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IES	
  Mesa	
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DIBUJO	
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  BACHILLERATO	
  
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ÍNDICE	
  
	
  
	
  
	
  
I.	
  REPRESENTACION	
  EN	
  SISTEMA	
  DIEDRICO	
  
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  Fundamentos	
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I.-­‐FUNDAMENTOS	
  DEL	
  SISTEMA	
  DIEDRICO.	
  
	
  	
  
	
  El	
  sistema	
  diédrico	
  de	
  representación	
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  ALFABETO	
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Representa	
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1.  Indica dónde se encuentran los siguientes puntos:
2. Dibuja sobre esta línea de tierra un punto A situado en el ...
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3.-­‐	
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  RECTA	
  
La	
  proyección	
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  recta	
  sobre	
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  de	
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  perpendicular	
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  Oene	
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1. Representa las trazas de las siguientes rectas y señala por qué cuadrantes pasan. Halla también el corte con los
...
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3.2	
  RECTAS	
  PARALELAS	
  ENTRE	
  SÍ	
  
	
  	
  
	
  Si	
  dos	
  rectas	
  r	
  y	
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  paralelas	
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1. Halla las trazas de la recta de perfil s
A2
A1
B2
B1
s2
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2. Dibuja una recta s paralela a r que pase por A
A2
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1. Representar la recta que pasa por el punto P y
corta a la recta r en el punto de cota 24 mm. Señalar
sus partes ...
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4.-­‐	
  EL	
  PLANO	
  
	
  	
  
	
  Las	
  trazas	
  de	
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  plano	
  son	
  los	
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En	
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e)	
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  DEL	
  PLANO	
  
El	
  plano	
  	
  	
  	
  	
  	
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  un	
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  cualquiera.	...
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Rectas	
  notables	
  de	
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  planos	
  
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1. Representar el plano que definen las rectas r y
s que se cortan en A
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2. Representar el plano qu...
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1. Hallar la recta horizontal del plano de cota 12 mm 2. Hallar el punto P que pertenece al plano y
tiene como cota...
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  Tipos	
  de	
  planos	
  
1. Hallar la recta frontal del plano de cota 12 mm 2. Hallar el punto P que pertenece al p...
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5.-­‐	
  INTERSECCIONES	
  
	
  	
  
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  PLANOS	
  
	
  	
  
	
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Dibuja	
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3 cuadernillo sistema diedrico y conica

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DIBUJO TÉCNICO 1º DE BACHILLERATO
3º TRIMESTRE
SISTEMA DIEDRICO
PERSPECTIVA CONICA

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3 cuadernillo sistema diedrico y conica

  1. 1. IES  Mesa  y  López   DIBUJO  TÉCNICO  1º   DE  BACHILLERATO   3º  TRIMESTRE   CUADERNILLO  3   NOMBRE:  ___________________________________________   1   GEOMETRÍA  DESCRIPTIVA   Sistema  diédrico   PerspecKva  cónica  
  2. 2. 2     ÍNDICE         I.  REPRESENTACION  EN  SISTEMA  DIEDRICO   1.  Fundamentos  del  Sistema  Diédrico   1.1.-­‐  Códigos  habituales  de  Notación   2.  Representación  del  punto   2.1.-­‐  Alfabeto  del  punto   3.  La  recta   3.1.-­‐  Tipos  de  rectas.   3.2.-­‐  Rectas  paralelas   3.3.-­‐  Intersecciones  entre  rectas   3,4.  Rectas  que  se  cruzan   4.  El  plano   4.1.-­‐  Formas  de  definir  un  plano   4.2.-­‐  Alfabeto  del  plano   4.3.-­‐  Rectas  notables  del  plano   5.  Intersecciones   5.1.-­‐  Intersección  de  dos  planos    5.1.1.-­‐  Método  para  hallar  puntos  de  la  intersección  de  dos  planos  α  y  β    5.1.2.-­‐  Intersección  de  los  planos  α1-­‐α2  y  β1-­‐β2.    5.2.-­‐  Intersección  de  una  recta  cualquiera  con  un  plano.   II.  PERSPECTIVA  CÓNICA     1.  FUNDAMENTOS  DEL  SISTEMA  CÓNICO   2.   LA  PERSPECTIVA  CÓNICA  FRONTAL   3.  LA  PERSPECTIVA  CÓNICA  OBLICUA    
  3. 3. 3   I.-­‐FUNDAMENTOS  DEL  SISTEMA  DIEDRICO.        El  sistema  diédrico  de  representación     surge  por  la  necesidad  de  representar   elementos  tridimensionales  en  el  papel,   formato  de  dos  dimensiones.        En  el  sistema  diédrico  el  espacio  queda   dividido  en  cuatro  partes  iguales,  por  medio  de   dos  planos  perpendiculares  entre  sí,  llamados   plano  de  proyección  VERTICAL  y  plano  de   proyección  HORIZONTAL.  Estos  dos,  como   cualquier  par  de  planos  que  no  presenten  la   parKcularidad  de  ser  paralelos  entre  sí,  se   cortarán  en  una  recta,  recta  conocida    por   LINEA  DE  TIERRA  (LT).   ! De  modo  que  el  espacio  debido  ha  estos  dos  planos  queda  dividido  en  cuatro  partes  iguales,  cada   una  de  las  cuales  recibe  el  nombre  de  DIEDRO  ó  CUADRANTE.        Además  de  estos  dos  planos  existen  otros  dos,  no  menos  importantes,  que  dividen  los   diedros  mencionados  en  dos  partes  iguales.  Estos  planos  forman  45º  con  los  planos  de  proyección  y   se  cortan  entre  ellos  y  a  los  planos  de  proyección  en  la  LT.  De  este  modo  nuestro  sistema  queda   dividido  en  ocho  partes  iguales    a  las  que  llamaremos  OCTANTES,  y  a  los  dos  nuevos  planos  causantes   de  esta  segunda  división  planos  BISECTORES.     Lo  expuesto  hasta  el  momento  nos  da  una   visión  del  sistema  de  representación  en  el   espacio.  Pasemos,  pues  a  conKnuación  a   representarlo  al  plano,  para  ello  tendremos   que  abaKr  el  plano  de  proyección   horizontal  sobre  el  plano  de  proyección   verKcal  uKlizando  como  eje  de  giro  la   propia  LT.  De  este  modo,  quedará  como   único  elemento  de  referencia  la  LT.     En  ocasiones,  es  necesario  realizar  una   tercera  vista  o  proyección  del  elemento   que  estamos  representando  para  su  total   definición  y  comprensión,  esta  proyección   se  realiza  sobre  un  tercer  plano  de   proyección  denominado  plano  de  PERFIL.    
  4. 4. 4   1.1.-­‐  CODIGOS  HABITUALES  DE  NOTACIÓN.        La  LT  se  representará  en  el  presente  trabajo  mediante  una  línea  llena  fina  con  dos  segmentos  bajo   sus  extremos.        La  nomenclatura  del  punto  a  través  de  letras  mayúsculas,  diferenciando  si  se  trata  de  una   proyección  horizontal  (mediante  el  subíndice  1  ó(‘)),  de  una  proyección  verKcal  (mediante  el  subíndice  2   ó(‘’))  o  de  una  tercera  proyección,  la  de  perfil  (mediante  el  subíndice  3  ó(‘’’)).        La  nomenclatura  de  las  rectas  mediante  letras  minúsculas,  diferenciando  como  en  el  caso  del  punto   si  se  trata  de  una  proyección  horizontal,  verKcal  o  de  perfil  mediante  los  subíndices  1,  2  y  3   respecKvamente.        Para  la  nomenclatura  del  plano  uKlizaremos  el  alfabeto  griego  en  minúscula,  diferenciando  como  en   los  dos  casos  anteriores  las  tres  proyecciones  mediante  los  subíndices  1,  2  y  3.   2.-­‐REPRESENTACIÓN  DEL  PUNTO.        El  sistema  diédrico  de  representación    consiste  en  obtener  las  disKntas  proyecciones  de  un   elemento,  en  este  caso  un  punto,  mediante  la  proyección  de  haces  proyectantes  perpendiculares  a  los   planos  de  proyección.  De  modo  que  proyectando  perpendicularmente  el  punto  A  sobre  el  plano  de   proyección  Horizontal  obtendremos  la  proyección  horizontal  del  punto  A  (A1).  RepiKendo  la  misma   operación  sobre  el  plano  de  proyección  verKcal  obtenemos  la  proyección  verKcal  del  punto  A,  que  es  A2.       El  punto  A  se  puede  definir   mediante  las  distancias  hasta   los  tres  planos  de  proyección:   A(d,a,c).  La  primera   coordenada  nos  indica  la   distancia  a  un  origen  0,  la   segunda  coordenada  nos  indica   la  distancia  del  punto  A  al   plano  de  proyección  verKcal   (denominada  alejamiento)  y  la   tercera  coordenada  nos  indica   la  distancia  del  punto  A  al   plano  de  proyección  horizontal   (denominada  cota).   2.1-­‐  ALFABETO  DEL  PUNTO.        Obtendremos  ahora  en  proyección   las  disKntas  posiciones  que  puede  ocupar  un   punto  en  el  espacio.  
  5. 5. 5   2.1-­‐  ALFABETO  DEL  PUNTO   Representa  todos  los  puntos  del  esquema  de  la  derecha  en     el  Sistema  diédrico.   CaracterísOcas  de  los  puntos  según  los  disOntos  diedros  que  ocupan:   Punto   Cota   Alejamiento   Cuadrante   B   I   K   R   !
  6. 6. 6   1.  Indica dónde se encuentran los siguientes puntos: 2. Dibuja sobre esta línea de tierra un punto A situado en el 2º cuadrante, otro B situado en el 4º, otro C que pertenezca al 1º bisector y esté situado en el 3º cuadrante y otro D qué esté contenido en el plano horizontal anterior PHA. 3. Dibuja los siguientes puntos e indica dónde se encuentran: A(3/4/2), B(2/3/-1), C(4/ -3/ -2), D(2,5/-2/1), E(4,5/3/-3), F(5/0/2) A2 A1 B2 B1 C2C1 D1 D2 E1 E2 F2F1 G1 G2 H1 H2 I1 I2 A   B   C   D   E   F   G   H   I  
  7. 7. 7   3.-­‐  LA  RECTA   La  proyección  de  una  recta  sobre  un  plano  está  formada  por  la   proyección  de  todos  los  puntos  de  la  recta  que  se  quiere  proyectar.       Una  recta  está  definida  cuando  se  conocen  sus  dos  proyecciones,   horizontal  y  verKcal.     Donde  la  recta  corta  a  los  planos  de  proyección,  tenemos  sus  trazas   H  (traza  horizontal)  y  V  (traza  verKcal).     H1  es  la  proyección  horizontal  de  la  traza  horizontal,  se  la  conoce   con  el  nombre  de  traza  horizontal,  y  la  proyección  verKcal  de  la   traza  horizontal  H2  se  encuentra  sobre  la  L.T.    Del  mismo  modo  V2  es  la  proyección  verKcal  de  la  traza  verKcal  de   la  recta,  se  le  denomina  traza  verKcal  y  la  proyección  horizontal  de   la  traza  verKcal  V1  está  sobre  la  L.T.           De  esta  forma  la  proyección  verKcal  de  la  recta  r2  queda  definida  al   unir  V2  con  H2  y  la  proyección  horizontal  r1  al  unir  H1  con  V1.   3.1-­‐  TIPOS  DE  RECTAS       Recta  horizontal:  recta  paralela  al  P.H.  todos  sus  puntos  deben   de  tener  la  misma  cota.   ! Recta  frontal:  recta  paralela  al  P.V.  todos  sus  puntos  deben  de  tener  el  mismo  alejamiento.     !
  8. 8. 8   c.  Recta  de  punta  al  P.H.  es  una  recta  perpendicular  al  P.H.  y  sólo  Oene  traza  horizontal.     ! d.  Recta  de  punta  al  P.V.  es  una  recta  perpendicular  al  P.V.  y  sólo  Oene  traza  verOcal.   ! e.  Recta  paralela  a  L.T.  ésta  recta  es  paralela  a  los  dos  planos  de  proyección  P.H.  y  P.V.   ! ! f.  Recta  de  perfil  es  una  recta  paralela  al  plano  de  perfil  (plano  auxiliar).  
  9. 9. 9   1. Representa las trazas de las siguientes rectas y señala por qué cuadrantes pasan. Halla también el corte con los bisectores. s2 s1 t2 t1 r2 r1 u1 u2 ¿Qué tipo de rectas son r y u? 2. Halla las trazas de la recta de perfil s A2 A1 B2 B1 s2 s1 3. Dibuja la recta frontal d que dista 3 cm del plano vertical y hallar sus trazas. Señalar el punto de corte con los bisectores 4. Dibuja una recta horizontal que pase por el punto P y tenga como traza vertical el punto V . Señalar por qué cuadrantes pasa. x V 5. Dibuja una recta paralela a la LT situada en el 1º cuadrante que diste 30mm del PV y 45mm del PH
  10. 10. 10   3.2  RECTAS  PARALELAS  ENTRE  SÍ        Si  dos  rectas  r  y  s  son  paralelas  en  el  espacio,  sus  proyecciones  homónimas  r1,s1  y  r2,s2  también  son   paralelas.  Recíprocamente  cuando  dos  rectas  Kenen  sus  proyecciones  tanto  horizontales  como  verKcales   paralelas,  éstas  son  paralelas  en  el  espacio.         !    Si  las  rectas  son  de  perfil,  no  basta  que  las  proyecciones  homónimas  sean  paralelas  entre  sí.  Hay  que   comprobar  que  ambas  rectas  Kenen  la  misma  inclinación,  y  para  ello  nos  vamos  a  basar  en  la  tercera   proyección  o  de  perfil       ! 3.3    RECTAS  QUE  SE  CORTAN  (INTERSECCIÓN  ENTRE  RECTAS)        Dos  rectas  se  cortan  cuando  Kenen  un  punto  en  común     3.4    RECTAS  QUE  SE  CRUZAN        Dos  rectas  se  cruzan  cuando  no  son  paralelas  y  tampoco  se  cortan.    
  11. 11. 11   1. Halla las trazas de la recta de perfil s A2 A1 B2 B1 s2 s1 2. Dibuja una recta s paralela a r que pase por A A2 A1 r2 r1 3. Dibuja una recta p de punta que corte a r en el punto B. Halla los puntos donde r corta a los planos bisectores. B1 B2 r2 r1 4. Dibuja una recta horizontal que corte a s en el punto A s2 s1A2 A1 5. Dibuja una recta s que pase por A y corte a r en su traza horizontal . r2 r1 A2 A1
  12. 12. 12   1. Representar la recta que pasa por el punto P y corta a la recta r en el punto de cota 24 mm. Señalar sus partes visibles y ocultas, sus trazas y corte con los bisectores r2 r1 4. La recta a pasa por los diedros indicados y por el punto B. Represéntala. P2 P1 2. Calcula las proyecciones horizontales P1 y Q1 de la recta de perfil t P2 H2 V2 t2 t1 V1 H1 Q2 3. Dibuja una recta s paralela a r que pase por A. Halla sus trazas. A2 A1 r2 r1 B1 B2 4º D 2º D 5. Halla las trazas de la recta de perfil s que pasa por los puntos A y B. ¿Por qué cuadrantes pasa? A3 B2 B1 s2 s1 6. Dibuja una recta s que pase por A y corte a r en su traza vertical. r2 r1 A2 A1
  13. 13. 13   4.-­‐  EL  PLANO        Las  trazas  de  un  plano  son  los  vérKces  en  los  que  dicho  plano  corta  a  P.H  y  P.V.  Un  plano  Kene  dos   trazas:  verKcal  (    2)  y  horizontal  (    1).  Como  se  indica  en  la  figura  las  dos  trazas  del  plano  siempre  se  han  de   cortar  en  un  punto  y  en  la  línea  de  Kerra.   ! ! Para  que  una  recta  pertenezca  a  un  plano,  es  decir  esté  contenida  en  él,  es  necesario  que  la  traza  verKcal   de  la  recta  v2  esté  sobre    la  traza  verKcal  del  plano      2  y  del  mismo  modo  la  traza  horizontal  de  la  recta  h1     deberá  estar  sobre  la  traza  horizontal  del  plano      1.   ! ! 4.1.-­‐FORMAS  DE  DEFINIR  UN  PLANO    En  la  geometría  del  espacio  un  plano  lo  podemos  definir  de  cuatro  formas  diferentes:   Mediante  dos  rectas  que  se  cortan.   Mediante  tres  puntos  no  alineados.   Mediante  una  recta  y  un  punto  que  no  se  pertenezcan.  
  14. 14. 14       En  realidad  los  tres  casos  anteriores  son  el  mismo.  En  todos  ellos  debemos  conseguir  dos  rectas  que  se   corten  un  punto,  puesto  que  éstas  siempre  formarán  un  plano.  ParKendo  de  tres  puntos  no  alineados,   bastará  con  unir  los  puntos  de  dos  en  dos  y  así  obtendremos  dos  rectas  que  se  cortan  en  un  punto.   ParKendo  de  una  recta  y  un  punto  que  no  esté  contenido  en  dicha  recta,  bastará  con  hacer  pasar  otra  recta por  el  punto  dado  y  por  un  punto  perteneciente  a  la  recta  dada,  obteniendo  así  el  primer  caso.  Una  vez   reducidos  los  casos  b)  y  c)  al  caso  a)  bastará  con  obtener  las  proyecciones  horizontales  de  las  trazas   horizontales  y  las  verKcales  de  las  rectas,  para  unir  entre  sí  las  proyecciones  horizontales  de  la  traza   horizontal  de  las  rectas  (H1)  y  obtener  así  la  traza  horizontal  del  plano      1,  para  obtener  la  traza  verKcal      2   del  plano  deberemos  proceder  del  mismo  modo  con  las  proyecciones  verKcales  de  las  trazas  verKcales  de   las  rectas.     ! ! d.  Mediante  dos  rectas  paralelas.       Obtener  las  proyecciones  horizontales  de  las  trazas  horizontales  de  las  rectas  y  unirlas  entre  sí  para   obtener  la  traza  horizontal  del  plano.   Obtener  las  proyecciones  verKcales  de  las  trazas  verKcales  de  las  rectas  y  unirlas  entre  sí  para  obtener  la   traza  verKcal  del  plano.   !
  15. 15. 15   e)  Mediante  la  línea  de  máxima  pendiente  ó  de  máxima  inclinación.    En  el  sistema  diédrico  tenemos  para  cada  plano  dos  Kpos  de  líneas  de  máxima  pendiente.  Una   con  respecto  al  plano  horizontal  y  otra  con  respecto  al  plano  verKcal  (denominada  también  LINEA  DE   MÁXIMA  INCLINACIÓN).  En  la  figura  se  muestra  un  plano  α  y  contenida  en  él  una  recta  m   perpendicular  a  la  traza  α1.  Al  proyectar  dicha  recta  sobre  el  plano  horizontal,  la  proyección  m1  será   perpendicular  a  α1.  Esta  recta  será  l.m.p.  del  plano  α  con  respecto  al  plano  horizontal  y  cualquier  otra   recta  contenida  en  el  plano  formará  con  el  plano  horizontal  un  ángulo  menor  que  ésta.        En  la  siguiente  figura  se  muestran  las  proyecciones  de  la  l.m.p.  m  (con  respecto  al  plano   horizontal)  de  un  plano  α.  La  única  condición  que  debe  cumplir  es  que  la  proyección  m1  sea   perpendicular  a  la  traza  α1.  Cualquier  recta         paralela  a  m1  y  contenida  en  el  plano  α  será  también  l.m.p  del  plano  con  respecto  al  plano  horizontal.   ! ! Rectas  notables  del  plano  
  16. 16. 16   4.2.-­‐ALFABETO  DEL  PLANO   El  plano            es  un  plano  oblicuo  cualquiera.   El  plano              es  un  plano  proyectante  horizontal:  la  proyección  horizontal  de  todos  los   puntos  y  rectas  que  conKene  coincide  con  su  traza  horizontal.   El  plano            es  un  plano  proyectante  verKcal:  las  proyecciones  verKcales  de  todos  sus   puntos  y  rectas  que  conKene  coinciden  con  su  traza  verKcal.   El  plano          es  un  plano  de  perfil.   El  plano            es  un  plano  paralelo  a  la  L.T:  las  trazas  que  conKene  también  son  paralelas  a  la   L.T.  Si  la  cota  y  alejamiento  es  diferente  existen  diversas  posiciones.  Si  la  cota  y  el   alejamiento  es  la  misma  entonces  estaremos  ante  un  plano  perpendicular  a  su  bisector.     El  plano        es  un  plano  paralelo  al  P.V:  las  rectas  y  puntos,  sus  proyecciones  horizontales,   coinciden  con  su  traza  horizontal.  Las  rectas  y  puntos  en  su  proyección  verKcal  va  ha  estar   en  verdadera  magnitud.   El  plano              es  un  plano  paralelo  al  P.H:  no  existe  traza  horizontal.  La  proyección  verKcal   coincide  con  la  traza  verKcal.  Las  rectas  y  puntos  en  su  proyección  horizontal  las  vemos  en   verdadera  magnitud.   El  plano            es  un  plano  que  conKene  a  la  L.T:  si  la  cota  y  alejamiento  del  punto  es  igual   pertenece  al  1er  bisector,  en  caso  de  que  sea  diferente  estamos  ante  un  plano  que   conKene    a  la  línea  de  Kerra.    
  17. 17. 17   Rectas  notables  de  los  planos  
  18. 18. 18   1. Representar el plano que definen las rectas r y s que se cortan en A s2 s1r2 r1 A2 A1 2. Representar el plano que definen las rectas paralelas r y s . r2 r1 s2 s1 3. Representar el plano que definen la recta r y el punto A A2 A1 r2 r1 4. Representar el plano que definen los puntos A, B y C A2 A1 B2 B1 C2 C1 5. Dibuja una recta cualquiera que pertenezca al plano. 6. Dibuja la proyección horizontal del punto A de forma que pertenezca al plano. A2 Representación  de  planos  
  19. 19. 19   1. Hallar la recta horizontal del plano de cota 12 mm 2. Hallar el punto P que pertenece al plano y tiene como cota 16 mm y alejamiento 10 mm 3. Dibuja la proyección horizontal de la recta s que pertenece al plano. s2 4. Dibuja el plano definido por la recta p de máxima pendiente del plano p2 p1 5. Dibuja el plano definido por la recta i de máxima inclinación del plano i2 i1 6. Dibuja el plano definido por la recta f frontal del plano f2 f1 Rectas  notables  del  plano  
  20. 20. 20  Tipos  de  planos   1. Hallar la recta frontal del plano de cota 12 mm 2. Hallar el punto P que pertenece al plano y tiene como cota 12 mm y alejamiento 6mm 3. Dibuja la proyección horizontal de la recta s que pertenece al plano. s2 4. Hallar la proyección horizontal del plano paralelo a la línea de tierra que pasa por el punto A A2 A1 6. Hallar la proyección vertical de la recta r que pertenece al plano 5. Hallar la proyección horizontal del punto A que pertenece al plano. ¿Qué tipo de plano es? r1 A2
  21. 21. 21   5.-­‐  INTERSECCIONES       5.1.-­‐INTERSECCION  DE  DOS  PLANOS        Sean  dos  planos  α1-­‐α2    y  β1-­‐β2  cuya  intersección  I  vamos  a  determinar     ! ! 5.1.1.-­‐  INTERSECCION  DE  DOS  PLANOS  PROYECTANTES   Uno  es  un  plano  proyectante  horizontal   α1  -­‐  α2  y  el  otro  proyectante  verKcal  β1-­‐   β2.    Es  indudable  que  uKlizando  los   planos  de  proyección  como  planos   auxiliares,  obtenemos  dos  puntos  de  la   intersección  buscada,  que  son  sus   trazas  H1-­‐H2  y  V1-­‐V2,  pudiendo  por  tanto   anotar  la  intersección  i1-­‐i2.    Como  se  observa,  las   proyecciones  de  esta  intersección  se   confunden  con  las  trazas  de  los  planos;   lo  cual  concuerda  con  las  caracterísKcas   de  los  planos  en  cuesKón,  que  al  ser   proyectantes  Kenen  la  propiedad  de   que  “  todo  elemento  que  contengan  se   proyecta  según  su  traza”.   5.1.2.-­‐  INTERSECCION  DE  UN  PLANO  CUALQUIERA  α1-­‐  α2  CON  OTRO  PARALELO  A  LA  LINEA  DE  TIERRA  β1-­‐β2. Hallamos  las  trazas  de  la  recta  de  intersección:  H1-­‐H2  y  V1-­‐V2  que  nos  determinan  i1-­‐i2.  
  22. 22. 22   5.1.3.-­‐  INTERSECCION  DE  DOS  PLANOS  PARALELOS  A   A  LINEA  DE  TIERRA  (1er.  Método).   l  primer  método  consiste  en  apoyarnos  en  el  plano  de   perfil.  Calcular  u  obtener  las  trazas  de  los  planos  α  y  β   en  el  plano  de  perfil  y  obtener  su  intersección  I3.  A   onKnuación  desabaKrlo  y  obtener  las  rectas  I1  e   2.puesto     ! 5.1.4.-­‐  OTROS   5.2.-­‐  INTERSECCION  DE  UNA  RECTA  CUALQUIERA  CON  UN  PLANO   ! El  plano  dado  lo  está  por  sus  trazas  P1-­‐P2,  y  la  recta  r   por  sus  proyecciones  r1-­‐r2.  De  todos  los  planos            que   pudiéramos  elegir  pasando  por  la  recta  r,  uno  de  los   que  nos  dan  solución  sencilla  es  el  proyectante.  Hemos   elegido,  en  este  caso,  el  proyectante  verKcal                             que  tendrá  por  intersección  con  el  dado  P  la  recta  i1-­‐i2   determinada  por  los  puntos  h1-­‐h2  y  v1-­‐v2.  (i2  confundida   con                        y,  por  tanto,  con  r2).    Por  hallarse  en  el  mismo                                    las  rectas  r1-­‐ r2  e  i1-­‐i2  nos  dan  el  punto  solución  a1-­‐a2.    
  23. 23. 23   2. Hallar la recta intersección de los planos y1. Hallar la recta intersección de los planos y 3. Hallar la recta intersección entre los planos y 6. Hallar la recta intersección entre los planos y5. Hallar la recta intersección de los planos y 4. Hallar la recta intersección de los planos y
  24. 24. 24   r2 r1 p2 p1 q2 q1 r2 r1 p2 p1 p2 p1
  25. 25. 25    II.-­‐  PERSPECTIVA  CÓNICA    1,  FUNDAMENTOS  DEL  SISTEMA  CÓNICO:   El  sistema  cónico  es  la  forma  de  perspecKva  que  más  se  parece  a  la  visión  del  ojo  humano   (aunque  Kene  con  la  visión  diferencias  significaKvas).                      Para  representar  el  espacio  y  los  objetos  que  están  en  éste,  se  imagina  que  entre  los  objetos  y  el   observador  hay  un  cristal  (una  ventana),  y  que  el  espacio  que  está  detrás  se  proyecta  en  ese  “cristal”   Este  “cristal”  se  llama  en  perspecKva  cónica  Plano  del  Cuadro  (PC)   Además del Plano del Cuadro, en la perspectiva cónica interviene otro elemento importantísimo, que es la línea del horizonte (LH). La línea del horizonte es una línea imaginaria que se produce por la curvatura de tierra, y es el lugar hasta donde nos llega la vista. Por eso está a la altura de nuestros ojos. Estos  son  los  principales  elementos  a  tener  en  cuenta  en  la  perspecKva  cónica:     -­‐ El  plano  del  cuadro  (PC)  (el  cristal),  se  encuentra  situado  entre  el  observador  y  el  objeto.   -­‐ En  el  plano  geometral  (PG)  o  plano  del  suelo,  se  encuentra  situado  el  observador.   -­‐ El  plano  del  horizonte  (PH)  es  perpendicular  al  plano  del  cuadro  y  siempre  se  encuentra  a  la  altura  del  ojo  del   espectador.     -­‐   La  intersección  del  plano  del  cuadro  con  el  plano  geometral  genera  la  línea  de  Oerra  (LT).   -­‐ La  intersección  del  plano  de  horizonte  con  el  plano  del  cuadro  genera  la  línea  del  horizonte  (LH)   Los  objetos,  por  regla  general,  se  sitúan  por  detrás  del  plano  del  cuadro.  
  26. 26. Observa  cómo  la  distancia  del   observador  V  hasta  el  punto  P  se  abate   sobre  el  PC  para  encontrar  dos  puntos   auxiliares,  D  y  D'.  Éstos  dos  puntos  son  los   puntos  de  distancia  y  sirven  para  dibujar   diagonales,  y  para  calcular  las  medidas.   26   Según los objetos estén situados paralelos u oblicuos al Plano del Cuadro, hablaremos de perspectiva cónica frontal u oblicua. La frontal tiene un solo Punto de fuga, y la oblicua tiene dos. Pla nta LH LT X  PV PF PC CÓNICA   FRONTAL   CÓNICA   OBLICUA   2.-­‐  LA  PERSPECTIVA  CÓNICA  FRONTAL   En  la  perspecKva  cónica  frontal,  el  objeto  observado  Kene  su  cara  principal  paralela  al  plano  del  cuadro.    Se  obKene  solamente  un  punto  de  fuga,  que  se  encuentra  prolongando  el  punto  de  vista  del  observador   hasta  la  línea  de  Kerra  (LT).      Vamos  a  ver  esta  perspecKva  por  medio  de  un  ejemplo:      Dibujaremos  un  cubo  de  4cm  de  lado  que  está  situado  1cm  por  detrás  del  plano  del  cuadro  (PC),  y  que   es  visto  por  un  observador  que  mide  8cm  de  alto,  y  que  se  encuentra  a  10cm  de  distancia  del  PC.        Vista  desde  arriba    (PLANTA):   Observa  cómo  la  distancia  del  observador  V   hasta  el  punto  P  se  abate  sobre  el  PC  para  encontrar   dos  puntos  auxiliares,  D  y  D'.  Éstos  dos  puntos  son   los  puntos  de  distancia  y  sirven  para  dibujar   diagonales,  y  para  calcular  las  medidas.  
  27. 27. 27   Dibuja  el  mismo  cubo  variando  el  punto  de  vista:   1.  OBJETO  CENTRADO  CON  RESPECTO  AL  OBSERVADOR   Cubo:  4  cm   Distancia  PV:  4  cm   Altura  del  observador:  6  cm     2.  OBJETO  DESPLAZADO  CON  RESPECTO  AL  OBSERVADOR  
  28. 28. 28   Dibuja  el  mismo  cubo  variando  el  punto  de  vista:   3.  OBJETO  MAS  ALTO  QUE  EL  OBSERVADOR   Cubo:  4  cm   Distancia  PV:  4  cm   Altura  V  (distancia  LT-­‐LH)  :  3  cm     4.  OBSERVADOR  SITUADO  MUY  LEJOS   Cubo:  4  cm   Distancia  PV:  6  cm   Altura  V  (distancia  LT-­‐LH)  :  3cm    
  29. 29. 29   DIBUJA  ESTA  PIEZA  EN  CÓNICA  FRONTAL:   La  figura  se  encuentra  a  10  mm  de  la  LT.   Distancia  de  v  A  LT:  80  mm   Altura  V  (LT  a  LH):  50  mm   El  punto  V  está  a  100mm  del  borde  del  papel.   La  pieza  está  a  65  mm  del  borde  del  papel  
  30. 30. 30   DIBUJA  ESTA  LÁMINA  EN  CÓNICA  FRONTAL   La  figura  se  encuentra  a  10  mm  de  la  LT.   Distancia  de  v  A  LT:  70  mm   Altura  V  (LT  a  LH):  60  mm   El  punto  V  está  a  100mm  del  borde  del  papel.   La  pieza  está  a  70  mm  del  borde  del  papel  
  31. 31. Observa  cómo  la  distancia  del   observador  V  hasta  el  punto  P  se  abate   sobre  el  PC  para  encontrar  dos  puntos   auxiliares,  D  y  D'.  Éstos  dos  puntos  son  los   puntos  de  distancia  y  sirven  para  dibujar   diagonales,  y  para  calcular  las  medidas.   31   3.-­‐  LA  PERSPECTIVA  CÓNICA  OBLICUA   En  la  perspecKva  cónica  oblicua,  el  objeto  observado  Kene  sus  caras  oblicuas  al  plano  del  cuadro.   Ejemplo:   Distancia  LT-­‐LH=  40mm   Distancia  V-­‐p=  50mm   1.  En  la  planta,  marcar  el  punto    V,  el  punto  P  y  el   plano  del  cuadro.   2.  Hallar  los  puntos  de  Fuga  F  y  F´con  paralelas  a   los  lados  del  objeto.   3.  Con  centro  en  F  y  radio  FV  trazar  un  arco  para   hallar  M.  Con  centro  en  F¨y  radio  F´V  trazar  un   arco  para  hallar  M¨.   4.  M  y  M¨son  los  puntos  métricos.  Sirven  para   tomar  las  medidas  en  perspecKva,  dentro  del   dibujo.   5.  Pasar  las  medidas  de  F,  F¨,  M,  M¨y  P  a  la  LH  y  a   la  LT  del  dibujo  definiKvo.   6.  Las  alturas  se  miden  en  una  perpendicular  a  LT  y   se  llevan  a  los  puntos  de  fuga.  
  32. 32. Observa  cómo  la  distancia  del   observador  V  hasta  el  punto  P  se  abate   sobre  el  PC  para  encontrar  dos  puntos   auxiliares,  D  y  D'.  Éstos  dos  puntos  son  los   puntos  de  distancia  y  sirven  para  dibujar   diagonales,  y  para  calcular  las  medidas.   32   EJERCICIOS  TIPO  PAU  
  33. 33. Observa  cómo  la  distancia  del   observador  V  hasta  el  punto  P  se  abate   sobre  el  PC  para  encontrar  dos  puntos   auxiliares,  D  y  D'.  Éstos  dos  puntos  son  los   puntos  de  distancia  y  sirven  para  dibujar   diagonales,  y  para  calcular  las  medidas.   33  

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