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Mat geometria analitica 004

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Mat geometria analitica 004

  1. 1. GEOMETRIA ANALÍTICAA Geometria Analítica teve como principal idealizador o francês René Descartes (1596 – 1650).Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, faz-se corresponder a cada pontodo plano um par ordenado e vice-versa.Quando os eixos desse sistema são perpendiculares entre si, em um ponto O (origem), essacorrespondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). y 2º quadrante 1º quadrante x O 4º quadrante 3º quadrante1º quadrante: x>0 e y>02º quadrante: x<0 e y>03º quadrante: x<0 e y<04º quadrante: x>0 e y<0Distância de dois pontosDados os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB), calcula-se a distância entre eles, aplicando o teoremade Pitágoras no triângulo ABC,seja d a distância entre os pontos A e B
  2. 2. d2 = (AC)2 + (BC)2d2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 Bd= ( x B − x A )2 + ( y B − y A ) 2Ponto médioDados os pontos A = (xA, yA), B = (xB, y B) e P que divide AB ao meio, temos:  xA + xB y A + yB P=  ,   2 2 Condição de alinhamento de três pontosSe três pontos A = (xA, yA), B = (xB , yB) e C = (xC , yC ) estão alinhados, então: xA yA 1 xB yB 1 = 0 xC yC 1Equações de uma reta I) Equação geral é obtida a partir da condição de alinhamento de três pontos. A toda reta r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma ax + by + c = 0 onde a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0 e (x,y) representa um ponto genérico da reta r. II) Equações paramétricas são equações da forma x = f(t) e y = f(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro “t”. III) Equação reduzida é obtida isolando-se o y na equação geral ax + by + c = 0, onde a c a c obtemos y = − x − . Fazendo-se − = m e − = q , temos y = mx + q. b b b b m é chamado de coeficiente angular da reta r, ( fornece a inclinação da reta em relação ao  π eixo Ox, m = tg θ  θ ≠   2 q é chamado coeficiente linear ( é a ordenada do ponto em que a reta intercepta Oy)
  3. 3. Sendo P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos de uma reta não paralela ao eixo Oy, o y 2 − y1coeficiente angular da reta é dado por m = . x 2 − x1 IV) Equação de uma reta conhecidos coeficiente angular e um ponto y − y 0 = m( x − x 0 ) , onde (x0, y0) é o ponto conhecido.Posições relativas entre retas I) Paralelismo: Duas retas r e s, distintas, são paralelas se, e somente se, m r = m s II) Concorrência: Duas retas r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0 são concorrentes se m r ≠ m s . Caso particular: concorrentes e perpendiculares 1 r ⊥ s ⇔ m r= − ms
  4. 4. EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ANALÍTICA1) Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente aos quadrantes:a) 1º e 2ºb) 2º e 3ºc) 3º e 2ºd) 4º e 2ºe) 3º e 4º2) O ponto A = (m+3, n-1) pertence ao 3º quadrante, para os possíveis valores de m e n:a) m > 3 e n < 1b) m < 3 e n > 1c) m < -3 e n > 1d) m < -3 e n < -1e) m < -3 e n < 13) Num triângulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,3) e C um ponto pertencente ao eixo Ox comAC = BC. O ponto C tem como coordenadas:a) (2,0)b) (-2,0)c) (0,2)d) (0,-2)e) (2,-2)4) A distância entre os pontos P = (1,0) e Q = (2, 8 ) é:a) 7b) 3c) 2d) 2 7e) 55) O valor de x para que os pontos A = (x, 5), B = (-2,3) e C = (4,1) sejam alinhados é:a) 8b) 6c) -5d) -8e) 7
  5. 5. 6) Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. O comprimento damediana AM é:a) 3b) 4c) 5d) 6e) 77) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (-1,2) e B = (3,6) é:a) -1 1b) 2 2c) 3d) 3e) 18) A equação da reta que passa pelo ponto (-1,-2) e tem coeficiente angular -1 é:a) x + y -1 = 0b) x + y +1 = 0c) x + y -3 = 0d) x + y +3 = 0e) x – y + 3 = 09) equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1) é:a) 2x – 3y – 13 = 0b) -2x – 3y + 13 = 0c) 3x – 2y + 13 = 0d) 2x – 3y + 13 = 0e) 2x + 3y – 13 = 010) O ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y – 5 = 0 é:a) (1,-1)b) (1,1)c) (1,2)d) (-1,1)e) (2,1)
  6. 6. 11) O valor de “a” para que as retas r: ax + y – 4 = 0 e s: 3x + 3y – 7 = 0 sejam paralelas é:a) 1 1b) 2c) 2d) 3e) -1 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ANALÍTICA1) c2) e3) a4) b5) d6) c7) e8) d9) a10) b11) a

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