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Hott_1

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  1. 1. Homotopy Type Theory (1) ! 門脇 香子
  2. 2. The HoTT Book • 500ページくらいある(多い) • 大きく2部に分かれていて,用途によってどちら かだけ読むのでもいいよとも書いてある • http://homotopytypetheory.org/book/
  3. 3. HoTTとは • 主に2つの側面がある:
 
 (1) univalent foundation (数学の新しい基礎) としての HoTT
 (2) 形式化されたホモトピー論としての HoTT • (1) は Martin-lof type theory などに何らかの extentionality principle を追加しようという試み
 ̶ ホモトピー論に限らず -groupoid をベースにしていろいろしよ うとしている • (2) は型理論を homotopy theory の視点から形式化しようという試 み
 ̶ Agda や Coq で homotopy theory が書けるかも
  4. 4. なぜAgdaでホモトピー論が出来るのか? • weak -groupoid を使うことによる定式化
 空間も型も weak -groupoid である • ホモトピー論の概念を weak -groupoid に(が んばって)移植する
  5. 5. Type theory • 言わずと知れた型理論 • object は型によって分類される • 型が weak -groupoid であることは証明でき る • このテキストでは informal な型理論を勉強する
  6. 6. homotopy theory • 位相幾何学における概念の一 つ • 「連続的変形」の数学的表現 • 点や線や面,それらの間の連 続写像が連続的に移り合うこ とを定式化したもの • 一般的には,連続的に変形す る連続写像の族によって定式 化される A B
  7. 7. homotopy type theory • 型を集合論的に対応づけるのではなくホモトピー論的に対応づける
 
 例)a : A • 集合論では ( a A )
 a は set A の element である • 型理論では
 a は A という型をもつ値である ! • HoTT では
 a is a point of the space A
  8. 8. homotopy type theory • ホモトピー論ではあるが位相や連続性等の幾何学的な概念は使わない
 ̶ 開集合や被覆等は定義しない • 型を groupoid と解釈して考える
 ̶ groupoid : 型Tに対するobjectの集まりがTで,x,y : T に関する射の集 まりを型 x = y で考える
 ̶ 反射律,推移律,対称律がそれぞれ成立する • 型 T に対して,x,y : T について x=y が groupoid であるとき, p,q : x=y に関して,p=qもgroupoidである
 ̶ この連鎖を無限に続けたものが -groupoid • 現在は(Agdaやcoqにおいては) -groupoid を扱うのは難しすぎるので Kan complex が代用されている
  9. 9. Univalent foundations •型理論では universe U があるとき,すべての型 は A : U のようになる •IdU(型同士の同値性を表す型,例 : A=B)はどのよ うな(小さな)型にも存在する. •このときpath p : A ↝ B は何を表しているのだろ うか?
  10. 10. Univalent foundations •AからBへのUにおける小さな型に関する恒等写像を IdU(A,B),AからBへの同値なpathの集まりを Equiv(A,B) とすると,どの恒等写像も同値であること から
       IdU(A,B) → Equiv(A,B)
 という写像が存在する •これを公理として一般化すると
        (A = B) (A B) • 恒等性は同値性と同値
  11. 11. Univalent foundations •同値であることの表現は
 
 
 
 と表される

  12. 12. Higher Inductive Types(HIT) • 帰納的に型を定義する
 ̶ 例) A+B という型は A → A+B , B → A+B から導出できる • HoTT でも帰納的に spaces を定義する
 ̶ higher path などの概念も出てくる.
   これらの spaces を CW complexes という • 帰納的に定義された spaces は型理論における帰納的な推論規 則と対応づけられる • Agda では HIT を直接定義することはできないので,公理を自 分で入れなければならない
  13. 13. Sets in univalent foundations • univalent foundation としての集合 • 型の階層を集合として振る舞うように定義する ことが出来る
 ̶ 圏論的な集合をLawvereの公理を満たすよう に作る • このように univalent foundation は様々な数学 的概念のベースとすることが出来る
  14. 14. 型 論理 集合 ホモトピー A 命題 集合 space a : A 証明 要素 point B(x) 前提 集合族 fibration b(x) : B(x) 条件付きの証明 要素の族 section 0,1 ,⊤ , { } , ∗ A + B A B 直和 coproduct A B A B ペアの集合 product space A → B A B 関数の集合 stssyuugou function space Σ(x:A)B(x) x:AB(x) disjoint sum total space Π(x:A)B(x) (x:A)B(x) 直積 space of sections IdA equality = { (x, x) ¦ x A } space of path A
  15. 15. 型 論理 集合 ホモトピー A 命題 集合 space a : A 証明 要素 point B(x) 前提 集合族 fibration b(x) : B(x) 条件付きの証明 要素の族 section 0,1 ,⊤ , { } , ∗ A + B A B 直和 coproduct A B A B ペアの集合 product space A → B A B 関数の集合 stssyuugou function space Σ(x:A)B(x) x:AB(x) disjoint sum total space Π(x:A)B(x) (x:A)B(x) 直積 space of sections IdA equality = { (x, x) ¦ x A } space of path A

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