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Capítulo       4     Neste capítulo1. A noção intuitiva                         Introdução às funções     de função2. A de...
1. A noção intuitiva de função                                                                   História da Matemática   ...
4    Introdução às funções                                                      2. A definição de função                  ...
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4    Introdução às funções                                              Domínio, contradomínio e imagem de uma função     ...
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4     Introdução às funções      Exercícios propostos     12.	 A tabela a seguir apresenta a nota de cinco alunos         ...
3. Função e gráfico  Plano cartesiano   O sistema cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares               ...
4    Introdução às funções                                                  Representações gráficas de função             ...
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4     Introdução às funções        Exercícios resolvidos       27.	 Determinar o valor de m para que o ponto P(m 2 3, 2)  ...
4. Função e proporcionalidade   Até aqui foram apresentadas algumas das diferentes situações que podemser interpretadas ut...
4    Introdução às funções                                                      Proporcionalidade inversa                 ...
Exercícios resolvidos34.	Determinada máquina produz 100 peças em                 Resolução    40 minutos. Quantas peças es...
4     Introdução às funções      Exercícios complementares          A	definição	de	função                                 ...
Função	e	gráfico                                                                 56.	Observe a tabela de preços de uma loj...
Mat funcoes exercicios resolvidos
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  1. 1. Capítulo 4 Neste capítulo1. A noção intuitiva Introdução às funções de função2. A definição de função3. Função e gráfico4. Função e proporcionalidade Comece pelo que já sabe Uma operadora de telefonia celular fez uma promoção que oferece três opções de plano de pagamento aos seus clientes. 1. Cite uma característica dos planos mensais A e B que não aparece no plano de recarga C. 2. Qual seria o plano mais econômico para uma utilização de 20 minutos por mês? 3. Determine o custo de 30 minutos de ligações por mês em cada plano oferecido pela operadora. Compare os valores encontrados. 4. Qual seria o plano mais econômico para utilizar 60 minutos de ligações por mês? 5. Pensando nas respostas anteriores, podemos afirmar que o custo de cada plano depende do tempo utilizado? Justifique sua resposta. 6. Que fatores devem ser considerados para a escolha do plano com o melhor custo-benefício? Comente com os colegas.64
  2. 2. 1. A noção intuitiva de função História da Matemática A noção de função está presente em muitas situações do cotidiano. Trata- História das funções-se de um conceito matemático que possibilita analisar como duas grandezas ` A palavra função pareceenvolvidas em determinado fato ou fenômeno se relacionam. ter sido introduzida por Leibniz em 1694, inicialmente As situações a seguir apresentam algumas noções relacionadas à ideia de para expressar qualquerfunção. quantidade associada a uma Situação 1. A Companhia Espírito Santense de Saneamento (Cesan) cobra curva. Por volta de 1718,as seguintes tarifas para o fornecimento de água residencial padrão. Johann Bernoulli considerou uma função como uma Tarifas de água por faixas de consumo expressão qualquer formada de uma variável e algumas Faixa de consumo em m3 Tarifa em RS por m3 || constantes; depois Euler Até 15 1,76 considerou uma função De 16 a 30 3,49 como uma equação ou fórmula qualquer envolvendo Acima de 30 3,89 variáveis e constantes.Dados obtidos em: <http://www.cesan.com.br>. Acesso em: 22 nov. 2008. O conceito de Euler se manteve inalterado até que De acordo com a tabela, a tarifa a ser paga depende da faixa de consu- Joseph Fourier (1768-1830)mo de água, ou seja, a tarifa está em função da faixa de consumo. foi levado a considerar, em Situação 2. O comprimento C de um círculo depen- suas pesquisas, as chamadasde de seu raio r. Diz-se que C é uma função de r. séries trigonométricas. r Essas séries envolvem umaA fórmula matemática que permite calcular o valor de C forma de relação mais geralé dado por C 5 2 ?  ? r. Essa é a lei de correspondên- entre as variáveis que as quecia que faz cada valor positivo de r corresponder a um já haviam sido estudadasúnico valor de C. interiormente. Na tentativa Situação 3. A temperatura T registrada em ºC pelo Instituto Nacional de de dar uma definição deMeteorologia (Inmet) durante um dia de primavera é uma função do tempo t função ampla o suficiente a ponto de englobar essadado em horas. forma de relação, Lejeune Dirichlet (1805-1859) chegou à seguinte formulação: Temperatura em Brasília no dia 24 de novembro de 2008 Uma variável é um símbolo Temperatura (ºC) que representa qualquer 23 dos elementos de um 22 conjunto de números; se 21 duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira 20 que, sempre que se atribui 19 um valor a x, corresponde 18 automaticamente, por 17 alguma lei ou regra, um 16 valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca) 15 de x. A variável x, à qual 14 se atribuem valores à 0 vontade, é chamada variável 00 h 00 12 h 00 00 h 00 independente e a variável Horário y, cujos valores dependemDados obtidos em: <http://meteoweb.inmet.gov.br>. Acesso em: 22 nov. 2008. dos valores de x, é chamada variável dependente. Os Embora não haja uma fórmula matemática simples que relacione as duas valores possíveis que x podegrandezas, essa situação descreve uma lei segundo a qual para cada período assumir constituem o campode tempo t há uma única temperatura T registrada. de definição da função e Nessa função, a temperatura depende do tempo e, por isso, é chamada de os valores assumidos porvariável dependente. Já o tempo, como não depende de nada, é chamado de y constituem o campo de valores da função.variável independente. EvEs, Howard. Introdução à história Tabelas, fórmulas e gráficos são as formas mais comuns utilizadas para re- da Matemática. Campinas, SP. Ed.presentar uma função, como foi mostrado em cada uma das situações aqui Unicamp, 2002.apresentadas. 65
  3. 3. 4 Introdução às funções 2. A definição de função Dada duas variáveis x e y, em que x é a variável independente e y a variável dependente de x, se para cada valor de x é possível associar um único valor de y, então y está em função de x. Definição Uma função ƒ é uma lei que faz cada elemento x de um conjunto A corres- ponder a um único elemento y de um conjunto B. A B ƒ y x A função ƒ transforma x  A em y  B. São válidas as notações a seguir. ƒ ƒ ƒ: A é B ou ƒ: A B Lê-se: função ƒ de A em B, ou aplicação ƒ de A em B, ou transformação ƒ de A em B. ƒ x y Lê-se: a função ƒ transforma (ou leva) x em y. Para refletir Uma função pode ser entendida de duas maneiras: como uma relação que ` É possível estabelecer uma relação que leva cada um dos leva, ou como uma relação que transforma ou produz. elementos do conjunto Z a Relação que leva um único elemento de N? Cite No capítulo 3 definiu-se conjunto enumerável, citando-se como exemplo o outros conjuntos em que essa conjunto dos números pares Np, com a apresentação do diagrama abaixo. relação com o conjunto N pode ser estabelecida. Np N 0 0 2 1 4 2 6 3 De acordo com a definição, é possível estabelecer a seguinte relação que, nesse momento, é denominada relação ƒ. ƒ Todos os elementos de Np estão associados a algum elemento de N. x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... ƒ Cada elemento de Np está associado a um único elemento de N. Entrada Essa relação ƒ é uma função que leva cada elemento dos núme- ros pares a um único elemento do conjunto dos números naturais. Relação que transforma ou produz Suponha que exista uma máquina que aceita na entrada números naturais e como saída é produzido o triplo des- ses números. Saída y ou O número que sai depende do número que entra. Assim, a f(x) máquina representa uma função ƒ que, a partir de x, produz y. Também pode ser dito que representa uma função ƒ que trans- 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ... forma cada número x em um número y tal que y 5 3x .66
  4. 4. Exercício resolvido 1. Na tabela a seguir, o preço do combustível está Resolução em função do volume do abastecimento. a) O preço referente a 1 litro de combustível é Volume (em litros) Preço (em RS) || 12,50 _____ 5 2,5 . Portanto, a fórmula que relaciona o 5 5 12,50 preço do combustível com o volume é P 5 2,5  V. 10 25,00 15 b) Basta substituir V por 7 na fórmula P 5 2,5  V. 37,50 Portanto P 5 2,5  7 ä P 5 17,5. 20 50,00 O valor pago por 7 litros de combustível é 25 62,50 RS 17,50. || 30 75,00 c) Para determinar o volume de combustível cor- respondente ao preço de RS 60,00 é preciso || a) Escrever a fórmula que associa o preço do substituir P 5 60 na fórmula P 5 2,5  V. combustível (P) e o volume (V). 60 b) Determinar o valor pago por 7 litros de com- Portanto, 60 5 2,5  V ä V 5 ___ ä V 5 24. bustível. 2,5 c) Determinar o volume de combustível que cor- O preço de RS 60,00 corresponde a 24 litros de || responde ao preço de RS 60,00. || combustível. Exercícios propostos2. Um avião se desloca em linha reta de acordo com 5. Um retângulo tem largura x, comprimento y e área os instantes mostrados na tabela. de 24 cm2, como mostrado abaixo. y t (h) 1 2 3 4 5 d (km) 800 1 600 2 400 3 200 4 000 x A 5 24 cm2 x a) Escreva uma fórmula que relacione d e t. y b) Determine a distância que o avião terá percorri- do após 8 h de viagem, se mantiver o movimento Determine o que se pede em cada item. descrito pela fórmula obtida no item a. a) A lei de correspondência que expressa o valor do comprimento y em função da largura x.3. Um técnico que presta serviços de manutenção de b) O comprimento y, se a largura desse retângulo computadores em residências cobra uma taxa fixa de for 4,8 cm. RS 35,00 pela visita e RS 10,00 por hora trabalhada. || || c) As dimensões desse retângulo, se o comprimen- a) Qual é o valor de um serviço iniciado às 15 h 45 min to for 6 vezes a largura. e concluído às 17 h 45 min? b) Quantas horas esse técnico trabalhou, sabendo- 6. Em 2008, o salário-família, um benefício concedi- -se que ele recebeu RS 75,00 pelo serviço? || do pela Previdência Social aos trabalhadores com c) Escreva a lei de correspondência que relaciona renda mensal inferior a RS 472,43, era de RS 24,23, || || o valor pago pelo serviço prestado e as horas de para famílias com filho de até 14 anos incompletos, trabalho desse técnico. ou com filho inválido. Represente por uma fórmula d) Qual é a variável dependente da lei obtida no matemática a lei de correspondência que associa a item c? E a variável independente? variável salário-família à variável número de filhos por trabalhador.4. Dados os conjuntos A e B, verifique se cada situa- ção a seguir representa uma função de A em B. 7. A figura ao lado repre- x a) Dois elementos de A estão associados a um mes- senta um quadrado de mo elemento de B. área igual a 100 cm2. b) Todos os elementos de A estão associados a ele- a) Expresse a área da re- mentos distintos de B, exceto um, que está asso- gião laranja da figura 10 ciado a dois elementos de B. em função de x. c) Um elemento de A não está associado a nenhum b) Determine a área da elemento de B. região verde da figura, d) Um elemento de A está associado a mais de um considerando a medi- elemento de B. da de x igual a 7 cm. 10 67
  5. 5. 4 Introdução às funções   Domínio, contradomínio e imagem de uma função Dada uma função ƒ de A em B, o conjunto A é denominado domínio da função ƒ, e o conjunto B, contradomínio dessa função. O domínio é denotado por D(ƒ) ou simplesmente D e o contradomínio, por CD(ƒ) ou CD. Para cada x  D, o valor correspondente y  CD assumido pela função ƒ é a imagem ƒ(x) da função (lê-se “ƒ de x”). Assim, y 5 ƒ(x). O conjunto for- mado por todas as imagens de D é denominado conjunto imagem de ƒ. A notação utilizada para o conjunto imagem é Im(ƒ) ou Im. A B ƒ y 5 ƒ(x) x ƒ: A é B Im(ƒ) ƒ: x  ƒ(x) D(ƒ) CD(f) Embora x e y possam representar quaisquer variáveis, a partir daqui o uso dessas letras ficará restrito aos casos de funções cujas variáveis possam assu- mir valores numéricos reais, ou seja, funções cujo domínio é dado pelo con- junto dos números reais. Essas são as funções reais de variáveis reais. Considere a função ƒ(x) 5 3x 1 5. Essa função admite domínio D 5 R, pois, para qualquer x  R, o número 3x 1 5 é um número real. Para que uma função seja bem definida, são necessários três ingredientes: o domínio, o contradomínio e a regra, ou seja, a lei de correspondência que permite associar, de maneira bem determinada, cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio.   Funções definidas por fórmulas matemáticas A maior parte das funções estudadas neste capítulo é determinada por fór- Calculadora mulas matemáticas denominadas lei de correspondência da função. Veja a seguir algumas dessas funções. Potenciação ` As calculadoras científicas Exemplo 1. Considere um círculo de raio r. apresentam algumas A área do círculo é uma função do raio e pode ser expressa pela lei de cor- funções que permitem o respondência A(r) 5   r2. Nesse caso, a variável independente é o raio r, e cálculo de potenciação. As a variável dependente é a área A do círculo. representações, em geral, Para um círculo de raio r 5 3 cm, substituindo o valor de r na lei de cor- aparecem como mostrado abaixo. respondência, obtém-se o valor de A(r) correspondente. eleva um número A(r) 5   r2 x2 ou x^2 : ao quadrado. A(3) 5   32 ä A(3) 5 9 eleva um número x3 ou x^3 : ao cubo. Logo, a área de um círculo de raio igual a 3 cm é 9 cm2. eleva um número x Exemplo 2. Considere a função ƒ: R é R dada pela lei de correspondência xy ou x^y : a um expoente y. ƒ(x) 5 x 1 3. A partir da fórmula matemática que descreve a função, pode-se x1 ou 1/x : fornece o inverso obter alguns valores de ƒ(x) para determinados valores de x. de um número x. ƒ A imagem de x 5 0 é ƒ(0) 5 0 1 3 5 3, isto é, ƒ(0) 5 3. Ou, ainda, o va- Observação lor de ƒ no ponto 0 é 3. Em algumas calculadoras é ne- ƒ A imagem de x 5 1 é ƒ(1) 5 1 1 3 5 4, isto é, ƒ(1) 5 4. cessário teclar  para o resul- ƒ A imagem de x 5 2 é ƒ(2) 5 2 1 3 5 5, isto é, ƒ(2) 5 5. tado surgir no visor; em outras, não. Verifique como funciona a Observação sua calculadora. Não se deve confundir ƒ com ƒ(x): ƒ é a função e ƒ(x) é o valor que a fun- ção assume em cada x pertencente ao domínio.68
  6. 6.   Estudo do domínio de uma função real Uma vez que não está dado o domínio, não está caracterizada função al- Para refletirguma. Existe, porém, uma convenção geral que será utilizada daqui em dian-te: sempre que não for explicitado o domínio D de uma função, fica suben- ` A tabela abaixo apresenta otendido que ele está dado pelo conjunto R, devendo ser excluídos apenas os nome de cinco pessoas e o respectivo tipo sanguíneo.valores para os quais as operações indicadas pela lei de correspondência nãofazem sentido. Tipo Nome sanguíneo Exemplos Marcos Aƒƒ 1 A função ƒ(x) 5 __ tem domínio D 5 R* ou D 5 R 2 {0}, pois, para todo x Paula B 1 x diferente de zero, o número __ é um número real. Angélica AB x Henrique Oƒƒ A função ƒ(x) 5 dXX tem domínio D 5 R1, pois, para todo x real não ne- x Patrícia A x gativo, o número dXX é também um número real. São excluídos os valores a) De acordo com a tabela negativos do domínio dessa função, pois não é possível calcular a raiz qua- dada, é possível associar drada de números negativos no conjunto dos números reais. o nome de uma pessoa a dois tipos sanguíneos?  Taxa de variação de uma função b) E um tipo sanguíneo Suponha que o custo total de uma empresa para produzir de x unidades de pode ser associado a doisdeterminado produto seja C(x). Assim, C é a função custo de produção des- nomes? c) Qual das variáveis podese produto. Se a quantidade de unidades produzidas crescer de x1 para x2, o ser expressa em função dacusto adicional será dado por DC 5 C(x2) 2 C(x1). A taxa de crescimento, ou outra? Dê o conjunto D(ƒ). DC C(x 2) 2 C(x 1)taxa de variação da função C é dada por ___ 5 ____________. d) Qual é o conjunto CD(ƒ)? Dx x2 2 x1 e) A lei de correspondência De modo geral, dada uma função ƒ, a taxa de crescimento ou taxa de va- dessa função pode ser expressa por uma fórmula Dƒ ƒ( x 2 ) 2 ƒ( x 1 )riação da função é dada por ___  5 ____________ x2 2 x1 matemática? Por quê? Dx Exercícios resolvidos 8. Determinar em cada caso a imagem da função 10. Determinar o valor de k na função ƒ: R é R cuja ƒ: R é R cuja lei de correspondencia é ƒ(x) 5 x2 1 1. lei de correspondência é ƒ(x) 5 x2 1 kx 1 4 e ƒ(3) 5 19. a) ƒ(0) c) ƒ(dXX) 2 e) ƒ(21) Resolução b) ƒ(1) d) ƒ(24) f) ƒ 2dXX ) ( 2 Como ƒ(x) 5 x2 1 kx 1 4 e ƒ(3) 5 19, para deter- Resolução minar o valor de k é necessário substituir o valor a) ƒ(0) 5 (0)2 1 1 5 1 de ƒ(3) na lei de correspondência. b) ƒ(1) 5 (1)2 1 1 5 2 Assim, 19 5 (3)2 1 k ? 3 1 4 ä 19 5 9 1 3k 1 4 ä c) ƒ( dXX ) 5 ( dXX ) 1 1 5 2 1 1 5 3 6 ä 19 2 9 2 4 5 3k ä 6 5 3k ä k 5 __ ä k 5 2 2 2 2 3 d) ƒ(24) 5 (24)2 1 1 5 16 1 1 5 17 Logo, o valor de k é 2. e) ƒ(21) 5 (21)2 1 1 5 1 1 1 5 2 11. Determinar o valor de m na função ƒ: R é R, cuja f) ƒ( 2dXX ) 5 ( 2dXX ) 1 1 5 2 1 1 5 3 2 2 2 lei de correspondência é ƒ(x) 5 (m 1 1)x 2 3 e 9. Determinar o valor do domínio da função ƒ: R é R, ƒ(4) 5 6. cuja lei de correspondência é dada por ƒ(x) 5 x3 1 4 Resolução e a imagem é 12. Para determinar o valor de m, basta substituir Resolução o valor da imagem na lei de correspondência da Para determinar o valor procurado, basta substi- função. tuir o valor da imagem na lei. Assim, 6 5 (m 1 1) ? 6 2 3 ä 6 1 3 5 6m 1 6 ä Assim, 12 5 x3 1 4 ä 12 2 4 5 x3 ä 8 5 x3 ä 3 1 ä 6 1 3 2 6 5 6m ä 3 5 6m ä m 5 __ ä m 5 __ ä x3 5 8 ä x 5 2. 6 2 1 Portanto, o valor do domínio é 2. Portanto, o valor de m é __. 2 69
  7. 7. 4 Introdução às funções Exercícios propostos 12. A tabela a seguir apresenta a nota de cinco alunos 14. Escreva em seu caderno a lei de correspondência em uma prova de geografia. da função ƒ pedida em cada item. a) Lei da função ƒ que relaciona um número real x Nome Gustavo Paulo César Rodrigo José com seu dobro. Nota 6 9 7 5,5 6 b) Lei da função ƒ que relaciona um número real x Considerando uma função ƒ que associa o nome com sua metade. de cada aluno à respectiva nota, faça o que pede c) Lei da função ƒ que relaciona um número real x cada item. com seu quadrado. a) Explicite em seu caderno o domínio e o contra- d) Lei da função ƒ que relaciona um número real x domínio da função ƒ. com seu dobro adicionado de sua metade. b) Qual é a lei de correspondência dessa função? e) Uma função ƒ que associa cada número real a c) Calcule o valor de x dado abaixo. seu inverso. 15. São dadas as funções g: A é R, com A 5 {21, 0, 1, 2} ƒ(Gustavo) 1 ƒ(Paulo) 1 ƒ(César) 1 ƒ(Rodrigo) 1 ƒ(José) x 5 _________________________________________ e g(x) 5 x3 1 2x2. Determine o contradomínio e a 5 imagem de g. O que significa o valor de x? 16. Dada a função g: D é R, em que g(x) 5 4x 2 5 e d) Há alguns elementos do domínio que têm a mes- D 5 {23, 21, 0, 4}, escreva em seu caderno o con- ma imagem. Escreva em seu caderno quais são junto imagem de g. x esses elementos. 17. Dada a função ƒ: R é R, definida por ƒ(x) 5 ______ x2 2 5 13. Verifique quais diagramas abaixo representam fun- determine os valores abaixo. ções, identificando o domínio, o contradomínio e a imagem. a) a) ƒ(0) ()1 c) ƒ __ 2 1 e) ƒ(22) 1 ƒ __ 2 () —1 —1 b) ƒ(22) d) ƒ(1) 2 ƒ(21) 0 4 18. Na função real definida pela lei ƒ(x) 5 x2 1 kx 1 5, 1 7 tem-se ƒ(4) 5 9. Determine o valor de k. 2 6 19. Quais elementos do domínio da função dada por ƒ(x) 5 8x2 2 4 tem como imagem 22? b) 0 —4 20. Dada a função ƒ: N é R definida por ƒ(x) 5 dXXXXXXX , 8 2 2x —2 identifique o conjunto que representa o domínio 1 0 dessa função. 2 3 a) A 5 R 2 {4} c) C 5 {0, 1, 2, 3, 4} b) B 5 {x  R  x  4} d) D 5 {x  R  x  4} c) 21. Seja a função g: N é R, definida por: 0 3 4 x g(x) 5 _____ 1 _______ . Qual é o domínio de g? 1 2 x 2x 2 6 2 —1 22. Seja a função ƒ: R é R, definida por: —1 4 x29 ƒ(x) 5 ______ 1 dXXXXXX. Identifique em seu caderno 2x 2 1 32x d) quais das afirmações abaixo estão corretas. —1 8 a) O número 3 pertence ao domínio de ƒ. 1 —2 —1 b) O número 1,5 pertence ao domínio de ƒ. 0 6 c) O número 1 não pertence ao domínio de ƒ. 2 3 9 d) D(ƒ) 5 {x  R | x  1,5 e x  3}. 23. Dada a função ƒ(x) 5 x2 2 2x 1 1, determine em seu e) caderno ƒ(k11). 4 0 3 5 24. Sendo ƒ(x 1 1) 5 x3 2 2x2 2 8, calcule ƒ(4). 2 2 25. Considere a função g(x) 5 x2 1 (m 2 1)x 2 4. Saben- 1 1 do que g(2) 5 10, determine em seu caderno o va- lor de m.70
  8. 8. 3. Função e gráfico  Plano cartesiano O sistema cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares Para recordarentre si e que se cruzam no ponto zero. Esse ponto é denominado origemdo sistema cartesiano e é frequentemente denotado por O. Cada reta Par ordenadorepresenta um eixo e são nomeados por Ox e Oy. Sobrepondo um siste- ` No par ordenado (x, y), x é ama cartesiano e um plano, obtém-se um plano cartesiano, cuja primei- primeira coordenada e y é ara vantagem é associar a cada ponto do plano um par de números reais. segunda coordenada, sendoAssim, um ponto A do plano corresponde a um par ordenado (m, n) com x e y números reais. ` O ponto A é representadom e n reais. por A(m, n); m é O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical Oy, denominado abscissa e n é ade eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões cha- ordenada do ponto A.madas quadrantes. ` A ordem em que os elementos de um par Eixo das y ordenado aparecem deve ser ordenadas considerada. Por exemplo, o par ordenado (2, 3) é diferente do par (3, 2). 2o quadrante 1o quadrante n A (m,n) Eixo das 0 m x abscissas 3o quadrante 4o quadrante Para localizar os pontos no plano cartesiano utiliza-se a intersecção de re-tas paralelas aos eixos Ox e Oy. Analise os pontos no plano cartesiano abaixo. ƒ A origem O corresponde ao par orde- y nado (0, 0). 5 A ƒ O par ordenado (2, 4) corresponde ao 4 3 B ponto A. Observe que a primeira co- ordenada é obtida no eixo Ox e a se- 2 Um pouco de história 1 gunda coordenada, no eixo Oy . E O F ƒ O ponto C corresponde ao par orde- Plano cartesiano 25 24 23 22 21 1 __ 1 2 3 4 5 x 21 2 ` O sistema de nado (24, 23); 24 é chamado de abs- 22 coordenadas cissa e 23 de ordenada do ponto C. é chamado 23 ƒ Os pontos E e F estão sobre o eixo das C de sistema 24 abscissas e, portanto, têm ordenadas 25 D cartesiano em iguais a zero: E(22, 0) e F ( ) 1 __, 0 . 2 referência ao matemático e ƒ Os pontos D(0, 25) e B(0, 3) têm abscissas iguais a zero, pois estão loca- filósofo francês lizados sobre o eixo das ordenadas. René Descartes O plano cartesiano é o contato imediato entre a geometria e a álgebra. (1596-1650). Considerado o pai da filosofia moderna,Nele há uma correspondência entre pontos do plano e pares ordenados Descartes desenvolveude números reais, de modo que todo ponto no plano tem seu correspon- em sua obra La Géométriedente par ordenado, assim como um par ordenado tem um ponto cor- relações entre a álgebra e arespondente no plano. Dessa forma, problemas geométricos podem ser geometria, dando origem àinterpretados algebricamente e problemas algébricos podem ser interpre- geometria analítica.tados geometricamente. 71
  9. 9. 4 Introdução às funções   Representações gráficas de função Considere a função ƒ: {22, 21, 0, 1, 2} é [0, 4]. A tabela a seguir mostra algumas representações gráficas possíveis para a função ƒ. ƒ: {2, 1, 0, 1, 2} é [0,4] x  x2 Tabelas Diagramas e/ou esquemas Plano cartesiano y x y 4 4 22 4 22 3 3 21 21 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 24 23 22 21 0 1 2 3 4 x 0 2 4 21   Gráfico de função Definição O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que te- nham x pertencente ao domínio da função ƒ e y 5 ƒ(x). É comum a representação gráfica no plano cartesiano ser considerada o gráfico da função. O gráfico da função é um conjunto de pontos, ou seja, um conjunto de pares ordenados que, em muitos casos, podem ter mais de uma representação gráfica. y Analise o exemplo a seguir. 3 Seja ƒ: R é R tal que ƒ(x) 5 2x. 2 1 O gráfico da função ƒ é o conjunto de pontos Gƒ tal que Gƒ 5 {(x, 2x) | x  R}. 22 21 0 1 2 3 4 x 21 A representação gráfica no plano cartesiano tam- 22 bém é o gráfico da função ƒ. Exercício resolvido 26. Considerando os gráficos das funções ƒ e g, listar as semelhanças e as diferenças entre os dois gráficos. ƒ: N é R g: R é R 1 1 ƒ(x) 5 x 2 __ g(x) 5 x 2 __ 2 2 y y 4 4 3 3 2 2 1 1 23 22 21 0 1 2 3 4 x 23 22 21 0 1 2 3 4 x 21 21 22 22 23 23 Resolução Semelhanças: os dois gráficos são formados por conjunto de pontos; representam funções com a mesma lei de correspondência; são conjuntos infinitos de pontos. Diferenças: a representação gráfica, o domínio e a imagem.72
  10. 10.   Reconhecimento do gráfico de uma função Nem sempre um conjunto de pares ordenados representa o gráfico deuma função. Para saber se de fato representa o gráfico, é preciso verificar separa cada elemento do domínio, que no plano cartesiano é representado pe-los valores do eixo Ox, existe apenas um único correspondente no contra-domínio, representado pelos valores do eixo Oy. Geometricamente significaque qualquer reta perpendicular ao eixo Ox deve interceptar o gráfico emum único ponto. É gráfico de função de x em y Não é gráfico de função de x em y Não é gráfico de função de x em y y y y x x1 x x x1 x1 Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox Existem retas perpendiculares a Ox que Existem retas perpendiculares a Ox que intercepta o gráfico em um único ponto; interceptam o gráfico em mais de um ponto; interceptam o gráfico em mais de um portanto, o gráfico representa uma função portanto, o gráfico não representa uma ponto; portanto, o gráfico não representa de x em y. função de x em y. uma função de x em y.  Análise de gráfico Para refletir Os gráficos não são um mero recurso visual; eles permitem ao leitor anali-sar e propor relações entre as variáveis de maneira dinâmica. Exemplo Quantidade Produção de veículos bicombustíveis de veículos (álcool e gasolina) no 1o semestre de 2008 200 000 190 000 180 000 Folha de S.Paulo, 9 out. 2008. 170 000 ` A personagem da charge é um operador da bolsa de 160 000 valores internado em um hospital. Ele vê a situação financeira daquele momento, 150 000 janeiro fevereiro março abril maio junho Mês retratada nos gráficos Fonte: Anfavea – Associação Nacional de Fabricantes de Veículos Automotores. mostrados nos monitores da máquina ligada ao seu corpo. Considerando-se esse gráfico, são válidas as informações a seguir. a) Que situação financeiraƒ O ponto máximo da produção no 1o semestre de 2008 foi no mês de junho. os gráficos da bolsaƒ O ponto mínimo da produção no 1o semestre de 2008 foi no mês de janeiro. representam?ƒ De janeiro a abril houve um crescimento na produção, assim como tam- b) E o gráfico do monitor no bém houve crescimento de maio a junho. leito do hospital, o que representa?ƒ Houve um decrescimento na produção de abril a maio. c) Por que você acha queƒ A taxa de crescimento da produção de janeiro a fevereiro foi menor quan- o monitor no leito do do comparada com o período de fevereiro a abril. hospital apresentou esseƒ A variável quantidade de veículos bicombustíveis está em função da variável gráfico? tempo (em mês). 73
  11. 11. 4 Introdução às funções Exercícios resolvidos 27. Determinar o valor de m para que o ponto P(m 2 3, 2) 29. Determinar o domínio e a imagem da função re- pertença ao eixo das ordenadas. presentada pelo gráfico. Resolução y O ponto P deve estar sobre o eixo Oy, ou seja, a 3 abscissa desse ponto deve ser igual a zero. 2 Assim: m 2 3 5 0 ä m 5 3. 1 y 23 22 21 0 1 2 3 4 x 21 22 P (m 2 3, 2) 5 (0,2) 23 Resolução O domínio e a imagem da função são obtidos 0 x projetando o gráfico respectivamente nos eixos Ox e Oy. 28. Verificar se o par ordenado (2, 1) pertence ao gráfico y da função definida com domínio e imagem no con- 3 junto dos números reais, tal que ƒ(x) 5 22x 1 3. 2 1 Resolução O par ordenado (2, 1) tem abscissa 2 e ordenada 1, 23 22 21 0 1 2 3 4 x 21 ou seja, x 5 2 e y 5 1. Para que ele pertença ao grá- 22 fico da função definida pela lei de correspondência 23 ƒ(x) 5 22x 1 3 é preciso verificar se ƒ(2) 5 1. Como ƒ(2) 5 22 ∙ (2) 1 3 5 21, o par ordenado Portanto, D(ƒ) 5 {x  R  22  x  1} (2, 1) não pertence ao gráfico da função. e Im(ƒ) 5 {x  R  23  x  3}. Exercícios propostos 30. Construa em papel quadriculado um plano cartesia- 32. O ponto P(k 2 9, 2k 2 8) pertence ao eixo das no e represente os pontos: M(5, 4), N(3, 24), P(6, 0), abscissas. Q(24, 3), R(23, 26), S(7, 23), T(0, 22), U(2, 1), V(0, 7). a) Qual é o valor de k? 31. O gráfico a seguir indica a variação da inflação no b) Quais são as coordenadas do ponto P? Brasil, medida com o Índice de Preços ao Consumi- 33. O gráfico abaixo representa uma função. dor Amplo (IPCA) em função do tempo. y Histórico da inflação (IPCA % a.a.) no Brasil 4 IPCA % 14 3 12,53 12 2 10 9,3 8,94 7,67 7,6 1 8 5,69 6 4,46 22 21 0 1 2 3 4 x 5,97 4 21 3,14 2 22 0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Ano 23 Dados obtidos em: <http://www.ibge.gov.br>. Acesso em: 12 jun. 2008. a) O gráfico representa uma função? Justifique sua resposta. a) Determine o domínio e a imagem dessa função. b) Indique em que ano houve o maior e menor IPCA b) Verifique se os pontos determinados pelos pa- registrado, considerando o período representa- res ordenados (1, 1), (21, 2) e (0, 0) pertencem ao do no gráfico. gráfico da função. c) Represente em seu caderno alguns pares orde- c) Determine qual é o valor mínimo que essa fun- nados que pertencem ao gráfico dessa função. ção assume.74
  12. 12. 4. Função e proporcionalidade Até aqui foram apresentadas algumas das diferentes situações que podemser interpretadas utilizando as noções de função. A proporcionalidade entregrandezas pode ser direta ou indireta.  Proporcionalidade direta A seguir são apresentadas duas situações. Relação entre lado e perímetro Relação entre lado e área P 5 4nL A 5 (nL)2 P 5 4L A 5 L2 L nL L nL Se o lado L aumenta, o perímetro P também aumenta. Se o lado L aumenta, a área A também aumenta. Além disso, a razão entre o perímetro e o lado é constante, Porém, a razão entre as grandezas não é P 4L 4nL isto é, __ 5 ___ 5 ____ 5 4. L2 n2L2 constante: __  ____ L L nL L nL Na situação que relaciona o lado e o perímetro do quadrado, uma grandezadepende da outra, e a razão entre elas é constante, isto é, as grandezas estão emuma relação de proporcionalidade direta. Já na situação que relaciona o lado ea área do quadrado, as grandezas estão em uma relação de dependência, porémnão de proporcionalidade.Definição Duas grandezas, x e y, são diretamente proporcionais quando satisfazem duas condições. ƒ O valor de x aumenta e o correspondente valor de y também aumenta. y y Cálculo mental ƒ A relação __ 5 constante, ou seja, __ 5 k, com k . 0. x x ` Uma torneira despeja em um reservatório 15 litros de água O esquema a seguir ilustra uma proporcionalidade direta entre x e y. por minuto. Inicialmente o reservatório está vazio. A tabela relaciona o volume de y1 y2 y3 y4 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 ... 5 k água despejado e o tempo y4 x1 x2 x3 x4 decorrido. x4 x3 y3 Volume Tempo (min) x2 y 5 kx (litros) y2 x1 0 0 y1 1 15 x e y são diretamente proporcionais 2 30 3 45 Toda situação que apresenta uma relação de proporcionalidade direta pode 4 60ser interpretada por meio de uma função ƒ. Para isso é necessário redefinir os 5 75objetos conforme a seguir. 6 90 ƒ O conjunto dos possíveis valores de uma grandeza será o domínio D. 7 105 ƒ O conjunto dos possíveis valores da outra grandeza será a imagem Im. 8 120 ƒ A relação de proporcionalidade será a lei de correspondência da função ƒ, ou seja, ƒ( x ) 5 kx. Verifique mentalmente se as grandezas tempo e volume Por exemplo, a relação de proporcionalidade direta entre o lado L e o pe- estão em uma relação diretarímetro P de um quadrado representa uma função P, uma vez que P: R é R; de proporcionalidade.P( L ) 5 4L. 75
  13. 13. 4 Introdução às funções   Proporcionalidade inversa A seguir são apresentadas duas outras situações que apresentam a relação entre duas grandezas. Relação entre os lados de um retângulo Relação entre massa e tempo A tabela indica alguns valores possíveis para os lados x e y de A massa de determinado elemento radioativo que se retângulos cuja área seja igual a 1 m2. desintegra diminui com o passar do tempo. A tabela abaixo mostra a desintegração desse elemento com massa inicial de y 100 g após 48 anos. x Massa 100 50 25 12,5 6,25 3,12 1,56 1 __ 1 __ 2 __ (g) x (m) 8 4 3 1 dXX 5 3 Tempo 1 ___ 0 8 16 24 32 40 48 y (m) 8 4 3 __ 1 1 __ (anos) 2 dXX 5 3 Nessa situação, a grandeza massa m diminui enquanto Analisando o retângulo, dois fatos podem ser verificados. a grandeza tempo t aumenta. Porém, o produto entre as • Se a medida x aumenta, a medida y diminui. grandezas não é igual a uma constante k, por exemplo, • O produto x ∙ y é igual a uma constante k, por exemplo, 100 ? 0  50 ? 8  25 ? 16  12,5 ? 24  6,25 ? 32  3,12 ? 40  1,56 ? 48 1 1 2 3 1 1 __ ? 8 5 __ ? 4 5 __ ? __ 5 1 ? 1 5 dXX ? ___ 5 3 ? __ 5 1 isto é, não é possível expressar os valores da tabela por uma 5 8 4 3 2 3 k relação m 5 __ dXX 5 t Na situação que relaciona os lados de um retângulo, uma grandeza depen- de da outra. Além disso, o produto dessas grandezas é constante, isto é, as grandezas x e y estão em uma relação de proporcionalidade inversa. Essa re- 1 lação de proporcionalidade inversa pode ser expressa por y 5 __. Já na situa- x ção que relaciona a massa e o tempo, as grandezas estão em uma relação de dependência, porém não de proporcionalidade. Definição Duas grandezas, x e y, são inversamente proporcionais quando satisfazem duas condições. ƒ Os valores de x aumentam quando os de y diminuem, e vice-versa. ƒ O produto x ? y é constante, ou seja, x ? y 5 k, com k . 0. O esquema a seguir representa uma proporcionalidade inversa entre x e y. Saiba mais Constante de x1 ? y1 5 x2 ? y2 5 x3 ? y3 5 x4 ? y4 5 k y1 proporcionalidade x4 ` A constante k de uma x3 y2 k proporcionalidade direta ou xy 5 k à y 5 __ x x2 y3 de uma proporcionalidade x1 indireta é denominada y4 x e y são inversamente proporcionais constante de proporcionalidade. Uma relação de proporcionalidade inversa pode ser interpretada como uma função ƒ, desde que sejam redefinidos os objetos conforme a seguir. ƒ O conjunto dos possíveis valores de uma grandeza será o domínio D. ƒ O conjunto dos possíveis valores da outra grandeza será a imagem Im. ƒ A relação de proporcionalidade será a lei de correspondência da função ƒ, k ou seja, ƒ(x) 5 __. x Por exemplo, a relação de proporcionalidade inversa entre os lados de retângulos cuja área mede 1 m2 representa uma função ƒ, uma vez que 1 ƒ: R1 é R1; ƒ( x ) 5 k ? __. x76
  14. 14. Exercícios resolvidos34. Determinada máquina produz 100 peças em Resolução 40 minutos. Quantas peças essa máquina produ- Se aumenta o número de pintores, o tempo do zirá se trabalhar por duas horas no mesmo ritmo serviço diminui, portanto as grandezas tempo e de produção? número de pintores são inversamente propor- Resolução cionais. Adota-se: Existe uma proporcionalidade direta entre as gran- t: tempo para pintar a parede; dezas quantidade de peças e tempo. De fato, se o n: número de pintores. tempo de trabalho da máquina aumenta, a quanti- Se n e t são inversamente proporcionais, então: 30 dade de peças produzidas também aumenta. n ? t 5 2 ? 15 5 30. Assim, t 5 ___ n Considere as duas grandezas: t: tempo de funcionamento da máquina; Para encontrar o tempo que 5 pintores gastariam para fazer o mesmo serviço, basta substituir n 5 5 n: quantidade de peças produzidas. 30 30 n 100 em t 5 ___ ä t 5 ___ 5 6. De __ 5 ____ 5 2,5, é possível escrever a relação n 5 t 40 Os 5 pintores levariam 6 horas para pintar a parede. n 5 2,5t. 36. Determinar os valores de x e y para que as sequências Como 2 horas 5 120 minutos, basta substituir (2, 4, x) e (6, y, 18) sejam diretamente proporcionais. t 5 120 na relação n 5 2,5t. Assim, n 5 2,5t ä n 5 2,5 ? 120 5 300. Resolução Para isso é preciso determinar a constante de pro- Portanto, a máquina produzirá 300 peças em 6 2 horas de funcionamento. porcionalidade, k 5 __ 5 3, portanto k 5 3. Então: 2 y 18 y __ 5 ___ 5 3. Resolvendo as equações: __ 5 3 ä35. Dois pintores gastam 15 horas para pintar uma 4 x 4 parede. Quanto tempo 5 pintores levariam para 18 fazer o mesmo serviço? ä y 5 12 e ___ 5 3 ä x 5 6. Logo, x 5 6 e y 5 12. xExercícios propostos37. Durante um dia chuvoso foram registrados o au- 40. A distância entre duas cidades é de 720 km. O mento do nível da água de um rio e o tempo de tempo de viagem de um automóvel que vai de chuva em horas. uma cidade a outra depende da velocidade mé- dia mantida durante o percurso. Aumento do nível Tempo de água (cm) de chuva (h) Velocidade média 26 2 Tempo (h) (km/h) 39 3 80 9 52 4 60 12 65 5 50 14,4 91 7 117 9 30 24 a) Verifique se as grandezas aumento no nível de a) Verifique se velocidade média e tempo estão água e tempo de chuva estão em uma relação em uma relação de proporcionalidade. de proporcionalidade direta. b) Represente por uma fórmula matemática a re- b) Represente por uma fórmula matemática a re- lação entre os dados da tabela. lação entre os dados da tabela. c) Determine que velocidade média o automóvel c) Determine o aumento no nível do rio após deve manter para terminar o percurso em 10 h. 13 horas de chuvas. 41. Sabe-se que x e y são grandezas diretamente38. Três pessoas constroem um muro em cinco dias. proporcionais e que y 5 15 quando x 5 3. Quantas pessoas são necessárias para construir a) Escreva uma fórmula matemática que relacio- o mesmo muro em sete dias e meio? ne y com x.39. Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minu- b) Determine o valor de y quando x 5 7. tos. Em uma hora e meia, quantos litros de água c) É possível afirmar que x e y estão em uma re- ela fornecerá? lação de proporcionalidade? 77
  15. 15. 4 Introdução às funções Exercícios complementares A definição de função 47. Um estacionamento cobra RS 5,00 pela primeira || hora e RS|| 1,00 para cada hora adicional. 42. Descubra a lei de correspondência que relaciona a) Escreva a lei da função que associa o valor co- y com x em cada tabela abaixo. brado pelo estacionamento ao tempo que cada a) veículo permanece estacionado. x 1 2 3 4 5 6 b) Quanto um cliente pagará ao deixar um veículo y 5 7 9 11 13 15 cinco horas nesse estacionamento? b) x 7 8 9 10 11 12 48. Verifique se cada conjunto de pontos abaixo repre- senta uma função, justificando em seu caderno a y 3 2 1 0 21 22 sua resposta. c) x 3 4 5 6 7 8 a) A 5 {(21, 1); (22, 3); (22, 5); (1, 7); (2, 9)} b) B 5 {(0, 1); (1, 1); (2, 2); (3, 4)} y 10 17 26 37 50 65 49. A sequência dos números pares positivos pode ser 43. Em uma montanha russa de um parque de diver- expressa pela função p(n) 5 2n, n  N, em que n é sões, um carrinho desce em linha reta na vertical se- a posição do número na sequência. Assim o 3º nú- gundo a lei h(t) 5 5 ? t2, em que h é a altura em me- mero par positivo é dado por p(3) 5 6. Escreva uma tros e t o tempo em segundos. Sabendo que a altura função que represente a sequência dos números da montanha russa é de 80 metros, determine qual naturais em cada item. é o tempo de duração da queda desse carrinho. a) Ímpares. 44. A tabela mostra a distância d em metros percorrida b) Múltiplos de 5. por um automóvel, que parte de uma cidade A em di- c) Quadrados perfeitos. reção a uma cidade B, em cada instante de tempo t, em segundos. d) Múltiplos de 10 entre 100 e 500. t(s) 0 1 2 3 4 5 50. Escreva uma fórmula que represente a área deste trapézio em função de x. d(m) 0 18 36 54 72 90 x12 a) Escreva uma fórmula que relacione d e t. b) Determine o tempo em horas de viagem do au- tomóvel de A até B, sabendo que a distância en- x tre A e B é 120 km. 45. Uma imobiliária cobra pelos seus serviços uma co- missão de 6% sobre o preço de venda do imóvel mais uma taxa fixa de RS 200,00 de custos admi- || x14 nistrativos. 2 a) Qual é o valor que essa imobiliária cobrará de 51. A função ƒ: R é R é dada por ƒ(x) 5 __, x  0. Deter- x um cliente pela venda de um apartamento de RS 80 000,00? || mine os valores a seguir. b) Escreva uma lei de correspondência que associa a) O valor de ƒ( dXX ). 2 o valor cobrado pela imobiliária (y) com o valor b) O valor de x para que ƒ(x) 5 8. de venda do imóvel (x). 46. Uma locadora de automóvel cobra RS 50,00 para || 1 c) O valor de ƒ __ . x () cada dia de uso de seus veículos. O automóvel é en- tregue ao cliente com RS 30,00 de combustível no || Domínio, contradomínio e tanque, por conta da locadora. imagem de uma função a) Escreva a lei da função que associa o custo total da locação (y) de um veículo ao número de dias 52. A função real A(c) 5 6c, cujo domínio é (x) de locação do automóvel. D(A) 5 {c  N 0  c  6}, expressa uma família de b) Qual é o custo de uma locação de cinco dias? retângulos de área A e comprimento c. Construa uma c) Por quantos dias um cliente alugou um carro, se tabela relacionando o comprimento c com a área A o custo foi de RS 470,00? || que contenha todos os retângulos dessa família.78
  16. 16. Função e gráfico 56. Observe a tabela de preços de uma loja de vendas no atacado.53. Observe o gráfico da função e responda às questões. Quantidade de peças Preço por unidade (RS) || y 4 Até 50 2,00 3 Acima de 50 1,80 g 2 Acima de 100 1,40 1 Acima de 1 000 0,80 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 x a) As grandezas quantidade de peças e preço por 21 unidade estão em uma relação de proporciona- lidade? 22 b) Escreva em seu caderno a lei de correspondên- 23 cia que relaciona as grandezas quantidade de peças e preço, em reais, por unidade. a) Qual é o domínio de g? b) Qual é a imagem de g? Desafios de lógica 57. Em uma competição de ciclismo, Israel dá uma Função e proporcionalidade volta completa na pista em 32 segundos e Edu-54. Durante um experimento, um pesquisador concluiu ardo, em 30 segundos. Quantas voltas Israel que determinada colônia de bactérias cresce se- estará completando quando Eduardo comple- gundo a função n(t) 5 2t 1 4, em que n representa o tar a volta de número 80? número de bactérias e t o tempo em horas. 58. Um estacionamento para carros cobra 1 real a) Qual o número inicial de bactérias nessa colô- pela primeira hora e 75 centavos a cada hora nia? (Considere t 5 0.) ou fração de hora seguinte. Ivone estacionou b) Qual o número de bactérias após 2 horas? E seu carro às 13 horas e 10 minutos e saiu às após 6 horas? 17 horas e 30 minutos. Quanto ela pagou pelo c) As grandezas número de bactérias e tempo estão estacionamento de seu carro? em uma relação de proporcionalidade? Justifique 59. Segundo a receita da vovó Ana, para fazer 12 boli- sua resposta. nhos são necessários, exatamente, 400 gramas55. O saldo da balança comercial de um país é a dife- de farinha, 100 gramas de açúcar, 50 gramas de rença entre o valor das exportações e o valor das manteiga e meio litro de leite. Seguindo essas importações. Observe o gráfico a seguir e respon- proporções da receita, com 500 gramas de açú- da às questões em seu caderno. car, 300 gramas de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha é possível fazer, no Saldo da balança comercial brasileira (1993-2007) máximo, quantos bolinhos? USS (milhões) | 60. Todos os habitantes do planeta XY possuem 46,5 50,0 40,0 3 pernas e cada carro possui 5 rodas. Em um 44,8 40,0 33,7 conjunto de 97 pernas e rodas, analise as se- 30,0 guintes afirmações. 24,8 20,0 a) é possível que existam dezenove carros nesse 12,9 13,1 10,0 10,4 conjunto. 2,6 —1,3 —0,7 b) existem no máximo dezesseis carros nesse 0,0 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 conjunto. —10,0 —3,2 —6,5 Período —5,6—8,4 c) esse conjunto pode ser composto de quatorze —20,0 carros e nove habitantes. Disponível em: <http//:www.portalbrasil.net>. Acesso em: 12 jun. 2008. d) esse conjunto possui no máximo dezessete a) A relação entre o saldo da balança e o ano é de carros. proporcionalidade? Justifique. e) nesse conjunto existem menos habitantes b) O gráfico representa uma função? Explique. do que carros. 79

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