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# Mat exercicios resolvidos 009

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### Mat exercicios resolvidos 009

1. 1. Matemática Fascículo 04Álvaro Zimmermann Aranha
2. 2. ÍndiceTrigonometriaResumo Teórico .............................................................................................................................. 1Exercícios ........................................................................................................................................ 4Dicas ................................................................................................................................................ 5Resoluções ....................................................................................................................................... 6
3. 3. TrigonometriaResumo TeóricoFunção Seno e Cosseno P1 P senx = OP1 x cosx = OP2 0 P2Gráfico de y = senx Gráfico de y = cosx y senóide y cossenóide 1 1 3π 2 2π π 0 π π x 0 x π 3π 2π -1 2 -1 2 2Relações Fundamentais  kπ Relações Fundamentais Conseqüências  x ≠   2 1sen2x + cos2x = 1, ∀x ∈ R cotgx = tgx senx  π tgx =  x ≠ + kπ 1 + tg2x = sec2x cosx  2  cosxcotgx = ( x ≠ kπ ) 1 + cotg2x = cossec2x senx 1  π  1secx =  x ≠ + kπ cos 2 x = cosx  2  1+ tg2 x 1 tg2 xcossecx = ( x ≠ kπ ) sen2 x = senx 1+ tg2 x 1
4. 4. Tabela π π π x 6 4 3 1 2 3senx 2 2 2 3 2 1cosx 2 2 2 3tgx 1 3 3Adição de ArcosFórmula de Adiçãocos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen bcos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen bsen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos asen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a tg a + tg b tg a – tg btg(a + b) = tg(a – b) = 1– tg a ⋅ tg b 1+ tg a ⋅ tg b cotg a ⋅ cotg b – 1 cotg a ⋅ cotg b+1cotg(a + b) = cotg(a – b) = cotg b+ cotg a cotg b – cotg aFórmulas de Multiplicaçãoa. Arcos duplossen 2a = 2 sen a cos a cos 2 – sen2 a   ou cos 2a =  2cos 2 a – 1  ou  2  1– 2sen a 2 tg atg 2a = 1– tg2 ab. Arcos Triplossen 3a = 3 sen a – 4 sen3 acos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a 3 tga – tg3 atg 3a = 1– 3tg2 a2
5. 5. Fórmulas de Divisão x 1– cos x x 1+ cos x x 1– cos xsen = ± cos = ± tg = ± 2 2 2 2 2 1+ cos xTangente do Arco Metade x x x 2tg 2tg 1– tg2senx = 2 tgx = 2 cosx = 2 x2 x 2 x 1+ tg 1– tg2 1+ tg 2 2 2Fórmulas de Transformação em Produto p+ q p– qcos p+ cos q = 2 ⋅ cos ⋅ cos 2 2 p+ q p– qcos p – cos q = –2 ⋅ sen ⋅ sen 2 2 p+ q p– qsen p+ sen q = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 p– q p+ qsen p – sen q = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 sen(p+ q)tg p+ tg q = cos p ⋅ cos q sen(p – q)tg p – tg q = cos p ⋅ cos qEquações Trigonométricas Fundamentaissen α = sen β ⇒ α = β+ 2kπ ou α = (π – β) + 2kπcos α = cos β ⇒ α = ±β + 2kπtg α = tg β ⇒ α = β+ kπFunções Circulares Inversas π πy = arc senx ⇔ seny = x e – ≤y≤ 2 2y = arc cosx ⇔ cosy = x e 0 ≤ y ≤ π π πy = arc tgx ⇔ tgy = x e – <y< 2 2 3
6. 6. Triângulo Retângulo: Relações Trigonométricas b C sen B = \$ a a b \$ c cos B = a B c A \$ b tg B = c Triângulo Qualquer Lei dos Cossenos C a b a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos Â b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B \$ A c B c2 = a2 + b2 – 2.a.cos C \$ Lei dos Senos A b c R o a b c a C = = = 2R B \$ sen A \$ sen B \$ sen C Exercícios π 5π0 1 . Os números reais sen , sen a e sen formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o 12 12 valor de sen a é: 1 3 2 6 3 a. b. c. d. e. 4 6 4 4 2 4
7. 7. 0 2 . A figura abaixo mostra parte do gráfico da função: a. sen x x b. 2sen 2 c. 2 sen x d. 2 sen 2x e. sen 2x03. Dentre os números abaixo, o mais próximo de sen 50º é: a. 0,2 b. 0,4 c. 0,6 d. 0,8 e. 1,0 10 4 . O menor valor de , com x real, é 3 – cos x 1 1 1 a. b. c. d. 1 e. 3 6 4 20 5 . O valor de (tg 10º + cotg 10º) sen 20º é 1 5 a. b. 1 c. 2 d. e. 4 2 20 6 . Sabe–se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120º. Se os outros dois ângulos, x e y cos x 1 + 3 são tais que = , a diferença entre as medidas de x e y é: cos y 2 a. 5º b. 15º c. 20º d. 25º e. 30º07. O número de raízes da equação cos2x – senx = 0 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π é a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 e. 0 Dicas a1 + a301. Observe que na P.A. (a1, a2, a3), o termo médio a2 = . A seguir, transforme a soma a1 + a3 2 em produto, utilizando a fórmula: p+ q p−q sen p + sen q = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 2π02. O período da função y = b. sen cx (b, c > 0) é dado por p = c 2 303. Comparar sen 50° com sen 45° = e sen 60° = , sabendo que no 1.o Quadrante a função seno 2 2 é crescente. 5
8. 8. 04. Sendo –1 ≤ cos x ≤ 1, basta atribuir a cos x os valores 1 e –1. senx cosx05. Lembrar que tgx = , cotgx = e sen2x = 2 · senx · cosx. cosx senx06. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, temos que x + y + 120º = 180º ou x = 60º – y. Substituindo x na equação dada, obtemos y utilizando a fórmula cos(a – b) = cosa . cosb + sena senb.07. 2 1. Na equação dada, substitua cos 2x por 1 – 2 sen x (ver página 2). 2. Calcule os valores de senx. 3. Resolva a equação senx = sena sabendo que:  x = a + 2kπ  senx = sena ⇒ ou (k ∈Z)  x = ( π - a ) + 2kπ  Resoluções01. Alternativa d.  π 5π  Na P.A.  sen , sen a, sen  temos:  12 12  π 5π sen + sen sen a = 12 12 2 5π π 2 sen a = sen + sen 12 12 p+ q p−q Como sen p + sen q = 2 · sen · cos , vem: 2 2  5π π   5π π   +   -  2 sen a = 2 · sen 12 12  · cos 12 12   2   2      π π 2 sen a = 2 · sen · cos 4 6 2 3 6 sen a = ⋅ ⇒ sen a = 2 2 4 6
9. 9. 02. Alternativa b. 2π A função y = b . sen cx (b, c > 0) tem período p = e imagem Im = [- b, b]. c Analisando o gráfico, concluímos que p = 4π e b = 2. 2π 1 De = 4π vem c = . c 2 x Logo, a função é y = 2 . sen 203. Alternativa d. No 1.o quadrante, a função seno é crescente. Então sen 45º < sen 50º < sen 60º. 2 3 Sendo ≅ 0,71 e ≅ 0,87, temos: 0,71 < sen 50º < 0,87. 2 2 Logo, entre as alternativas, o número mais próximo de sen 50º é 0,8.04. Alternativa b. Como – 1 ≤ cosx ≤ 1, vem: 1 1 1 se cosx = 1, temos: = = 3 − cos x 3 − 1 2 1 1 1 se cosx = – 1 temos = = 3 − cos x 3 − ( −1) 4 1 Logo, o menor valor é . 405. Alternativa c. sen10º cos10º Sabendo que tg10º = , cotg10º = e cos10º sen10º sen20º = sen2 . (10º) = 2 . sen10º . cos10º vem:  sen10º cos10º  (tg10º + cotg10º) . sen20º =  +  . sen20º =  cos10º sen10º  1  6 4 44 7 4 4 4  8   sen 10º + cos 2 10º 2 1 =  . sen20º = . 2 sen10º cos10º = 2  sen10º⋅ cos10º  sen10º⋅ cos10º    06. Alternativa e. Temos x + y + 120º = 180º, então x = 60º – y (1) substituindo (1) em cos x 1 + 3 cos (60º − y ) 1 + 3 = , vem: = cos y 2 cos y 2 cos 60º ⋅ cos y + sen 60 sen y 1+ 3 cos 60º ⋅ cos y sen 60º sen y 1 + 3 = ⇒ + = cos y 2 cos y cos y 2 7
10. 10. 1 3 1 3 3 3 + ⋅ tgy = + ⇒ ⋅ tgy = 2 2 2 2 2 2 tgy = 1 ⇒ y = 45º Logo x = 60º – 45º ⇒ x = 15º Como as alternativas são todas positivas, temos a diferença y – x = 45º – 15º = 30º07. Alternativa b. cos2x – senx = 0 (1 – 2sen2x) – senx = 0 – 2sen2x – senx + 1 = 0 (– 1) ⇒ 2sen2x + senx – 1 = 0  1 senx =  2 −1 ± 3  senx = ou 4  senx = −1  1 π π 5π (1) senx = = sen ⇒ x= + 2kπ ou x = + 2kπ 2 6 6 6 3π 3π (2) senx = – 1 = sen ⇒x= + 2kπ 2 2 π 5π 3π Como 0 ≤ x ≤ 2π, obtemos as soluções: x = , x = ex= 6 6 2 Logo, o número de raízes é 3. 8