วิชาโครงสร้างข้อมูล

1. โครงสร้างข้อมูลแบบ
ต้นไม้

2. นิยามของโครงสร้างต้นไม้
 โครงสร้างข้อมูลแบบต้นไม้ มีคุณสมบัติดังนี้
1. มีโหนดที่เรียกว่า รากหรือรูต (Root node) , R
2. โหนดที่ไม่ใช่รูตแบ่งย่อยออกเป็น n กลุ่ม โดยที่
แต่ละกลุ่มไม่มีโหนด
ร่วมกันเลย เช่น กลุ่ม T1 , T2 ,…..Tn (n >=0) แต่ละ
กลุ่มก็เป็น
ต้นไม้เหมือนกัน จะเรียกว่าต้นไม้ย่อย (Subtree)

3. ลักษณะต้นไม้แบบรีเคอร์ซีฟ
จากรูป
R เป็นรูตของต้นไม้ย่อย A,B,C,D
A เป็นรูตของต้นไม้ย่อย E,F,G
F เป็นรูตของต้นไม้ย่อย J
B เป็นรูตของต้นไม้ย่อย H และ I

4. ชื่อส่วนต่างๆของต้นไม้

5. ระดับของโหนด (Level)
 ระดับของโหนดหนึ่ง ๆ แสดงถึงหน่วยระยะทางตาม
แนวดิ่งของโหนดนั้นว่าอยู่ห่างจากรูตโหนดเท่าไร
ถ้ากำาหนดว่ารูตโหนดของต้นไม้นั้นอยู่ที่ระดับ 1
และกิ่งทุกกิ่งมีความยาวเท่ากัน หมดคือยาว 1
หน่วย เลขระดับของโหนดใด ๆ คือจำานวนกิ่งที่
น้อยที่สุดจากรูตโหนดบวกหนึ่งเช่น F มีเลขระดับ
เป็น 4 เป็นต้น

6. ดีกรีของโหนด (Level Degree)
 ดีกรีของโหนด คือ จำานวนต้นไม้ย่อยของโหนดนั้น
จากรูป โหนด X มีดีกรี 1 โหนด A มีดีกรี 2 ส่วน
โหนด H มีดีกรี 3 โหนด B มีดีกรี 1 และโหนด E มี
ดีกรี 0 เป็นต้น

7. โหนดที่เป็นใบ (Leaf Node)
 โหนดที่เป็นใบ หมายถึงโหนดที่มีดีกรีเป็น 0 เช่น
โหนด C, D, E, J, F และ G ส่วนโหนดที่มีดีกรีไม่เท่ากับ
0 เรียกว่า โหนดภายใน หรือ interior node หรือ
branch node

8. Immediate Successor หรือ SON ของโหนด
i
 Immediate Successor คือโหนดทั้งหลายของต้นไม้
ย่อย i ที่มีค่าระดับตำ่ากว่าโหนด i อยู่หนึ่ง เช่น SON
ของโหนด H คือโหนด E, I, และ F

9. Immediate Predecessor หรือ father ของ
โหนด i

Immediate Predecessor คือโหนดที่มีค่าระดับสูง
กว่าโหนด i อยู่หนึ่ง เช่น FATHER ของโหนด J
คือโหนด I, FATHER ของโหนด I คือโหนด H
เป็นต้น

10. ต้นไม้แบบไบนารี (Binary
Tree) ต้นไม้ไบนารีเป็น rooted binary tree ที่ว่าง
เปล่า หรือประกอบด้วยรูตโหนดและต้นไม้
ไบนารี 2 กลุ่มที่ไม่มีโหนดร่วมกัน แต่ละกลุ่มจะ
มีชื่อเรียก (โดยตำาแหน่งที่อยู่หรือที่เขียน) ว่า
ต้นไม้ย่อยทางซ้าย (left subtree) และต้นไม้
ย่อยทางขวา (right subtree) ตามลำาดับ
คำาว่า ว่างเปล่า ในนิยามหมายความว่า ต้นไม้
ไบนารีต้นนั้นมีแต่รูตโหนดเพียงโหนดเดียว
เท่านั้น

11. (ก)
(ข)
(ค)
รูป (ก), (ข) และ (ค) เป็นต้นไม้
ไบนารี

12. (ง) (จ) (ฉ)
รูป (ง), (จ) และ (ฉ)ไม่ใช่
ต้นไม้ไบนารี

13. ต้นไม้ไบนารีแบบสมบูรณ์
(Complete Binary Tree) ต้นไม้ไบนารีแบบสมบูรณ์ หมายถึงต้นไม้
ไบนารีที่แต่ละโหนดภายในมีโหนดย่อยซ้าย
และขวา (นั่นคือแต่ละโหนดภายในมี left son
และ right son ) และโหนดใบ (leaf
nodes) ทั้งหลายอยู่ในระดับที่ n รูป (ก)
เป็นต้นไม้ไบนารีแบบสมบูรณ์ที่มี 3 ระดับ
(ก)

14.  ต้นไม้ไบนารีแบบสมบูรณ์ที่มีโหนดใบอยู่ที่ระดับ n
จะมีโหนดทั้งหมดเท่ากับ 2n
-1
จากรูป จำานวนโหนดเท่ากับ 23
-1 = 7 โหนด

15. การแทนต้นไม้ไบนารีในหน่วย
ความจำา
 ต้นไม้ไบนารีสามารถแทนได้ 2 แบบ คือ
1. การแทนโดยอาศัยพอยน์เตอร์
2. การแทนโดยอาศัยแอดเดรสของโหนด หรือการ
แทนแบบ ซีเควนเชียล
(sequential)

16. การแทนโดยอาศัยพอยน์เตอร์
 ทำาได้โดยให้แต่ละโหนดมีโครงสร้างดังรูปต่อไปนี้
DATA
LLINK RLINK
DATA
LSON RSON
หรือ
โครงสร้างโหนดสำาหรับ
ต้นไม้ไบนารี
INK หรือ LSON เป็นพอยน์เตอร์ชี้ไปยังต้นไม้ย่อยทางซ้าย
วน RLINK หรือ RSON เป็นพอยน์เตอร์ชี้ไปยังต้นไม้ย่อยทางขวา

17. การแทนโดยอาศัยแอดเดรสของ
โหนด หรือการแทนแบบซีเควน
เชียล เป็นการแทนต้นไม้ไบนารีด้วยอาร์เรย์ 1 มิติ
อาร์เรย์เดียว การแทนแบบนี้เหมาะกับ
โครงสร้างต้นไม้ไบนารีแบบ complete binary tree
ที่สุด การแทนจะเริ่มต้นด้วยการให้หมายเลขแก่
แต่ละโหนด ตั้งแต่ระดับ 1 ระดับ 2 ...ไปเรื่อยๆ
จนถึงระดับ k การให้ตัวเลขในแต่ละระดับจะ
ให้จากซ้ายไปขวา โดยให้รูตโหนดมีหมายเลข
1 เสมอ การให้ตัวเลขจะต้องถือว่าต้นไม้
ไบนารีเป็นต้นไม้ไบนารีแบบสมบูรณ์ จึงจะให้
ตัวเลขที่อยู่แก่โหนดได้

18. A
B X
C D
E
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12
13 14 15
1
การให้แอดเดรสแก่ต้นไม้ไบนารีที่ถูก
ต่อเติมให้สมบูรณ์
B X C D - - E - --A ----
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
รูปการแทนต้นไม้โดยใช้
อาร์เรย์

19. การเดินเข้าไปในโครงสร้างต้นไม้
(TreeTraversal)
 การนำาต้นไม้ไบนารีมาใช้ประโยชน์นั้น
หมายความว่าต้องมีวิธี เดิน หรือ traverse เข้าไปใน
ต้นไม้อย่างมีแบบแผน เพื่อไป เยี่ยม โหนดต่าง ๆ
โหนดละ 1 ครั้ง คำาว่า เยี่ยม หมายถึงว่าเราจะไปยัง
โหนดเพื่อประมวลผลบางอย่างที่ต้องการกระทำากับ
โหนดนั้น เช่น หาข่าวสาร ดังนั้นผลลัพธ์จากการ
เดินเข้าไปในต้นไม้คือจะได้ข่าวสารที่เก็บ (หรือชี้)
โดยโหนดเหล่านั้นออกมาในรูปเชิงเส้น ซึ่งนำาไป
ใช้ประโยชน์ได้

20.  ความคิดเริ่มต้นของการเดินก็คือ เราต้องเยี่ยม
แต่ละโหนดพร้อมทั้งต้นไม้ย่อยทางซ้าย และทาง
ขวาของโหนดนั้น ตามแนวคิดนี้เราจะแยกต้นไม้
ไบนารีออกเป็น 3 ส่วนคือ R, TL และTR โดยที่ R จะ
แทนรูตโหนด TL จะแทนต้นไม้ย่อยทางซ้าย และ TR
จะแทนต้นไม้ย่อยทางขวา จะเห็นได้ว่าจะมีวิธีเดิน
อยู่ 6 ทางคือ RTL TR, TL RTR, TL TRR, TRTL R, TRRTL และ
RTRTL

21.  มีวิธีเดิน 6 วิธี จะกล่าวเพียง 3 วิธีแรกเท่านั้น ซึ่ง 3
วิธีแรก มีชื่อเรียก พิเศษและลักษณะรายละเอียด
การเดินดังนี้
(1) เดินแบบพรีออร์เดอร์ (pre-order traversal) - RTLTR
- เยี่ยม R
- เดินเข้าไปใน TL (ของ R) อย่างพรีออร์เดอร์
- เดินเข้าไปใน TR (ของ R) อย่างพรีออร์เดอร์

22. (2) เดินแบบอินออร์เดอร์ (in-order traversal)
- TLRTR
- เดินเข้าไปใน TL (ของ R) อย่างอินออร์เด
อร์
- เยี่ยม R
- เดินเข้าไปใน TR (ของ R) อย่างอินออร์เด
อร์
(3) เดินแบบโพสต์ออร์เดอร์ (post-order travers
al) - TLTRR
- เดินเข้าไปใน TL (ของ R) อย่างโพสต์
ออร์เดอร์

23. A
B C
D
G
E F
H I
พรีออร์เดอร์ : ABDGCEHIF
(RTLTR)
อินออร์เดอร์ : DGBAHEICF (TL
RTR)

24. Dot
Am
y
Guy
Ron
K
ay
Ti
m
Jim
A
n
n
E
v
a
J
o
n
Ki
m
Roy To
m
Ja
n
จงท่องเข้าไปในต้นไม้ แบบ
1.พรีออร์เดอร์ 2.อินออร์เดอร์
3.โพสต์ออร์เดอร์

25. +
A -
* D
B C
จงท่องเข้าไปในต้นไม้ แบบ
1.พรีออร์เดอร์ 2.อินออร์เดอร์
3.โพสต์ออร์เดอร์

26. การสร้าง Expression Tree
 อ่านสัญลักษณ์จากนิพจน์ที่ละตัว ถ้าตัวที่อ่านมา
เป็น operand ให้สร้างโหนดของ tree หนึ่งโหนด
แล้ว push มันลงใน stack ถ้าตัวที่อ่านมาเป็น
operator ให้ pop จาก stack 2 ครั้ง ซึ่งจะได้
trees T1 และ T2 (T1 นำาออกก่อน) แล้วให้นำามาส
ร้างเป็น tree ใหม่ที่มีราก (root) เป็นตัว
operator และมี left และ right children เป็น
T2 และ T1 ตามลำาดับ จากนั้นให้ใส่ tree ใหม่นี้
กลับลง stack

27.  ถ้าอินพุต คือ a b + c d e + * *

30. Binary Search Trees
 การประยุกต์ใช้ binary trees ที่สำาคัญอย่างหนึ่ง
คือ การใช้ในการค้นหาค่า
 คุณสมบัติของ binary search tree คือ:
1. binary search tree เป็น binary tree,
2. ทุก ๆ โหนด, X, ใน tree, ค่าของ keys
ทั้งหมดทาง left subtree จะต้องน้อยกว่าค่า
ของ key คือ X, และค่าทั้งหมดของ keys ทาง
ด้าน right subtree ต้องมากกว่าค่าของ key
คือ X

31. เป็น Binary Serach Tree ไม่เป็น Binary Serach Tree

32. การสร้าง Binary Search Tree
 สร้าง binary search จากข้อมูลต่ไปนี้
10 , 5, 1, 100, 20 ,45, 3 ,19
10
5
1
100
20
453 19

33. การลบโหนดออกจาก Binary Search Tree
 เมื่อพบโหนดที่ต้องการลบออกแล้ว มีประเด็นที่ต้อง
พิจารณา ดังนี้
1. ถ้าโหนดนั้นเป็น leaf ก็ลบออกได้ทันที
2. ถ้ามีลูก 1 โหนด, ก็ทำาการปรับ pointer ของ
มันให้ข้ามโหนดที่จะลบนั้นแล้วจึงทำาการลบ
3. ถ้าโหนดนั้นมีลูก 2 โหนด ก็ให้แทนที่ค่าของ
โหนดด้วยค่าที่น้อยที่สุดของ right subtree
(หาพบได้ง่าย) และให้ทำาการ delete โหนด
นั้นในแบบ recursive เนื่องจากโหนดที่มีค่า
น้อยที่สุดใน right subtree ย่อมไม่มี left
child ดังนั้น การ remove ครั้งหลังจึงทำาได้

34. ก่อนและหลัง การลบ node (4) ซึ่งมี child 1 โหนด

35. ก่อนและหลังการลบโหนด (2) ที่มีลูก 2 โหนด

36. แบบฝึกหัด
1. จากต้นไม้ไบนารีที่กำาหนด ให้เขียนผลลัพธ์จากการท่อง
เข้าไปในต้นไม้ แบบ Preorder ,Inorder ,
Postorder
A
B
C
E
I
F
J
D
G H
K L

37. 2. จงสร้าง Binary Search Tree จากข้อมูลดังนี้
10, 8, 2, 4, 3, 15, 26, 30 ,17, 6
3. จงสร้าง Expression Tree จากนิพจน์ต่อไปนี้
3.1 (A - 2 * (B + C) – D * E) * F
3.2 A + (B – C) * D ^ ( E * F )
แบบฝึกหัด (ต่อ)