘ıntı g aαb ile (a, b) ∈ α aynı ba˘ıntı g¨sterilimi: g o c ¸izimle matrisle
  6. 6. Ba˘ıntı g Tanım ba˘ıntı: α ⊆ A × B × C × · · · × N g c ¸oklu: ba˘ıntının her bir elemanı g α ⊆ A × B: ikili ba˘ıntı g aαb ile (a, b) ∈ α aynı ba˘ıntı g¨sterilimi: g o c ¸izimle matrisle
  7. 7. Ba˘ıntı g Tanım ba˘ıntı: α ⊆ A × B × C × · · · × N g c ¸oklu: ba˘ıntının her bir elemanı g α ⊆ A × B: ikili ba˘ıntı g aαb ile (a, b) ∈ α aynı ba˘ıntı g¨sterilimi: g o c ¸izimle matrisle
  8. 8. Ba˘ıntı g Tanım ba˘ıntı: α ⊆ A × B × C × · · · × N g c ¸oklu: ba˘ıntının her bir elemanı g α ⊆ A × B: ikili ba˘ıntı g aαb ile (a, b) ∈ α aynı ba˘ıntı g¨sterilimi: g o c ¸izimle matrisle
  9. 9. ¨ gBa˘ıntı Orne˘i g ¨ Ornek A = {a1 , a2 , a3 , a4 }, B = {b1 , b2 , b3 } α = {(a1 , b1 ), (a1 , b3 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (a3 , b1 ), (a3 , b3 ), (a4 , b1 )} b1 b2 b3 1 0 1 a1 1 0 1 0 1 1 a2 0 1 1 Mα = 1 0 1 a3 1 0 1 1 0 0 a4 1 0 0
  10. 10. ¨ gBa˘ıntı Orne˘i g ¨ Ornek A = {a1 , a2 , a3 , a4 }, B = {b1 , b2 , b3 } α = {(a1 , b1 ), (a1 , b3 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (a3 , b1 ), (a3 , b3 ), (a4 , b1 )} b1 b2 b3 1 0 1 a1 1 0 1 0 1 1 a2 0 1 1 Mα = 1 0 1 a3 1 0 1 1 0 0 a4 1 0 0
  11. 11. Ba˘ıntı Bile¸kesi g s Tanım ba˘ıntı bile¸kesi: g s α ⊆ A × B, β ⊆ B × C olsun αβ = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C , ∃b ∈ B [aαb ∧ bβc]} Mαβ = Mα × Mβ mantıksal i¸lemlerle: s 1 : T , 0 : F , · : ∧, + : ∨
  12. 12. g s ¨ gBa˘ıntı Bile¸kesi Orne˘i ¨ Ornek
  13. 13. g s ¨ gBa˘ıntı Bile¸kesi Matrisi Orne˘i ¨ Ornek 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 Mα = 0 1 1 Mβ = 0 0 1 1 Mαβ = 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0
  14. 14. Ba˘ıntı Bile¸kesinde Birle¸me g s s ba˘ıntı bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir g s s o g o (αβ)γ = α(βγ). (a, d) ∈ (αβ)γ ⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ] ⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
  15. 15. Ba˘ıntı Bile¸kesinde Birle¸me g s s ba˘ıntı bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir g s s o g o (αβ)γ = α(βγ). (a, d) ∈ (αβ)γ ⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ] ⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
  16. 16. Ba˘ıntı Bile¸kesinde Birle¸me g s s ba˘ıntı bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir g s s o g o (αβ)γ = α(βγ). (a, d) ∈ (αβ)γ ⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ] ⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
  17. 17. Ba˘ıntı Bile¸kesinde Birle¸me g s s ba˘ıntı bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir g s s o g o (αβ)γ = α(βγ). (a, d) ∈ (αβ)γ ⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ] ⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
  18. 18. Ba˘ıntı Bile¸kesinde Birle¸me g s s ba˘ıntı bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir g s s o g o (αβ)γ = α(βγ). (a, d) ∈ (αβ)γ ⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ] ⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
  19. 19. Ba˘ıntı Bile¸kesinde Birle¸me g s s ba˘ıntı bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir g s s o g o (αβ)γ = α(βγ). (a, d) ∈ (αβ)γ ⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ] ⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
  20. 20. Ba˘ıntı Bile¸kesinde Birle¸me g s s ba˘ıntı bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir g s s o g o (αβ)γ = α(βγ). (a, d) ∈ (αβ)γ ⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ] ⇔ (a, d) ∈ α(βγ)
  21. 21. Ba˘ıntı Bile¸kesi Teoremleri g s α, δ ⊆ A × B, ve β, γ ⊆ B × C olsun α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ α(β ∩ γ) ⊆ αβ ∩ αγ (α ∪ δ)β = αβ ∪ δβ (α ∩ δ)β ⊆ αβ ∩ δβ (α ⊆ δ ∧ β ⊆ γ) ⇒ αβ ⊆ δγ
  22. 22. Ba˘ıntı Bile¸kesi Teoremleri g s α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ. (a, c) ∈ α(β ∪ γ) ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)] ⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β) ∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)] ⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ ⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
  23. 23. Ba˘ıntı Bile¸kesi Teoremleri g s α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ. (a, c) ∈ α(β ∪ γ) ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)] ⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β) ∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)] ⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ ⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
  24. 24. Ba˘ıntı Bile¸kesi Teoremleri g s α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ. (a, c) ∈ α(β ∪ γ) ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)] ⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β) ∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)] ⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ ⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
  25. 25. Ba˘ıntı Bile¸kesi Teoremleri g s α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ. (a, c) ∈ α(β ∪ γ) ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)] ⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β) ∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)] ⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ ⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
  26. 26. Ba˘ıntı Bile¸kesi Teoremleri g s α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ. (a, c) ∈ α(β ∪ γ) ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)] ⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β) ∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)] ⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ ⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
  27. 27. Ba˘ıntı Bile¸kesi Teoremleri g s α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ. (a, c) ∈ α(β ∪ γ) ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)] ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)] ⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β) ∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)] ⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ ⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ
  28. 28. Evrik Ba˘ıntı g Tanım α−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ α} T Mα−1 = Mα
  29. 29. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α−1 )−1 = α (α ∪ β)−1 = α−1 ∪ β −1 (α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β −1 α−1 = α−1 (α − β)−1 = α−1 − β −1 α ⊂ β ⇒ α−1 ⊂ β −1
  30. 30. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g α−1 = α−1 . (b, a) ∈ α−1 ⇔ (a, b) ∈ α ⇔ (a, b) ∈ α / ⇔ (b, a) ∈ α−1 / ⇔ (b, a) ∈ α−1
  31. 31. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g α−1 = α−1 . (b, a) ∈ α−1 ⇔ (a, b) ∈ α ⇔ (a, b) ∈ α / ⇔ (b, a) ∈ α−1 / ⇔ (b, a) ∈ α−1
  32. 32. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g α−1 = α−1 . (b, a) ∈ α−1 ⇔ (a, b) ∈ α ⇔ (a, b) ∈ α / ⇔ (b, a) ∈ α−1 / ⇔ (b, a) ∈ α−1
  33. 33. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g α−1 = α−1 . (b, a) ∈ α−1 ⇔ (a, b) ∈ α ⇔ (a, b) ∈ α / ⇔ (b, a) ∈ α−1 / ⇔ (b, a) ∈ α−1
  34. 34. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g α−1 = α−1 . (b, a) ∈ α−1 ⇔ (a, b) ∈ α ⇔ (a, b) ∈ α / ⇔ (b, a) ∈ α−1 / ⇔ (b, a) ∈ α−1
  35. 35. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β −1 . (b, a) ∈ (α ∩ β)−1 ⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β) ⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β −1 ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β −1
  36. 36. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β −1 . (b, a) ∈ (α ∩ β)−1 ⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β) ⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β −1 ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β −1
  37. 37. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β −1 . (b, a) ∈ (α ∩ β)−1 ⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β) ⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β −1 ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β −1
  38. 38. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β −1 . (b, a) ∈ (α ∩ β)−1 ⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β) ⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β −1 ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β −1
  39. 39. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β −1 . (b, a) ∈ (α ∩ β)−1 ⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β) ⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β −1 ⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β −1
  40. 40. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α − β)−1 = α−1 − β −1 . (α − β)−1 = (α ∩ β)−1 −1 = α−1 ∩ β = α−1 ∩ β −1 = α−1 − β −1
  41. 41. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α − β)−1 = α−1 − β −1 . (α − β)−1 = (α ∩ β)−1 −1 = α−1 ∩ β = α−1 ∩ β −1 = α−1 − β −1
  42. 42. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α − β)−1 = α−1 − β −1 . (α − β)−1 = (α ∩ β)−1 −1 = α−1 ∩ β = α−1 ∩ β −1 = α−1 − β −1
  43. 43. Evrik Ba˘ıntı Teoremleri g (α − β)−1 = α−1 − β −1 . (α − β)−1 = (α ∩ β)−1 −1 = α−1 ∩ β = α−1 ∩ β −1 = α−1 − β −1
  44. 44. Bile¸ke Evri˘i s g Teorem (αβ)−1 = β −1 α−1 Tanıt. (c, a) ∈ (αβ)−1 ⇔ (a, c) ∈ αβ ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β −1 ] ⇔ (c, a) ∈ β −1 α−1
  45. 45. Bile¸ke Evri˘i s g Teorem (αβ)−1 = β −1 α−1 Tanıt. (c, a) ∈ (αβ)−1 ⇔ (a, c) ∈ αβ ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β −1 ] ⇔ (c, a) ∈ β −1 α−1
  46. 46. Bile¸ke Evri˘i s g Teorem (αβ)−1 = β −1 α−1 Tanıt. (c, a) ∈ (αβ)−1 ⇔ (a, c) ∈ αβ ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β −1 ] ⇔ (c, a) ∈ β −1 α−1
  47. 47. Bile¸ke Evri˘i s g Teorem (αβ)−1 = β −1 α−1 Tanıt. (c, a) ∈ (αβ)−1 ⇔ (a, c) ∈ αβ ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β −1 ] ⇔ (c, a) ∈ β −1 α−1
  48. 48. Bile¸ke Evri˘i s g Teorem (αβ)−1 = β −1 α−1 Tanıt. (c, a) ∈ (αβ)−1 ⇔ (a, c) ∈ αβ ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β −1 ] ⇔ (c, a) ∈ β −1 α−1
  49. 49. Bile¸ke Evri˘i s g Teorem (αβ)−1 = β −1 α−1 Tanıt. (c, a) ∈ (αβ)−1 ⇔ (a, c) ∈ αβ ⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β −1 ] ⇔ (c, a) ∈ β −1 α−1
  50. 50. Konular 1 Ba˘ıntılar g Giri¸ s Ba˘ıntı Nitelikleri g E¸de˘erlilik s g 2 Fonksiyonlar Giri¸ s G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Rek¨rsiyon u
  51. 51. Ba˘ıntı Nitelikleri g α⊆A×A A k¨mesinde ikili ba˘ıntı u g αn ifadesi αα · · · α anlamına gelsin birim ba˘ıntı: E = {(x, x) | x ∈ A} g
  52. 52. Ba˘ıntı Nitelikleri g α⊆A×A A k¨mesinde ikili ba˘ıntı u g αn ifadesi αα · · · α anlamına gelsin birim ba˘ıntı: E = {(x, x) | x ∈ A} g
  53. 53. Ba˘ıntı Nitelikleri g α⊆A×A A k¨mesinde ikili ba˘ıntı u g αn ifadesi αα · · · α anlamına gelsin birim ba˘ıntı: E = {(x, x) | x ∈ A} g
  54. 54. Yansıma yansımalı α⊆A×A ∀a [aαa] E ⊆α yansımasız: ∃a [¬(aαa)] ters yansımalı: ∀a [¬(aαa)]
  55. 55. Yansıma yansımalı α⊆A×A ∀a [aαa] E ⊆α yansımasız: ∃a [¬(aαa)] ters yansımalı: ∀a [¬(aαa)]
  56. 56. Yansıma yansımalı α⊆A×A ∀a [aαa] E ⊆α yansımasız: ∃a [¬(aαa)] ters yansımalı: ∀a [¬(aαa)]
  57. 57. Yansıma yansımalı α⊆A×A ∀a [aαa] E ⊆α yansımasız: ∃a [¬(aαa)] ters yansımalı: ∀a [¬(aαa)]
  58. 58. ¨Yansıma Ornekleri ¨ Ornek ¨ Ornek R1 ⊆ {1, 2} × {1, 2} R2 ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} R1 yansımalıdır R2 yansımasızdır
  59. 59. ¨Yansıma Ornekleri ¨ Ornek ¨ Ornek R1 ⊆ {1, 2} × {1, 2} R2 ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} R1 yansımalıdır R2 yansımasızdır
  60. 60. ¨Yansıma Ornekleri ¨ Ornek R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} R ters yansımalıdır
  61. 61. ¨Yansıma Ornekleri ¨ Ornek R⊆Z×Z R = {(a, b) | ab ≥ 0} R yansımalıdır
  62. 62. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  63. 63. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  64. 64. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  65. 65. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  66. 66. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  67. 67. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  68. 68. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  69. 69. Bakı¸lılık s bakı¸lı s α⊆A×A ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))] ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)] α−1 = α bakı¸sız: s ∃a, b [(a = b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))] ters bakı¸lı: s ∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))] ⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)] ⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)] ⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]
  70. 70. ¨Bakı¸lılık Ornekleri s ¨ Ornek R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} R bakı¸sızdır s
  71. 71. ¨Bakı¸lılık Ornekleri s ¨ Ornek R⊆Z×Z R = {(a, b) | ab ≥ 0} R bakı¸lıdır s
  72. 72. ¨Bakı¸lılık Ornekleri s ¨ Ornek R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} R = {(1, 1), (2, 2)} R bakı¸lı ve ters bakı¸lıdır s s
  73. 73. Ge¸i¸lilik cs ge¸i¸li cs α⊆A×A ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)] α2 ⊆ α ge¸i¸siz: cs ∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)] ters ge¸i¸li: cs ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
  74. 74. Ge¸i¸lilik cs ge¸i¸li cs α⊆A×A ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)] α2 ⊆ α ge¸i¸siz: cs ∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)] ters ge¸i¸li: cs ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
  75. 75. Ge¸i¸lilik cs ge¸i¸li cs α⊆A×A ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)] α2 ⊆ α ge¸i¸siz: cs ∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)] ters ge¸i¸li: cs ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
  76. 76. Ge¸i¸lilik cs ge¸i¸li cs α⊆A×A ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)] α2 ⊆ α ge¸i¸siz: cs ∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)] ters ge¸i¸li: cs ∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]
  77. 77. ¨Ge¸i¸lilik Ornekleri cs ¨ Ornek R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3} R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} R ters ge¸i¸lidir cs
  78. 78. ¨Ge¸i¸lilik Ornekleri cs ¨ Ornek R⊆Z×Z R = {(a, b) | ab ≥ 0} R ge¸i¸sizdir cs
  79. 79. Evrik Ba˘ıntı Nitelikleri g Teorem Yansıma, bakı¸lılık ve ge¸i¸lilik nitelikleri evrik ba˘ıntıda korunur. s cs g
  80. 80. ¨ uOrt¨ler yansımalı ¨rt¨: o u rα = α ∪ E bakı¸lı ¨rt¨: s o u sα = α ∪ α−1 ge¸i¸li ¨rt¨: cs o u tα = i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·
  81. 81. ¨ uOrt¨ler yansımalı ¨rt¨: o u rα = α ∪ E bakı¸lı ¨rt¨: s o u sα = α ∪ α−1 ge¸i¸li ¨rt¨: cs o u tα = i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·
  82. 82. ¨ uOrt¨ler yansımalı ¨rt¨: o u rα = α ∪ E bakı¸lı ¨rt¨: s o u sα = α ∪ α−1 ge¸i¸li ¨rt¨: cs o u tα = i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·
  83. 83. ¨Ozel Ba˘ıntılar g o ¨nce gelen - sonra gelen R⊆Z×Z R = {(a, b) | a − b = 1} ters yansımalı ters bakı¸lı s ters ge¸i¸li cs
  84. 84. ¨Ozel Ba˘ıntılar g biti¸iklik s R⊆Z×Z R = {(a, b) | |a − b| = 1} ters yansımalı bakı¸lı s ters ge¸i¸li cs
  85. 85. ¨Ozel Ba˘ıntılar g dar sıra R⊆Z×Z R = {(a, b) | a < b} ters yansımalı ters bakı¸lı s ge¸i¸li cs
  86. 86. ¨Ozel Ba˘ıntılar g kısmi sıra R⊆Z×Z R = {(a, b) | a ≤ b} yansımalı ters bakı¸lı s ge¸i¸li cs
  87. 87. ¨Ozel Ba˘ıntılar g o ¨nsıra R⊆Z×Z R = {(a, b) | |a| ≤ |b|} yansımalı bakı¸sız s ge¸i¸li cs
  88. 88. ¨Ozel Ba˘ıntılar g sınırlı fark R ⊆ Z × Z, m ∈ Z+ R = {(a, b) | |a − b| ≤ m} yansımalı bakı¸lı s ge¸i¸siz cs
  89. 89. ¨Ozel Ba˘ıntılar g kar¸ıla¸tırılabilirlik s s R⊆U×U R = {(a, b) | (a ⊆ b) ∨ (b ⊆ a)} yansımalı bakı¸lı s ge¸i¸siz cs
  90. 90. ¨Ozel Ba˘ıntılar g karde¸lik s ters yansımalı bakı¸lı s ge¸i¸li cs bir ba˘ıntı nasıl bakı¸lı, ge¸i¸li ve yansımasız olabilir? g s cs
  91. 91. ¨Ozel Ba˘ıntılar g karde¸lik s ters yansımalı bakı¸lı s ge¸i¸li cs bir ba˘ıntı nasıl bakı¸lı, ge¸i¸li ve yansımasız olabilir? g s cs
  92. 92. Konular 1 Ba˘ıntılar g Giri¸ s Ba˘ıntı Nitelikleri g E¸de˘erlilik s g 2 Fonksiyonlar Giri¸ s G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Rek¨rsiyon u
  93. 93. Uyu¸ma Ba˘ıntıları s g Tanım uyu¸ma ba˘ıntısı: γ s g yansımalı bakı¸lı s c ¸izerek g¨sterilimde oklar yerine ¸izgiler o c matris g¨sterilimi merdiven ¸eklinde o s αα−1 bir uyu¸ma ba˘ıntısıdır s g
  94. 94. Uyu¸ma Ba˘ıntıları s g Tanım uyu¸ma ba˘ıntısı: γ s g yansımalı bakı¸lı s c ¸izerek g¨sterilimde oklar yerine ¸izgiler o c matris g¨sterilimi merdiven ¸eklinde o s αα−1 bir uyu¸ma ba˘ıntısıdır s g
  95. 95. Uyu¸ma Ba˘ıntıları s g Tanım uyu¸ma ba˘ıntısı: γ s g yansımalı bakı¸lı s c ¸izerek g¨sterilimde oklar yerine ¸izgiler o c matris g¨sterilimi merdiven ¸eklinde o s αα−1 bir uyu¸ma ba˘ıntısıdır s g
  96. 96. s g ¨ gUyu¸ma Ba˘ıntısı Orne˘i ¨ Ornek A = {a1 , a2 , a3 , a4 } 1 1 0 0 R = {(a1 , a1 ), (a2 , a2 ), 1 1 0 1 0 0 1 1 (a3 , a3 ), (a4 , a4 ), 0 1 1 1 (a1 , a2 ), (a2 , a1 ), (a2 , a4 ), (a4 , a2 ), 1 (a3 , a4 ), (a4 , a3 )} 0 0 0 1 1
  97. 97. s g ¨ gUyu¸ma Ba˘ıntısı Orne˘i ¨ Ornek A = {a1 , a2 , a3 , a4 } 1 1 0 0 R = {(a1 , a1 ), (a2 , a2 ), 1 1 0 1 0 0 1 1 (a3 , a3 ), (a4 , a4 ), 0 1 1 1 (a1 , a2 ), (a2 , a1 ), (a2 , a4 ), (a4 , a2 ), 1 (a3 , a4 ), (a4 , a3 )} 0 0 0 1 1
  98. 98. s g ¨ gUyu¸ma Ba˘ıntısı Orne˘i Ornek (αα−1 ) ¨ P: ki¸iler, L: diller s P = {p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 } L = {l1 , l2 , l3 , l4 , l5 } α⊆P ×L 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 Mα = Mα−1 = 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0
  99. 99. s g ¨ gUyu¸ma Ba˘ıntısı Orne˘i Ornek (αα−1 ) ¨ P: ki¸iler, L: diller s P = {p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 } L = {l1 , l2 , l3 , l4 , l5 } α⊆P ×L 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 Mα = Mα−1 = 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0
  100. 100. s g ¨ gUyu¸ma Ba˘ıntısı Orne˘i Ornek (αα−1 ) ¨ αα−1 ⊆ P × P 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 Mαα−1 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
  101. 101. Uyu¸anlar Sınıfı s Tanım uyu¸anlar sınıfı: C ⊆ A s ∀a, b [a ∈ C ∧ b ∈ C → aγb] en ust uyu¸anlar sınıfı: ¨ s ba¸ka bir uyu¸anlar sınıfının altk¨mesi de˘il s s u g ¨ bir eleman birden fazla EUS’ye girebilir eksiksiz ¨rt¨: Cγ o u u ¨ t¨m EUS’lerin olu¸turdu˘u k¨me s g u
  102. 102. Uyu¸anlar Sınıfı s Tanım uyu¸anlar sınıfı: C ⊆ A s ∀a, b [a ∈ C ∧ b ∈ C → aγb] en ust uyu¸anlar sınıfı: ¨ s ba¸ka bir uyu¸anlar sınıfının altk¨mesi de˘il s s u g ¨ bir eleman birden fazla EUS’ye girebilir eksiksiz ¨rt¨: Cγ o u u ¨ t¨m EUS’lerin olu¸turdu˘u k¨me s g u
  103. 103. Uyu¸anlar Sınıfı s Tanım uyu¸anlar sınıfı: C ⊆ A s ∀a, b [a ∈ C ∧ b ∈ C → aγb] en ust uyu¸anlar sınıfı: ¨ s ba¸ka bir uyu¸anlar sınıfının altk¨mesi de˘il s s u g ¨ bir eleman birden fazla EUS’ye girebilir eksiksiz ¨rt¨: Cγ o u u ¨ t¨m EUS’lerin olu¸turdu˘u k¨me s g u
  104. 104. ¨ gUyu¸anlar Sınıfı Orne˘i s Ornek (αα−1 ) ¨ C1 = {a4 , a6 } C2 = {a2 , a4 , a6 } ¨ C3 = {a1 , a2 , a4 , a6 } (EUS) Cγ (A) = {{a1 , a2 , a4 , a6 }, {a3 , a4 , a6 }, {a4 , a5 }}
  105. 105. ¨ gUyu¸anlar Sınıfı Orne˘i s Ornek (αα−1 ) ¨ C1 = {a4 , a6 } C2 = {a2 , a4 , a6 } ¨ C3 = {a1 , a2 , a4 , a6 } (EUS) Cγ (A) = {{a1 , a2 , a4 , a6 }, {a3 , a4 , a6 }, {a4 , a5 }}
  106. 106. ¨ gUyu¸anlar Sınıfı Orne˘i s Ornek (αα−1 ) ¨ C1 = {a4 , a6 } C2 = {a2 , a4 , a6 } ¨ C3 = {a1 , a2 , a4 , a6 } (EUS) Cγ (A) = {{a1 , a2 , a4 , a6 }, {a3 , a4 , a6 }, {a4 , a5 }}
  107. 107. E¸de˘erlilik Ba˘ıntıları s g g Tanım e¸de˘erlilik ba˘ıntısı: s g g yansımalı bakı¸lı s ge¸i¸li cs e¸de˘erlilik sınıfları (b¨lmelemeler) s g o her eleman tek bir e¸de˘erlilik sınıfına girer s g eksiksiz ¨rt¨: C o u
  108. 108. E¸de˘erlilik Ba˘ıntıları s g g Tanım e¸de˘erlilik ba˘ıntısı: s g g yansımalı bakı¸lı s ge¸i¸li cs e¸de˘erlilik sınıfları (b¨lmelemeler) s g o her eleman tek bir e¸de˘erlilik sınıfına girer s g eksiksiz ¨rt¨: C o u
  109. 109. s g g ¨ gE¸de˘erlilik Ba˘ıntısı Orne˘i ¨ Ornek R⊆Z×Z R = {(a, b) | ∃m ∈ Z [a − b = 5m]} R ba˘ıntısı Z k¨mesini 5 e¸de˘erlilik sınıfına b¨lmeler g u s g o
  110. 110. Kaynaklar Okunacak: Grimaldi Chapter 5: Relations and Functions 5.1. Cartesian Products and Relations Chapter 7: Relations: The Second Time Around 7.1. Relations Revisited: Properties of Relations 7.4. Equivalence Relations and Partitions Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page Chapter 10: Relations
  111. 111. Konular 1 Ba˘ıntılar g Giri¸ s Ba˘ıntı Nitelikleri g E¸de˘erlilik s g 2 Fonksiyonlar Giri¸ s G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Rek¨rsiyon u
  112. 112. Fonksiyonlar Tanım fonksiyon: f : X → Y ∀x ∈ X ∀y1 , y2 ∈ Y (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 X : tanım k¨mesi, Y : de˘er k¨mesi u g u y = f (x) ile (x, y ) ∈ f aynı y , x’in f altındaki g¨r¨nt¨s¨ ou uu f : X → Y ve X1 ⊆ X olsun altk¨me g¨r¨nt¨s¨: f (X1 ) = {f (x) | x ∈ X1 } u ou uu
  113. 113. Fonksiyonlar Tanım fonksiyon: f : X → Y ∀x ∈ X ∀y1 , y2 ∈ Y (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 X : tanım k¨mesi, Y : de˘er k¨mesi u g u y = f (x) ile (x, y ) ∈ f aynı y , x’in f altındaki g¨r¨nt¨s¨ ou uu f : X → Y ve X1 ⊆ X olsun altk¨me g¨r¨nt¨s¨: f (X1 ) = {f (x) | x ∈ X1 } u ou uu
  114. 114. Fonksiyonlar Tanım fonksiyon: f : X → Y ∀x ∈ X ∀y1 , y2 ∈ Y (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 X : tanım k¨mesi, Y : de˘er k¨mesi u g u y = f (x) ile (x, y ) ∈ f aynı y , x’in f altındaki g¨r¨nt¨s¨ ou uu f : X → Y ve X1 ⊆ X olsun altk¨me g¨r¨nt¨s¨: f (X1 ) = {f (x) | x ∈ X1 } u ou uu
  115. 115. ou uu ¨Altk¨me G¨r¨nt¨s¨ Ornekleri u ¨ Ornek f :R→R f (x) = x 2 f (Z) = {0, 1, 4, 9, 16, . . . } f ({−2, 1}) = {1, 4}
  116. 116. ou uu ¨Altk¨me G¨r¨nt¨s¨ Ornekleri u ¨ Ornek f :R→R f (x) = x 2 f (Z) = {0, 1, 4, 9, 16, . . . } f ({−2, 1}) = {1, 4}
  117. 117. Fonksiyon Nitelikleri Tanım f : X → Y fonksiyonu birebir (ya da injektif): ∀x1 , x2 ∈ X f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Tanım f : X → Y fonksiyonu ¨rten (ya da s¨rjektif): o u ∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y f (X ) = Y Tanım f : X → Y fonksiyonu bijektif: f fonksiyonu birebir ve ¨rten o
  118. 118. Fonksiyon Nitelikleri Tanım f : X → Y fonksiyonu birebir (ya da injektif): ∀x1 , x2 ∈ X f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Tanım f : X → Y fonksiyonu ¨rten (ya da s¨rjektif): o u ∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y f (X ) = Y Tanım f : X → Y fonksiyonu bijektif: f fonksiyonu birebir ve ¨rten o
  119. 119. Fonksiyon Nitelikleri Tanım f : X → Y fonksiyonu birebir (ya da injektif): ∀x1 , x2 ∈ X f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 Tanım f : X → Y fonksiyonu ¨rten (ya da s¨rjektif): o u ∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y f (X ) = Y Tanım f : X → Y fonksiyonu bijektif: f fonksiyonu birebir ve ¨rten o
  120. 120. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  121. 121. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  122. 122. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  123. 123. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  124. 124. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  125. 125. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  126. 126. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  127. 127. ¨Birebir Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornek f :R→R g :Z→Z f (x) = 3x + 7 g (x) = x 4 − x f (x1 ) = f (x2 ) g (0) = 04 − 0 = 0 ⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7 g (1) = 14 − 1 = 0 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
  128. 128. ¨ ¨Orten Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornekf :R→R f :Z→Zf (x) = x 3 f (x) = 3x + 1
  129. 129. ¨ ¨Orten Fonksiyon Ornekleri¨Ornek s ¨ Kar¸ı Ornekf :R→R f :Z→Zf (x) = x 3 f (x) = 3x + 1
  130. 130. Fonksiyon Bile¸kesi s Tanım f : X → Y , g : Y → Z olsun g ◦f :X →Z (g ◦ f )(x) = g (f (x)) fonksiyon bile¸kesi de˘i¸me ¨zelli˘i g¨stermez s gs o g o fonksiyon bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir: s s o g o f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g ) ◦ h
  131. 131. Fonksiyon Bile¸kesi s Tanım f : X → Y , g : Y → Z olsun g ◦f :X →Z (g ◦ f )(x) = g (f (x)) fonksiyon bile¸kesi de˘i¸me ¨zelli˘i g¨stermez s gs o g o fonksiyon bile¸kesi birle¸me ¨zelli˘i g¨sterir: s s o g o f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g ) ◦ h
  132. 132. ¨Fonksiyon Bile¸kesi Ornekleri s ¨ Ornek (de˘i¸me ¨zelli˘i) gs o g f :R→R f (x) = x 2 g :R→R g (x) = x + 5 g ◦f :R→R (g ◦ f )(x) = x 2 + 5 f ◦g :R→R (f ◦ g )(x) = (x + 5)2
  133. 133. ¨Fonksiyon Bile¸kesi Ornekleri s ¨ Ornek (de˘i¸me ¨zelli˘i) gs o g f :R→R f (x) = x 2 g :R→R g (x) = x + 5 g ◦f :R→R (g ◦ f )(x) = x 2 + 5 f ◦g :R→R (f ◦ g )(x) = (x + 5)2
  134. 134. ¨Fonksiyon Bile¸kesi Ornekleri s ¨ Ornek (de˘i¸me ¨zelli˘i) gs o g f :R→R f (x) = x 2 g :R→R g (x) = x + 5 g ◦f :R→R (g ◦ f )(x) = x 2 + 5 f ◦g :R→R (f ◦ g )(x) = (x + 5)2
  135. 135. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir Tanıt. (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ⇒ g (f (a1 )) = g (f (a2 )) ⇒ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2
  136. 136. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir Tanıt. (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ⇒ g (f (a1 )) = g (f (a2 )) ⇒ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2
  137. 137. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir Tanıt. (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ⇒ g (f (a1 )) = g (f (a2 )) ⇒ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2
  138. 138. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir Tanıt. (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ⇒ g (f (a1 )) = g (f (a2 )) ⇒ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2
  139. 139. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir Tanıt. (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ⇒ g (f (a1 )) = g (f (a2 )) ⇒ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2
  140. 140. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f orten ∧ g ¨rten ⇒ g ◦ f ¨rten ¨ o o Tanıt. ∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g (y ) = z ∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y ⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g (f (x)) = z
  141. 141. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f orten ∧ g ¨rten ⇒ g ◦ f ¨rten ¨ o o Tanıt. ∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g (y ) = z ∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y ⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g (f (x)) = z
  142. 142. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f orten ∧ g ¨rten ⇒ g ◦ f ¨rten ¨ o o Tanıt. ∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g (y ) = z ∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y ⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g (f (x)) = z
  143. 143. Fonksiyon Bile¸kesi Teoremleri s Teorem f : X → Y , g : Y → Z olsun f orten ∧ g ¨rten ⇒ g ◦ f ¨rten ¨ o o Tanıt. ∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g (y ) = z ∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y ⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g (f (x)) = z
  144. 144. Birim Fonksiyon Tanım birim fonksiyon: 1X 1X : X → X 1X (x) = x
  145. 145. Evrik Fonksiyon Tanım f : X → Y fonksiyonu evrilebilir: ∃f −1 : Y → X [f −1 ◦ f = 1X ∧ f ◦ f −1 = 1Y ] f −1 : f fonksiyonunun evri˘i g
  146. 146. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  147. 147. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  148. 148. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  149. 149. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  150. 150. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  151. 151. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  152. 152. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  153. 153. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  154. 154. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  155. 155. ¨Evrik Fonksiyon Ornekleri ¨ Ornek f :R→R f (x) = 2x + 5 f −1 : R → R f −1 (x) = x−5 2 (2x+5)−5 (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 5) = 2 = 2x 2 =x (f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = f ( x−5 ) = 2 x−5 + 5 = (x − 5) + 5 = x 2 2
  156. 156. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  157. 157. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  158. 158. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  159. 159. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  160. 160. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  161. 161. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  162. 162. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  163. 163. Fonksiyon Evri˘i g Teorem Bir fonksiyon evrilebilirse evri˘i tektir. g Tanıt. f : X → Y olsun g , h : Y → X olsun, ¨yle ki: o g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g ) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g
  164. 164. Evrilebilir Fonksiyon Teorem Bir fonksiyon yalnız ve ancak birebir ve ¨rten ise evrilebilir. o
  165. 165. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  166. 166. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  167. 167. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  168. 168. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  169. 169. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  170. 170. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  171. 171. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  172. 172. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  173. 173. Evrilebilir Fonksiyon Evrilebilir ise birebirdir. Evrilebilir ise ¨rtendir. o f :A→B f :A→B f (a1 ) = f (a2 ) b −1 −1 ⇒ f (f (a1 )) = f (f (a2 )) = 1B (b) −1 −1 ⇒ (f ◦ f )(a1 ) = (f ◦ f )(a2 ) = (f ◦ f −1 )(b) ⇒ 1A (a1 ) = 1A (a2 ) = f (f −1 (b)) ⇒ a1 = a2
  174. 174. Evrilebilir Fonksiyon Birebir ve ¨rten ise evrilebilirdir. o f :A→B f ¨rten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b o g : B → A fonksiyonu a = g (b) ile belirlensin g (b) = a1 = a2 = g (b) olabilir mi? f (a1 ) = b = f (a2 ) olması gerekir olamaz: f birebir
  175. 175. Evrilebilir Fonksiyon Birebir ve ¨rten ise evrilebilirdir. o f :A→B f ¨rten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b o g : B → A fonksiyonu a = g (b) ile belirlensin g (b) = a1 = a2 = g (b) olabilir mi? f (a1 ) = b = f (a2 ) olması gerekir olamaz: f birebir
  176. 176. Evrilebilir Fonksiyon Birebir ve ¨rten ise evrilebilirdir. o f :A→B f ¨rten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b o g : B → A fonksiyonu a = g (b) ile belirlensin g (b) = a1 = a2 = g (b) olabilir mi? f (a1 ) = b = f (a2 ) olması gerekir olamaz: f birebir
  177. 177. Konular 1 Ba˘ıntılar g Giri¸ s Ba˘ıntı Nitelikleri g E¸de˘erlilik s g 2 Fonksiyonlar Giri¸ s G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Rek¨rsiyon u
  178. 178. G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Tanım g ˙ G¨vercin Deli˘i Ilkesi (Dirichlet kutuları): u m adet g¨vercin n adet deli˘e yerle¸irse ve m > n ise, u g s en az bir delikte birden fazla g¨vercin vardır. u f : X → Y olsun: |X | > |Y | ise f birebir bir fonksiyon olamaz ∃x1 , x2 ∈ X [x1 = x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 )]
  179. 179. G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Tanım g ˙ G¨vercin Deli˘i Ilkesi (Dirichlet kutuları): u m adet g¨vercin n adet deli˘e yerle¸irse ve m > n ise, u g s en az bir delikte birden fazla g¨vercin vardır. u f : X → Y olsun: |X | > |Y | ise f birebir bir fonksiyon olamaz ∃x1 , x2 ∈ X [x1 = x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 )]
  180. 180. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g Ilkesi Ornekleri ¨ Ornek 367 ki¸inin arasında en az ikisinin do˘um g¨n¨ aynıdır. s g u u 0 ile 100 arasında tamsayı notlar alınan bir sınavda, en az iki ¨˘rencinin aynı notu almasının kesin olması i¸in og c sınava ka¸ ¨˘renci girmi¸ olmalıdır? c og s
  181. 181. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g Ilkesi Ornekleri ¨ Ornek 367 ki¸inin arasında en az ikisinin do˘um g¨n¨ aynıdır. s g u u 0 ile 100 arasında tamsayı notlar alınan bir sınavda, en az iki ¨˘rencinin aynı notu almasının kesin olması i¸in og c sınava ka¸ ¨˘renci girmi¸ olmalıdır? c og s
  182. 182. Genelle¸tirilmi¸ G¨vercin Deli˘i ˙ s s u g Ilkesi Tanım s s u g ˙ Genelle¸tirilmi¸ G¨vercin Deli˘i Ilkesi: m adet nesne n adet kutuya da˘ıtılırsa, g en az bir kutuda en az m/n adet nesne olur. ¨ Ornek 100 ki¸inin arasında en az 9 ki¸i ( 100/12 ) aynı ayda do˘mu¸tur. s s g s
  183. 183. Genelle¸tirilmi¸ G¨vercin Deli˘i ˙ s s u g Ilkesi Tanım s s u g ˙ Genelle¸tirilmi¸ G¨vercin Deli˘i Ilkesi: m adet nesne n adet kutuya da˘ıtılırsa, g en az bir kutuda en az m/n adet nesne olur. ¨ Ornek 100 ki¸inin arasında en az 9 ki¸i ( 100/12 ) aynı ayda do˘mu¸tur. s s g s
  184. 184. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S = {1,2,3,. . . ,9} k¨mesinin 6 elemanlı herhangi bir altk¨mesinde u u toplamı 10 olan iki sayı vardır.
  185. 185. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S k¨mesi en b¨y¨˘u 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılar u u ug¨ k¨mesi olsun. S’nin bo¸ olmayan altk¨melerinin eleman u s u toplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.Tanıt Denemesi Tanıt.A⊆S |A| ≤ 5 olan altk¨melere bakalım. usA : A’nın elemanlarının toplamı delik: delik: 1 ≤ sA ≤ 10 + · · · + 14 = 60 1 ≤ sA ≤ 9 + · · · + 14 = 69 g¨vercin: 26 − 2 = 62 u g¨vercin: 26 − 1 = 63 u
  186. 186. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S k¨mesi en b¨y¨˘u 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılar u u ug¨ k¨mesi olsun. S’nin bo¸ olmayan altk¨melerinin eleman u s u toplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.Tanıt Denemesi Tanıt.A⊆S |A| ≤ 5 olan altk¨melere bakalım. usA : A’nın elemanlarının toplamı delik: delik: 1 ≤ sA ≤ 10 + · · · + 14 = 60 1 ≤ sA ≤ 9 + · · · + 14 = 69 g¨vercin: 26 − 2 = 62 u g¨vercin: 26 − 1 = 63 u
  187. 187. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S k¨mesi en b¨y¨˘u 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılar u u ug¨ k¨mesi olsun. S’nin bo¸ olmayan altk¨melerinin eleman u s u toplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.Tanıt Denemesi Tanıt.A⊆S |A| ≤ 5 olan altk¨melere bakalım. usA : A’nın elemanlarının toplamı delik: delik: 1 ≤ sA ≤ 10 + · · · + 14 = 60 1 ≤ sA ≤ 9 + · · · + 14 = 69 g¨vercin: 26 − 2 = 62 u g¨vercin: 26 − 1 = 63 u
  188. 188. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S k¨mesi en b¨y¨˘u 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılar u u ug¨ k¨mesi olsun. S’nin bo¸ olmayan altk¨melerinin eleman u s u toplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.Tanıt Denemesi Tanıt.A⊆S |A| ≤ 5 olan altk¨melere bakalım. usA : A’nın elemanlarının toplamı delik: delik: 1 ≤ sA ≤ 10 + · · · + 14 = 60 1 ≤ sA ≤ 9 + · · · + 14 = 69 g¨vercin: 26 − 2 = 62 u g¨vercin: 26 − 1 = 63 u
  189. 189. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S k¨mesi en b¨y¨˘u 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılar u u ug¨ k¨mesi olsun. S’nin bo¸ olmayan altk¨melerinin eleman u s u toplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.Tanıt Denemesi Tanıt.A⊆S |A| ≤ 5 olan altk¨melere bakalım. usA : A’nın elemanlarının toplamı delik: delik: 1 ≤ sA ≤ 10 + · · · + 14 = 60 1 ≤ sA ≤ 9 + · · · + 14 = 69 g¨vercin: 26 − 2 = 62 u g¨vercin: 26 − 1 = 63 u
  190. 190. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S = {1, 2, 3, . . . , 200} k¨mesinden se¸ilecek 101 elemanın i¸inde u c c en az bir ¸ift vardır ki, ¸iftin bir elemanı di˘erini b¨ler. c c g o Tanıt Y¨ntemi o ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]] oldu˘u g¨sterilecek g o bu teorem kullanılarak asıl teorem tanıtlanacak
  191. 191. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S = {1, 2, 3, . . . , 200} k¨mesinden se¸ilecek 101 elemanın i¸inde u c c en az bir ¸ift vardır ki, ¸iftin bir elemanı di˘erini b¨ler. c c g o Tanıt Y¨ntemi o ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]] oldu˘u g¨sterilecek g o bu teorem kullanılarak asıl teorem tanıtlanacak
  192. 192. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  193. 193. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  194. 194. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  195. 195. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  196. 196. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  197. 197. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  198. 198. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  199. 199. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  200. 200. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  201. 201. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  202. 202. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  203. 203. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem ∀n ∃!p [n = 2r p ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]Varlık Tanıtı. Teklik Tanıtı.n = 1: r = 0, p = 1 tek de˘ilse: gn ≤ k: n = 2r p varsayalımn = k + 1: n = 2r1 p1 = 2r2 p2 n=2: r = 1, p = 1 r1 −r2 p ⇒ 2 1 = p2 n asal (n > 2) : r = 0, p = n ⇒ 2|p2 ¬(n asal) : n = n1 n2 n = 2r1 p1 · 2r2 p2 n = 2r1 +r2 · p1 p2
  204. 204. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S = {1, 2, 3, . . . , 200} k¨mesinden se¸ilecek 101 elemanın i¸inde u c c en az bir ¸ift vardır ki ¸iftin bir elemanı di˘erini b¨ler. c c g o Tanıt. T = {t | t ∈ S, ∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100 let f : S → T , r ∈ N s = 2r t → f (s) = t S’den 101 eleman se¸ilirse en az ikisinin c T ’deki g¨r¨nt¨s¨ aynı olur: f (s1 ) = f (s2 ) ⇒ 2m1 t = 2m2 t ou uu s1 2m1 t = m2 = 2m1 −m2 s2 2 t
  205. 205. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S = {1, 2, 3, . . . , 200} k¨mesinden se¸ilecek 101 elemanın i¸inde u c c en az bir ¸ift vardır ki ¸iftin bir elemanı di˘erini b¨ler. c c g o Tanıt. T = {t | t ∈ S, ∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100 let f : S → T , r ∈ N s = 2r t → f (s) = t S’den 101 eleman se¸ilirse en az ikisinin c T ’deki g¨r¨nt¨s¨ aynı olur: f (s1 ) = f (s2 ) ⇒ 2m1 t = 2m2 t ou uu s1 2m1 t = m2 = 2m1 −m2 s2 2 t
  206. 206. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S = {1, 2, 3, . . . , 200} k¨mesinden se¸ilecek 101 elemanın i¸inde u c c en az bir ¸ift vardır ki ¸iftin bir elemanı di˘erini b¨ler. c c g o Tanıt. T = {t | t ∈ S, ∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100 let f : S → T , r ∈ N s = 2r t → f (s) = t S’den 101 eleman se¸ilirse en az ikisinin c T ’deki g¨r¨nt¨s¨ aynı olur: f (s1 ) = f (s2 ) ⇒ 2m1 t = 2m2 t ou uu s1 2m1 t = m2 = 2m1 −m2 s2 2 t
  207. 207. G¨vercin Deli˘i ˙ u ¨ g g Ilkesi Orne˘i Teorem S = {1, 2, 3, . . . , 200} k¨mesinden se¸ilecek 101 elemanın i¸inde u c c en az bir ¸ift vardır ki ¸iftin bir elemanı di˘erini b¨ler. c c g o Tanıt. T = {t | t ∈ S, ∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100 let f : S → T , r ∈ N s = 2r t → f (s) = t S’den 101 eleman se¸ilirse en az ikisinin c T ’deki g¨r¨nt¨s¨ aynı olur: f (s1 ) = f (s2 ) ⇒ 2m1 t = 2m2 t ou uu s1 2m1 t = m2 = 2m1 −m2 s2 2 t
  208. 208. Konular 1 Ba˘ıntılar g Giri¸ s Ba˘ıntı Nitelikleri g E¸de˘erlilik s g 2 Fonksiyonlar Giri¸ s G¨vercin Deli˘i ˙ u g Ilkesi Rek¨rsiyon u
  209. 209. Rek¨rsif Fonksiyonlar u Tanım rek¨rsif fonksiyon: kendisi cinsinden tanımlanan fonksiyon u f (n) = h(f (m)) t¨mevarımla tanımlanan fonksiyon: her adımda boyutu u k¨¸ulen uc¨ rek¨rsif bir fonksiyon u k n=0 f (n) = h(f (n − 1)) n > 0
  210. 210. ¨Rek¨rsiyon Orneklerii u ¨ Ornek n − 10 n > 100 f 91(n) = f 91(f 91(n + 11)) n ≤ 100 ¨ Ornek (fakt¨ryel) o 1 n=0 f (n) = n · f (n − 1) n > 0
  211. 211. ¨Rek¨rsiyon Orneklerii u ¨ Ornek n − 10 n > 100 f 91(n) = f 91(f 91(n + 11)) n ≤ 100 ¨ Ornek (fakt¨ryel) o 1 n=0 f (n) = n · f (n − 1) n > 0
  212. 212. Euclid Algoritması ¨ Ornek (ortak b¨lenlerin en b¨y¨˘u) o u ug¨ b b|a obeb(a, b) = obeb(b, a mod b) b a obeb(333, 84) = obeb(84, 333 mod 84) = obeb(84, 81) = obeb(81, 84 mod 81) = obeb(81, 3) = 3

×