CONTENIDOS DEL TEMA1. Coordenadas en el plano2. Ejes de coordenadas. Cuadrantes3. Relación dada por tablas4. Relación dada...
1. Coordenadas en el plano Este plano es el de una ciudad. Observa: – La catedral está en el punto (1, 3). – El ayuntamien...
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I)Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá:      Eje d...
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II)Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.                 ...
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III)Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números quese llaman co...
3. Relaciones dadas por tablas (I)Una función puede darse mediante una tabla.Ejemplo: en la tabla siguiente se da lamedida...
3. Relaciones dadas por tablas (II)El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que elgrifo esté go...
4. Relaciones dadas por gráficas (I)En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida lecorresponde...
4. Relaciones dadas por gráficas (II)Una función puede darse mediante una gráfica.Ejemplo: En la gráfica siguiente se da e...
5. Relaciones dadas por fórmulas   Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área.                      Lado     ...
6. Idea de función (I)Consideremos otra relación dada por una fórmula:                  y = 2x +1       Si x vale -2, y = ...
6. Idea de función (II)• Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, demanera que a cada valor de la ...
7. Representación gráfica de funciones (I)   Ejemplo:        La fórmula que expresa el área de un cuadrado                ...
7. Representación gráfica de funciones (II)            El precio del revelado de un carrete de 36 fotos es de 1,50       o...
7. Representación gráfica de funciones (III)La planta de Macinto ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabl...
7. Representación gráfica de funciones (IV)Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1.Es dec...
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I)Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2 euros:   (a) for...
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II)      Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales.Repres...
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (III)  Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en...
9. Funciones afines (I).Representa las siguientes funciones:        a) y = x +1 ; b) y = x – 3;    c) y = 2x +3;   d) y = ...
9. Funciones afines (II)Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperaturaaumenta con arreglo...
10. Funciones cuadráticas (I)Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuántovaldrá su área?       ...
10. Funciones cuadráticas (II)Las funciones y = 20x – x2, vista anteriormente, se llama función cuadrática.  Las funciones...
11. Función de proporcionalidad inversa (I)Si el producto de dos números es 24, ¿qué valores pueden tomar esos números?   ...
11. Función de proporcionalidad inversa (II)  Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es  c...
12. Resolución de problemas (I)Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de5 cm por minuto.(a) E...
12. Resolución de problemas (II)    Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de    5 cm por min...
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  1. 1. CONTENIDOS DEL TEMA1. Coordenadas en el plano2. Ejes de coordenadas. Cuadrantes3. Relación dada por tablas4. Relación dada por gráficas5. Relaciones dada por fórmulas6. Idea de función7. Representación gráfica de funciones8. La función lineal o de proporcionalidad directa9. Funciones afines10. Funciones cuadráticas11. Funciones de proporcionalidad inversa12. Resolución de problemas
  2. 2. 1. Coordenadas en el plano Este plano es el de una ciudad. Observa: – La catedral está en el punto (1, 3). – El ayuntamiento en el punto (4, 1). – El jardín botánico en el punto (7, 2).Para situar un punto en el plano se necesitan dos Eje de ordenadasrectas perpendiculares que se llaman ejes decoordenadas.El punto de corte de los ejes se llama origen.Cualquier punto tiene dos coordenadas.• La primera se mide sobre el eje horizontal ode abscisas; se llama abscisa del punto. O• La segunda se mide sobre el eje vertical ode ordenadas; se llama ordenada del punto. Origen Eje de abscisas
  3. 3. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I)Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá: Eje de ordenadas I cuadrante II cuadrante Eje de abscisas O Origen III cuadrante IV cuadrante
  4. 4. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II)Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Y• Los puntos del primer cuadrantetienen abscisa y ordenada positivas. Segundo Primer• Los del segundo cuadrante tienen cuadrante cuadranteabscisa negativa y ordenada positiva. (– , +) (+, +)• Los del tercer cuadrante tienen O Xabscisa y ordenada negativas.• Los del cuarto cuadrante tienen Tercer Cuartoabscisa positiva y ordenada negativa. cuadrante cuadrante (– , – ) (+, – )
  5. 5. 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III)Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números quese llaman coordenadas del punto.El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada.Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, C(0, 5)5); D (-3, -4); E (5, -5) B(-2, 1) A(4, 1) Las abscisas positivas están a la derecha del origen. Las negativas, a la izquierda. O Las ordenadas positivas están E(5, -5) por encima del origen. D(-3, -4) Las negativas, por debajo.
  6. 6. 3. Relaciones dadas por tablas (I)Una función puede darse mediante una tabla.Ejemplo: en la tabla siguiente se da lamedida de un feto (en cm) dependiendo deltiempo de gestación (en meses). Edad Longitud (meses) (cm) 2 4 3 8 A cada mes de gestación le corresponde una 4 15 longitud determinada. 6 29 (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, 7 34 mide 4 cm. 8 38 9 42 (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm. La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
  7. 7. 3. Relaciones dadas por tablas (II)El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que elgrifo esté goteando.Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla: Tiempo Nivel de (minutos) agua (cm) 0 0 15 10 30 14 45 17 60 19 A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variable nivel de agua, variable dependiente.La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una tabla.
  8. 8. 4. Relaciones dadas por gráficas (I)En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida lecorresponde una determinada altitud.Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica: Cuando llevan 100 km recorridos es cuando están a mayor altitud. A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente, y a la variable altura en metros, variable dependiente.La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica.
  9. 9. 4. Relaciones dadas por gráficas (II)Una función puede darse mediante una gráfica.Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de uncoche según la velocidad a la que circula. Si el coche va a 130 km/h, consume, aproximadamente, 8 litros cada 100 km El consumo mínimo se consigue a 60 km/h: punto (60, 4) El consumo de gasolina depende (o está en función) de la velocidad del coche.
  10. 10. 5. Relaciones dadas por fórmulas Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área. Lado l cm 3 cm 1 cm 2 cm 9 cm 2 l 2 cm2 4 cm2 1 cm2 S=l2 Área A cada valor del lado le corresponde un área. El área es función del lado: S = l 2A la variable lado l se le llama variable independiente,y a la variable área, variable dependiente.
  11. 11. 6. Idea de función (I)Consideremos otra relación dada por una fórmula: y = 2x +1 Si x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3) Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, -1) Las relaciones de Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, 5) este tipo se llaman funciones.Observa que a cada número x le correspondeun único número y.El número y depende del valor dado a x.O también: y está en función de x. En una función, la correspondencia A x se le llama variable independiente. entre las variables En este caso puede tomar cualquier valor debe ser única A y se le llama variable dependiente.Toma valores que dependen de la x: y = 2x +1
  12. 12. 6. Idea de función (II)• Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, demanera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de lasegunda, que llamamos imagen o transformado.• Variable independiente: la que se fija previamente.• Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente.La fórmula f(x) = 3x2 + 1 define una función. f(x) = 3x2 + 1 x es la variable independiente f(x) es la variable dependienteFijada la variable independiente, por ejemplo x = 5, el valor que toma lavariable dependiente es f(5) = 3 · 52 + 1 = 76.(La imagen de 5 es 76; y es única, pues la operación 3 · 52 + 1 es única.) Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13.En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente.
  13. 13. 7. Representación gráfica de funciones (I) Ejemplo: La fórmula que expresa el área de un cuadrado en función de su lado es S = l 2 Para representarla gráficamente:Primero: formamos la tabla de valores Segundo: representamos los pares asociados, uniendo los puntos. Lado: l Área: l 2 18 0 0 16 1 1 (4, 16) 14 1,5 2,25 12 2 4 10 (3, 9) 2,5 6,25 8 3 9 6 (2, 4) 4 16 4 2 0 0 1 2 3 4
  14. 14. 7. Representación gráfica de funciones (II) El precio del revelado de un carrete de 36 fotos es de 1,50 o: pl euros y por cada foto cobran 0,35 euros. Representa la meEj gráfica de esta función. Primero: formamos la tabla de valores Segundo: representamos los pares asociados. Número Importe de fotos l en euros 0 1,50 Variable 4 1 1,85 dependiente 3 euros 2 2,20 2 3 2,55 4 2,90 (En este caso no 1 5 3,25 tiene sentido 0 6 3,60 unir los puntos: 0 1 2 3 4 5 6 no se revelan fotos fracciones de fotos.) Variable independiente
  15. 15. 7. Representación gráfica de funciones (III)La planta de Macinto ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla: Para representarla gráficamente: representamos los pares de valores sobre Tiempo Longitud unos ejes de coordenadas y obtenemos (meses) (cm) distintos puntos de la gráfica. 0 2 1 6 2 11 30 25 Longitud (cm) 3 17 (6, 26) 4 21 20 5 24 15 6 26 10 (2, 11) 7 27 5 8 28 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tiempo (meses) Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.
  16. 16. 7. Representación gráfica de funciones (IV)Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1.Es decir, f(x) = 2x + 1. Para representarla gráficamente:1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas x y = f(x) –3 –5 (2, 5) –2 –3 –1 –1 0 1 1 3 O 2 5En este caso no se pueden unir lospuntos ya que la función está definida (–3, –5)únicamente para los números enteros.
  17. 17. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I)Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2 euros: (a) forma una tabla que relacione (b) representa la gráfica de la peso con precio. función asociada. Multiplicando por 1,2 el número Trazando los pares (1, 1,2), de kilos, se tiene: (2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene: Peso Coste La fórmula de 9,6 (kilos) (euros) 1 1,2 esta función es: 8,4 7,2 2 2,4 y = 1,2x 6 euros 4,8 3 3,6 3,6 4 4,8 2,4 Las funciones cuyas 8 9,6 gráficas son rectas que pasan 1,2 0 10 12 por el origen se llaman 35 42 0 1 2 3 4 5 6 7 funciones lineales o de proporcionalidad Peso en kilos directa
  18. 18. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II) Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales.Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x y=–x y = 5x x y x y 4 –4 1 5–3 3 –1 –5 y = 0,2x y = 2x x y x y 0 0 1 2 5 1 2 4
  19. 19. 8. Función lineal o de proporcionalidad directa (III) Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la etiqueta del paquete que reproducimos: Peso en kg Precio por kg en € Total en € 0,820 5,12 4,20 Las magnitudes precio y peso son directamente proporcionales. 7 Si x es el peso en kg, e y el 6 precio, la expresión que da el 5 Euros precio en euros es y = 5,12x. 4 y = 5,12x Calculamos valores, representamos 3 y unimos los puntos. 2 Las funciones se la forma 1 y = mx se llaman funciones lineales. Son rectas que pasan por el origen. 0,5 1 1,5 Peso (kg)· m es la pendiente o inclinación de la recta.
  20. 20. 9. Funciones afines (I).Representa las siguientes funciones: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4 y= x+1 y=x–3 x y x y 0 1 0 –3 3 4 4 1 y = 2x + 3 y = 2x – 4 x y x y 0 3 0 –4–3 –3 3 2
  21. 21. 9. Funciones afines (II)Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperaturaaumenta con arreglo a la siguiente fórmula: t = 0,01 d + 15, (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m) Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente la función: d t 0 15 150 16,5 24 Temperatura (ºC) 600 21 t = 0,01d + 15 1050 25,5 18 … … 12Las funciones de la forma y = mx + n (n ≠ 0) 6se llaman funciones afines.Son rectas que no pasan por el origen. O 400 800 1200· m es la pendiente o inclinación de la recta. Profundidad (m)· n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen.
  22. 22. 10. Funciones cuadráticas (I)Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuántovaldrá su área? Perímetro: 2x + 2h = 40 x + h = 20 h = 20 – x h Área: A = xh = x(20 – A = 20x – x2 x x)Formamos la tabla de valores: Representamos los pares obtenidos:(al área le llamamos y) x y 100 1 19 80 3 51 60 8 96 40 10 100 12 96 20 14 84 0 17 51 0 0 5 5 10 10 15 15 20 19 20 19 19 Unimos los puntos y se obtiene la gráfica.
  23. 23. 10. Funciones cuadráticas (II)Las funciones y = 20x – x2, vista anteriormente, se llama función cuadrática. Las funciones cuadráticas son de la forma y = ax2 + bx + c con a ≠ 0. La gráfica de las funciones cuadráticas se llama parábola. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba. Si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo. a>0 a<0 y = –x + 2 2 y = x2 y = –x2 y = x2 – 4x y = –x2 – 3
  24. 24. 11. Función de proporcionalidad inversa (I)Si el producto de dos números es 24, ¿qué valores pueden tomar esos números? 24 x · y = 24 y= Representamos los pares obtenidos x y unimos los puntos: Formamos la tabla de valores: 24 x y= x 2 12 4 6 6 4 12 2 –12 –2 –6 4 –4 –6 –2 –12
  25. 25. 11. Función de proporcionalidad inversa (II) Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es constante, se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales. k x·y=k o bien y= x k 2Las funciones de la forma y = se llaman y= x xfunciones de proporcionalidad inversa.La gráfica de las funciones deproporcionalidad inversa se llama hipérbola. 10 − 12 y= y= x x
  26. 26. 12. Resolución de problemas (I)Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de5 cm por minuto.(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm? 1º. Hacemos la tabla Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 … Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 … 1 5 1 por 52º. Observamos que las magnitudes 2 por 5 2 10son directamente proporcionales: x 5x x por 5 y = 5x es una función de 3º. La fórmula de esta función es: y = 5x proporcionalidad directa.
  27. 27. 12. Resolución de problemas (II) Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto. (a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo. (b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm? Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x 2523 20 4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)...espacio 15 Observa que las escalas de los ejes son 10 (2, 10) distintas 5 (1, 5) 5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6 min 0 0 1 2 3 4 5 tiempo Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 5 4,6
  28. 28. CALENTAMIENTO GLOBALTemperatura:indicador alarmante

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