Model Linear     danAljabar Matriks    Created By:   Taufiq A. Rizqi                     Page 1
Matriks dan Vektor• Model pasar dua barang setelah  menghilangkan dua variabel jumlah sebagai  sistem dari dua persamaan l...
Matriks sebagai Susunan             (Array)• Bila kita susun ketiga himpunan diatas  dalam bentuk sebagai berikut:        ...
Vektor sebagai Matriks Khusus• Jumlah baris dan kolom suatu matriks  secara bersama-sama membentuk suatu  dimensi dalam ma...
Operasi dengan Matriks• Penjumlahan dan pengurangan matriks• Secara umum :   [ aij ] + [ bij ] = [ cij ] dimana cij = aij ...
• Perkalian Skalar  Mengalikan matriks dengan bilangan  dalam istilah aljabar matriks, dengan suatu  skalar diartikan seba...
• Perkalian Matriks  Secara umum bila matriks A memiliki  dimensi m x n dan matriks B memiliki  dimensi p x q maka hasil p...
• Permasalahan dalam Membagi  Suatu matriks tidak mungkin dibagi  dengan matriks lainnya. Untuk dua  bilangan a dan b jika...
• Penyimpangan Cara Penulisan  Penjumlahan yang ditulis secara singkat  dapat menggunakan huruf Yunani  Σ(sigma) Yang diba...
Catatan mengenai Operasi Vektor• Perkalian Vektor  Suatu vector kolom u dengan dimensi m x  1 dan vector baris v’ dengan d...
Ketidakbebasan Linear• Suatu himpunan vektor v1, . . . , v2  dikatakan tidak bebas secara linear jika  salah satu diantara...
Ruang Vektor• Keseluruhan vector-vektor yang dihasilkan  oleh berbagai kombinasi linear dari 2  vektor bebas u dan v merup...
Hukum Komutatif, Asosiatif, dan        Distributif• Penjumlahan Matriks  – Hukum Komutatif  – Hukum Asosiatif             ...
• Perkalian Matriks  – Hukum Komutatif : Perkalian matriks tidak berlaku    komutatif, karena AB belum tentu sama dengan B...
Matriks Identitas dan Matriks               Nol• Matriks Identitas  matriks identitas seperti yang di  definisikan ketika ...
• Matriks Nol  Sama juga seperti matriks identitas yang  berperan sebagai 1 di matriks, maka  matriks nol berperan sebagai...
• Keistimewaan Aljabar Matriks• Keistimewaan ini membuat kita tidak  terlalu yakin pada aljabar skalar.  Misal, dalam alja...
Transpos dan Invers• Sifat-sifat Transpose  1. (A’)’ = A  2. (A + B) = A’ + B’  3. (AB)’ = B’A”                           ...
• Sifat-sifat Invers  1. Invers matriks A yang ditunjukan dengan     simbol A-1 hanya dapat ditentukan bila A     adalah m...
Rantai Markov Terbatas• Proses markov digunakan untuk  mengukur atau mengestimasi pergerakan  yang terjadi setiap saat. Pr...
Model Linear     danAljabar Matriks     (Lanjutan)    Created By:   Taufiq A. Rizqi                     Page 21
Syarat-syarat untuk Nonsingular            Matriks• Syarat Cukup vs Syarat Perlu• Syarat untuk Nonsingularitas            ...
• Syarat Cukup vs Syarat Perlu  Syarat perlu adalah bentuk prasayarat; Misalkan bahwa  pernyataan p benar hanya jika perny...
• Syarat untuk Nonsingularitas  Bila kondisi kuadrat telah dipenuhi (syarat  perlu), syarat cukup untuk terjadinya  nonsin...
• Rank (Peringkat) Matriks  Berikut tiga jenis operasi baris dasar pada  sebuah matriks ;  1. Pertukaran dari dua baris di...
Pengujian Nonsingularitas dengan    Menggunakan Determinan1. Determinan dan Nonsingularitas• Determinan matriks kuadarat A...
2. Evaluasi determinan Orde Ketiga• Suatu determinan orde 3 diasosiasikan  dengan matriks 3 x 3. Rumus  determinannya :|A|...
3. Menghitung determinan Orde-n dengan   Ekspansi Laplace• Nilai determinan |A| dari orde-n dapat dicari  dengan ekspansi ...
Sifat-sifat Dasar Determinan• Sifat I  pertukaran baris dengan kolom tidak  mempengaruhi nilai determinan. |A| = |A’|     ...
• Sifat II  pertukaran dua baris manapun (atau dua  kolom manapun) akan mengubah  tanda, tetapi nilai bilangan dari  deter...
• Sifat III  dengan mengalikan satu baris atau satu  kolom dengan skalar k akan mengubah  nilai determinan sebesar k kali,...
• Sifat IV  penambahan (pengurangan) dari suatu  kelipatan baris/kolom manapun ke (dari)  baris/kolom yang lain akan menye...
• Sifat V  bila suatu baris/kolom adalah kelipatan  dari baris/kolom lainnya, maka nilai  determinannya menjadi nol. Jika ...
Aturan Cramer• Derivasi aturan Cramer• Menurut Rumus Invers : x* = A-1d =   (adj A)d• Menurut Aturan Cramer :  x*j =      ...
Aljabar Matriks vs Penghapusan               Variabel• Aljabar matriks memberikan kita suatu cara penulisan  yang ringkas ...
Model Input-Output Leontief• Matriks Leontief adalah sebagai berikut :  I–A=1. Susunan Model Input-Output            outpu...
2. Model terbuka• Agar permintaan akhir dan input ada, kita harus  memasukkan dalam model suatu sector  terbuka diluar jar...
3. Pengertian Ekonomi dari Kondisi Hawkins-  Simon• Kondisi Hawkins-Simon, |B2| > 0, mensyaratkan  bahwa : (1 – a11) > 0 a...
4. Model tertutup• Dalam model tertutup, tidak ada lagi input  primer, jadi jumlah setiap kolom dalam  matriks koofisien i...
Keterbatasan Analisis Statis• Pertama adalah karena proses penyesuaian memerlukan  waktu lama untuk penyelesaiannya maka k...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Model linear

3,184 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
3,184
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
125
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Model linear

  1. 1. Model Linear danAljabar Matriks Created By: Taufiq A. Rizqi Page 1
  2. 2. Matriks dan Vektor• Model pasar dua barang setelah menghilangkan dua variabel jumlah sebagai sistem dari dua persamaan linear, seperti• Di mana parameter dan berada disebelah kanan tanda sama dengan, dapat juga disusun dalam bentuk seperti: Page 2
  3. 3. Matriks sebagai Susunan (Array)• Bila kita susun ketiga himpunan diatas dalam bentuk sebagai berikut: Page 3
  4. 4. Vektor sebagai Matriks Khusus• Jumlah baris dan kolom suatu matriks secara bersama-sama membentuk suatu dimensi dalam matriks. Jika matriks berisi m kolom dan n baris maka dikatakan mempunyai dimensi m x n. Suatu matriks mungkin hanya berisi satu kolom, maka matriks tersebut disebut vector kolom. Apabila hanya berisi satu baris maka disebut vector baris. Vektor baris menggunakan simbol: Page 4
  5. 5. Operasi dengan Matriks• Penjumlahan dan pengurangan matriks• Secara umum : [ aij ] + [ bij ] = [ cij ] dimana cij = aij + bij [ aij ] - [ bij ] = [ dij ] dimana dij = aij – bij Page 5
  6. 6. • Perkalian Skalar Mengalikan matriks dengan bilangan dalam istilah aljabar matriks, dengan suatu skalar diartikan sebagai mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar yang diberikan. Page 6
  7. 7. • Perkalian Matriks Secara umum bila matriks A memiliki dimensi m x n dan matriks B memiliki dimensi p x q maka hasil perkalian matriks AB dapat ditentukan jika dan hanya jika n = p. Selain itu AB memiliki dimensi m x q dengan baris seperti dalam matriks lead A.Jika diketahui :Hitunglah AB maka : Page 7
  8. 8. • Permasalahan dalam Membagi Suatu matriks tidak mungkin dibagi dengan matriks lainnya. Untuk dua bilangan a dan b jika a/b dapat ditulis dengan , dimana b-1 merupakan invers dari b namun keduanya memiliki hasil yang berbeda. Page 8
  9. 9. • Penyimpangan Cara Penulisan Penjumlahan yang ditulis secara singkat dapat menggunakan huruf Yunani Σ(sigma) Yang dibaca jumlah x jika j berkisar dari 1 sampai dengan 3. Page 9
  10. 10. Catatan mengenai Operasi Vektor• Perkalian Vektor Suatu vector kolom u dengan dimensi m x 1 dan vector baris v’ dengan dimensi 1 x n, akan menghasilkan hasil kali uv’ dengan dimensi m x n. Dan dapat diperoleh: Page 10
  11. 11. Ketidakbebasan Linear• Suatu himpunan vektor v1, . . . , v2 dikatakan tidak bebas secara linear jika salah satu diantaranya dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear dari vektor sisanya. Page 11
  12. 12. Ruang Vektor• Keseluruhan vector-vektor yang dihasilkan oleh berbagai kombinasi linear dari 2 vektor bebas u dan v merupakan ruang vector yang berdimansi dua. Kedua pasang vector yang bebas secara linear u dan v dikatakan merentang ruang-ruang dimensi. Page 12
  13. 13. Hukum Komutatif, Asosiatif, dan Distributif• Penjumlahan Matriks – Hukum Komutatif – Hukum Asosiatif Page 13
  14. 14. • Perkalian Matriks – Hukum Komutatif : Perkalian matriks tidak berlaku komutatif, karena AB belum tentu sama dengan BA. • AB ≠ BA – Hukum Asosiatif Contoh : Maka – Hukum Distributif A(B+C) = AB + AC [ yang mengalikan A] (B+C)A = BA + CA [ yang dikalikan A] Dalam setiap kasus juga harus memenuhi syarat perkalian matriks. Page 14
  15. 15. Matriks Identitas dan Matriks Nol• Matriks Identitas matriks identitas seperti yang di definisikan ketika awal sebagai matriks kuadrat dengan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada posisi lainya. Matriks ini dinyatakan simbol I atau In. Jadi Page 15
  16. 16. • Matriks Nol Sama juga seperti matriks identitas yang berperan sebagai 1 di matriks, maka matriks nol berperan sebagai angka nol. Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya adalah nol. Page 16
  17. 17. • Keistimewaan Aljabar Matriks• Keistimewaan ini membuat kita tidak terlalu yakin pada aljabar skalar. Misal, dalam aljabar cd = ce, maka secara tersirat d = e tapi dalam matriks tidak demikian.• C= dapat kita perolehMatriks sperti diatas disebut matriks singular. Page 17
  18. 18. Transpos dan Invers• Sifat-sifat Transpose 1. (A’)’ = A 2. (A + B) = A’ + B’ 3. (AB)’ = B’A” Page 18
  19. 19. • Sifat-sifat Invers 1. Invers matriks A yang ditunjukan dengan simbol A-1 hanya dapat ditentukan bila A adalah matriks bujursangkar AA-1 = A-1A = I 2. Tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers. 3. merupakan invers satu sama lain. 4. Bila A merupakan n x n, maka juga harus n x n. 5. Bila suatu matriks mempunyai invers, maka matriks tersebut bersifat unik. Page 19
  20. 20. Rantai Markov Terbatas• Proses markov digunakan untuk mengukur atau mengestimasi pergerakan yang terjadi setiap saat. Proses ini melibatkan penggunaan matriks transisi markov, dimana setiap nilai dalam matriks transisi adalah probabilitas pergerakan dari satu keadaan ( lokasi, pekerjaan, dan sebagainya ) ke keadaan lainnya. Dengan mengulang perkalian vector dengan matriks transisi, kita dapat mengestimasi perubahan keadaan setiap saat. Page 20
  21. 21. Model Linear danAljabar Matriks (Lanjutan) Created By: Taufiq A. Rizqi Page 21
  22. 22. Syarat-syarat untuk Nonsingular Matriks• Syarat Cukup vs Syarat Perlu• Syarat untuk Nonsingularitas Page 22
  23. 23. • Syarat Cukup vs Syarat Perlu Syarat perlu adalah bentuk prasayarat; Misalkan bahwa pernyataan p benar hanya jika pernyataan q benar; jadi q merupakan syarat perlu oleh p. Pernyataan ini ditulis dalam symbol sebagai berikut : p → q (dibaca : “p hanya jika q”) Namun, p dapat dikatakan benar meskipun q tidak benar. Dalam hal ini, q dikatakan sebagai syarat cukup untuk terjadinya p. kebenaran q mencukupi untuk pembentukan kebenaran p , tetapi bukan merupakan kondisi atau syarat yang diperlukan p. Hal ini dinyatakan dengan symbol : p ← q (dibaca : “p jika q” atau dapat juga dibaca “Jika q, maka p”) Tetapi bisa juga q adalah kedua-duanya, baik syarat perlu maupun syarat cukup untuk terjadinya p. dalam keadaan seperti ini dapat kita tulis dalam symbol : p ↔ q (dibaca: “p jika dan hanya jika q”) Page 23
  24. 24. • Syarat untuk Nonsingularitas Bila kondisi kuadrat telah dipenuhi (syarat perlu), syarat cukup untuk terjadinya nonsingular matriks adalah bahwa baris matriks atau kolom matriks tersebut harus bebas secara linear. Jika kedua syarat tersebut, yakni bentuk kuadrat dan bebas secara linear diambil bersama-sama, hal itu merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk terjadinya non singular (nonsingular ↔ bentuk kuadrat dan bebas secara linier) Page 24
  25. 25. • Rank (Peringkat) Matriks Berikut tiga jenis operasi baris dasar pada sebuah matriks ; 1. Pertukaran dari dua baris di dalam matriks 2. Perkalian (atau pembagian) dari sebuah baris dengan skalar apa pun k 0 3. Penambahan dari ‘k dikali dengan baris manapun” kepada baris yang lain Page 25
  26. 26. Pengujian Nonsingularitas dengan Menggunakan Determinan1. Determinan dan Nonsingularitas• Determinan matriks kuadarat A ditulis sebagai |A|, adalah bilangan skalar/konstan yang didefinisikan secara tunggal berkaitan dengan matriks tersebut. Determinan didefinisikan hanya untuk matriks kuadrat. Rumus : |A|= = ad-bc• Berdasarkan dimensi matriks A, determinan |A| seperti diatas disebut determinan orde-kedua (second-order determinant). Page 26
  27. 27. 2. Evaluasi determinan Orde Ketiga• Suatu determinan orde 3 diasosiasikan dengan matriks 3 x 3. Rumus determinannya :|A| = =ɑ -b +c= aei - afh + bfg - bdi + cdh - ceg Page 27
  28. 28. 3. Menghitung determinan Orde-n dengan Ekspansi Laplace• Nilai determinan |A| dari orde-n dapat dicari dengan ekspansi Laplace untuk baris atau kolom manapun sebagai berikut :• |A| = ij|Cij| [ekspansi dengan baris ke-i]• = ij|Cij| [ekspansi dengan kolom ke-j] Page 28
  29. 29. Sifat-sifat Dasar Determinan• Sifat I pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai determinan. |A| = |A’| = = ad - bc Page 29
  30. 30. • Sifat II pertukaran dua baris manapun (atau dua kolom manapun) akan mengubah tanda, tetapi nilai bilangan dari determinan-nya tidak berubah• Pertukaran kedua baris menghasilkan = = cb – ad = -(ad – bc) Page 30
  31. 31. • Sifat III dengan mengalikan satu baris atau satu kolom dengan skalar k akan mengubah nilai determinan sebesar k kali, contoh : = kad – kbc = k(ad – bc) = k Page 31
  32. 32. • Sifat IV penambahan (pengurangan) dari suatu kelipatan baris/kolom manapun ke (dari) baris/kolom yang lain akan menyebabkan nilai determinannya tidak berubah. = a(d + kb) – b(c + ka) = ad – bc = Page 32
  33. 33. • Sifat V bila suatu baris/kolom adalah kelipatan dari baris/kolom lainnya, maka nilai determinannya menjadi nol. Jika dua baris/kolom sama, maka determinan akan menghilang = 2ab – 2ab = 0 = cd – cd = 0 Page 33
  34. 34. Aturan Cramer• Derivasi aturan Cramer• Menurut Rumus Invers : x* = A-1d = (adj A)d• Menurut Aturan Cramer : x*j = Page 34
  35. 35. Aljabar Matriks vs Penghapusan Variabel• Aljabar matriks memberikan kita suatu cara penulisan yang ringkas untuk setiap system persamaan linear, dan juga melengkapi kriteria determinan untuk menguji adanya satu jawaban. Dalam kasus tertentu, metode matriks juga dapat memberikan keunggulan dalam perhitungan, seperti disaat kita diharuskan memecahkan pada waktu yang sama beberapa system persamaan yang mempunyai matriks koofisien A yang identik tetapi vector konstanta yang berbeda. Dalam kasus ini, ,etode penghapusan variable akan mensyaratkan bahwa prosedur perhitungan diulangi setiap kali systemPage 35
  36. 36. Model Input-Output Leontief• Matriks Leontief adalah sebagai berikut : I–A=1. Susunan Model Input-Output output Input I II III … N Page 36
  37. 37. 2. Model terbuka• Agar permintaan akhir dan input ada, kita harus memasukkan dalam model suatu sector terbuka diluar jaringan n industry. Sector terbuka seperti itu dapat mengakomodasi aktivitas pelanggan rumah tangga, sector pemerintah, dan bahkan para Negara asing. Secara simbolis fakta ini dapat dinyatakan dengan : ij < 1 (j = 1, 2 , …, n) Page 37
  38. 38. 3. Pengertian Ekonomi dari Kondisi Hawkins- Simon• Kondisi Hawkins-Simon, |B2| > 0, mensyaratkan bahwa : (1 – a11) > 0 atau a11 < 1• Secara ekonomis, hal ini mensyaratkan jumlah dari komoditas pertama yang digunakan dalam produksi dari komoditas pertama yang bernilai satu dollar menjadi bernilai kurang dari satu dollar. Bagian lain dari kondisi |B2|> 0 mensyaratkan bahwa : (1 – a11)(1 – a22) – a12a21 > 0 atau secara ekuivalen a11 + a12a21 + (1 – a11)a22 < 1 Page 38
  39. 39. 4. Model tertutup• Dalam model tertutup, tidak ada lagi input primer, jadi jumlah setiap kolom dalam matriks koofisien input A sekarang harus benar-enar sama dengan 1; yaitu a0j + aij + a2j + a3j = 1, atau : A0j = 1 – a1j – a2j – a3j Page 39
  40. 40. Keterbatasan Analisis Statis• Pertama adalah karena proses penyesuaian memerlukan waktu lama untuk penyelesaiannya maka keadaan ekuilibrium seperti yang telah ditentukan dalam kerangka analisis statis tertentu dapat hilang relevansinya, bahkan sebelum keadaan ekuilbrium tercapai, bila kekuatan eksogen dalam model waktu itu mengalami perubahan.• Kedua, meskipun proses penyesuaian memperkenankan menempuh jalannya sendiri, keadaan ekuilibrium yang digambarkan dalam analisis statis mungkin seluruhnya tak dapat dicapai. Sehingga menyebabkan kasus yang disebut ekuilibirum tak stabil (unstable equilibrium). Masing-masing secara jelas mengisi perbedsaam yang nyata dalam analisis statis sehingga penting sekali untuk menyelidiki ke dalam daerah analisis tersebut. Page 40

×