1. Matemática
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. RELAÇÕES MÉTRICAS
Seja o triângulo retângulo abaixo:
Dado o triângulo retângulo ABC abaixo:
B
A
b c
h
a
b
n m
C B
a
Temos:
c e b são os catetos; A C
a é a hipotenusa; c
h é a altura relativa a hipotenusa a ; Temos:
m é projeção ortogonal do cateto c e n é a a é a medida da hipotenusa;
projeção ortogonal do cateto b . b e c são as medidas dos catetos.
Temos as seguintes relações: Definimos:
Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângu- Seno de um ângulo agudo
lo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à É a razão entre a medida do cateto oposto a esse ân-
soma dos quadrados das medidas dos catetos: gulo e a medida da hipotenusa.
a 2 = b2 + c 2 No triangulo acima temos: ˆ b
sen C = e
a
O produto de um dos catetos pela altura é igual ˆ c
sen B = .
ao produto do outro cateto pela projeção do pri- a
meiro cateto sobre a hipotenusa:
Exemplo:
Considere o seguinte triangulo:
b⋅h = c⋅n e c⋅h = b⋅m
B
O quadrado de cada cateto é igual ao produto da
hipotenusa pela projeção do cateto corresponden-
te:
5
c2 = a ⋅ m e b2 = a ⋅ n 4
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual
ao produto das projeções de cada cateto:
h2 = m ⋅ n A
3
C
O produto dos catetos é igual ao produto da hipo-
tenusa pela altura relativa a ela: Determine ˆ
sen C e ˆ
sen B .
ˆ 4
sen C = e ˆ 3
sen B =
b⋅c = a⋅h 5 5
Cosseno de um ângulo agudo
É a razão entre a medida do cateto adjacente a esse
ângulo e a medida da hipotenusa.
Editora Exato 27

2. Matemática
B cateto adjacente
cos x = ;
hipotenusa
cateto oposto
tgx = .
cateto adjacente
a
b 3. ÂNGULOS NOTÁVEIS (30°, 45°, 60°)
Podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tan-
gente dos ângulos 30°, 45° e 60° através da tabela abaixo:
A C 30° 45° 60°
c Seno 1 2 3
No triângulo, temos: 2 2 2
ˆ c
cos C = e ˆ b
cos B = Cosseno 3 2 1
a a 2
2 2
Exemplo:
Tangente 3 1 3
No triangulo abaixo determine ˆ
cos C e ˆ
cos B
3
B
Exemplo:
Determine o valor de x na figura abaixo:
5
4
x
A C
3 30º
16
ˆ 3 ˆ 4
cos C = e cos B =
5 5 x
tg 30° = (observe na tabela tg30°)
Tangente de um ângulo agudo 16
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida
do cateto adjacente a esse ângulo. 3 x
=
3 16
B
2 x = 16 3
16 3
x=
3
a
b
EXERCÍCIOS
1 (UF-
(UF-RN) Observe a figura a seguir e determine a altura h
do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos θ = 0,6 .
A C
c B
No triângulo, temos:
ˆ b ˆ c
tgC = e tgB =
c b h
Em geral temos: Sendo x a medida de um ângulo
agudo num triangulo retângulo temos:
θ
cateto oposto A
sen x = ;
hipotenusa
Editora Exato 28

3. Matemática
a) h=22,5m Se as alturas do poste e do prédio são, respectivamente,
b) h=15m 6 3m e 30m, então a distância x, entre o poste e o pré-
c) h=18,5m dio é, em metros:
d) 20m
a) 15 3 − 18
b) 15 3 − 10
2 (UNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos c) 30 3 − 24
degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma al-
ˆ d) 30 3 − 20
tura. Se AB = 2m e BCA mede 30º, então qual a me-
dida da extensão de cada degrau? e) 30 3 − 18
6 (UNAMA-
(UNAMA-PA) A figura representa um barco atravessando
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte cor-
renteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo
um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a
distância percorrida pelo barco até o ponto C, é:
B C
60º rio
3 (UNIFOR-
(UNIFOR-CE) Em certa hora do dia, os raios do Sol inci-
dem sobre um local plano com uma inclinação de 60º A
em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento
da sombra de uma construção de 6m de altura será, a-
proximadamente: a) 240 3m
a) 10,2m d) 4,2m
b) 240m
b) 8,5m e) 3,4m
c) 5,9m c) 80 3m
d) 80m
e) 40 3m
4 (COVESP-
(COVESP-PE) Um barco atravessa um rio num trecho on-
de a largura é 100m, seguindo uma direção que forma m
ângulo de 30º com uma das margens. Assinale a alterna- 7 (USF-SP)
(USF-
tiva certa para a distância percorrida pelo barco para a-
travessar o rio.
a) 100m d) 150m
b) 200m e) 250m
200
c) m
3
2m
5 (F.C. CHAGAS-SP) Um observador, no ponto A, vê o to-
CHAGAS
HAGAS-
po de um poste (B) e o topo de um prédio (C), conforme 30º
a figura a seguir.
Para permitir o aceso a um monumento que está em um
C pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa
com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.
O comprimento da rampa será igual a:
3
a) m
2
b) 3m
c) 2m
B d) 4m
e) 4 3m
30º
A
x
Editora Exato 29

4. Matemática
8 (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos 11 (FUVEST-SP) Dois pontos A e B estão situados na margem
(FUVEST-
no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mos- de um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na
tra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está outra margem do rio, está situado de tal modo que o an-
a 20m de altura, comprimento do cabo AC é: ˆ ˆ
gulo CAB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. De-
termine a largura do rio.
a) 40m
C b) 20m
c) 20 3m
d) 30m
e) 25m
A B 12 (U. PASSO FUNDO-RS) Em um triângulo ABC, retângulo
FUNDO-
ˆ
em A, o cateto AB ^mede 5m e cosB = 0,4 , sua hipo-
a) 15m d) 35m tenusa, em metros, mede:
b) 20m e) 40m a) 2
c) 25m b) 5,5
c) 9,5
d) 12,5
9 (MOJI-SP)
(MOJI-SP) Uma escada que mede 4m tem uma de suas e) 13,5
extremidades aparada no topo de um muro, e a outra ex-
tremidade dista 2,4m da base do muro. A altura do muro
é: 13 (UFMG) Observe a figura.
ˆ ˆ ˆ
Nessa figura, BAE, ACE e FDE são ângulos retos, e as
medidas CD, AF e DE são 1, 2, 3, respectivamente. A á-
rea do triângulo de vértice A, B e E é:
4m
A
F
2,4m
B C D E
a) 2,3m c) 3,2m
b) 3,0m d) 3,8m 3 2
a) b)
2 4
10 (UNICAMP) Para medir a largura AC de um rio um ho- 3 3
c) d)
mem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B 6 6
de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de
ˆ
forma que o ângulo ABC fosse 60º; determinou o ponto 14 (UFRS) o lampião representado na figura suspenso por
D no prolongamento de CA de forma que o ângulo duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que
ˆ
CBD fosse de 90º. Medindo AD = 40m , achou a largu- 1 6
essas cordas medem e , a distância do lampião ao
ra do rio. Qual a medida dessa largura? 2 5
teto é:
B
30º
60º
C D
A 40 a) 1,3
b) 1,3
c) 0,6
1
a) 100m c) 140m d)
2
b) 120m d) 150m
6
e)
13
Editora Exato 30

5. Matemática
15 (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um
prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador
está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m
de altura do plano horizontal que passa pelo pé do pré-
dio, então a altura do prédio, em metros, é:
12m
O
75°
12m
a) 4(3 + 3).
b) 3.
3
c) .
2
d) 6( 2 + 2).
1
e) .
2
GABARITO
1 20m
3
2 m
3
3 E
4 B
5 E
6 B
7 D
8 C
9 C
10 B
11 B
12 D
13 D
14 E
15 A
Editora Exato 31