Integral Mugagabea

2,325 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,325
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
65
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Integral Mugagabea

  1. 2. AURKIBIDEA 1. FUNTZIO BATEN JATORRIZKOA 1.1 Definizioa 1.2 Integral mugagabearen adierazpena 1.3 Propietateak 2. BEREHALAKO INTEGRALAK 2.1 Ariketak 3. INTEGRAZIO-METODOAK 3.1 Deskonposizio bidezko integrazioa 3.2 Funtzio arrazionalen integrazioa 3.3 Ordezkapen metodoa
  2. 3. FUNTZIO BATEN JATORRIZKOA <ul><li>Aurreko gaian ikasi dugu nola kalkulatzen den funtzio baten funtzio deribatua, gai honetan, berriz, funtzio deribatua jakinda jatorrizko funtzioa aurkitzen ikasiko dugu </li></ul>
  3. 4. 1.1 DEFINIZIOA <ul><li>F(X), f(x) funtzio baten jatorrizkoa da, baldin eta soilik baldin (bsb), F´(x)=f(x) berdintza egiaztatzen denean. </li></ul><ul><li>F(x) ere, f(x) funtzioaren antideribatua edo integral mugagabea deitzen da. </li></ul><ul><li>Ariketa 1.1 Frogatu F(x)=x 3 , f(x)=3x 2 funtzioaren jatorrizkoa dela </li></ul>
  4. 5. Aurreko ariketetan ikusten dugunez, funtzio batek jatorrizko izan ditzake, baina zer erlazioa dute? Erantzuna ondoko teoreman dago: SOLUZIOA SOLUZIOA ARIKETA 1.2 Frogatu F(x)=x +1 eta G(x)=x +5, f(x)=3x funtzioaren jatorrizkoak direla. 3 3 2 ARIKETA 1.3: Frogatu F(x)=x ,G(x)= x +5 eta H(x)= x -3, f(x)=4x funtzioaren jatorrizkoak direla. 4 4 4 3
  5. 6. 1.2 INTEGRAL MUGAGABEAREN ADIERAZPENA <ul><li>Demagun F(x) dela f(x)-en jatorrizkoa; orduan f(x)-en integral mugagabea deitzen diogu F(x) +K haren jatorrizko guztien multzoari, eta honela adierazten dugu: </li></ul>Ikurra : integrala irakurtzen da. f(x) funtzioari integrakizuna deitzen zaio adierazpena honela irakurtzen da: integral f(x) diferentzial x K: integrazio konstantea da. Dx:x-arekiko integratzen dela adierazi nahi du, hau da beste aldagaia agertu ez gero konstantetzat hartzen da integratzeko.
  6. 8. <ul><li>f(x) funtzio baten jatorrizkoaren eta integral mugagabearen kontzeptuak ondo bereiztu behar dugu. </li></ul><ul><li>f(x)-en integral mugagabea f(x)-en jatorrizko guztien multzoa da eta f(x)-en jatorrizko guztiak integral mugagabean sartuta daude. </li></ul><ul><li>Oharra: ez badugu “K” konstantea jartzen funtzio baten integralaren emaitzan, ez gara integral mugagabea aurkitzen ari izango, funtzio honen jatorrizko bat baizik. </li></ul><ul><li>Funtzio baten integral mugagabea, beraz, haren jatorrizko guztiak barne hartzen ditu, eta “K”ri baloreak emanez aterako ditugu. </li></ul><ul><li>Adibidea: Demagun f(x)= 3x +1 funtzioa. Aurkitu nahi dugu f(x) funtzioaren jatorrizko bat ,x=-2 puntuan anulatzen dela jakinik. Soluzioa </li></ul>
  7. 9. INTEGRAL MUGAGABEAREN PROPIETATEAK <ul><li>Bi funtzioen batuketaren (edo kenketa) integralak eta funtzio bakoitzaren integralen batuketak (edo kenketa) emaitza bera dute. </li></ul><ul><li>Konstante bat funtzio batez biderkatzetik ondorioztatutako biderkaduraren integrala eta konstantea funtzioaren integralaz biderkatzetik ondorioztatutako biderkadura bera dira. </li></ul>
  8. 10. BEREHALAKO INTEGRALEN TAULA <ul><li>Hurrengo taulan zenbait funtzio komunen integrazio arauak laburbilduta daude. Oro har, berehalako integralak esaten zaie taula horretatik eta integrazioaren linealtasun propietateetatik zuzenean ondorioztatzen direnei. </li></ul>
  9. 13. <ul><li>3.2 ORDEZKAPEN METODOA EDO ALDAGAI ALDAKETAKO METODOA </li></ul><ul><li>Integral korapilatsuak kalkulatzeko metodorik hedatuenetakoa aldagai-aldaketa edo ordezkapen-metodoa da. Teknika honen bidez, t aldagai berria sorrarazten da integrakizunean; horrela lortutako adierazpenaren integrazioa errazagoa izango da. Adibidez, ondoko integral hau: </li></ul><ul><li>t = sen x aldaketa aplikatuz gero, integrakizuna nabarmen erraztuko da. Beraz, dt = cos x dx izango da, eta orain integrala ondokoa izango da: </li></ul><ul><li>Azkenik, aldaketa deseginda, ondokoa izango da integralaren azkeneko emaitza: </li></ul>
  10. 14. <ul><li>3.3 ZATIKAKO INTEGRAZIO METODOA </li></ul><ul><li>Zatikako integrazio-metodoaren bidez funtzioen arteko biderketa baten integrala errazten da; funtzio-biderketa hori u (x) × v’ (x) motakoa da. Hona zatikako integrazioaren formula: </li></ul><ul><li>Metodo hau lagungarria da batez ere v × du integratzea u × dv integratzea baino errazagoa denean. </li></ul>
  11. 15. ARIKETAK 1.2 1.3 ITZULI
  12. 16. <ul><li>Funtzio honen integral mugagabea kalkulatuko dugu: </li></ul><ul><li>Orain F(-2)=0 baldintza betearazten badiogu, honako hau izango dugu: </li></ul><ul><li>Eskatutako jatorrizkoa hauxe da: </li></ul>ITZULI

×