MODULO 1 - AULA 6   Aula 6 – Pontos Not´veis de um Triˆngulo                      a              aDefini¸˜o: Lugar Geom´tri...
Considere m a reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo seu               ponto m´dio M, e Q um ponto qualquer de...
MODULO 1 - AULA 6         ˆ         ˆ       ˆLogo, os angulos AME e BME s˜o retos, pois s˜o congruentes e adjacentes      ...
De fato, sejam os triˆngulos retˆngulos MOQ e NOQ. Temos:                                         a          a            ...
MODULO 1 - AULA 6No triˆngulo ABC da figura, AR, BS e CT s˜o as bissetrizes internas relativas       a                     ...
Na figura, o triˆngulo ABC ´ obtusˆngulo e o ortocentro H ´ exterior ao                              a          e      a   ...
MODULO 1 - AULA 6Tracemos a semi-reta AG que encontra BC e Ma .Vamos provar que:1) AMa ´ a terceira mediana, isto ´, Ma ´ ...
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MODULO 1 - AULA 6Solu¸˜o: Seja um triˆngulo retˆngulo ABC, tracemos as bissetrizes    ca              a         a         ...
De (1) e (2) OA = OB = OC ⇒ OA = OC               Logo, O pertence ` mediatriz RS, do lado AC.                            ...
MODULO 1 - AULA 6Os quadril´teros AMBC, ABCQ e CABP s˜o paralelogramos, j´ que           a                        a       ...
ˆ        ˆ     ˆ                 Como os angulos BHC e FHE s˜o opostos pelo v´rtice ent˜o:                                ...
MODULO 1 - AULA 63. Na figura, a circunferˆncia de centro O est´ inscrita no triˆngulo ABC.                        e       ...
10. A hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo mede 20 cm e um dos angulos                                          a         ...
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Mat triangulo 002

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Mat triangulo 002

  1. 1. MODULO 1 - AULA 6 Aula 6 – Pontos Not´veis de um Triˆngulo a aDefini¸˜o: Lugar Geom´trico ´ um conjunto de pontos que gozam de uma ca e emesma propriedade.Uma linha ou figura ´ um lugar geom´trico se: e ea) todos os seus pontos tˆm a propriedade; eb) s´ os seus pontos tˆm a propriedade. o eExemplos:Circunferˆncia e1) Na figura, ´ a linha que representa uma circunferˆncia de centro O e raio e eR.Note que um ponto P dessa linha dista R do ponto O. A propriedade carac-ter´ ıstica de cada ponto dessa linha em rela¸˜o ao ponto O ´ distar R do ponto ca eO. N˜o existe nenhum ponto n˜o pertencente a circunferˆncia que diste R a a ` edo ponto O porque, se Q for interior a circunferˆncia, ent˜o OQ < R e, se S ` e afor exterior a circunferˆncia, ent˜o OS > R. ` e aAssim podemos afirmar que s´ os pontos dessa circunferˆncia distam R de o eO. Da´ o lugar geom´trico dos pontos que distam R do ponto O ´ a circun- ı, e eferˆncia de centro O e raio R. eMediatriz como lugar geom´trico e2) J´ estudamos que mediatriz de um segmento ´ a reta perpendicular ao a esegmento que passa pelo seu ponto m´dio. eTeorema 1: A mediatriz de um segmento ´ o lugar geom´trico dos pontos e ede um plano que equidistam dos extremos desse segmento. Prova:1 parte: Vamos mostrar que todo ponto da mediatriz equidista dos extremosdo segmento. 115 CEDERJ
  2. 2. Considere m a reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo seu ponto m´dio M, e Q um ponto qualquer dessa mediatriz m. Vamos provar e que QA = QB Sejam os triˆngulos AMQ e BMQ, temos: a   MA = MB (constru¸˜o)  ca ˆ = BMQ (ˆngulo reto) AMQ ˆ a =⇒ ∆AMQ ≡ ∆BMQ ⇒   LAL MQ = MQ (lado comum) Da´ QA = QB. ı, Logo, Q ´ equidistante dos extremos A e B. e 2 parte: S´ os pontos da mediatriz equidistam dos extremos desse segmento. o Seja E um ponto qualquer do plano, tal que EA = EB, e provemos que E pertence ` mediatriz de AB. a De fato, ligando E com o ponto m´dio M de AB e seja os triˆngulos AME e e a BME. Temos:   EA = EB (Hip´tese)  o AM = BM (Constru¸˜o) ca =⇒ ∆AME ≡ ∆BME   LLL EM = EM (lado comum)CEDERJ 116
  3. 3. MODULO 1 - AULA 6 ˆ ˆ ˆLogo, os angulos AME e BME s˜o retos, pois s˜o congruentes e adjacentes a a ←→ −suplementares. Assim, a reta EM ´ perpendicular ao segmento AB, passando epelo ponto m´dio M do segmento AB e da´ pela unicidade de perpendicular, e ı,←→ −EM = m.Logo, E pertence ` mediatriz m de AB. aBissetriz como lugar geom´trico eJ´ estudamos que bissetriz de um ˆngulo ´ a semi-reta interior ao angulo que a a e ˆdetermina com os seus lados, dois angulos adjacentes e congruentes. ˆTeorema 2: A bissetriz de um ˆngulo ´ o lugar geom´trico dos pontos de a e eum plano que equidistam dos lados desse angulo. ˆProva:1 parte: Todo ponto da bissetriz equidista dos lados desse angulo. ˆ ←→ ˆSeja P um ponto qualquer da bissetriz OC de um ˆngulo AOB, P M e P N as˜o as distˆncias de P aos lados OA e OB, respectivamente. a aVamos provar que: PM = PNSeja os triˆngulos MOP e NOP, temos: a OP ≡ OP (lado comum) ˆ ˆ MOP ≡ NOP (defini¸˜o de bissetriz) ca =⇒ ∆MOP ≡ ∆NOP ˆ LAAo ˆ OMP ≡ ONP ( ˆngulo reto) a⇒ P M = P N. e ˆ ˆLogo, P ´ equidistante dos lados do angulo AOB.2 parte: S´ os pontos da bissetriz equidistam dos lados desse angulo. o ˆSeja Q um ponto qualquer do plano tal que:QM = QN (distˆncias de Q aos lados OA e OB de um ˆngulo AOB), e a a ˆ ˆprovemos que o ponto Q pertence ` bissetriz de AOB. a 117 CEDERJ
  4. 4. De fato, sejam os triˆngulos retˆngulos MOQ e NOQ. Temos: a a QM = QN (hip´tese) o OQ = OQ (lado comum) =⇒ ∆MOQ ≡ ∆NOQ Caso Especial ı, ˆ ˆ Da´ MOQ ≡ NOQ e s˜o adjacentes, e OQ ´ bissetriz. a e ˆ Logo, Q pertence ` bissetriz de AOB. a Vamos, agora, estudar os pontos not´veis de um triˆngulo. a a 1. Baricentro Defini¸˜o: Baricentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das medianas ca a e desse triˆngulo. a No triˆngulo ABC da figura, AMa , BMb e CMc s˜o as medianas relativas aos a a lados BC, AC e AB, respectivamente. O ponto G (encontro das medianas) ´ o baricentro do triˆngulo ABC. e a 2. Incentro Defini¸˜o: Incentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das bissetrizes ca a e internas desse triˆngulo. aCEDERJ 118
  5. 5. MODULO 1 - AULA 6No triˆngulo ABC da figura, AR, BS e CT s˜o as bissetrizes internas relativas a aaos lados BC, AC e AB, respectivamente.O ponto I ´ o incentro do triˆngulo ABC, este ponto ´ o centro do c´ e a e ırculoinscrito ao triˆngulo ABC. a3. OrtocentroDefini¸˜o: Ortocentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das retas su- ca a eportes das alturas desse triˆngulo. a ← ← → → ← →No triˆngulo ABC da figura, AH, BH, e CH s˜o as retas suportes das a aalturas AD, BE, CF , respectivamente, relativas aos lados BC, AC e AB,respectivamente.O ponto H ´ o ortocentro do triˆngulo ABC. e aObserva¸˜es: co1) Em um triˆngulo obtusˆngulo, o ortocentro ´ um ponto exterior a esse a a etriˆngulo. a 119 CEDERJ
  6. 6. Na figura, o triˆngulo ABC ´ obtusˆngulo e o ortocentro H ´ exterior ao a e a e triˆngulo. a 2) Em um triˆngulo retˆngulo, o ortocentro ´ o v´rtice do ˆngulo reto. a a e e a Na figura, o triˆngulo ABC ´ retˆngulo em A e o ortocentro H coincide com a e a A. 4. Circuncentro Defini¸˜o: Circuncentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das mediatrizes ca a e dos lados desse triˆngulo. a No triˆngulo ABC da figura ma , mb e mc s˜o as mediatrizes dos lados BC, a a AC e AB, respectivamente. O ponto O ´ o circuncentro do triˆngulo ABC, este ponto ´ o centro do e a e c´ ırculo circunscrito ao triˆngulo ABC. a Exerc´ ıcios Resolvidos 1. Mostre que as trˆs medianas de um triˆngulo concorrem em um e a mesmo ponto, o qual divide cada mediana em duas partes, tais que a que cont´m o v´rtice ´ o dobro da outra. e e e Solu¸˜o: Seja o triˆngulo ABC e tracemos as medianas BMb e CMc , ca a que se cortam em G, conforme figura.CEDERJ 120
  7. 7. MODULO 1 - AULA 6Tracemos a semi-reta AG que encontra BC e Ma .Vamos provar que:1) AMa ´ a terceira mediana, isto ´, Ma ´ o ponto m´dio de BC. e e e e 22) AG = 2 · GMa ou AG = · AMa . ←→ 3De fato, seja E em AG, tal que GE = AG e tracemos BE e CE.No ∆ ABE, GMc BE, pois G e Mc s˜o pontos m´dios dos lados AE a ee AB, respectivamente (base m´dia). eDe modo an´logo, GMb CE no ∆ ACE. aDa´ BECG ´ um paralelogramo (Defini¸˜o) e suas diagonais BC e GE ı, e case encontram em seus pontos m´dios. eLogo,1) Ma ´ o ponto m´dio de BC e AMa ´ a terceira mediana. e e e 22) AG = GE = 2 · GMa ou AG = GE = · AMa 3De modo similar, se prova que BG = 2 · GMb e CG = 2 · GMc .2. Na figura, o ponto R ´ ponto m´dio de AB, e o segmento RS ´ pa- e e eralelo ao lado BC. Sendo AC = 28, calcule a medida do segmento ST.Solu¸˜o: Sendo R o ponto m´dio de AB e RS BC, ent˜o S ´ o ponto ca e a em´dio de AC. eDa´ BS e CR s˜o medianas e T ´ o baricentro do ∆ ABC. ı, a eDa´ ı, 2 1 AC 1BT = · BS =⇒ T S = · BS, mas BS = = · 28 = 14 3 Ex. 1 3 2 2 121 CEDERJ
  8. 8. 1 14 14 Logo, T S = · 14 = ⇒ TS = . 3 3 3 3. Mostre que as trˆs bissetrizes internas de um triˆngulo concorrem e a em um mesmo ponto, que ´ equidistante dos lados. e ca ˆ ˆ ˆ Solu¸˜o: Seja o ∆ ABC e AM e BR as bissetrizes dos angulos A e B na figura. −→ − − → As semi-retas AM e BR formam com o lado AB, ˆngulos cuja soma a ˆ A B ˆ + ´ menor que 180◦ e, ter˜o que encontrar-se. e a 2 2 Seja I o ponto de interse¸˜o. I pertencendo ` bissetriz AM, temos que ca a IE = IF (Teorema 2). I pertencendo ` bissetriz BR, temos que IE = ID. a Logo, IF = ID, ent˜o I pertence a bissetriz CS. a Logo, as trˆs bissetrizes internas do ∆ ABC concorrem em um mesmo e ponto, que ´ equidistante dos lados. e Note que o incentro de um triˆngulo ´ o centro da circunferˆncia ins- a e e crita neste triˆngulo. a 4. Em um triˆngulo retˆngulo ABC, tra¸am-se as bissetrizes BM e a a c ˆ e C, onde M ´ o incentro. Calcule a medida CM dos ˆngulos agudos B a ˆ e ˆ do ˆngulo BMC. aCEDERJ 122
  9. 9. MODULO 1 - AULA 6Solu¸˜o: Seja um triˆngulo retˆngulo ABC, tracemos as bissetrizes ca a a a ˆ ˆBM e CM dos ˆngulos agudos B e C, onde M ´ o incentro. eTemos que: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + B + C = 180◦ no ∆ABC ⇒ B + C = 180◦ − 90◦ = 90◦ .No ∆ BMC temos: ˆ B ˆ C ˆ B Cˆ ˆ ˆ + BMC + = 180◦ ⇒ BMC = 180◦ − − 2 2 2 2 ˆ ˆ B+C ˆ ⇒ BMC = 180◦ − 2 ˆ 90◦ ⇒ BMC = 180◦ − = 180◦ − 45◦ = 135◦ . 2 ˆ eLogo, a medida do angulo BMC ´ 135◦ . ˆ5. Mostre que as trˆs mediatrizes de um triˆngulo concorrem em um e amesmo ponto equidistante dos v´rtices desse triˆngulo. e aSolu¸˜o: Seja o triˆngulo ABC, e MN e PQ as mediatrizes relativas ca aaos lados AB e AC.O pertence ` mediatriz MN do lado AB ⇒ OA = OB (1) aO pertence ` mediatriz PQ do lado BC ⇒ OB = OC (2) a 123 CEDERJ
  10. 10. De (1) e (2) OA = OB = OC ⇒ OA = OC Logo, O pertence ` mediatriz RS, do lado AC. a 6. Exprimir os angulos formados pelas mediatrizes em fun¸˜o dos angulos ˆ ca ˆ ˆ ˆ ˆ A, B, C do triˆngulo ABC. a Solu¸˜o: Consideremos a figura, onde OM e OP s˜o mediatrizes dos ca a lados AB e BC. Ent˜o, no quadril´tero AMOP temos: a a ˆ ˆ ˆ ˆ A + MOP = 180◦ ⇒ MOP = 180◦ − A Chamando α, β, γ os ˆngulos formados pelas mediatrizes, temos que a ˆ α = 180◦ − A De forma similar ˆ ˆ β = 180◦ − B e γ = 180◦ − C 7. Mostre que as retas suportes das trˆs alturas de um triˆngulo con- e a correm em um mesmo ponto. Solu¸˜o: Seja o triˆngulo ABC, e tracemos para cada v´rtice a paralela ca a e ao lado oposto. Estas cortam-se, porque s˜o paralelas as retas secantes a ` e formam o triˆngulo MPQ. aCEDERJ 124
  11. 11. MODULO 1 - AULA 6Os quadril´teros AMBC, ABCQ e CABP s˜o paralelogramos, j´ que a a aos lados opostos s˜o paralelos. aEnt˜o: a AM = BC = AQ BM = AC = BP (Propriedade de paralelogramo) CP = AB = CQEnt˜o, A, B e C s˜o os pontos m´dios dos lados do triˆngulo MPQ. a a e aAssim, as trˆs alturas do triˆngulo dado ABC, confundem-se com as e atrˆs mediatrizes do triˆngulo MPQ e concorrem em um mesmo ponto, e aH. ˆ ˆ8. Na figura, calcule o valor de x, se ABC = 55◦ e ACB = 45◦ . ˆ ˆSolu¸˜o: Seja a figura dada, temos que ABC = 55◦ e ACB = 45◦ . caEnt˜o, a ˆ ˆ ˆ BAC = 180◦ − ABC − ACB = 180◦ − 55◦ − 45◦ = 80◦No quadril´tero AFHE, temos: a ˆ m(FME) = 180◦ − 80◦ = 100◦ . 125 CEDERJ
  12. 12. ˆ ˆ ˆ Como os angulos BHC e FHE s˜o opostos pelo v´rtice ent˜o: a e a ˆ ˆ x = m(BMC) = m(FHE) = 100◦ Observa¸˜es: co 1) Em um triˆngulo is´sceles os quatro pontos not´veis est˜o sobre a a o a a mesma reta, j´ que a mediatriz, mediana, altura e bissetriz relativas a a ` base coincidem. 2) No caso do triˆngulo equil´tero, esses quatro pontos se reduzem a a a um s´. o Exerc´ ıcios Propostos 1. Na figura, o ponto D ´ m´dio do lado AB, e DE ´ paralelo ao lado BC. e e e Sendo AC = 60 cm, calcule a medida de GE. 2. Considere um triˆngulo ABC tal que as medianas BD e CE, que se a cortam em G, sejam congruentes. Mostre que: a) BG = CG b) ∆CGD = ∆BGE c) o triˆngulo ABC ´ is´sceles. a e oCEDERJ 126
  13. 13. MODULO 1 - AULA 63. Na figura, a circunferˆncia de centro O est´ inscrita no triˆngulo ABC. e a a Sendo DOE paralelo ao lado BC, AB = 16, AC = 20, calcule o per´ ımetro do triˆngulo ADE. a4. Em um triˆngulo ABC as trˆs mediatrizes fazem entre si trˆs ˆngulos a e e a iguais a 120 . Mostre que este triˆngulo ´ equil´tero. ◦ a e a a ˆ ˆ a ˆ5. Em um triˆngulo ABC, o angulo A mede 60◦ e o ˆngulo B mede 80◦ . Calcule as medidas dos seis ˆngulos formados pelas alturas com v´rtice a e no ortocentro H desse triˆngulo. a a a ˆ a ˆ6. Considere um triˆngulo ABC, o ˆngulo A mede 40◦ e o ˆngulo B mede 60◦ . Une-se o ponto m´dio M do lado BC aos p´s D e E das alturas BD e e e CE. Determine as medidas dos angulos internos do triˆngulo MDE. ˆ a ˆ ˆ ˆ7. As bissetrizes internas dos angulos B e C de um triˆngulo ABC formam a um ˆngulo de 116◦ . Determinar a medida do menor angulo formado a ˆ pelas alturas relativas aos lados AB e AC desse triˆngulo. a8. Mostre que em um triˆngulo acutˆngulo o ortocentro ´ incentro do seu a a e triˆngulo ortico. a ´ Nota: Triˆngulo ortico ´ o triˆngulo cujos v´rtices s˜o os p´s das alturas a ´ e a e a e de um triˆngulo. a9. Considerando os quatro pontos not´veis de um triˆngulo, a a a) Quais os que podem ser externos ao triˆngulo? a b) Qual o que pode ser ponto m´dio de um lado? e c) Qual o que pode ser v´rtice de um triˆngulo? e a 127 CEDERJ
  14. 14. 10. A hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo mede 20 cm e um dos angulos a a ˆ 20◦ . a) Qual a medida da mediana relativa a hipotenusa? ` b) Qual a medida do angulo formado por essa mediana e pela bissetriz ˆ do angulo reto? ˆ Gabarito 1. 10. 2. Demonstra¸˜o. ca 3. 36. 4. Demonstra¸˜o. ca 5. 80◦ , 60◦ , 40◦ , 80◦, 60◦ , 40◦ . 6. 100◦ , 40◦ , 40◦. 7. 52◦ 8. Demonstra¸˜o. ca 9. a) ortocentro e circuncentro; b) circuncentro; c) ortocentro. 10. a) 10 cm; b) 25◦ .CEDERJ 128

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