Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
1 
MATEMATIKA TEKNIK KIMIA I 
Oleh 
Ir. Drs. Faisal RM., MSIE., Ph.D 
Program Studi Teknik Kimia 
Fakultas Teknologi Indus...
KKOONNTTRRAAKK KKUULLIIAAHH 
1. Tidak boleh nitip tanda tangan kehadiran kuliah, 
jika ditemukan buat curang nitip tanda t...
SILABUS 
1. Pendahuluan 
2. Fungsi Beta, Gama, deret, suku 
sisa, Variabel Teknik Kimia 
Kompleks 
3. Teori Residu, Vektor...
LITERATUR 
1. Mickley, Sherwood and Reed. 1975.” Applied 
Mathematics in Chemical Engineering”, McGraw- 
Hill, New York US...
NNOORRMMAA PPEENNIILLAAIIAANN 
NA = 10%xNPR+20%xNKuis+35%xNUTS+35%xNUAS 
Nilai Pekerjaan 
rumah 
Nilai Ujian 
Akhir 
Semes...
PPEERRIINNGGKKAATT NNIILLAAII 
1. A (4.00) 8. C+ (2.25) 
2. A- (3.75) 9. C (2.00) 
3. A/B (3.50) 10. C- (1.75) 
4. B+ (3.2...
NILAI DAN RENTANG ANGKA 
No Nila 
i 
Angka No Nilai Angka 
1. A 90 - 100 8 C+ 55 - 59 
2. A- 85 - 89 9 C 50 - 54 
3. A/B 8...
PERINGKAT KELULUSAN 
NO IPK PREDIKET 
KELULUSA 
N 
3.50 < IPK £ 4.00 
1. Kumlaud 
2. Sangat 
memuaskan 
2.75 < IPK £ 3.50 ...
PENDAHULUAN 
1. DASAR : Fisika, Kimia, Matematika dan Kimia Fisika 
2. Dalam Matematika Teknik Kimia diharapkan Mahasiswa ...
PENDAHULUAN 
5. Cara Penyelesaian : - Analitik - Numeris 
6. Asumsi diperlukan dalam penyusunan masalah Teknik Kimia 
ke d...
PENDAHULUAN 
8. NERACA MASSA: 
1) Tanpa reaksi Kimia: 
é 
- úû 
êë 
ù 
é 
êë 
Massa Flow 
Out of System 
Mass Flow 
into S...
PENDAHULUAN 
9. NERACA PANAS (Energi) 
Untuk System Terbuka: 
é 
ù 
é 
+ 
ù 
Flow of Internal 
é 
- + 
ù 
é 
Work done by ...
PENDAHULUAN 
11. EQUATION OF STATE 
 Berhubungan dengan berbagai sifat fisika/kimia bahan: density, entalphy 
 Entalphy ...
1. Neraca Massa 
Neraca Massa adalah hal yang paling mendasar dalam Chemical Engineering Tools, 
kita belajar pertama kali...
3. Keseimbangan 
Keseimbangan adalah salah satu Anugerah Tuhan di Dunia, ada siang ada malam, 
ada baik pasti ada buruk, a...
5. Ekonomi 
Dalam urusan kehidupan dunia, kita sepenuhnya harus memperhatikan aspek 
ekonomi, khusus dalam bidang teknik k...
PPEENNDDAAHHUULLUUAANN 
Studi Kasus 2 
Untuk menaikan suhu m kg suatu zat cair dengan kalor 
jenisnya c J.Kg-1.K dari T1 m...
PENDAHULUAN 
rate of input – rate of output = rate of accumulation 
dQ – 0 = m . c . dT 
dQ = m . c . dT 
2 
ò = ò 
dQ mc ...
PENDAHULUAN 
Studi Kasus 3 
Jika 75 g air yang suhunya 200C dicampur dengan 50 g air yang suhunya 
1000C. Berapa suhu camp...
PENDAHULUAN 
Studi Kasus 4 
Jika isi tangki berbentuk selinder adalah V. Tentukan model 
matematik untuk menentukan dimens...
PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABAR 
Contoh Soal 
Ekstraksi Asam Benzoat (AB) dalam Toluen menggunakan pelarut air 
Berapa propor...
PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABAR 
Ekstraksi Asam Benzoat 2 Tahap 
R, C R, X1 R, X2 
Tahap 1 Tahap 2 
S, Y1 S, Y2 S, 0 
Simbol ...
FUNGSI GAMMA DAN BETA 
¥ 
( ) 2 , Jika ( ) 2 1 2 2 b 
ò ò 
erf x e b d erf x e b d 
= - = - = 
p 
b 
0 0 
p 
x 
Bentuk Umu...
FUNGSI GAMMA 
¥ 
ò ò 
( ) 2 , Jika ( ) 2 1 2 2 b 
erf x e b d erf x e b d 
= - = - = 
p 
b 
0 0 
p 
x 
X 0 0.01 0.1 0.5 1....
FUNGSI GAMMA DAN BETA 
Contoh Soal Fungsi Gamma: 
1 
τ( ) = τ( + ) = .ττ ) = 
. π 
2 (7 
1 1 
1 7 
1 
7 
), maka 3 
2 
), ...
TRANSFORMASI LAPLACE 
Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n 
ditulis: 
Persamaan differensial ini ...
TRANSFORMASI LAPLACE 
Definisi Alih-ragam Laplace 
Diberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisi 
s 
untuk bilan...
TRANSFORMASI LAPLACE 
Contoh: 
Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai 
f(t) = us(t) = 1 ,...
TRANSFORMASI LAPLACE 
Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n 
ditulis: 
Persamaan differensial ini ...
PERSAMAAN DIFFERENSIAL 
DENGAN METODE SERIES 
Untuk penyelesaian PD dengan metode series akan 
diberikan dua metode yang b...
PERSAMAAN DIFFERENSIAL 
DENGAN METODE SERIES 
Beberapa kasus : 
1. a. Jika d 
adalah real dan P atau bilangan bulat maka 
...
PERSAMAAN DIFFERENSIAL 
DENGAN ME TODE SERIES 
Studi Kasus 1 
Selesaikan PD di bawah ini: 
x d y x a b dy 
b b 
Penyelesai...
PERSAMAAN DIFFERENSIAL 
DENGAN ME TODE SERIES 
Jadi; P = 
= 
= 
æ - 2 
2 
a c 
1 1 
s 
ö çè 
- ÷ø 
0 
1 1 1 2 2 
æ - + b 
...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Bhn kuliah matematika teknik 1_ 2012

10,946 views

Published on

matematika teknik

Published in: Education
  • Sex in your area is here: ❤❤❤ http://bit.ly/39sFWPG ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating for everyone is here: ❤❤❤ http://bit.ly/39sFWPG ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • makasih
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Bhn kuliah matematika teknik 1_ 2012

  1. 1. 1 MATEMATIKA TEKNIK KIMIA I Oleh Ir. Drs. Faisal RM., MSIE., Ph.D Program Studi Teknik Kimia Fakultas Teknologi Industri Universitas Islam Indonesia 2011
  2. 2. KKOONNTTRRAAKK KKUULLIIAAHH 1. Tidak boleh nitip tanda tangan kehadiran kuliah, jika ditemukan buat curang nitip tanda tangan, maka yang menitip dan dititip, maka nilai ujian akhir semester diberi nilai E. 2. Tidak boleh buat curang dalam mngerjakan KUIS, UTS dan UAS, seperti nyontek catatan kuliah ketika ujian bersifat tutup buku atau nyontek lembaran jawaban teman atau kerjasama. Jika ditemukan kejadian seperti itu oleh pengawas dan tercatat dalam berita acara ujian, maka nilai ujiannya yang bersangkutan diberi nilai E. 3. Berpakaian rapi, sopan, dan bersepatu, tidak boleh pakai sandal dan kaos oblong tanpa krah. 4. Mahasiswi berpakaian busana muslimah, tidak ketat dan tidak menampakkan kontur tubuh.
  3. 3. SILABUS 1. Pendahuluan 2. Fungsi Beta, Gama, deret, suku sisa, Variabel Teknik Kimia Kompleks 3. Teori Residu, Vektor dan Matriks 4. Penyusunan dan Penyelesaian Analitis Persamaan Differensial Ordiner(Deret, Fungsi, Bessel dan Fungsi Legendre). 5. Penyelesaian Analitis Persamaan Differensial Parsial (Metode substitusi, Pemisahan variabel, Laplace Transform,Fourier Transform) 3
  4. 4. LITERATUR 1. Mickley, Sherwood and Reed. 1975.” Applied Mathematics in Chemical Engineering”, McGraw- Hill, New York USA 2. Rice. 1995. “Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineering, New York, John Wiley&Son. 4
  5. 5. NNOORRMMAA PPEENNIILLAAIIAANN NA = 10%xNPR+20%xNKuis+35%xNUTS+35%xNUAS Nilai Pekerjaan rumah Nilai Ujian Akhir Semester Nilai Tugas Nilai Proyek Akhir Nilai UjianTengah Semester
  6. 6. PPEERRIINNGGKKAATT NNIILLAAII 1. A (4.00) 8. C+ (2.25) 2. A- (3.75) 9. C (2.00) 3. A/B (3.50) 10. C- (1.75) 4. B+ (3.25) 11. C/D (1.50) 5. B (3.00) 12. D+ (1.25) 6. B- (2.75) 13. D (1.00) 7. B/C (2.50) 14. E (0.00)
  7. 7. NILAI DAN RENTANG ANGKA No Nila i Angka No Nilai Angka 1. A 90 - 100 8 C+ 55 - 59 2. A- 85 - 89 9 C 50 - 54 3. A/B 80 - 84 10 C- 45 - 49 4. B+ 75 - 79 11 C/D 40 - 44 5. B 70 - 74 12 D+ 35 - 39 6. B- 65 - 69 13 D 30 - 34 7. B/C 60 - 64 14 E 0 - 29
  8. 8. PERINGKAT KELULUSAN NO IPK PREDIKET KELULUSA N 3.50 < IPK £ 4.00 1. Kumlaud 2. Sangat memuaskan 2.75 < IPK £ 3.50 2.00 < IPK £ 2.75 3. IPK < 2.00 Memuaskan 4. Tidak Lulus
  9. 9. PENDAHULUAN 1. DASAR : Fisika, Kimia, Matematika dan Kimia Fisika 2. Dalam Matematika Teknik Kimia diharapkan Mahasiswa mampu:  Membaca/memahami berbagai masalah fisika/kimia  Menyusun masalah Teknik Kimia dalam bahasa matematika  Menyelesaikan masalah Teknik Kimia yang telah tersusun  Menginterpretasikan hasilnya 3. Hasil Kuantitatif Model Matematika 4. Tools/Informasi:  Hukum Konversi (neraca massa dan Panas)  Persamaan Kecepatan  Persamaan Kesetimbangan (Distribusi Kesetimbangan  Equation of State  Persamaan Gerak
  10. 10. PENDAHULUAN 5. Cara Penyelesaian : - Analitik - Numeris 6. Asumsi diperlukan dalam penyusunan masalah Teknik Kimia ke dalam bahasa matematika dan persamaan yg disusun/ diperoleh harus dapat menjelaskan pokok persoalannya, dan persamaan persamaan matematika ini merupakan model T ? T0 T = f(x) x Persamaan Matematika Merupakan model matematika (Pers. Aljabar, PD Ordiner, PD Parsial, PD Berhingga) 7. Proses yang terjadi dapat:  Ajeg (Steady State)  Tidak Ajeg (Unsteady State)
  11. 11. PENDAHULUAN 8. NERACA MASSA: 1) Tanpa reaksi Kimia: é - úû êë ù é êë Massa Flow Out of System Mass Flow into System 2) Dengan Reaksi Kimia: ù úû é = úû êë ù Change of Mass Inside System é - úû é + úû é - úû é Mass Mass Massa Flow Mass Flow 3) Neraca Massa dapat dikenakan untuk:  Neraca massa Total (komponen A + B + C)  Neraca massa Komponen (Komponen A/B/C) 9. NERACA PANAS (Energi) ù úû é = úû êë ù êë ù êë ù êë ù êë Change of Mass Inside System Consumption Generation Out of System into System ù úû é = úû êë ù é - úû êë ù é êë Rate of Energy Accumulation Rate of Energy Out of System Rate of Energy into System
  12. 12. PENDAHULUAN 9. NERACA PANAS (Energi) Untuk System Terbuka: é ù é + ù Flow of Internal é - + ù é Work done by Syst. on suroundings Heat added to Syst by : - Conduction - Convection - Radiation Kinetics Pot.En Flow of Internal Kinetics Potensial 10. PERSAMAAN KESETIMBANGAN a). Kesetimbangan kimia: aA + bB cC + dD K = (C)c (D)d /(A)a (B)b b). Kesetimbangan Uap dan Cairan Y = k x = m x c). Relative Volatility (Campuran Biner) Y = α x / (1+ (α-1)x) ù ú úû é = ê êë ù ú úû ê êë + - ú ú ú ú ú û ê ê ê ê ê ë ú úû ê êë ú úû ê êë + Rate of Change Internal,kinetics,Pot.Energy Inside System (Shaft Work Pv Work - Reaction Out of System into System
  13. 13. PENDAHULUAN 11. EQUATION OF STATE  Berhubungan dengan berbagai sifat fisika/kimia bahan: density, entalphy  Entalphy Cairan h = Cp. T  Entalphy Gas/Uap H = Cp. T + λ W  ρv , ρg = f(T)  Cp = f(T) = a + bT + cT2  P.V = n.R.T; n/V = P/R.T; ρ = M.P/R.T 12. PERSAMAAN KECEPATAN  Untuk Massa Hukum Fick NA = - D. dCA / dx  Untuk Panas Hukum Fourier q = - dT/dx  Untuk Momentum Hukum Newton 13.Kinematika Kimia t = -m.dV / dx Kecepatan Reaksi: aA +b B cC Kecepatan Rekasi kC C ( ) / E RT bB aA G = k f T , a dan b konstante, k : konstante kecepatan reaksi = = a -
  14. 14. 1. Neraca Massa Neraca Massa adalah hal yang paling mendasar dalam Chemical Engineering Tools, kita belajar pertama kali di pelajaran ATK, secara sederhana dapat dikatakan bahwa massa total yang memasuki suatu sistem akan sama dengan massa keluarnya meskipun jenis senyawanya berbeda beda, sistem di sini adalah alat ataupun overall pabrik. Neraca massa juga dapat didetailkan menjadi neraca unsur bahwa apabila ada senyawa terdiri dari unsur2 misal C,H,O maka massa unsur C masuk = massa unsur C keluar, begitu pula dengan unsur H dan O. 2. Neraca Panas Neraca panas mempelajari tentang energi, kita banyak belajar pada pelajaran heat transfer dan thermodinamika. pada prinsipnya : total energy masuk + energy dibangkitkan -total energy keluar-energy berubah bentuk =akumulasi energy. Energy dapat dibangkitkan dari senyawa kimia seperti pembakaran ataupun reaksi kimia yang lain. Energy dalam suatu sistem dapat dideteksi lewat suhu sistem, Energy boleh saja berubah bentuk dari panas ke gerak, dari listrik ke panas, tetapi hasil akhirnya akan tetap sama jumlahnya.
  15. 15. 3. Keseimbangan Keseimbangan adalah salah satu Anugerah Tuhan di Dunia, ada siang ada malam, ada baik pasti ada buruk, ada nikmat pasti ada sedih......Keseimbangan di bidang teknik kimia mengacu kepada titik yang sifatnya seakan akan statis, padahal tidak statis ! kesimbangan adalah apabila kecepatan transfer massa/panas dari kedua sistem memiliki kecepatan yang sama, jumlah kedua sistem yang seimbang tidak harus sama...Keseimabnagn dapat berupa keseimbangan reaksi, keseimbangan fasa, dan lain lain. 4. Rate Process Rate Process ( Proses transfer) adalah pedoman untuk mempelajari dan menganalisa proses kecepatan dalam perpindahan massa maupun perpindahan panas. Kita sudah belajar di pelajaran Proses Transfer dan sejujurnya inilah yang paling sulit dipelajari di Teknik Kimia. Dalam tugas Prarancangan Pabrik Kimia ini tidak akan terlalu banyak digunakan, mungkin dalam tataran pendidikan selanjutnya akan banyak dipelajari.
  16. 16. 5. Ekonomi Dalam urusan kehidupan dunia, kita sepenuhnya harus memperhatikan aspek ekonomi, khusus dalam bidang teknik kima apapun yang kita rancang, kita produksi harus selalu memperhitungkan aspek ekonomi. Teknik kimia adalah ilmu yang sifatnya open minded atau ilmu yang untuk menyelesaikan satu masalah dapat dilakukan dengan berbagai cara, tinggal dioptimasi mana yang paling mudah dan menguntungkan secara ekonomi.Untuk apa kita susah2 merancang kalau jelas jelas kita tahu akan rugi 6. Humanitas Humanitas mengharuskan kita sebagai orang teknik kimia harus selalu mempertimbangkan lingkungan dan aspek sosial dalam menjalankan profesi kita, harus bertanggungjawab terhadap resiko2 sosial dan lingkungan terhadap apapun yang kita berbuat. Kalau ada sarjana teknik kimia yang dijadwal ronda saja ga mau...ya bukan sarjana teknik kimia
  17. 17. PPEENNDDAAHHUULLUUAANN Studi Kasus 2 Untuk menaikan suhu m kg suatu zat cair dengan kalor jenisnya c J.Kg-1.K dari T1 menjadi T2. Bagaimana model perubahan kalornya?. Jawabannya Hukum kekekalan enerji rate of input – rate of output = rate of accumulation 17 Accumulation m, c, T pemanasa n
  18. 18. PENDAHULUAN rate of input – rate of output = rate of accumulation dQ – 0 = m . c . dT dQ = m . c . dT 2 ò = ò dQ mc dT 1 . . T T . . ] . .( ) 2 1 Q = m c T 2 = m c T - TT T 1 18 Jika m = 0.5 Kg dan c = 400 J.Kg-1. K t1 = 280 C t2 = 400 C. T1 = 273 + 28 = 3010 K; T2 = 273 + 40 =3130K Maka Q = m. c (T2 – T1) = 0.5 x 400 x ( 313 - 301)= 2400 J
  19. 19. PENDAHULUAN Studi Kasus 3 Jika 75 g air yang suhunya 200C dicampur dengan 50 g air yang suhunya 1000C. Berapa suhu campurannya?. 19 m1 , c , dT m2 , c , dT Jawabannya rate of input – rate of output = rate of accumulation dQ - = dQ 1 2 m . c . dT - 0 = m . c . dT 1 2 ò ò m c dT m c dT a - = . . 0 . . 1 2 m c T - T = m c T - T . .( ) . .( ) a a 1 1 2 2 T - = T 75.1.( 293) 50.1.(373- ) a a T K t C a a T T 0 0 T T 325 atau 52 0 2 1 a = =
  20. 20. PENDAHULUAN Studi Kasus 4 Jika isi tangki berbentuk selinder adalah V. Tentukan model matematik untuk menentukan dimensi tangki minimal?. Jawabannya 20 h r h V 2.p .r
  21. 21. PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABAR Contoh Soal Ekstraksi Asam Benzoat (AB) dalam Toluen menggunakan pelarut air Berapa proporsi Asam Benzoat yang bisa diambil dalam fase air Toluen R(m3/s) Toluen R (m3/s) Toluen R(m3/s) Air S (m3/s) AB C (kg/m3 ) AB X (kg/m3 ) AB C (kg/m3) AB 0 (kg/m3) Air S (m3/s) Air S (m3/s) Y (kg/m3) AB 0 (kg/m3 ) X Neraca massa Rate of Input – Rate of Output = Rate of Accumulation X R (m3/S) S(m3/s) (R.C+S.0 ) – (R.X+S.Y) = 0 y (kg/m3 ) R.C = R.X+S.Y, dimana Y= mX R.C = R.X+S.mX = X (R+S.m), maka X = (R.C)/(R+S.m) Y = (m.R.C)/(R+S.m) Proporsi AB yang dapat dipungut E = (S.Y)/(R.C)=((m.S)/(R+S.m))*100%
  22. 22. PENYUSUNAN PERSAMAAN ALJABAR Ekstraksi Asam Benzoat 2 Tahap R, C R, X1 R, X2 Tahap 1 Tahap 2 S, Y1 S, Y2 S, 0 Simbol dan asumsi sama dengan contoh diatas Persamaan kesetimbangan y1= mx1 dan y2= mx2 Neraca Massa AB Tahap 1 Tahap 2 Input AB (kg/s) R.c + S.y2 R.x1 + 0 Output AB (kg/s) R.x1+ S.y1 R.x2 +S.y2 Input - Output = Accumulation Tahap 1 (R.c + S.y2) - (R.x1+ S.y1) = 0 Tahap 2 (R.x1 + 0) - (R.x2 +S.y2 ) = 0 Tahap 1 (R.c + S.y2) = (R.y1/m+ S.y1) Tahap 2 (R.y1/m) = (R.x2 +S.mx2 ) y1 = (m.R.x2/R) + (m2.S.x2/R) y1 = (m.x2) + (m2.S.x2/R)
  23. 23. FUNGSI GAMMA DAN BETA ¥ ( ) 2 , Jika ( ) 2 1 2 2 b ò ò erf x e b d erf x e b d = - = - = p b 0 0 p x Bentuk Umum Fungsi Gamma: ¥ = ò > x t x - 1 e - tdt x t ( ) , 0 0 x x x t + = t ( 1) . ( ) n n n n t t = - - = - ( ) ( 1). ( 1) ( 1)! Bentuk Umum Fungsi Beta : = ò - > > - - x y t x t y dt x y ( , ) (1 ) , 0, 0 x y x y b t t ( , ) ( ). ( ) ( ) 1 0 1 1 x + y = t b Teorema Fungsi Gamma : Teorema Fungsi Beta :
  24. 24. FUNGSI GAMMA ¥ ò ò ( ) 2 , Jika ( ) 2 1 2 2 b erf x e b d erf x e b d = - = - = p b 0 0 p x X 0 0.01 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 Erf(x) 0 0.01128 0.11246 0.52049 0.84270 0.96610 0.99532 1 Contoh Soal : ¥ x t x t e dt x = > ( ) , 0 ¥ - - = 2 1 Jika (1 t t e dt t = u ® dt = udu misal 2 . Ini disubstitusikan menjadi 1 2 (1 u u e udu ) ( ) 2 2 ) 2 2 2 2 ò ò ò ò ò ò ¥ ¥ u - u - u ¥ - - ¥ - - ¥ - - = 1 = = = = 0 0 0 0 2 2 0 1 2 0 1 2 2 2 t (1 ) 2 p p p t t t u e udu e du e du
  25. 25. FUNGSI GAMMA DAN BETA Contoh Soal Fungsi Gamma: 1 τ( ) = τ( + ) = .ττ ) = . π 2 (7 1 1 1 7 1 7 ), maka 3 2 ), maka 7 2 t τ( ) ( )( ) t = - - t = p 3). Jika (4), maka (4) (4 1)! 3.2.1 6 ) 15 2 8 1 -3). (1 2 2 2 2 2). Jika (7 2 2 2 2 2 1). Jika (3 = - = = t t Contoh Soal Fungsi Beta : .15 2)(9 1 60 1)(9 2 96 6.2 p p p 6.5.4.3.2.1 3 .15 945 8 (9 . 6 1 (11 1 = - - (4 1)!.(3 1)! (7 1)! ). (7 2 t t (3 (3 7 t t ) (4) 2 (3 , 7 2 , 7 2 ( ) ,4), maka 3 2 b b t t 3). Jika (4,3), maka (4,3) (4). (3) (4 3) 945 32 ) 2 2 4) 2 ,4 2 2). Jika (3 1 7 4) 3)(9 2 2 2 (9 8 1 2 ) 2 2 ) 2 2 ) 2 (3 2 ), maka 3 2 1). Jika (3 = = - + = = = = + = = - - - - = = + = t p t p t b b p p p p t t b b ( )
  26. 26. TRANSFORMASI LAPLACE Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis: Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear: jika koefisien a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t). Alih Ragam Laplace Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila dibandingkan dengan metode klasik dalam menyelesaikan persamaan differensial, alih ragam Laplace memiliki keuntungan dua hal : 1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh dalam satu operasi. 2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persama-an aljabar dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi per-samaan aljabar dengan aturan aljabar sederhana untuk memepero-leh solusi dalam wawasan s. Solusi akhir diperoleh dengan melaku-kan alih ragam Laplace balik.
  27. 27. TRANSFORMASI LAPLACE Definisi Alih-ragam Laplace Diberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisi s untuk bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace didefinisikan sebagai atau F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) = [f(t)] Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah kompleks, s = s + jw.
  28. 28. TRANSFORMASI LAPLACE Contoh: Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai f(t) = us(t) = 1 , t > 0 = 0 , t < 0 Alih ragam Laplace f(t) ini diperoleh sebagai berikut Untuk memudahkan penerapan alih-ragam Laplace, dibawah ini diberikan tabel teorema alih-ragam Laplace: Tabel Teorema alih-ragam Laplace : Perkalian dengan konstanta [kf(t)] = kF(s) Penjumlahan dan beda [f1(t) + f2(t)] = F1(s)+F2(s)
  29. 29. TRANSFORMASI LAPLACE Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis: Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear: jika koefisien a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t). Alih Ragam Laplace Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila dibandingkan dengan metode klasik dalam menyelesaikan persamaan differensial, alih ragam Laplace memiliki keuntungan dua hal : 1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh dalam satu operasi. 2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persama-an aljabar dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi per-samaan aljabar dengan aturan aljabar sederhana untuk memepero-leh solusi dalam wawasan s. Solusi akhir diperoleh dengan melaku-kan alih ragam Laplace balik.
  30. 30. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN METODE SERIES Untuk penyelesaian PD dengan metode series akan diberikan dua metode yang banyak digunakan pada Teknik Kimia, yaitu Persamaan Bessel dan Laplace (banyak dipakai pada pengendalian proses/kontrol). Persamaan Bessel Persamaan umum persamaan Bessel adalah : [ 2 ] [ 2 (1 ) 2 2 ] 0 x d y x a bx r dy s P r 2 + + + c + dx - b - a - r x + b x y = 2 2 dx dx Penyelesaian umum PD Bessel ù úû é y x e C z ( !d! x ) C z ( ! d ! 1 2 - - s a bx r x = + - êë p s p s s (1 ) / 2 ( / ) a c = æ - P s ÷ø - ö çè 2 2 1 1
  31. 31. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN METODE SERIES Beberapa kasus : 1. a. Jika d adalah real dan P atau bilangan bulat maka s Zp dinyatakan dengan Jp dan Z-p dinyatakan dengan J-p b. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan Jn dan Z-p dinyatakan dengan Yn 2. a. Jika adalah imajiner dan P atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan Ip dan Z-p dinyatakan dengan I - p b. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan In dan Z-p dinyatakan dengan Kn
  32. 32. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ME TODE SERIES Studi Kasus 1 Selesaikan PD di bawah ini: x d y x a b dy b b Penyelesaian : Jika disesuaikan dengan PD Bessel : a.1 - 2β = a + 2bxr jadi ; b = 0 a = 1 - 2β b. jadi ; c = 0 d = β2 s = β [ 2 ] 2 2 0 2 2 2 + - + x y = dx dx b 2 x2b = [c + dx2s - b(1- a - r)xP + b2 x2r ]
  33. 33. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ME TODE SERIES Jadi; P = = = æ - 2 2 a c 1 1 s ö çè - ÷ø 0 1 1 1 2 2 æ - + b ö çè b 2 1 2 = 1 b = 1 - ÷ø b b b b d Karena 1 = bilangan real dan P adalah bilangan bulat, maka 2 = = b s

×