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Cristian Velandia M.Sc
Límites con Simple Evaluación
Límites Polinomiales
Límites con Raíz
Autoevaluación
Límites al Infinito
TALLER – FUNCIONES
Conocerás los conceptos de límite de una
función en un punto y podrás calcularlos con
cocientes de polinomios.
TALLER – FU...
TALLER – FUNCIONES
¿ Cuándo llegará el niño a su
casa, si cada día recorre la
mitad de la distancia ?
0.5 Km.
0.25 Km.
0.1...
TALLER – FUNCIONES
Observa el deportista. Debe
tener un límite, de lo contrario
caerá a los tiburones.
Observa al Sonámbul...
TALLER – FUNCIONES
Los límites tienen diversas aplicaciones en
diferentes áreas de la ciencia. En física, cálculo,
estadís...
TALLER – FUNCIONES
Es muy importante recordar el concepto de
función, el cual trabajamos a profundidad en
módulos anterior...
TALLER – FUNCIONES
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende
(o se aproxima) a 1 es 2. De la
siguiente forma se escribe en...
TALLER – FUNCIONES
Antes de iniciar nuestro estudio,
necesitamos construir un concepto
límites con simple evaluación; esto...
TALLER – FUNCIONES
TALLER – FUNCIONES
Las siguientes tres (3) clases de límites que estudiaremos en este módulo:
Para que identifiques los lí...
TALLER – FUNCIONES
Encuentra el límite con simple evaluación.
Tienes 1 minuto para desarrollarlo:
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TALLER – FUNCIONES
Ahora desarrollemos juntos el ejercicio
planteado:
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x2
1
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TALLER – FUNCIONES
Con el fin de desarrollar este tipo de límites, debes
evaluar la función con el valor de tendencia:
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Encuentra el siguiente límite Polinomial .
Tienes 1 minuto para desarrollarlo
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TALLER – FUNCIONES
Ahora desarrollemos juntos el ejercicio plan...
TALLER – FUNCIONES
Continuando con nuestro estudio, también encontramos
límites cuya función involucra una raíz cuadrada. ...
TALLER – FUNCIONES
Encuentra el siguiente límite con Raíz.
Tienes 1 minuto para desarrollarlo

lim
x3
x 1 2
x  3
TALLER – FUNCIONES
Ahora desarrollemos juntos el ejercicio propuesto. De igual
forma evaluamos la función con el valor de ...
TALLER – FUNCIONES
Antes de continuar con este tipo de límites,
analizamos la siguiente situación:
1
1
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TALLER – FUNCIONES
Ahora continuemos con nuestro estudio de
límites que tienden al infinito. Encontremos
un límites cuyo v...
TALLER – FUNCIONES
Encuentra el siguiente límite al infinito.
Tienes 1 minuto para desarrollarlo

lim
x
4x3
12x7
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Ahora desarrollemos juntos el límite propuesto que
tienden al infinito. Encontremos un límites cuyo val...
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Limites y continuidad

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Limites y continuidad

  1. 1. Cristian Velandia M.Sc
  2. 2. Límites con Simple Evaluación Límites Polinomiales Límites con Raíz Autoevaluación Límites al Infinito TALLER – FUNCIONES
  3. 3. Conocerás los conceptos de límite de una función en un punto y podrás calcularlos con cocientes de polinomios. TALLER – FUNCIONES "Nadie puede saber el límite de sus fuerzas hasta que las pone a prueba." Aplicarás las propiedades algebráicas del cálculo de límites, los tipos principales de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Analizarás la continuidad puntual de una función a través del concepto de límite.
  4. 4. TALLER – FUNCIONES ¿ Cuándo llegará el niño a su casa, si cada día recorre la mitad de la distancia ? 0.5 Km. 0.25 Km. 0.125 Km. 0. 0625 Km. 1 Km. ! El niño se acercará cada vez más a su casa pero nunca llegará !
  5. 5. TALLER – FUNCIONES Observa el deportista. Debe tener un límite, de lo contrario caerá a los tiburones. Observa al Sonámbulo, podrá llegar a un límite de distancia o caerá a los tiburones. El concepto de límite es similar a nivel matemático; en funciones matemáticas encontramos discontinuidades o puntos que NO existen y utilizamos los límites para conocerlos y determinarlos.
  6. 6. TALLER – FUNCIONES Los límites tienen diversas aplicaciones en diferentes áreas de la ciencia. En física, cálculo, estadística, química, sociología, economía entre otros. Un ejemplo de límite aplicado en la economía, es a través de la tasa de interés efectivo para la capitalización continua. La utilidad de este concepto matemático se utiliza para conocer el valor máximo o mínimo de utilidad en el mercado financiero en cierto periodo de tiempo. En química utilizamos el concepto de límite para la aplicación de reacciones de concentración, es decir los reactivos limitantes. En ingeniería los utilizamos con el fin de conocer la resistencia y tolerancia de materiales. Actualmente se utilizan en la nanotecnología y en medicina; este último con el fin de no exceder el porcentaje químico en medicamentos y no causar efectos colaterales en el cuerpo humano.
  7. 7. TALLER – FUNCIONES Es muy importante recordar el concepto de función, el cual trabajamos a profundidad en módulos anteriores. Frecuentemente hay operaciones que no se puede calcular directamente... pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! Usemos por ejemplo: Calculemos su valor para x=1:  x2 1 x 1  x2 1 x 1  12 1 1 1  0 0 Pero 0/0 es un problema. En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco: x (x2-1)/(x-1) 0.5 1.5 0.9 1.9 0.99 1.99 0.999 1.999 0.9999 1.9999 0.99999 1.99999 Ahora tenemos una situación interesante: Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada) Pero vemos que va a ser 2 Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a este tipo de situaciones.
  8. 8. TALLER – FUNCIONES El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2. De la siguiente forma se escribe en notación matemática: Así que es una manera especial de decir que cuando te acercas más y más a 1 la respuesta se acerca más y más a 2"  lim x1 x2 1 x 1  2 1 3 4 5 6 -6 -4 -5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1 Y X Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2 Observa que cuando x tiende a 1, la función No existe Plasmando esta situación matemática en un gráfico queda así: Esta es la grafica correspondiente a Cuando la función tiende a x=1 el límite es 2. Por ambos lados 1 12    x x y 2
  9. 9. TALLER – FUNCIONES Antes de iniciar nuestro estudio, necesitamos construir un concepto límites con simple evaluación; esto se refiere a remplazar el valor de tedendencia en cada una de las variables de la función. Por ejemplo:  lim x 2 x2  3x  8 x3 1 Como x tiende a 2, remplazamos este valor en cada una de las variables de la función: lim x 2 x2  3x  8 x3 1  22  3(2)  8 (2)3 1 Ahora desarrollamos las operaciones correspondientes de la siguiente forma:  22  3(2)  8 (2)3 1  4  6  8 8 1 Ahora desarrollemos las sumas correspondientes:   4  6  8 8 1  18 9  2 Ahora desarrollemos al análisis gráfico de la función: Observa que cuando la función tiende a 2 en x, también en y tiende a 2.
  10. 10. TALLER – FUNCIONES
  11. 11. TALLER – FUNCIONES Las siguientes tres (3) clases de límites que estudiaremos en este módulo: Para que identifiques los límites polinomiales tienden a un valor finito es decir un número y su función se compone de polinomios. Por Ejemplo: Para que identifiques los límites con raíz tienden a un valor finito es decir un número y su función se compone de polinomios con raíces cuadradas. Por Ejemplo: Para que identifiques los límites al infinito tienden a un valor infinito es decir un valor muy grande, su signo es ∞ sin importar si su función se compone de polinomios o raíces cuadradas. Por Ejemplo: lim x 5x4 2x3  x2 6 x4 2x2  x 2lim x 3 x2  x  6 x2  9  lim x 0 x  2  2 x
  12. 12. TALLER – FUNCIONES Encuentra el límite con simple evaluación. Tienes 1 minuto para desarrollarlo:  lim x1 x4  3x3  8x x2 1
  13. 13. TALLER – FUNCIONES Ahora desarrollemos juntos el ejercicio planteado:  lim x1 x4  3x3  8x x2 1 Como x tiende a 1, remplazamos este valor en cada una de las variables de la función: Ahora desarrollamos las operaciones de potenciación y multiplicación correspondientes. Ahora desarrollemos al análisis gráfico de la función: Observa que cuando la función tiende a 1 en x, la función en y tiende a 6. lim x1 x4  3x3  8x x2 1   lim x1 14  3(1)3  8(1) (1)2 1 Grafica de la función: 1 83 2 34    x xxx y lim x 1 1 3  8 11  12 2  6
  14. 14. TALLER – FUNCIONES Con el fin de desarrollar este tipo de límites, debes evaluar la función con el valor de tendencia: Observa que a diferencia de los límites anteriores, obtenemos un valor indeterminado. En matemáticas 0 dividido 0 no existe. Por lo tanto debemos aplicar factorización y simplificar para hallar el límite: Ahora analisemos de forma gráfica el límite, para que claramente construyas el concepto de límite: Por último, luego de simplificar evaluamos el límite. Como x tiende a 2 tenemos:  lim x 2 (x  2)  (2  2)  4 0 0 22 42 2 4 lim 22 2        x x x Recuerda que este es el caso de factorización número 3. Diferencia de cuadrados. Si tienes dudas puedes retormar en el modulo Descomposición Facorial.  lim x 2 x2  4 x  2  (x  2)(x  2) (x  2) Una vez factorizada la funcion aplicando diferencia de cuadrados, observa que tenemos (x-2) tanto en el denominador como en el numerador. Ahora podemos simplificarlos. Grafica de la función: 2 42   x x Observa que en el gráfico hay una discontinuidad un punto en x=2. Con el análisis matemático y gráfico pudimos determinar que el límite de la función es 4. No existe, en x=2 y =4
  15. 15. TALLER – FUNCIONES Encuentra el siguiente límite Polinomial . Tienes 1 minuto para desarrollarlo  lim x3 x2  x 6 x2 9
  16. 16.  lim x3 x2  x 6 x2 9  (x  3)(x 2) (x  3)(x  3) TALLER – FUNCIONES Ahora desarrollemos juntos el ejercicio planteado. Iniciemos evaluando el límite en -3: Observa que obtenemos un valor indeterminado. En matemáticas 0 dividido 0 no existe. Por lo tanto debemos aplicar factorización y simplificar para hallar el límite: Ahora analisemos de forma gráfica el límite, para que claramente construyas el concepto de límite: Por último, luego de simplificar evaluamos el límite. Como x tiende a -3 tenemos: En el numerador encontramos un caso de factorización x2 + bx + c, y en el denominador percibimos una diferencia de cuadrados. Una vez factorizada la funcion observa que tenemos (x+3) tanto en el denominador como en el nuemrador. Ahora podemos simplificarlos. Gráfica de la función: Observa que en el gráfico hay una discontinuidad un punto en x=-3. Con el análisis matemático y gráfico podemos determinar que el límite de la función es 5/6 = 0,83333. No existe, en x=-3 y =0,833 lim x3 x2  x 6 x2 9  (3)2 (3) 6 (3)2 9  9  36 9 9  0 0  lim x3 (x 2) (x  3)  (32) (3 3)  5 6  5 6  0,8333  lim x 3 x2  x  6 x2  9
  17. 17. TALLER – FUNCIONES Continuando con nuestro estudio, también encontramos límites cuya función involucra una raíz cuadrada. De igual forma evaluamos la funcion con el valor de tendencia: Observa que obtenemos un valor indeterminado. En matemáticas 0 dividido 0 no exíste. Por lo tanto debemos multiplicar por el conjugado para hallar el límite: Por último simplificamos y evaluamos el límite en x →3 de la Siguiente Forma: También recuerda que :  (a  b)(a  b)  a2  b2 Recuerda que multiplicar por el conjugado es multiplicar en el denominador y en el numerador por el polinomio que tiene raíz. CAMBIA el signo de unión de términos, nunca cambia adentro de la raíz. 21 21 3 21 lim 3       x x x x x Conjugado: Observa que multiplicamos en el denominador y el numerador por el término que tiene raíz pero cambiamos el signo de unión de – a +. 0 0 33 24 0 22 0 24 33 213 3 21 lim 3               x x x  x12  x 1  2  ( x 1  2)( x 1  2)  (x 1)2  22 Entonces tenemos que: )21)(3( 2)1( lim 22 3    xx x x Cancelamos raíz cuadrada y la potenciación, ya que son operaciones inversas y tenemos: )21)(3( )3( )21)(3( 41 lim 3       xx x xx x x )213( 1 )21( 1 lim 3      xx 4 1 )22( 1 )24( 1    
  18. 18. TALLER – FUNCIONES Encuentra el siguiente límite con Raíz. Tienes 1 minuto para desarrollarlo  lim x3 x 1 2 x  3
  19. 19. TALLER – FUNCIONES Ahora desarrollemos juntos el ejercicio propuesto. De igual forma evaluamos la función con el valor de tendencia: Observa que obtenemos un valor indeterminado. En matemáticas 0 dividido 0 no exíste. Por lo tanto debemos multiplicar por el conjugado para hallar el límite: Por último simplificamos y evaluamos el límite en x →0 de la siguiente Forma: Tambien recuerda que :  (a  b)(a  b)  a2  b2 Recuerda que multiplicar por el conjugado es multiplicar en el denominador y en el numerador por el polinomio que tiene raíz. CAMBIA el signo de unión de términos, nunca cambia adentro de la raíz. lim x0 x 2  2 x  x 2  2 x 2  2 Conjugado: Observa que multiplicamos en el denominador y el numerador por el término que tiene raíz pero cambiamos el signo de unión de – a +.  x  2  2  ( x 2  2)( x 2  2) ( x 2)2 ( 2)2 Entonces tenemos que:  lim x  0 ( x  2)2  ( 2)2 x x  2  2 Cancelamos raíz cuadrada y la potenciación, ya que son operaciones inversas y tenemos:  lim x0 x 22 x( x 2  2)  x x( x 2  2)  1 ( x 2  2) lim x0  1 ( 02  2)  1 ( 2  2)  1 2 2 lim x 0 x  2  2 x  0  2  2 0  2  2 0  0 0  x  2  2
  20. 20. TALLER – FUNCIONES Antes de continuar con este tipo de límites, analizamos la siguiente situación: 1 1 1   1 2  0,5  1 10  0,1 01,0 100 1  001,0 1000 1  00001,0 100000 1  Observa que entre mas crece el valor del denominador, mas pequeño es el resultado. Ahora imaginate si dividimos1 entre un número muy muy muy grade:  1   0 1 dividido un numero muy muy grande ∞ es igual a 0
  21. 21. TALLER – FUNCIONES Ahora continuemos con nuestro estudio de límites que tienden al infinito. Encontremos un límites cuyo valor tiende a un número muy grande el cual desconocemos: 1. Observar la variable de mayor grado. En este caso x4. Debes dividir cada uno de los términos de la función la variable con mayor grado. Es decir x4:  lim x  5x4  2x3  x2  6 x4  2x2  x  2 444 2 4 4 44 2 4 3 4 4 22 625 lim xx x x x x x xx x x x x x x    Para solucionar este tipo de límites debes: 2. Simplificar los términos de la función:  lim x  5  2 x  1 x2  6 x4 1 1  2 x2  1 x2  2 x4 3. Ahora remplazamos las x por infinito:  lim x  5  2   1 2  6 4 1 1  2 2  1 2  2 4 4. Recuerda que cualquier número dividido ∞ es igual a cero:  lim x  5  0  0  0 1 0  0  0 5. Por último nos queda : lim x  5 1  5
  22. 22. TALLER – FUNCIONES Encuentra el siguiente límite al infinito. Tienes 1 minuto para desarrollarlo  lim x 4x3 12x7  x6  4 2x5 5x2  3x 2x7
  23. 23. TALLER – FUNCIONES Ahora desarrollemos juntos el límite propuesto que tienden al infinito. Encontremos un límites cuyo valor tiende a un número muy grande el cual desconocemos: 1. Observar la variable de mayor grado. En este caso x7. Debes dividir cada uno de los términos de la función la variable con mayor grado. Es decir x7:  lim x  4x3 12x7  x6  4 2x5  5x2  3x  2x7 lim x  4x3 x7  12x7 x7  x6 x7  4 x7 2x5 x7  5x2 x7  3x x7  2x7 x7 Para solucionar este tipo de límites debes: 2. Simplificar los términos de la función: 3. Ahora remplazamos las x por infinito: 4. Recuerda que cualquier número dividido ∞ es igual a cero:  lim x  0 12  0  0 0  0  0  2 5. Por último nos queda : lim x  12 2  6  lim x  4 x4 12  1 x6  4 x7 2 x2  5 x5  3 x6  2  lim x  4 4 12  1 6  4 7 2 2  5 5  3 6  2
  24. 24. TALLER – FUNCIONES

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