Mat geometria plana 002

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Mat geometria plana 002

  1. 1. Matemática Geometria Plana1. Polígonos um polígono de n lados é dada por: Si = 180º ( n − 2 ) ANOTAÇÕES Consideremos, num plano, n pon-tos ( n ≥ 3 ), A1, A2 , A3, ... An, ordena-das de modo que três desses pontos 1.4. Soma dos ângulos Externosconsecutivos não seja colineares. A soma dos ângulos externos de Chama-se polígono a reunião dos um polígono de n lados é igual a 360º,segmentos independente da quantidade de lados.A1A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , ... , A n A. 1.5. Relação entre ai e ae. a i + a e = 180º 1.6. Polígonos Regulares Chamamos um polígono de regu- lar quando possi todos os lados e ân-1.1. Nomenclatura: gulos iguais. Assim, temos que a me- De acordo com o número de lados dida do ângulo interno de um polígo-temos: no regular de n lados é dada porTriângulo = 3 lados 180º ( n − 2 )Quadrilátero = 4 lados ai = e a do ângulo exter- nPentágono = 5 lados no desse mesmo polígono é dada porHexágono = 6 lados 360ºOctógono = 8 lados ae = .Eneágono = 9 lados nDecágono = 10 ladosUndecágono = 11 lados EXERCÍCIOS 1Pentadecágono = 15 ladosIcoságono = 20 lados 1. Calcule o número de diagonais de um heptágono.1.2. Número de Diagonais Diagonal é um segmento cujas ex- 2. Cada ângulo interno de um decágonotremidades são vértices não consecu- regular mede:tivos do polígono. O número de dia- a) 35º c) 72º e) 144ºgonais é dado por: n(n − 3) d= , 2onde n é o número de lados do polí-gono.1.3. Soma dos ângulos Internos A soma dos ângulos internos de COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1
  2. 2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA n ≥ 4, tais que d(n + 1) > 2 d(n), ANOTAÇÕESb) 60º d) 120º possui infinitos elementos. IV. O conjunto de valores d (n ) , para3. O polígono convexo cuja soma dos ân- n = 4, 5, 6, ..., nesta ordem, gulos internos mede 1440º tem exa- forma uma progressão aritméti- tamente: ca. a) 15 diagonais V. Temos que d(n) = n ⇔ n = 5. b) 20 diagonais c) 25 diagonais 10. (Ita – SP) Considere as afirmações so- d) 30 diagonais bre polígonos convexos: e) 35 diagonais I. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide4. Se um polígono convexo de n lados com o número de lados. tem 54 diagonais então n é: II. Não existe polígono cujo númeroa) 8 c) 10 e) 12 de diagonais seja o quádruplo dob) 9 d) 11 número de lados. III. Se a razão entre o número de di-5. O polígono regular convexo em que o agonais e o de lados de um polí- n° de lados é igual ao n° de diagonais gono é um número natural, então é o: o número de lados do polígono é a) dodecágono. ímpar. b) pentágono. a) Todas as afirmações são verda- c) decágono. deiras. d) hexágono. b) Apenas I e III são verdadeiras. e) heptágono. c) Apenas I é verdadeira. d) Apenas III é verdadeira.6. (Universidade São Francisco) O polí- e) Apenas II e III são verdadeiras. gono regular cujo ângulo interno me- de o triplo do ângulo externo é o 11. (Unesp) A distância entre dois lados a) pentágono paralelos de um hexágono regular é b) hexágono igual a 2 3 c m . A medida do lado c) octógono desse hexágono, em centímetros, é: d) decágono a) 3 c) 2,5 e) 4 e) dodecágono b) 2. d) 37. (Faap) A medida mais próxima de ca- da ângulo externo do heptágono regu- 12. O apótema de um triângulo equilátero lar da moeda de R$ 0,25 é: mede 3 cm. Determine o lado do tri- ângulo. 13. (UFES) Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as dia- gonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede ema) 60° c) 36° e) 51° graus:b) 45° d) 83° a) 140 c) 155 e) 170 b) 150 d) 1608. O número de polígonos em que o ân- gulo interno, medido em graus, é re- presentado um número inteiro é: EXERCÍCIOS 2a) 12 c) 14 e) 22b) 20 d) 24 1. Determine o perímetro dos seguintes polígonos. (Dê a resposta em m).9. (UFGO) O número de diagonais de um a) Um triângulo eqüilátero de lado polígono regular de n lados é dado igual a 15 cm. n2 − 3n pela função d (n ) = , definida 2 para todo número natural n ≥ 4 . De acordo com essa afirmação, julgue os itens abaixo. I. Não existe polígono regular com 99 diagonais. II. O conjunto imagem da função d(n) é o conjunto de todos os números naturais. III. O conjunto dos números naturaisPÁGINA 2 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  3. 3. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira ANOTAÇÕES b)2. Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 1080°? a) y = 90° - x . b) y = 180° - x .3. Determine x: c) y = 2x . d) y = 3x. 8. (UFSC) Considere um hexágono eqüi- ângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos me- dem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo. Calcule o pe-4. (Mack – SP) Os ângulos externos de rímetro do hexágono. um polígono regular medem 20°. En- tão, o número de diagonais desse po- lígono é:a) 90 c) 119 e) 152b) 104 d) 1355. (Ufes) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. A soma α + β + γ + δ das medidas dos ângulos indicados na figura é: 9. (Ita – SP) Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n - 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°, determine o número n de la- dos do polígono.a) 180° c) 360° e) 540° 10. (Unesp) O número de diagonais de umb) 270° d) 480° polígono convexo de x lados é dado por N ( x ) = ( x 2 − 3x ) . Se o polígono 16. (Fuvest – SP) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A 2 medida, em graus, do ângulo α é: possui 9 diagonais, seu número de la- dos é: a) 10 c) 8 e) 6 b) 9 d) 7 11. (Ita – SP) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:a) 32° c) 36° e) 40° a) 63 c) 66 e) 77b) 34° d) 38° b) 65 d) 707. (UEG – 2006) Na figura abaixo, para 12. (Cefet – CE) Um polígono regular tem quaisquer que sejam x e y, as medi- 4 lados a mais que outro polígono e das dos ângulos satisfazem a relação seu ângulo interno excede de 15º do outro. Quais são esses polígonos? COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 3
  4. 4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA co pontas, conforme destacado na fi- ANOTAÇÕES13. (Unifesp) A soma de n − 1 ângulos de gura. um polígono convexo de n lados é i- gual a 1900º. O ângulo remanescente mede:a) 120º c) 95º e) 60ºb) 105º d) 80º14. (Ita – SP) O comprimento da diagonal de um pentágono regular de lado me- dindo 1 unidade é igual à raiz positiva de: Nestas condições, o ângulo θ mede a) 108°. c) 54°. e) 18°. b) 72°. d) 36°. 18. (Ita – SP) Considere três polígonos re- gulares tais que os números que ex- pressam a quantidade de lados de ca- da um constituam uma progressão a- ritmética. Sabe-se que o produto des- tes três números é igual a 585 e que a a) x2 + x − 2 = 0 soma de todos os ângulos internos dos b) x2 − x − 2 = 0 três polígonos é igual a 3780°. O nú- x2 − 2x + 1 = 0 mero total das diagonais nestes três c) polígonos é igual a: d) x2 + x − 1 = 0 a) 63 c) 90 e) 106 e) x2 − x − 1 = 0 b) 69 d) 9715. (UFscar) Um polígono regular com e- 19. (Puc – PR) Quatro triângulos congru- xatamente 35 diagonais tem entes são recortados de um retângulo a) 6 lados. de 11x13. O octógono resultante tem b) 9 lados. oito lados iguais. c) 10 lados. d) 12 lados. e) 20 lados.16. (UFAL) Num polígono convexo de n lados, a soma das medidas dos ângu- los internos é dada por (n – 2).180°. O comprimento do lado deste octógo- Use essa informação e considere as no é: afirmativas referentes ao polígono a) 3 c) 5 e) 7 não regular abaixo representado. b) 4 d) 6 20. (UFLA) As aranhas são notáveis geô- metras, já que suas teias revelam va- riadas relações geométricas. No de- senho, a aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por he- xágonos regulares igualmente espa- çados. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer ao longo da teia para alcançar o infeliz inseto? Assinale as alternativas verdadeiras. I. A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é necessari- amente 540°. II. A medida a é necessariamente igual a 108°. III. A soma de b e b1 dá, necessaria- mente, 180°. IV. b1 é igual a 72° obrigatoriamen- te. V. a1 + b1 + c1 + d1 + e1 = 360°, ne- cessariamente.17. (Unifesp) Pentágonos regulares con- gruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cin-PÁGINA 4 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  5. 5. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira ANOTAÇÕES a) 8 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm21. (UEPB) Sabendo que a figura abaixo nos mostra um mosaico onde todos os pentágonos são regulares e iguais en- tre si, então x + y é igual a:a) 240º c) 224º e) 220ºb) 216º d) 232º GABARITO01. a) 0,45m b) 31,4m02. Octógono 03. x = 110º 04. d05. e 06. c07. b 08. 99 cm 09. 1410. e 11. b12. octógono e dodecágono13. d 14. e 15. c16. V F V F V 17. D18. d 19. c20. b 21. b COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 5
  6. 6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA A M B ANOTAÇÕES2. Circunferência e cír- culo O É o conjunto dos pontos de umplano eqüidistantes de um ponto fixochamado de centro. Se uma secante intercepta a cir- cunferência em dois pontos distintos A e B e M é o ponto médio da corda AB, então a reta OM é perpendicular a secante. Tangente É a reta que possui apenas um ú- O – Centro da circunferência nico ponto em comum com a circun- OP e OR – Raio ferência. t T2.1. Corda B r Chamamos de corda o segmentode reta cujas extremidades perten- Ocem à circunferência.2.2. Diâmetro A maior corda de uma circunfe- Toda tangente a uma circunferência érência é chamada de diâmetro, que é perpendicular ao raio no ponto dea corda que passa pelo centro da cir- tangência.cunferência. B 2.5. Teorema do Bico corda A Se de um ponto P traçarmos os C D segmentos PA e PB ambos tangentes O a uma circunferência, com A e B na diâmetro circunferência, então PA = PB. A2.3. Círculo C P Denominamos círculo o conjuntode todos os pontos do plano limitadopor uma circunferência. B 2.6. Ângulos na circunferência Ângulo Central É o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência e os lados são os Círculo raios desta circunferência. A2.4. Posição Relativa de Reta e Circunferência med(AB) α Temos duas importantes posições Orelativas entre retas e circunferência:a reta secante e a reta tangente. B » α = med(AB) Secante É a reta que intercepta a circun-ferência em dois pontos distintos. Ve-ja a figura.PÁGINA 6 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  7. 7. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira Inscritível ANOTAÇÕES Ângulo inscrito B É o ângulo cujo vértice pertence àcircunferência e os lados são cordasda circunferência. A C β C A D O A + C = B + D = 180o ˆ ˆ ˆ ˆ med(AB) B EXERCÍCIOS 1 » me d(AB) β= 1. Nas figuras abaixo, calcule o valor de 2 x. a “Todo triângulo inscrito numa se- )micircunferência é retângulo”. 3 Ângulo de Vértice Interior O vértice é um ponto interno, dis-tinto do centro. C x A b P ) x O 6 x B D » ¼ me d(AB) + m e d(CD) 13 x= 2 PA.PB = PC.PD 2. Calcule o perímetro do triângulo PRS, sabendo que PA = 12 cm. Ângulo de Vértice Exterior A R A B P T C x P O S D B C med(AB) a) 12 cm d) 48 cm b) 24 cm e) 60cm » ¼ me d(AB) − m ed(CD) c) 36 cm x= 2 3. ABCD, na figura, está circunscrito à PA.PB = PC.PD circunferência de centro Q. Sabendo-se que AB = 3x, BC = 4x +1,2.7. Quadrilátero CD = 5x e DA = 2x +3, calcule o perí- metro desse quadrilátero. Circunscritível (Teorema de Pi- B tot) A D C D C 4. Em cada uma das figuras abaixo, cal- cular o valor de x. A B AB + C D = AD + BC COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 7
  8. 8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕESa) A 2x α β θ R R R B Cb) B a) 4α c) 5α C b) 6α d) 7α 28o x 8. Três tonéis cilíndricos são arrumados A D como mostra a figura abaixo. Dois de- les tem diâmetro iguais a 6 cm e ou-c) A tro, diâmetro igual a 4cm. Então a al- x tura h vale: 20o B C hd) A B o 80 x a) 10cm c) 8cm b) 9cm d) 6cm C 9. (Fuvest – SP) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O5. Em cada uma das figuras abaixo, cal- é: cular o valor de x. Ca) 36 o D E B x D A 35o A B x O B C o 54b) A D a) 125° c) 120° e) 135° E x 91 o 100 o b) 110° d) 100° C 10. (Fuvest – SP) Os pontos A, B e C per- tencem a uma circunferência γ e AC é B lado de um polígono regular inscrito em γ. Sabendo-se que o ângulo ABCˆ6. Em cada uma das seguintes figuras mede 18° podemos concluir que o abaixo, calcular o valor de x. número de lados do polígono é iguala) a: A A 27 o D o 51 E B x C C B Bb) C B a) 5 c) 7 e) 12 B b) 6 d) 10 124o 34 o x 11. Calcule o valor de x na figura a se- A E guir. B D7. Na figura abaixo, α + β + θ , vale:PÁGINA 8 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  9. 9. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira ANOTAÇÕES o x 45 x B O 75 o 35o a) 60° c) 90° e) 120° b) 80° d) 100° EXERCÍCIOS 2 6. (Ufmg) Nessa figura, BD é um diâme-1. Calcule o valor de x na figura a se- tro da circunferência circunscrita ao guir. triângulo ABC, e os ângulos ABD e ˆ ˆ medem, respectivamente, 20° e AED 85°. Assim sendo, o ângulo CBD me- ˆ de: o 80 A x B C D A R R B E D2. Calcule o valor de x na figura a se- guir. C A a) 25° c) 30° b) 35° d) 40° x 7. (Mack – SP) Na figura a seguir, os ar- O Q cos QMP e MTQ medem, respectiva- mente, 170° e 130°. Então, o arco MSN mede: P P M3. Na figura, o segmento tangente PA S mede 15 cm e PR mede 12 cm. N T R A Q S O a) 60° c) 80° e) 110° b) 70° d) 100° B P T 8. (Fatec – SP) Na figura a seguir, o tri- ângulo APB está inscrito na circunfe- a) Determine a medida RS rência de centro C. Se os ângulos as- b) Qual é o perímetro do triângulo sinalados têm as medidas indicadas, PRT. então x é igual a: P4. Um ângulo inscrito é formado por uma corda e um diâmetro. O arco subentendido pela corda é o dobro do C arco compreendido entre os lados. Determine o ângulo inscrito. o 23 45’ A B 66o 15’5. O ângulo x, na figura a seguir, mede: a) 23°45 c) 60° e) 66°15 b) 30° d) 62°30 COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 9
  10. 10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕES9. Determine x nos casos a seguir, onde os segmentos são tangentes às circun- ferências:a) R O 2x + 10 T S 3x – 5b) x R 5 cm O 3 cm S10. (UFG) A figura a seguir mostra uma circunferência de raio r = 3 cm, ins- crita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 18 cm. A C B a) Calcule o comprimento da circun- ferência que circunscreve o tri- ângulo ABC. b) Calcule o perímetro do triângulo ABC. GABARITO β01. x = 20° 02. x = 203. a) 3cm b) 30cm 04. 30º05. b 06. a 07. a 08. E09. a) x = 15 b) x = 2. 10. a) 18 π c mb) 42 c mPÁGINA 10 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  11. 11. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira ANOTAÇÕES3. Inscrição Circunscri- ção de Polígonos Re- C R gulares a Lembremos que um polígono é di-to regular quando, e somente quandotodos os seus lados e ângulos foremcongruentes. Dois resultados serão es- Hexágono Regular:tudados neste capítulo:I. Sempre existirá uma circunferên- cia em que esse polígono esteja inscrito.II. Sempre existirá uma circunferên- C R cia em que esse polígono esteja circunscrito. a Quadro-Resumo para polígonos ins- critos Triângulo Quadrado Hexágono Lado l = 3.R l = 2.R l =R R R 2 R 3 Apótema a= a= a= 2 2 2 Quadro-Resumo para polígonos cir-3.1. Elementos Notáveis de um cunscritos Polígono Regular Triângulo Quadrado Hexágono Centro das Circunferências l = 2.R R 2 Lado l = 2R. 3 l= 2 É o ponto central das duas circun- Apótema a=R a =R a =Rferências, que por sua vez são con-cêntricas. EXERCÍCIOS 1 Raios das Circunferências (R): Os raios são tidos como grandezas- 1. Seja L o lado e a o apótema de umpadrão na análise do polígono inscrito triângulo regular inscrito numa cir-ou circunscrito. cunferência de raio 6 c m . O valor de (L + a) é: Apótema (a) ( a) 3 1+ 2 3 ) É o segmento que liga o centro ao b) 2 (1− 2 3 )ponto médio de qualquer lado do po-lígono. c) 3 ( 2 + 3 )3.2. Polígonos Regulares Inscri- d) 2 ( 3 + 5 3 ) tos em uma Circunferência e) 1+ 2 3 Triângulo Eqüilátero 2. Um hexágono regular e um quadrado estão escritos numa mesma circunfe- rência. Se o lado do hexágono mede 7 d m , a medida do perímetro do C R quadrado, em c m , é: a a) 510 c) 220 2 e) 200 3 b) 280 2 d) 300 3 Quadrado COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 11
  12. 12. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA a) 220 cm d) 300 cm ANOTAÇÕES3. Um quadrado e um triângulo equiláte- b) 230 cm e) 400 cm ro estão inscritos em uma mesma cir- c) 280 cm cunferência. Se o lado do quadrado mede 8 2 m , o apótema desse triân- 10. Inscrito a uma circunferência de mármore um aluno pretendeu fazer gulo, em c m , mede: um hexágono regular de um aramea) 4 c) 7 e) 15 que custa R$ 0,60 o metro. No finalb) 6 d) 10 das contas ele teve que gastar R$ 5,52 a mais pois foi obrigado a fazer4. A medida do diâmetro de uma circun- um hexágono circunscrito à circunfe- ferência onde está inscrito um triân- gulo equilátero de apótema medindo rência. Considerando 3 = 1 , na ,73 5 c m , mede: construção do menor hexágono, o a- luno gastaria:a) 12 cm c) 14 cm e) 25 cm a) R$ 34,00 d) R$ 41,00b) 28 cm d) 20 cm b) R$ 36,00 e) R$ 45,50 c) R$ 38,505. O apótema de um hexágono regular mede 3 d a m . Seu perímetro me- de: EXERCÍCIOS 2 a) 120 dm b) 1 200 dm 1. (Ita – SP) Um hexágono regular e um c) 150 dm quadrado estão inscritos no mesmo d) 1 500 dm círculo de raio R e o hexágono possui e) 2 000 dm uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas a-6. Num círculo estão inscritos um qua- restas paralelas será: drado e um triângulo equilátero. Se a a) R d) R diagonal do quadrado mede 6 cm, a ( 3 − 2) ( 2 −1) 2 2 altura do triângulo equilátero mede, b) R e) R em cm: ( 2 +1) ( 3 −1)a) 4,0 c) 5,0 e) 7,0 2 2b) 4,5 d) 5,5 c) R ( 3 +1) 27. Se na figura abaixo, o semiperímetro do maior quadrado mede 2 x , o lado 2. O lado de um hexágono regular inscri- do menor quadrado mede: to numa circunferência mede 8 2 c m . Determine o apótema do quadrado inscrito na mesma circunfe- rência. 3. O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determine o lado do tri- ângulo.a) x 2 d) x 3 4. (Mack – SP) Sejam r e R, respectiva- 2 mente, os raios das circunferênciab) x 2 e) x inscrita e circunscrita a um polígono regular de n lados. Então, qualquerc) 0,8x 3 que seja n, r/R vale: a) sen (2π/n)8. A altura de um triângulo equilátero 15 b) tg (π/n) mede c m . Determine, em c m , o π comprimento da circunferência nele c) cos (π/n) inscrita.a) 2π c) 1,5π e) 5 d) sen (π/n)b) 10 d) π e) cos (2π/n)9. Se aumentarmos de 346 cm o lado de um triângulo equilátero, ele deixa de ser inscrito para ser circunscrito a uma circunferência. Considerando 3 =1,73 , a medida da maior corda desta circunferência é:PÁGINA 12 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  13. 13. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira apótema e por b n o comprimento de ANOTAÇÕES5. (CEFET – RJ) O perímetro de um he- um lado de P . O valor de n para o xágono regular inscrito em um círculo n de 25 π cm2 de área é igual a qual valem as desigualdades b n ≤ a na) 150 cm c) 25 cm e) 30 cm e b n −1 > a n −1 , pertence ao intervalob) 75 cm d) 15 cm a) 3 < n < 7. b) 6 < n < 9.6. (Unirio) Um carimbo com o símbolo c) 8 < n < 11. de uma empresa foi encomendado a d) 10 < n < 13. uma fábrica. Ele é formado por um e) 12 < n < 15. triângulo equilátero que está inscrito numa circunferência e que circuns- creve um hexágono regular. Sabendo- 13. (Uff) A razão entre o lado do quadra- se que o lado do triângulo deve medir do inscrito e o lado do quadrado cir- 3cm, então a soma das medidas, em cunscrito em uma circunferência de cm, do lado do hexágono com a do raio R é: diâmetro da circunferência deve ser: a) 1/3 c) 3 /3 e) 2a) 7 d) 1 + 3 b) 1/2 d) 2 /2b) 1 + 2 3 e) 77/32c) 2 3 14. Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência. Sabendo que os arcos AB, BC e CD valem, respectiva-7. (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio mente, 80°, 110° e 90°, determine está inscrito em um hexágono regu- todos os ângulos do quadrilátero. lar, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a 15. (UFPB) A figura ao lado representaa) 20 3 c) 15 3 e) 9 2 um barril totalmente fechado, que foi d) construído unindo-se 12 tábuas en-b) 18 3 12 3 curvadas e iguais, encaixadas e presas a outras 2 tábuas circulares e iguais,8. (UFU) Sabendo-se que um polígono de raio 10 cm. Com base nessas in- regular de n lados está inscrito num formações, pode-se concluir que a círculo de raio 1 e que o polígono medida, em cm, do segmento de reta possui 9 diagonais, encontre a medida AB é igual a: do comprimento de seu lado.9. (PUC – RJ) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo eqüilátero de lado a?a) 2 c) 2 e) 3a 2b) 3 d) 3a10. (Cefet – MG) O apótema do quadrado a) 10 c) 7 e) 5 inscrito numa circunferência é igual a b) 8 d) 6 2 cm. O lado do hexágono regular ins- crito nessa mesma circunferência, em cm, é GABARITOa) 2 2 c) 2 3 01. A 02. 4 6 c m 03. 6 3 c mb) 3 2 d) 3 3 04. C 05. E 06. B 07. A 08. 1 09. A 10. A 11. C 12. B11. (Cefet – MG) Uma circunferência, ins- 13. D 14. A = 100°, B = 85°, crita em um quadrado cuja diagonal C = 80° e D = 95° 15. A mede 20 cm, possui comprimento, em cm, igual aa) π 2 c) 10 π 2b) 5 π 2 d) 20 π 2 EXERCÍCIOS 212. (Ita) Seja Pn um polígono regular de n lados, com n > 2 . Denote por a n o COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 13
  14. 14. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕES a a4. Áreas das Figuras Pla- nas a4.1. Triângulo a2 3 Em função de um lado e da altu- A= 4 ra relativa a ele. A Triângulo Circunscrito à uma Circunferência h A c b B C a a.h A= B C 2 a A = p.r Em função de dois lados e um ângulo compreendido entre eles Triângulo Inscrito em uma Cir- A cunferência c b b c R B C a a ˆ ˆ ˆ b c.se nA a c.se nB a b.senC A= = = 2 2 2 abc A= 4R Em função dos lados (Fórmula de Herão) A 4.2. Quadriláteros Paralelogramo c b A D h B C a B C A = p(p − a)(p − b )(p − c ) A = a.bObs.: p é o semi-perímetro do triân- a +b +c Retângulogulo e p = . 2 Triângulo Retângulo b a a b A = a.b c b.c A= 2 Triângulo EqüiláteroPÁGINA 14 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  15. 15. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira l Setor Circular ANOTAÇÕES Losango r d α r D d.D α A= A= .π.r 2 2 360o ou α.r 2 A= Quadrado 2 com α dado em graus ou radianos res- pectivamente. a EXERCÍCIOS 1 a A = a.a = a 2 1. (Puc – RJ) Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro é 25 m e Trapézio cuja área é 25 m2? b 2. (Faap – SP) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na ra- h zão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66m. A B área (em m2) deste terreno é: a) 250 c) 252 e) 268 (b + B).h A= b) 300 d) 246 2 3. (Fatec – SP) Um terreno retangular tem 170 m de perímetro. Se a razão entre as medidas dos lados é 0,7, en-4.3. Círculo tão a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a: Círculo a) 7000 c) 4480 e) 1120 b) 5670 d) 1750 r 4. (Cefet – RJ) A área do triângulo re- tângulo no qual a medida da hipote- nusa é 13 cm e a de um dos catetos é 5 cm é igual a: a) 128 cm2. d) 39 cm2 . b) 65 cm2. e) 60 cm2 . 2 A = π.r 2 c) 30 cm . Coroa Circular 5. (PUC – MG) A medida da área da sala representada na figura, em m2 é: r r R A = π.(R2 − r 2 ) COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 15
  16. 16. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕESa) 28 c) 42b) 32 d) 486. (UFV – MG) A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados. 10. (UEL) Considere a região hachurada, no interior do círculo de centro O, li- mitada por semicircunferências, con- forme mostra a figura a seguir.A área do terreno, em km2, é igual a:a) 215. c) 200. e) 205.b) 210. d) 220.7. (Unesp) O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus la- Se a área dessa região é 108πcm2 e dos estaria entre: AM=MN=NB, então a medida do raio do a) 200 m e 201 m. círculo, em centímetros, é b) 220 m e 221 m. a) 9 c) 16 e) 24 c) 401 m e 402 m. b) 12 d) 18 d) 632 m e 633 m. e) 802 m e 803 m. EXERCÍCIOS 28. (Unesp – SP) A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se que duas pare- 1. (Unicamp) Em um quadrilátero conve- des contíguas quaisquer incidem uma xo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e na outra perpendicularmente e que os vértices B e D distam, respectiva- AB=2,5m, BC=1,2m, EF=4,0m, mente, 3cm e 5cm da diagonal AC. FG=0,8m, HG=3,5m e AH=6,0m. a) Faça uma figura ilustrativa da si- tuação descrita. b) Calcule a área do quadrilátero. 2. (Fuvest – SP) No quadrilátero ABCD a seguir, ABC =150°, ˆ AD=AB=4cm, BC=10cm, MN=2cm, sendo M e N, res- pectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:Qual a área dessa sala em metros quadra-dos?a) 37,2 c) 40,2. e) 42,2.b) 38,2. d) 41,2.9. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um a) 10 c) 20 e) 40 quadrado de lado 7cm. Sobre cada b) 15 d) 30 lado do quadrado, considera-se a se- mi-circunferência exterior ao quadra- do com centro no ponto médio do la- 3. (Puc – SP) Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de do e raio 3,5cm, como na figura a se- lado, conforme mostra a figura a se- guir. Calcule a área da região hachu- guir. Se cada lado do quadrado está rada. dividido pelos pontos assinalados em segmentosPÁGINA 16 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  17. 17. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira área do jardim e a área total do ter- ANOTAÇÕES congruentes entre si, então a área do reno? octógono, em centímetros quadrados, a) 30 %. c) 40 %. e) 50 %. é: b) 36 %. d) 45 %. 10. (Unicamp) Considere dois quadrados congruentes de lado 4cm. O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro. Determine a variação da área obtida pela intersecção das áreas dos quadrados durante a rotação.a) 98 c) 108 e) 120b) 102 d) 1204. (Fuvest – SP) A, B e C são pontos de uma circunferência de raio 3cm, AB=BC e o ângulo ABC mede 30°. ˆ 11. (Unesp) O ângulo central AÔB refe- a) Calcule, em cm, o comprimento rente ao circulo da figura adiante do segmento AC. mede 60° e OX é sua bissetriz. Se M é b) Calcule, em cm2, a área do triân- o ponto médio do raio OC e gulo ABC. OC= 5 cm, calcular a área da figura5. (Unicamp) Um triângulo escaleno ABC hachurada. tem área igual a 96m2. Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero BMNC.6. (Unesp) A área de um triângulo retân- gulo é 12dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hi- potenusa desse triângulo.7. (Unesp) Corta-se um pedaço de arame de 12dm em duas partes e constrói- se, com cada uma delas, um quadra- 12. (Unesp) A figura adiante mostra um do. Se a soma das áreas é 5dm2 , de- triângulo equilátero ABC. Se termine a que menor distância de AM=MP=PB, AN=NQ=QC e BH=HC, pro- uma das extremidades do arame foi ve que os triângulos HMN e HPQ têm a feito o corte. mesma área.8. (Unitau) Dada a figura a seguir e sa- bendo-se que os dois quadrados pos- suem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a á- rea da parte preenchida?a) 100 c) 5 e) 14b) 20 d) 10 13. (Unicamp) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros9. (Fuvest – SP) O retângulo ABCD repre- de lado, prende-se uma corda flexí- senta um terreno retangular cuja lar- vel e inextensível, gura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim re- tangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 17
  18. 18. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕES em cuja extremidade livre é amarra- da uma pequena estaca que serve pa- ra riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Man- tendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua ex- a) 10, 8, 4 e 2. tremidade livre esteja encostada à b) 10, 9, 3 e 2. parede BC, risca-se um contorno no c) 12, 6, 4 e 2. chão, em volta da casa, até que a ex- d) 16, 4, 3 e 1. tremidade livre toque a parede CD. e) 17, 4, 2 e 1. a) Faça uma figura ilustrativa da si- tuação descrita. 18. (Fuvest – SP) No triângulo ABC, AC = b) Calcule a área da região exterior 5cm, BC=20cm e cos α =3/5. O maior à casa, delimitada pelo traçado valor possível, em cm2, para a área da estaca. do retângulo MNPQ, construído con- forme mostra a figura a seguir, é:14. (Unicamp) Prove que a soma das dis- tâncias de um ponto qualquer do in- terior de um triângulo eqüilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo.15. (Unesp) Considere o triângulo retân- gulo isósceles ABC (reto em B) e o trapézio retângulo EFCD cujos ângulos internos retos são os dos vértices F e C, conforme a figura a seguir. Sabe-se a) 16 c) 20 e) 24 que a medida do segmento BF é igual b) 18 d) 22 a 8cm, do segmento DC é 4cm e que a área do trapézio EFCD é 30cm2. 19. (Cesgranrio) Um triângulo tem lados 20, 21 e 29. O raio da circunferência a ele circunscrita vale: a) 8 c) 10 e) 14,5 b) 8,5 d) 12,5 20. (Cesgranrio) O polígono a seguir, em forma de estrela, tem todos os lados iguais a 1cm e todos os ângulos iguais a 60° ou 240°. Sua área é:A medida de AB é:a) 12 cm d) 18 cmb) 14 cm e) 20 cmc) 16 cm16. (Unicamp) A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: a) 3 cm2 d) 6 3 cm2 A = p (p − a )(p − b )(p − c ) b) 3 3 cm 2 e) 9 cm2 onde a, b, c são os comprimentos dos c) 6 cm2 lados e p é o semi-perímetro. a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centí- metros. b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros.17. (Cesgranrio) ABCD é um paralelogra- mo e M é o ponto médio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelo- gramo em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas de I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a:PÁGINA 18 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  19. 19. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 26. (UFPE) Na figura a seguir P é o ponto ANOTAÇÕES21. (Cesgranrio) OPQ é um quadrante de médio do segmento AD do paralelo- círculo, no qual foram traçados semi- gramo ABCD. Calcule a área, em m2, círculos de diâmetros OP e OQ. De- do triângulo ÐAPB sabendo-se que a termine o valor da razão das áreas área do paralelogramo é 136m2. hachuradas, a/b. 27. (UFPE) A figura a seguir possui x uni- dades de área. Determine o inteiro mais próximo de x.a) 1/ 2 c) π/4 e) π/3b) 1/2 d) 122. (Fatec – SP) Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram mol- dados: uma na forma de um quadra- do, outro na forma de um triângulo eqüilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T e C são, respectiva- mente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade quea) Q < T < C d) T < C < Qb) C < T < Q e) T < Q < C 28. (Puc – Campinas/SP) A seguir tem-se ac) C < Q < T representação da planta de um terre- no quadrangular. A área, em metros quadrados, desse terreno é:23. (Fatec – SP) A altura de um triângulo eqüilátero e a diagonal de um qua- drado têm medidas iguais. Se a área do triângulo eqüilátero é 16 3 m2 então a área do quadrado, em metros quadrados, éa) 6 c) 54 e) 150b) 24 d) 9624. (FEI – SP) Se os triângulos ABC e DEF são construídos de tal maneira que: a) (360 3 ) + 700 2 DE=2 AB, EF=2 BC e DF=2AC, podemos afirmar que a divisão da área do tri- b) (360 3 ) + 700 ângulo DEF pela área do triângulo ABC é igual a: c) 530 3a) 1 c) 3 e) 3 d) (180 2 ) + 350 3b) 2 d) 4 e) (180 3 ) + 350 225. UFPE) Na figura a seguir CD = (3AB)/2 29. (Unicamp) Uma folha retangular de e a área do triângulo OAB é 8. Qual o cartolina mede 35cm de largura por valor da área do triângulo ODC? 75cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada uma desses quadrados mede x cm de comprimento.a) 16 c) 9/4 e) 12b) 18 d) 24 COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 19
  20. 20. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕES a) Calcule a área do retângulo inici- al. b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1.725cm2 .30. (Unicamp) Sejam A, B, C e D os vérti- ces de um quadrado de lado a=10cm; sejam ainda E e F pontos nos lados AD e DC, respectivamente, de modo que BEF seja um triângulo eqüilátero. a) 30 c) 60 e) 120 a) Qual o comprimento do lado des- b) 50 d) 80 se triângulo? b) Calcule a área do mesmo. 34. (Uel) Um trapézio, inscrito numa cir- cunferência de centro O, pode ser di-31. (Uel) No retângulo da figura a seguir, vidido em três triângulos equiláteros aumentando-se de 6cm o lado maior e congruentes, como mostra a figura a de 3cm o lado menor, a área aumenta seguir. Se a área do trapézio é 102cm2. O valor de x, em centíme- 27 3 cm2, então a área do círculo tros, é limitado por essa circunferência, em centímetros quadrados, é igual aa) 5,5 c) 6,5 e) 7,5b) 6,0 d) 7,032. (Uel) Um rolo de tela com 28m de comprimento será totalmente apro- veitado para cercar um jardim com formato de setor circular como mos- a) 9π c) 25π e) 49π tra a figura a seguir. Se a área do se- b) 16π d) 36π tor é 40m2 e x é maior que y, então o raio do setor é um número 35. (Uel) Na figura a seguir, o segmento BD é a mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC, E e F são pontos médios dos segmentos AD e BD , respectivamente. a) divisor de 35. b) menor que 8. c) múltiplo de 5. d) quadrado perfeito. e) ímpar. Se S é a área do triângulo ABC, então a33. (Uel) Dois quadrados, com os lados área da região hachurada é respectivamente paralelos, intercep- a) (1/8).S d) (5/16).S tam-se como mostra a figura a seguir. b) (3/16).S e) (3/8).S Se AM=MD, HM=ME e as áreas desses c) (1/4).S quadrados são 100cm2 e 144m2, a á- rea do quadrilátero MDNE, em centí- 36. (UFMG) Observe a figura. metros quadrados, é igual aPÁGINA 20 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  21. 21. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 39. (UFMG) Observe a figura a seguir. ANOTAÇÕES Nessa figura, a região hachurada está delimitada pelos arcos BC, AC e AB das circunferências de centros A, B e C, respectivamente, e a medida do segmento BC é 2 . A área dessa re- gião é Nessa figura, o segmento AC é parale- lo ao segmento ED, AB = BC = 3cm e BC/ED = 2. A área do triângulo ABE é igual a 3 cm2. A área do trapézio BCDE, em cm2, é π - [(3 3 )/8] a)a) 9/2 c) 9 e) 12b) 6 d) 11/2 b) π - [( 3 )/4] c) π - 337. (UFMG) Observe a figura. d) π + [( 3 )/4] e) π + 3 40. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, DE=HC=2 e a área do triângulo ABC é o quádruplo da área do triângulo CDE. A área do triângulo CDE é Nessa figura, AB é diâmetro do círcu- lo de centro O e raio r=4. A reta AD é tangente ao círculo em A, o segmento CD é perpendicular ao segmento AD é a medida da corda AC é 4. A área do triângulo ADC éa) 2 3 c) 8 3 e) 16b) 4 d) 12 338. (UFMG) Observe a figura a seguir. a) (3 3 )/4 d) 2 3 Nessa figura, OA=4 3 , OB=2 3 b) (3 3 )/2 e) 3 3 e AB e AC tangenciam a circunfe- c) 3 rência de centro O em B e C.A área da região hachurada é 41. (UFMG) Observe a figura a) π -3 b) - 3 π -3 3 Nessa figura, a circunferência de di- c) âmetro OC=16 tangencia a reta OA. d) π -2 3 Para cada ponto P sobre a circunfe- rência, P distinto de O e C, deno- e) π - 3 COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 21
  22. 22. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕES te por x a medida do ângulo AÔP, on- de 0<x< π /2. a) Determine uma expressão para a área do triângulo OPC em função de x. b) Determine os valores de x para os quais a área do triângulo OPC se- ja 32. c) Determine x para que a área do triângulo OPC seja a maior possí- vel.42. (Unirio) Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo dese- 45. (Unaerp) A área de um triângulo re- nho está na figura a seguir, é usada tângulo é a2, se dobrarmos a medida para revestir a parede de um banhei- de um cateto, a área do novo triângu- ro. Sabendo-se que cada placa é um lo será: quadrado de 30cm de lado, a área da a) 3a2 /2 região hachurada é: b) 2a2 /3 c) 2a2 d) 3a2 e) Os dados são insuficientes para a determinação da nova área. 46. (Mack – SP) Na figura a seguir AD / / BC . Então a área do quadrilá- tero ABCD é: a) 900 – 125 π b) 900 (4 – π ) c) 500 π – 900 d) 500 π – 225 e) 225 (4 – π )43. (Unesp) O mosaico da figura adiante a) 24 3 . d) 30 3 . foi desenhado em papel quadriculado 1× 1 . A razão entre a área da parte b) 26 3 . e) 32 3 escura e a área da parte clara, na re- c) 28 3 . gião compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a 47. (Mack – SP) Na figura a seguir, os cír- culos internos são iguais e a região assinalada tem área 8( π – 2). Então a área do círculo externo é:a) 1/2. c) 3/5. e) 5/8.b) 1/3. d) 5/7.44. Unesp) O lado BC do triângulo ABC mede 20cm. Traça-se o segmento MN, a) 20 π . c) 8 π . e) 2 π . paralelo a BC conforme a figura, de b) 16 π . d) 4 π . modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 3/4 da área do triângulo 48. (Faap – SP) Um pequeno escritório ABC. Calcule o comprimento de MN. instalado num flat do "Residence" é formado por duas salas quadradas justapostas, conforme a figura aPÁGINA 22 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  23. 23. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 52. (Faap – SP) Em torno de um campo de ANOTAÇÕES seguir. A figura é uma planta simplifi- futebol, construiu-se uma pista de a- cada. tletismo com 3 metros de largura, cu- jo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. O custo total desta constru- ção é: Sabendo-se que as diagonais do re- tângulo ABCD medem 4 5 metros, a área total "xy" (em metros quadrados) a) R$ 300.000.00 do escritório (despreza-se a espessura b) R$ 202.530,00 das paredes) é; c) R$ 464.500,00a) 16 c) 40 e) 36 d) R$ 502.530,00b) 32 d) 28 e) R$ 667.030,0049. (Faap – SP) Para a instalação de um 53. (FGV – SP) Na figura a seguir têm-se caixa eletrônico Bradesco Dia e Noite AB é paralela a CD , AB=6cm, (BDN), dispõe-se de uma área triangu- AD=4cm e os ângulos internos de vér- lar de esquina com frentes de 6 me- tices A e B têm as medidas indicadas. tros e 8 metros. As ruas formam um A área do quadrilátero ABCD, em cen- ângulo de 75°. A área do terreno (em tímetros quadrados, é metros quadrados) é: a) 6 2 (1 + 3 ) b) 12 2 (1 + 3) c) 6Ë3(1 + 2 ) d) (24 2 )/ 3 e) (6Ë3 + 1)/ 2 a) c) 4 3 e) 8 350. (Faap – SP) A projeção vertical da co- 3 bertura de uma Churrascaria tem a b) 2 3 d) 6 6 forma de um quadrilátero cujas dia- gonais são perpendiculares entre si e 54. (UFPE) Na figura a seguir a circunfe- medem 20 metros e 25 metros. A área rência é tangente à reta l1 no ponto A da projeção (em metros quadrados) é: e é tangente a reta l2 no ponto B. O a) 500 lado AD do paralelogramo ABCD mede b) 125 6cm. Se S é a área, em cm2, da região c) 325 interior ao paralelogramo e exterior à d) 250 S e) impossível determinar com os circunferência, quanto vale − π ? dados 651. (Mack – SP) Na figura a seguir, pelo ponto O, foram traçadas retas parale- las aos lados do triângulo ABC, obten- do-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4 e 9. Então a área do triân- gulo ABC é:a) 25. c) 49. e) 81.b) 36. d) 64. COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 23
  24. 24. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA 59. (Uel) Na figura a seguir, são dados: ANOTAÇÕES55. (UFPE) Na figura a seguir temos um AD = 20 cm, BC = 80 cm e AB = 100 retângulo inscrito em uma circunfe- cm rência com centro O e raio igual a 5cm. Se OP vale 3/5 do raio da cir- cunferência, determine a área, em cm2, do retângulo. A medida do segmento EF, em centí- metros, é a) 15 c) 16,5 e) 18,5 b) 16 d) 1856. (UFPE) Na figura a seguir o retângulo ABCD tem área igual a 153cm£. Quan- 60. (Cesgranrio) Um cavalo deve ser a- to mede o lado, em cm, do quadrado marrado a uma estaca situada em um ABCD? dos vértices de um pasto, que tem a forma de um quadrado cujo lado me- de 20m. Para que ele possa pastar em 20% da área total do pasto, o com- primento da corda que o prende à es- taca deve ser de, aproximadamente: a) 1 m c) 5 m e) 10 m b) 2 m d) 8 m57. (Fuvest – SP) Os pontos A, B, e C são 61. (Mack – SP) Na figura, AC = BC. Então vértices consecutivos de um hexágono a área do retângulo assinalado vale: regular de área igual a 6. Qual a área do triângulo ABC?a) 1 c) 3 e) 3b) 2 d) a) 12 c) 18 e) 24 2 b) 15 d) 2058. (UEL) A área do triângulo equilátero 62. (Mack – SP) Na figura a seguir, AC e OAB, representado na figura a seguir BD medem, respectivamente, 8 3 é 9 3 cm2 . A área do círculo de cen- e 5. Então a área do quadrilátero ABCD é: tro O e tangente ao lado AB do tri- ângulo é, em centímetros quadrados,a) 27 π c) 36 π e) 48 πb) 32 π d) 42 πPÁGINA 24 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  25. 25. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 2 2 a) 128 cm d) 39 cm ANOTAÇÕESa) 30 c) 40 e) 80 b) 65 cm2 e) 60 cm2b) 35 d) 60 c) 30 cm263. (Mack – SP) Na figura a seguir, o pe- 68. (ACAFE – SC) A área compreendida rímetro do triângulo equilátero ABC é entre uma circunferência de raio a e 12 e o ponto P é médio do lado BC. um hexágono regular inscrito nesta Então a área do triângulo AED é: circunferência é, em unidades de á- rea: a) a2 ( π + 3 3 ) b) a2 ( π - 3 3 ) c) a2 [ π - (2 3 )/3] d) a2 [ π - (3 3 )/2] e) n.d.a. 69. (Fuvest – SP) Na figura, BC é paralelaa) c) 4 e) a DE, AB = 4 e BD = 5. 3 /2 2 /2b) 3 d) 264. (Faculdade Osvaldo Cruz) Para pintar a parede indicada, com certa tinta, gasta-se uma lata pequena de tinta para cada 3,6m2. Para pintar a parede inteira o número de latas necessário é: Determine a razão entre as áreas do tri- ângulo ABC e do trapézio BCDE. 70. (Faap – SP) Um "out - door" retangular tem área A=base x altura. Se a base aumenta 50%, e a altura diminui 50%,a) 12 c) 11 então:b) 15 d) 1,5 a) a área não se altera. b) a área diminuirá 25 %.65. (Universidade Federal do Pará) c) a área aumentará 25 %. I. Em um quadrado de perímetro d) a área aumentará 50 %. igual a 30cm, sua área é de e) a área diminuirá 50 %. 56,25cm2 II. A área de um círculo cujos 2/5 do 71. (Unirio) A área da região hachurada raio medem 14m é 3846m2 vale: ( π =3,14) III. No losango, cujas diagonais so- madas medem 175dm, sua área será 3675dm2 se uma das diago- nais for 2/3 da outra. Assinale: a) se apenas I é verdadeira. b) se apenas III é verdadeira. c) se apenas I e III são verdadeiras. d) se todas as afirmações são falsas. e) se todas as afirmativas são ver- dadeiras. a) 12 π - 2 d) 8 - 2 π66. (FAAP) As bases de um trapézio são b) 16 - 2 π e) 4 - π 80cm e 60cm e sua altura 40cm. A 10cm da base maior, traça-se uma paralela às bases, que determina dois trapézios. Qual é a área de cada um?67. (CEFET – RJ) A área do triângulo re- tângulo no qual a medida da hipote- nusa é 13cm e a de um dos catetos é 5cm é igual a: COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 25
  26. 26. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA ANOTAÇÕESc) 9 - π72. (Fuvest – SP) Um triângulo tem 12cm de perímetro e 6cm2 de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita Se os catetos do triângulo medem 3cm e nesse triângulo? 4cm, então a área do quadrado, em cen- tímetros quadrados, é igual a73. (Fei – SP) Considerando-se o triângulo a) 169/49 d) 81/49 ABC e um segmento de reta DE para- b) 144/49 e) 25/49 lelo ao lado BC, com extremidades D c) 100/49 e E sobre os lados AB e AC respecti- vamente, se o comprimento de DE é 79. (Cesgranrio) No futebol de salão, a igual a um terço do comprimento de área de meta é delimitada por dois BC e a área do triângulo ABC é de 18 segmentos de reta (de comprimento cm2, então a área do trapézio BCDE é de 11m e 3m) e dois quadrantes de de: círculos (de raio 4m), conforme a fi-a) 12 cm2 d) 10 cm2 gura. A superfície da área de meta 2b) 16 cm e) 9 cm2 mede, aproximadamente,c) 15 cm274. (Fei – SP) Considerando o retângulo ABCD e os pontos M, N, P e Q como pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente, é válido afir- mar-se que a área do retângulo ABCD é: a) o dobro da área do triângulo ABP a) 25 m2 c) 37 m2 e) 61 m2 b) o quádruplo da área do triângulo b) 34 m2 d) 41 m2 AMQ c) o triplo da área do triângulo BCP d) o dobro da área do triângulo BDP 80. (Unesp – SP) A área de um triângulo e) o triplo da área do triângulo MNQ isósceles é 4 15 d m 2 e a altura desse triângulo, relativa à sua base, mede75. (Fei – SP) Se a área do paralelogramo 2 15 d m . 0 perímetro desse triângu- ABCD mede x e M é um ponto do lado lo é igual a CD, então a área do triângulo ABM a) 16 dm c) 20 dm e) 23 dm mede: b) 18 dm d) 22 dma) x/2 c) x/4 e) x/6b) x/3 d) x/5 81. (Unesp) A figura foi obtida mediante rotações de 60°, 120°, 180°, 240° e76. (Fei – SP) Se a área de um retângulo 300° aplicadas a um quadrado cujos 2 ABCD mede 72cm e se a medida do lados medem 1dm, em torno de um lado AB é o dobro da medida do lado mesmo vértice desse quadrado e num BC, então o perímetro do retângulo mesmo sentido. mede:a) 36 cm c) 18 cm e) 60 cmb) 72 cm d) 12 cm77. (Faap – SP) Na campanha eleitoral pa- ra as recentes eleições realizadas no país, o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 100 metros de raio. Supondo que, em média, ha- via 5 pessoas/m2, uma estimativa do número de pessoas presentes a esse comício é de aproximadamente:a) 78.500 d) 10.000b) 100.000 e) 157.000c) 127.00078. (Fatec – SP) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito num triângulo retângulo ABC, reto em Â.PÁGINA 26 PSS 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  27. 27. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira a) 36/5 c) 44/3 e) 48/5 ANOTAÇÕESA área da região escura é. b) 27/4 d) 48/3 a) 1 - 2tg (15°). b) tg (30°). 86. (UnB) Na figura adiante, ABCD é um c) 1 - 4tg (15°). paralelogramo, DQ é perpendicular à d) 1 - tg (30°). reta que contém BC e o segmento CP e) 1 - tg (15°). é perpendicular a AB.82. (Fei – SP) Uma chapa metálica de formato triangular (triângulo retângu- lo) tem inicialmente as medidas indi- cadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que corresponde à hipotenusa do triângulo) representado pela linha pontilhada, de modo que sua área seja reduzida à metade. Quais serão as novas medidas x e y? Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. ( A medida de AP é igual a 2 cm. ) ( O triângulo CDQ é semelhante ao ) triângulo BCP. ( A medida de DQ é igual a 8 cm. ) ( A área do trapézio ABQD é igual a a) x = 30 cm, y = 20 cm ) 144 cm2. b) x = 40 cm, y = 30 cm 87. (UFRJ) O polígono regular represen- c) x = 30 2 cm, y = 20 2 cm tado na figura tem lado de medida d) x = 20 2 cm, y = 30 2 cm igual a 1cm e o ângulo α mede 120°. e) x = 90 2 cm, y = 60 2 cm83. (Cesgranrio) Se, no trapézio retângulo ABCD da figura adiante, AB=BC=3 e π α = , então a sua área vale: 3 a) 3(3 + 3 /2). b) 3(5 - 3 /2). a) Determine o raio da circunferên- c) 3(4 + 2 /3). cia circunscrita. 2 /3). b) Determine a área do polígono. d) 3(5 - e) 6(3 - 2 /3). 88. (Ita – SP) Duas circunferências C 1 e C 2 , ambas com 1m de raio, são tan-84. (Ita – SP) Em um triângulo ABC, sabe- se que o segmento AC mede 2cm. Se- gentes. Seja C 3 outra circunferência jam α e β , respectivamente, os ân- gulos opostos aos segmentos BC e AC. cujo raio mede ( ) 2 − 1 m e que tan- A área do triângulo é (em cm2) igual a gencia externamente C 1 e C 2 . A á- rea, em m2, da região limitada e ex- a) 2se n α c o t g β + se n2α 2 terior às três circunferências dadas, b) 2se n 2α t g β − se n2α é: c) 2 c o s2 α c o t g β + se n2α d) 2 c o s2 α t g β + se n2α e) 2se n 2 α t g β − c o s2α85. (Ita – SP) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste paralelogramo, em cm2, vale: COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 27

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