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Mat progressoes geometricas 002

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Mat progressoes geometricas 002

  1. 1. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Franco1. Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em umacaderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, atéo mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçariaos depósitos como de início e assim o faria até o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorridofalha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dosdepósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi dea) 42.947,50.b) 49.142,00.c) 57.330,00.d) 85.995,00.e) 114.660,00.2. Em uma Progressão Geométrica estritamente crescente com razão igual ao triplo doprimeiro termo e na qual, o quarto termo é igual a 16875, é correto afirmar quea) o terceiro termo é igual a nove vezes o primeiro termo.b) a soma dos três primeiros termos é igual a 241 vezes o primeiro termo.c) o segundo termo é igual a 9 vezes o quadrado do primeiro termo.d) a soma do primeiro e do terceiro termo é igual a 25 vezes o segundo termo.e) os termos também estão em progressão aritmética.3. O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequênciaan = ( −3 ) , com n ∈ ¥ *, é −n 1a) . 27 1b) . 81 1c) − . 243 1d) − . 27 1e) − . 814. Um colégio promoveu uma Olimpíada Interna de Matemática cuja prova consistiu de dezquestões, numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em qualquer ordem e queforam pontuadas de acordo com as seguintes regras: a cada questão não resolvida, resolvida de forma parcial ou totalmente incorreta foi atribuído valor 0; à resolução correta da questão um foi atribuído o valor 1; à resolução correta da questão dois foi atribuído o valor 2; à resolução correta da questão três foi atribuído o valor 4; à resolução correta da questão quatro foi atribuído o valor 8, e assim sucessivamente, até a questão dez.Nessas condições, pode-se afirmar que um participante da Olimpíada que obteve um total de213 pontos resolveu corretamentea) seis questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar.b) seis questões, das quais apenas uma é de numeração par.c) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar.d) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração par.e) três questões de numeração par e três questões de numeração ímpar. 3 Considere a equação algébrica ∑ ( x − ak ) 4 −k5. = 0 . Sabendo que x = 0 é uma das raízes e k =1que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica com a1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que Página 1 de 12
  2. 2. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Francoa) a soma de todas as raízes é 5.b) o produto de todas as raízes é 21.c) a única raiz real é maior que zero.d) a soma das raízes não reais é 10.e) todas as raízes são reais.6. Não sendo paga quantia alguma relativa a um empréstimo feito por uma pessoa, serão aele incorporados juros compostos de 2,5% a.m.Assim, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo umaprogressãoa) aritmética de razão 0,25 .b) geométrica de razão 1 ,025 .c) aritmética de razão 1,205 .d) geométrica de razão 10,25 .e) aritmética de razão 12,05 .7. Observe a sequência de figurasABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos médios dos lados dessequadrado, obtém-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, asoma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa sequência é igual a 64 2 cm2. Aárea do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em centímetros quadrados, éigual a 2a) . 16 2b) . 4c) 2.d) 4 2.e) 8 2.8. Três números formam uma progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades doterceiro número, obteremos uma progressão aritmética cuja soma dos termos éa) 16.b) 18.c) 22.d) 24.e) 26.9. Se a e b são números reais positivos tais que a sequência (a, 6, b) é uma progressãoaritmética e a sequência (a, 11, b) é uma progressão geométrica, então o produto de a e b é:a) 6.b) 10.c) 11.d) 66. Página 2 de 12
  3. 3. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Francoe) nda.10. De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes nos pontoP1,P2 ,...,P,i ∈ ¥ . iDo outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas algumas árvores nos pontosA1, A 2 ,..., A j , j ∈ ¥ . Sabe-se que:- P1P2 = 3 dam- P1Pi = 63 dam ( )- P1P2 ,P2P3 ,... é uma progressão aritmética finita de razão 3.- A1A j = P1Pi ( )- A1A 2 , A 2 A 3 ,... é uma progressão geométrica finita de razão 2.- i= jCom base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre duas árvoresconsecutivas é, em dam, igual aa) 63b) 32c) 18d) 1611. Você tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se você recebesseR$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você recebesseR$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos.Porém, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento,você recebesse o dobro do que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos receberiatodo o dinheiro?a) 4b) 6c) 8d) 10e) 1212. A sequência de termos positivos (a1, a2, a3,... an, ...) é uma progressão geométrica derazão igual a q .Podemos afirmar que a sequência (loga1 , loga2 , loga3 , ... logan ...) é:a) Uma progressão aritmética de razão q .b) Uma progressão geométrica de razão q .c) Uma progressão aritmética de razão log q .d) Uma progressão geométrica de razão log q .e) Uma progressão aritmética de razão (loga1 - logq ).13. Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro dexadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos naterceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãosacabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessasinformações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o meninoutilizou na brincadeira éa) 480b) 511c) 512d) 1023e) 1024 Página 3 de 12
  4. 4. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Franco14. A natureza tem sua própria maneira de manter o equilíbrio. Se uma comunidade ficagrande demais, é, muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doença ouincêndios.Uma certa reserva florestal sofreu um incêndio. Na primeira hora, teve 1 km 2 e, a cada horasubsequente, foi destruído pelo fogo o triplo da área em relação à hora anterior. Supondo queesse processo se mantenha, quantos km2 da reserva serão queimados decorridas k horas doinício do incêndio? 3k − 1a) 2b) 3kc) 3k-1 3kd) 2 3k +1 − 1e) 215. Na sequência 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se umaunidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência éa) 211-1.b) 211+1.c) 212-1.d) 212+1.e) 213-1.16. Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstraçõesmatemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo deAquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges oapresenta da seguinte maneira:Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corredez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre essesdez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro;Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro,a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, eassim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a ∞ 1 1 ∑( ) nd = 10 + 1 + + 2 + ... = 10 + 1 10 . 10 10 n=0É correto afirmar que: Página 4 de 12
  5. 5. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Francoa) d = + ∞b) d = 11,11 91c) d = 9d) d = 12 100e) d = 917. Na manhã de segunda-feira uma empresa começou sua produção de iogurte do seguintemodo: adicionou a um litro de iogurte, já pronto, três litros de leite. Após 24 horas, havia 4 litrosde iogurte, que foram novamente misturados a uma parte proporcional de leite para darsequencia à produção. Se a empresa continuou esse processo, então, na manhã de sexta-feira, o total de litros de iogurte obtidos foi dea) 45b) 46c) 28d) 2918. Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cadachoque com o solo, ela recupera apenas ½ da altura anterior.A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até omomento de repouso é:a) 12 mb) 6 mc) 8 md) 4 me) 16 m19. Uma bola de boliche de 2 kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registraa velocidade e a energia cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C. Pontos Velocidade Energia cinética (m/s) (J) Se (E1, E2 , E3 ) é uma progressão geométrica 1 A V1 E1 de razão , a razão da progressão geométrica 2 (V1, V2 , V3 ) está indicada em: B V2 E2 a) 1 C V3 E3 b) 2 2 c) 2 1d) 220. Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir. Página 5 de 12
  6. 6. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton FrancoNa Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido emquatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 enas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de 5a) 100   . 1 4   6b) 100   . 1 3   5c) 100   . 1 3   6d) 100   . 3 4   5e) 100   . 3 4   Página 6 de 12
  7. 7. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton FrancoGabarito:Resposta da questão 1:[D](1,2,4,8,.. 2048)Considerando a P.G., temos:2048 = 1.2 n-12n -1 = 211n = 12 (12 meses = 1 ano) 1.(212 − 1)Soma dos montantes S = = 4095 (por ano) 2 −1No 21o aniversário, termos: 21 . 4095 = 85.995,00.Resposta da questão 2:[B]Considerando o primeiro termo igual a x e a razão igual a 3x, temos: ( 2 3 4 5P.G. x,3x ,9x ,27x ,81x ,... )27x 4 = 16.875X= 5 ( P.G. crescente)Temos a PG de razão 15 e primeiro termo 5 ( 5, 75, 1125 , 16.875, ... )Logo, a resposta b é a correta 5 + 75 + 1125 = 241.5.Resposta da questão 3:[B] 1 1a4 = (-3)-4 = = ( −3)4 81Resposta da questão 4:[D]O valor de cada uma das questões, em ordem crescente, é: 20 , 21, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 e29.Portanto, se um participante obteve 213 pontos, então ele acertou as questões 1, 3, 5, 7 e 8.Resposta da questão 5:[A]2 + 2q + 2q2 = 6 ⇔ q2 + q – 2 = 0, logo q = -2 ou q = 1Para q = 1 temos:(x-2)3 + (x – 2)2 + (x – 2) = 0 não apresenta o zero como raiz.Para q = -2 temos:(x – 2)3 + ( x+4)2 + (x – 8) = 0 ⇔ x3 -5x2 + 21x = 0 ⇔ x.(x2 – 5x + 21 ) = 0 5 ± i. 59Resolvendo a equação, temos x = 0 ou x -= 2 Página 7 de 12
  8. 8. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton FrancoPortanto, a soma de todas as raízes será 5.Resposta da questão 6:[B]Se C é o capital emprestado, n é o número de meses após a concessão e a taxa de juros é2,5% = 0,025 a.m., segue que o montante é dado por C ⋅ (1 + 0,025)n = C ⋅ (1,025)n .Portanto, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo umaprogressão geométrica de razão 1,025.Resposta da questão 7:[A] 1A sequência é uma P.G. infinita de razão q = , vamos considerar A1 seu primeiro termos e A10 2seu décimo termo. A1 1 = 64 2 ⇔ A1 = .64 2 = 32 2 1 21− 2 10 −1  1 2Logo, A 10 = 32 2.   = 2 16Resposta da questão 8:[B]Se (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão 3, então (a, b, c) = (a, 3a, 9a).Por outro lado, de acordo com o enunciado, temos que (a, 3a, 9a − 8) é uma progressãoaritmética. Logo, sabendo que o termo central é a média aritmética dos extremos, vem que a + 9a − 83a = ⇔ 5a − 4 = 3a ⇔ a = 2. 2Portanto, a soma pedida é a + 3a + 9a − 8 = 13a − 8 = 13 ⋅ 2 − 8 = 18.Resposta da questão 9:[C]Se (a, 11, b) é uma progressão geométrica, então a ⋅ b = ( 11)2 = 11.Resposta da questão 10:[B]ai = 3 + (n − 1).3 = 3n( 3 + 3n ) n = 63 ⇔ n = 6 2Sabemos que o número de postes é igual ao número de árvores.Portanto, na PG temos:a1(26 − 1) = 63 ⇔ a1 = 1 2 −1Temos então a figura: Página 8 de 12
  9. 9. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton FrancoLogo, a maior distância entre duas árvores será 32m.Resposta da questão 11:[B]Considerando a P.A (100. 250, 400, ...), temos:a9 = 100 +8.150 = 1300 (100 + 1300).9S9 = = 6.300 2Considerando agora a P.G. ( 100, 200, 400, ...), temos:100. ( 2 − 1) = 6300 n 2 −1 n2 − 1 = 632n = 64n=6Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses.Resposta da questão 12:[C](loga1, loga2 , loga3 , K , logan , K) =(loga1, loga1q, loga1q2 , K , loga1qn−1, K) =(loga1, loga1 + logq, loga1 + 2logq, K , loga1 + (n − 1)logq, K).Como(loga1 + logq) − loga1 = (loga1 + 2logq) − (loga1 + logq) = K = logq,segue que (loga1, loga2 , loga3 , K , logan , K) é uma PA de razão logq.Resposta da questão 13:[C]A quantidade de grãos colocados pelo menino em cada casa constitui uma progressãogeométrica cujo primeiro termo é 1 e cuja razão vale 2. Logo, segue que a quantidade degrãos colocados até a nona casa foi de 29 − 11⋅ = 511. 2 −1Como os grãos só acabaram na décima casa, temos que a quantidade mínima de grãos que omenino utilizou na brincadeira é 511 + 1 = 512.Resposta da questão 14:[A](1,3,9, ...) temos uma P.G de razão 3. A soma das áreas na hora k será: Página 9 de 12
  10. 10. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Franco 1.(3k − 1) 3k − 1S= = . 3 −1 2Resposta da questão 15:[E]O termo geral da sequência é an = 2n – 1Logo a13 = 213 -1Resposta da questão 16:[E] ∞ 1 1 ∑( ) nd = 10 + 1 + + + ... = 10 + 1 10 . 10 102 n=0 PG infinita de razão 1/10 10 10 100 = =d= 1 9 9 1− 10 10Resposta da questão 17:[C]Terça ----------------- 1 + 3 = 4 L de iogurte.Quarta ----------------4 + 3.4 = 16 L de iogurte.Quinta ----------------16 + 3.16 = 64 L de iogurte.Sexta ------------------64 + 64.3 = 256 L = 28 L de iogurte.Resposta da questão 18:[A]S = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + ½ +1/2 + ...S = 4 + 4 + 2 + 1 + ½ + ...( P.G. infinita de razão ½) 4S=4+ 1 (soma dos termos da P.G. Infinita) 1− 2S=4+8S = 12mResposta da questão 19:[C] mV 2Sabendo que a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade V é dada por , 2segue que: 2V12E1 = = V12 , 2 2V22E2 = = V22 2e 2V 2E3 = 3 = V32 . 2 Página 10 de 12
  11. 11. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Franco 1Como (E1, E2 , E3 ) é uma PG de razão , temos que: 2 E1 V12 E2 V12E2 = = e E3 = = . 2 2 2 4Assim, V2 2V1V22 = 1 ⇒ V2 = 2 2e V2 VV3 2 = 1 ⇒ V2 = 1 . 4 2Em que: V1 2V1V3 V2 2 = 2 = 2, = ⇔V2 V1 2V1 V1 2 2 2ou seja, (V1, V2 , V3 ) é uma PG de razão . 2Resposta da questão 20:[E]Na primeira etapa: 10.10 = 100Na segunda etapa: (3/4).100Na terceira etapa: (3/4). (3/4).100 = (3/4)2.100Temos, então uma P.G. de razão q = ¾Portanto o sexto termos será (3/4)5. 100 Página 11 de 12
  12. 12. Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton FrancoResumo das questões selecionadas nesta atividadeData de elaboração: 13/10/2011 às 23:10Nome do arquivo: pGeometricaLegenda:Q/Prova = número da questão na provaQ/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo 1..................100548.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha 2..................104567.............Matemática.........Upe/2011................................Múltipla escolha 3..................101507.............Matemática.........Uftm/2011...............................Múltipla escolha 4..................105303.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha 5..................101529.............Matemática.........Ita/2011...................................Múltipla escolha 6..................105339.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha 7..................102041.............Matemática.........Ifsp/2011.................................Múltipla escolha 8..................105420.............Matemática.........Ufrs/2011................................Múltipla escolha 9..................102815.............Matemática.........G1 - ifal/2011..........................Múltipla escolha 10................106448.............Matemática.........Epcar (Afa)/2011.....................Múltipla escolha 11................103191.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha 12................100045.............Matemática.........Fgv/2011.................................Múltipla escolha 13................106671.............Matemática.........Espcex (Aman)/2011..............Múltipla escolha 14................104245.............Matemática.........Ufsm/2011..............................Múltipla escolha 15................91127...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha 16................91299...............Matemática.........Uff/2010..................................Múltipla escolha 17................93026...............Matemática.........G1 - cftmg/2010......................Múltipla escolha 18................96745...............Matemática.........Unemat/2010..........................Múltipla escolha 19................97344...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha 20................91126...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha Página 12 de 12

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