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Ch2 probabilite conditionnelle

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Ch2 probabilite conditionnelle

  1. 1. 2 Indépendance1. Probabilités conditionnelles1.1 IntroductionUn joueur lance successivement deux dés nonpipés. On a bien sûr    1,1 , 1, 2  ,...,  6,5  ,  6,6  et Card     36. Tous les événements élémen-taires de  sont équiprobables. Il est doncnaturel de travailler sur   T  p  où p est laprobabilité uniforme sur  . On considèrel’événement A  ‘‘la somme des points estsupérieure ou égale à 10’’, alors A    4,6  ,  5,5 ,  5,6  ,  6, 4  ,  6,5  ,  6,6  .Il est claire que 1
  2. 2. Card  A 6 1 p  A    Card    36 6On considère maintenant les événementsBi  ‘‘le résultat du premier dé est égale à i ’’avec i  1, 2,...,6 . Par exemple B5    5,1 ,  5, 2  ,  5,3 ,  5, 4  ,  5,5  ,  5,6  Si B1 est réalisé, alors A est irréalisable car lasomme des points ne peut pas excéder 7. Ondira que la ‘‘probabilité conditionnelle de Asachant B1 ’’ notée p  A B1  est nulle.Si B5 est réalisé, alors pour atteindre 10 il fautque le deuxième dé amène un 5 ou un 6 : laprobabilité conditionnelle de A sachant B5 estdonc égale à p  A B5   2 / 6  1/ 3. Remarquons que A  B5    5,5 ,  5,6  ,p  A  B5   2 / 36  1/18 et p  B5   6 / 36 .On trouve ainsi 2
  3. 3. p  A  B5  2 / 36 p  A B5     1/ 3. p  B5  6 / 36On peut constater que cette formule estvalable pour Bi avec i  1, 2,...,6 . On a doncamené à la définition suivante.1.2 DéfinitionsDéfinition 01 : Soit   T  p  un espace deprobabilité. Soit A et B deux événementsaléatoires avec p  B   0 . On appelle proba-bilité conditionnelle de A sachant B, lenombre réel p  A  B p  A B  p  BSi p  B   0 alors la probabilité conditionnellen’est pas définie.Exemple 01 : Une pièce de monnaie estlancée deux fois. Si nous supposons que les 4points de l’univers    FF , FP, PF , PP sont équiprobables, quelle est la probabilité 3
  4. 4. que les deux jets amènent ‘‘face’’ sachant quele premier est déjà un ‘‘face’’ ?Remarque :Il s’agit bien d’une probabilité(i). A T , p  A B   0(ii). p  B  1(iii). Si A1 , A2 ,..., An ,... est une famille d’évé-nements aléatoires deux à deux incompatiblesalors p  A1  A2  ... B   p  A1 B   p  A2 B  1.3 Formules des probabilités composéesThéorème 01. (Formule des probabilités composées)Soit A et B deux événements, alors  p  A  p  B A  si p  A   0  p  A  B    p  B  p  A B  si p  B   0  0 sinon  4
  5. 5. Plus généralement, soit A1 , A2 ,..., An n événe-ments aléatoires avec p  A1   0 . On a p  A1   An   p  A1  p  A2 A1  p  An A1   An1 Exemple 02 : Une urne contient 10 boulesdont 5 rouges, 3 bleues et 2 blanches. On tiresans remise trois boules de l’urne. Calculer laprobabilité d’obtenir dans l’ordre une boulerouge, une boule bleue et une boule blanche.Preuve : Soit A  ‘‘la première boule est rouge’’, B  ‘‘la seconde boule est bleue’’ et C  ‘‘la troisième boule est blanche’’.D’après la question, on doit chercher p  A  B  C  . En utilisant la formule desprobabilités composées, on obtient p  A  B  C   p  A p  B A p  C A  B avec 5 1 3 1 p  A   , p  B A   10 2 9 3et 5
  6. 6. 2 1 p C A  B    . 8 4Finalement, on a 1 p A B C  241.4 Formules des probabilités totalesDéfinition 02 : Soit I  et  Ai iI une familled’événements aléatoires. On dit que  Ai iIest une partition de  si(i).   Ai et iI(ii). les événements  Ai iI sont deux à deux incompatibles.Théorème 02.Soit  Ai iI une partition de  et B unévénement, on a alors p  B    p  Ai  p  B Ai  iI1.5 Formules de Bayes 6
  7. 7. Théorème 03. (Formule de Bayes)Soit  Ai iI une partition de  , B unévénement et j  I on a alors p  Aj  p  B Aj  p  Aj B    p A  pB A  iI i iExemple 03 : La proportion de pièces défectu-euses dans un lot de pièces est 0,05. Lecontrôle de fabrication des pièces est tel que :si la pièces est bonne, elle est acceptée avecla probabilité 0,96 ; si la pièce est mauvaise,elle est refusée avec la probabilité 0,98. Onchoisit une pièce au hasard et on la contrôle.Quelle est la probabilité : (i) qu’il y ait uneerreur de contrôle ? (ii) qu’une pièce acceptéesoit mauvaise ?Exemple 04 : Une compagnie d’assuranceestime que les gens peuvent être répartis endeux classes : ceux qui sont enclins auaccident et ceux qui ne le sont pas. Sesstatistiques montrent qu’un dans individu 7
  8. 8. enclin aux accidents a une probabilité de 0,4d’en avoir un dans l’espace ; cette probabilitétombe à 0,2 pour les gens à risque modéré.On suppose que 30% de la populationappartient à la classe à haut risque.(a). Quelle est la probabilité qu’un nouvel assuré soit victime d’un accident durant l’année qui suit la signature de son contrat ?(b). Un nouveau signataire a un accident dans l’année qui suit la signature de son contrat. Quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à haut risque ?2. IndépendanceDéfinition 03 : Soit   T  p  un espace deprobabilité. Soit A et B deux événements alé-atoires. On dit que A et B sont indépendantssi p  A  B   p  A p  B Propriétés 8
  9. 9. Soit   T  p  un espace de probabilité. Soit A et B deux événements aléatoiresindépendants avec p  A  0 et p  B   0 .Alors(i). p  A B   p  A et p  B A  p  B  .(ii). A et B , A et B , A et B sont également indépendants.Définition 04 : Soit   T  p  un espace deprobabilité. Pour n  2 , soient A1 , A2 ,..., An névénements aléatoires.(i) Ces événements sont deux à deux indé- pendants si pour tout couple  i, j  avec i  j on a p  Ai  Aj   p  Ai  p  Aj (ii) Ces événements sont mutuellement indépendants (ou indépendants dans leur ensemble) si pour tout k  1, 2,..., n et pour tout choix d’indices distincts i1 ,..., ik , on a p  Ai1   Aik   p  Ai1  ... p  Aik  9

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