DHow2 - L2

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DHow2 - L2

  1. 1. Il problema della rappresentazione dei numeri DRESD H ow T o (DHow2) – L2 DRESD Team [email_address]
  2. 2. La rappresentazione dei numeri <ul><li>Vi sono diversi metodi per la rappresentazione dei numeri </li></ul><ul><li>La stessa operazione aritmetica, a seconda del metodo adottato, viene quindi eseguita con: </li></ul><ul><ul><li>algoritmi diversi </li></ul></ul><ul><ul><li>circuiti diversi </li></ul></ul><ul><li>Nello specifico, vedremo: </li></ul><ul><ul><li>numeri interi positivi, in particolare : </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>le rappresentazioni posizionali pesate con pesi pari alla potenza di una base (RPPPB) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>rappresentazione mediante residui (RR) </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>numeri interi dotati di segno, in particolare i casi di: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>modulo e segno </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>complemento a 1 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>complemento a 2 </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>codici ridondanti </li></ul></ul>
  3. 3. RPPPB <ul><li>Dati: </li></ul><ul><ul><li>b : base </li></ul></ul><ul><ul><li>a i : cifra compresa tra 0 e b-1. </li></ul></ul><ul><li>La rappresentazione della formula precedente è una rappresentazione: </li></ul><ul><ul><li>posizionale </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>il contributo di una cifra a i dipende dalla sua posizione “i” </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>pesata </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>ogni cifra viene moltiplicata per un peso b i </li></ul></ul></ul><ul><li>Il peso e' legato alla posizione della cifra in quanto e' potenza della base e l'esponente e' la posizione: il peso è b i . </li></ul><ul><li>Ogni cifra puo' assumere un valore da 0 a b-1 </li></ul><ul><ul><li>nel caso decimale ( b =10), 0≤ a i ≤9; nel caso binario a i puo' assumumere i valori zero ed uno. </li></ul></ul>
  4. 4. RPPPB: un esempio <ul><li>Rappresentazione dei numeri: binaria </li></ul><ul><li>Un numero binario è costituito da un vettore di bit </li></ul><ul><li>A = a n-1 …a 1 a 0 a i = {0, 1} </li></ul><ul><li>Il valore della base b è pari a 2 </li></ul><ul><li>Il valore di A e’ dato da: </li></ul><ul><li>V(A) = a n-1  2 n-1 + … + a 1  2 1 + a 0  2 0 </li></ul><ul><li>Un vettore di n bit consente di rappresentare i numeri naturali nell’intervallo da 0 a 2 n -1. </li></ul>- -
  5. 5. Rappresentazione mediante residui <ul><li>Una rappresentazione posizionale ma non pesata e' quella basata sui residui </li></ul><ul><li>Dato un numero intero A ed una base, anche essa intera, b , si definisce residuo R(A) b del numero A rispetto alla base b il resto della della divisione di A per b : </li></ul><ul><li>A=Qb+ R(A) b </li></ul><ul><li>Si consideri ora un insieme [b 1 , b 2 , ..., b n ] di &quot;n&quot; basi rappresentate da n numeri primi si calcoli il residuo di un numero A rispetto a ciascuna di dette basi: </li></ul><ul><li>A={R(A) b 1 , R(A) b 2 ,…R(A) b n } </li></ul><ul><li>questo insieme di residui rappresenta biunivocamente un numero intero nell'intervallo 0≤A≤b 1 b 2 ..b n-1 . </li></ul>
  6. 6. La rappresentazione dei numeri <ul><li>Modulo e segno </li></ul><ul><ul><li>Rappresentazione con n bit: il bit di segno è 1 per i numeri negativi e 0 per i positivi </li></ul></ul><ul><ul><li>Campo rappresentabile -2 n-1 -1  N  +2 n-1 -1 </li></ul></ul><ul><ul><li>La rappresentazione dello zero è ridondante: +0 e -0 hanno rappresentazioni diverse, rispettivamente +0=0000; -0=1000 </li></ul></ul><ul><li>Complemento a 1 </li></ul><ul><ul><li>Rappresentazione con n bit: i numeri negativi sono ottenuti invertendo bit a bit il corrispondente numero positivo </li></ul></ul><ul><ul><li>Campo rappresentabile -2 n-1 -1  N  +2 n-1 -1 </li></ul></ul><ul><ul><li>La rappresentazione del numero 0 è ridondante: 00000=+0; 11111=-0 </li></ul></ul><ul><li>Complemento a 2 </li></ul><ul><ul><li>Rappresentazione con n bit: i numeri negativi sono ottenuti invertendo bit a bit il numero positivo corrispondente, quindi sommando il valore 1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Campo rappresentabile -2 n-1  N  +2 n-1 -1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Rappresentazione unica dello 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>consente di realizzare circuiti di addizione e sottrazione più semplici </li></ul></ul><ul><ul><li>E’ quella utilizzata nei dispositivi digitali per rappresentare numeri relativi </li></ul></ul>- -
  7. 7. Numeri interi dotati di segno - esempi - -
  8. 8. Rappresentazione ridondante <ul><li>Dati: </li></ul><ul><ul><li>b : base </li></ul></ul><ul><ul><li>a i : la cifra esce dal limite: 0 ≤ a i ≤ b-1. </li></ul></ul><ul><li>Quindi... </li></ul><ul><ul><li>Dato un insieme di bit a 1 , a 2 , ..., a n , esiste un solo numero A da essi rappresentato </li></ul></ul><ul><ul><li>Dato un numero A possono esistere più insieme di bit a 1 , a 2 , ..., a n , che lo rappresentano </li></ul></ul><ul><li>Esempio: </li></ul><ul><ul><li>b: 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>a i : -1, 0, +1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Rappresentare il numero intero positivo 3: 011; 10-1 </li></ul></ul>
  9. 9. Rappresentazione ridondante: Signed Digit <ul><li>Dati: </li></ul><ul><ul><li>b (base) = 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>a i (cifra): -1, 0, +1 cifra esce dal limite: 0 ≤ a i ≤ b-1. </li></ul></ul><ul><li>Il segno non è legato all’intero numero ma a ciascuna delle sue cifre </li></ul><ul><li>Si consideri l’esempio con n=3, b=2, a i ={ -1, 0, +1} </li></ul>
  10. 10. Questions

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