GEOMETRÍA Y ARTE

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  • GEOMETRÍA Y ARTE

    1. 1. Geometría y Arte El nacimiento de la Geometría Proyectiva
    2. 2. Pintura medieval
    3. 5. El renacimiento <ul><li>La necesidad de representar el espacio tridimensional sobre el plano da lugar a la aparición de la perspectiva en el Renacimiento </li></ul><ul><li>Precursores: </li></ul><ul><ul><li>Fra-Angelico (1378-1455) </li></ul></ul><ul><ul><li>F. Brunelleschi (1377-1446) </li></ul></ul><ul><ul><li>T. Masaccio (1401-1422) </li></ul></ul><ul><ul><li>L.B. Alberti (1404-1472) </li></ul></ul>
    4. 6. Masaccio (1401-1422)
    5. 7. Leon Battista Alberti (1404-1472) <ul><li>Arquitecto, escritor y pintor </li></ul><ul><li>Escribe el primer tratado que describe la perspectiva: </li></ul><ul><li>“ Della Pintura”: “La circunscripción son aquellas líneas que circunscriben el ámbito de los contornos en pintura. .... Un velo de hilo tenuísimo dividido con gruesos hilos en porciones cuadradas paralelas y distendido en un telar. Lo situo entre el objeto a pintar y el ojo ...” </li></ul>
    6. 8. Cuadrícula
    7. 9. Piero de la Francesca (1420-1492) <ul><li>Matemático, además de artista, autor de “Tratatto d’abaco” que incluye materiales de aritmética y álgebra. </li></ul><ul><li>Su obra “Libro corto sobre los cinco sólidos regulares” es utilizado ampliamente por Luca Pacioli en su tratado “Divina proportione” (con ilustraciones de Leonardo). </li></ul><ul><li>Su obra principal en este contexto es “Sobre la perspectiva para la pintura” (3 vols. ~1460). En ella se concentra en los principios matemáticos de la perspectiva. </li></ul><ul><li>Establece numerosos teoremas geométricos, al estilo de Euclides, pero proporciona ejemplos numéricos. </li></ul>
    8. 11. Leonardo da Vinci <ul><li>Ayuda al matemático Luca Pacioli en su libro “La divina proporción”. </li></ul><ul><li>Autor de “Tratatto della pintura” </li></ul><ul><li>“ La perspectiva es el freno y timón de la pintura. La pintura se basa en la perspectiva, que no es otra cosa que un conocimiento perfecto de la función del ojo” </li></ul><ul><li>“ Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo” </li></ul><ul><li>“ No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar alguna de las ciencias matemáticas” </li></ul>
    9. 12. Leonardo da Vinci <ul><li>Domina por completo la perspectiva. Experto en otras formas de transmitir profundidad como el “sfumatto” y el “claroscuro”. </li></ul><ul><li>Sus obras más conocidas son La Gioconda y </li></ul><ul><li>La Santa Cena </li></ul><ul><li>Arquitecto, científico, ingeniero, inventor, …. Destacan sus estudios de anatomía, hidraulica, aerodinámica, geología, meteorología,… </li></ul>
    10. 13. La Santa Cena (restaurada)
    11. 14. La Santa Cena (perspectiva)
    12. 15. Alberto Durero (1471-1528) <ul><li>Reflexiona y escribe sobre las técnicas de la perspectiva que había adquirido en Italia. </li></ul><ul><li>Describe minuciosamente diferentes técnicas de realización de la perspectiva. </li></ul><ul><li>Son famosas sus “máquinas perspectivas” descritas y representadas en sus grabados con detalle. </li></ul>
    13. 16. Durero grabados
    14. 17. 1) Velo o ventana
    15. 18. 2) Perspectímetro de 3 hilos
    16. 19. 3) Perspectímetro de Keser
    17. 20. 4) Red
    18. 21. Perspectiva, s. XVIII <ul><li>Taylor y Lambert (s. XVIII) escribieron los trabajos definitivos sobre la perspectiva. </li></ul><ul><li>Taylor. Prescinde de la perpendicularidad mediante 4 planos: base, cuadro, horizonte (paralelo a la base) y director (paralelo al cuadro). </li></ul>
    19. 22. Límites de la perspectiva <ul><li>Teorema (Pohlke): Dados 3 segmentos en el plano, no colineales de longitus dada que se cortan en un punto, entonces existen 3 segmentos en el espacio, de igual longitud y perpendiculares dos a dos de manera que los 3 primeros son una proyección de los segundos. </li></ul>
    20. 23. Anamorfismos <ul><li>Figuras “deformadas” que sólo se ven correctamente desde determinada posición. La técnica resulta de los estudios sobre la perspectiva. Hay estudios en Leonardo y cuadros que la usan, por ejemplo de Holbein. </li></ul>
    21. 24. Holbein (anamorfismos)
    22. 25. Absurdos: Hogarth
    23. 26. Absurdos: Escher
    24. 27. Los primeros Matemáticos <ul><li>Desargues (1591-1661). “Tratado sobre las secciones cónicas”. Solo comprendido por Fermat, Descartes, Mersenne y Pascal. Usa términos botánicos. </li></ul><ul><ul><li>Punto del infinito, Teorema de Desargues, razón doble, involución, cuaterna armónica, polares… </li></ul></ul><ul><li>Pascal (1623-1662). “Essay sur les coniques”. Teorema de Pascal. </li></ul><ul><li>La Hire (1640-1718). Intentó demostrar la superioridad de los métodos sintéticos en geometría. </li></ul>
    25. 28. Teorema de Desargues <ul><li>D os triángulos son perspectivos si y sólo si los lados correspondientes se cortan en puntos alineados. </li></ul>
    26. 29. Cónicas
    27. 30. Teorema de Pascal <ul><li>Papus </li></ul><ul><li>Pascal: Si un hexágono está inscrito en una cónica, los puntos de intersección de lados opuestos están alineados. </li></ul>
    28. 31. El renacer de la geometría sintética <ul><li>Los métodos sintéticos (y la geometría proyectiva) permanecen en el olvido hasta finales del XVIII. </li></ul><ul><li>Monge (1746-1818), Brianchon (1785-1864). </li></ul><ul><li>Poncelet (1788-1868). El primer campeón de la geometría sintética. “Traité sur les proprietés projectives des figures” </li></ul><ul><ul><li>Homología, principio de continuidad, polaridad. </li></ul></ul><ul><li>Gergonne (1771-1859): Principio de dualidad. </li></ul>
    29. 32. Dualidad <ul><li>Cónica dual </li></ul><ul><li>Polar de un punto y polo de una recta respecto de una cónica. </li></ul>
    30. 33. Teorema de Brianchon Si un hexágono está circunscrito a una cónica, sus diagonales son concurrentes en un punto
    31. 34. Geometría sintética <ul><li>Chasles (1793-1880). Practicante del método mixto: probaba analíticamente sus resultados, pero los presenta analíticamente. </li></ul><ul><li>Steiner (1796-1863). Apóstol de los métodos sintéticos. Generación de las cónicas a partir de homografías de haces de rectas. Se negó a usar elementos imaginarios. Polémico y extremista de los métodos didácticos. </li></ul>
    32. 35. Métodos algebraicos <ul><li>Möbius (1790-1868). Coordenadas baricéntricas. </li></ul><ul><li>Plücker (1801-1868). Coordenadas homogéneas, coordenadas de rectas, establece rigurosamente el principio de dualidad. Debido a las disputas con Steiner abandona la Geometría y se dedica a la Física. </li></ul><ul><li>Feuerbach, Bobillier, … </li></ul>
    33. 36. Madurez <ul><li>von Staudt (1798-1867). Desarrolla la Geometría proyectiva independientemente de las propiedades métricas. Usa el axioma de las paralelas, Klein (1849-1925) lo eliminaría posteriormente. </li></ul><ul><li>Laguerre (1834-1886) y Cayley (1821-1895): Cónica del absoluto, la geometría Euclídea se deduce de la proyectiva. “La geometría proyectiva es toda la geometría” (Cayley) </li></ul>
    34. 37. Madurez <ul><li>Klein (1849-1925). El concepto de grupo en geometría. “Programa de Erlangen”. Las diversas geometría (euclídea, hiperbólica, … ) se estudian como sub-geometrías de la proyectiva. </li></ul><ul><li>Pasch: primer intento de axiomatización. </li></ul><ul><li>Peano, Enriques, Whitehead: concluyen la fundamentación axiomática. </li></ul><ul><li>Veblen-Young: Primer texto con la axiomatización completa y en el que se plasman las ideas de Klein de hacer de la proyectiva el marco general de las geometrías. </li></ul>
    35. 38. Plano hiperbólico (Klein)
    36. 39. Topología del plano proyectivo
    37. 40. Topología del plano proyectivo
    38. 41. Topología del plano proyectivo
    39. 42. Superficie de Boy

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