140 questões de matemática resolvidas por professor Fabrício Maia

Professor: Fabrício Maia

Matemática
140 questões resolvidas
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

“A força não provém da capacidade física e sim de uma vontade indomável”
(Mahatma Gandhi)

01 Os valores de b para os quais a parábola y = x2 + bx tem um único ponto em comum com a reta y = x – 1 são:
A) – 1 e 3 D) 0 e – 1
B) – 1 e 2 E) 0 e 2
C) – 3 e – 1

Solução:
⎧ y = x 2 + bx
Temos: ⎨ y = x − 1
⎩

x 2 + bx = x − 1
Comparando:
x 2 + (b − 1) x + 1 = 0
Como as equações têm um único ponto comum, então:
Δ=0
(b − 1)2 − 4 ⋅ 1⋅ 1 = 0
(b − 1)2 = 4

Daí: b − 1 = 2 → b = 3 ou b − 1 = −2 → b = −1
Resposta: A

02 Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g (2 – x) é:
A) x > 0 D) x > 1,5
B) x > 0,5 E) x > 2
C) x > 1

Solução:
Temos:
f(x) > g(2 –x)
4x + 1 > 42 – x
(base > 1)
Daí: x + 1 > 2 –x
1
2x > 1 → x >
2
Resposta: B

03 log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a:
A) 1 D) 10
B) 3 E) 1.000
C) 5

Solução:
Lembre: logb + logc = logb⋅c
a a a

Temos: log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 = log 100000 = log 105 = 5

Soma = 5
Resposta: C

5

Matemática Professor: Fabrício Maia

04 Utilizando a tabela abaixo, conclui-se que 5 371.293 é igual a:
A) 11 N log N
B) 13
9 0,95
C) 14 11 1,04
D) 15 13 1,11
E) 17 15 1,18
17 1,23
... ...
371.293 5,55

Solução:
Tomando: n = 5
371.293
1
Daí: log n = log 5
371.293 → log n = log (371. 293) 5
1 1
log n = ⋅ log371.293 (veja tabela) → log n = ⋅ 5,55 → log n = 1,11 (veja tabela)
5 5
logo: n = 13

Resposta: B

05 O número de pontos de interseção dos gráficos de y = 3 logx e de y = log 9x, sendo x > 0, é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:

{
Sabemos :
y = 3 ⋅ logx
Temos: y = log 9x f(x) = loga
x

(x > 0 e 0 < a ≠ 1)
Comparando:
3 ⋅ log x = log9x
log x 3 = log9x

Daí: x 3 = 9x
x 3 − 9x = 0
x(x 2 − 9) = 0
x = 0(n.s) ou x 2 − 9 = 0 → x = 3 ou x = −3(n.s)
Resposta: B

⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞
⎜ 2 ⎟+ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
06 A equação =1
⎛k + 2⎞
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
A) não admite soluções.
B) admite uma solução entre 1 e 5.
C) admite uma solução entre 5 e 12.
D) admite uma solução entre 12 e 20.
E) admite uma solução maior que 20.

Solução:

⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
Lembre: ⎜ p ⎟ + ⎜ p + 1⎟ = ⎜ p + 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 2 ⎞
Daí: ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6


Matemática
⎛ k + 2⎞
Substituindo: ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
=1
⎛ k + 2⎞
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠

⎛ k + 2⎞ ⎛ k + 2⎞
⎜ 3 ⎟=⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

logo: 3 + 5 = k + 2 → k = 6

Resposta: C

07 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (1 + x2 – x3)9 é:
A) – 1 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4

Solução:
Sabemos:
Se p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0, com an ≠ 0, a soma dos coeficientes do polinômio é dada por p(1).
Assim: A soma dos coeficientes de (1 + x2 – x3)9 é dada por: Scoef. =(1 + 12 – 13)9 = (1 + 1 – 1)9 = 1

Resposta: C

08 Encontre o coeficiente de x2 no desenvolvimento de (x2 + 2x + 1)4.
Solução:
Lembre:
⎛n⎞
Termo geral: Tp +1 = ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp
⎝p⎠
Temos: (x + 2x + 1)4 = [(x + 1)2]4 = (x +1)8
2

⎛ 8 ⎞ 8−p p
Termo geral: Tp+1 = ⎜ p ⎟ ⋅ x ⋅ 1
⎝ ⎠
Queremos: 8 – p = 2 → p = 6

⎛8⎞ 2 6
Daí: T7 = ⎜ 6 ⎟ ⋅ x ⋅ 1 = 28x
2

⎝ ⎠
Resposta: 28

⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
09 Calcule n sabendo que ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solução:
⎛n ⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
Lembre: ⎜ 0 ⎟ + ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 2
n

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛n⎞ ⎛n ⎞ ⎛n⎞
Daí: ⎜1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ... + ⎜ n ⎟ = 8.191
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
144443
44244
⎛n ⎞
2n − ⎜ ⎟
⎝0⎠

Agora: 2n – ⎛ ⎞ = 8 ⋅ 191
n
⎜0⎟
⎝ ⎠
2n − 1 = 8.191
2n = 8.192
2n = 213 → n = 13
Resposta: 13

7


10 O número total de pares (x, y) que satisfazem a equação (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0 é:
A) infinito B) 0 C) 1 D) 2 E) 4
Solução:

Se a,b ∈ 1 e n é par, então :
an + bn = 0 ⇔ a = b = 0
Temos: (x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0

⎧x2 + y2 − 1 = 0
Daí: ⎨
⎩ xy = 0 → x = 0 ou y = 0
se x = 0 → y 2 = 1 → y = ±1
se y = 0 → x 2 = 1 → x = ±1
pares : (0,1),(0, −1),(1,0),( −1,0)
Resposta: E
11 A parábola de equação y = x2 – 6 tem vértice M e corta o eixo x nos pontos A e B. Qual a área do triângulo
ABM?
A) 1 B) 6 C) 6 D) 6 6 E) 12 6

Solução:
Lembre: f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0

b
Coordenadas do vértice: x v = −
2a
Δ
yv = − ou y v = f(x v )
4a
Temos:
– Coordenadas do vértice:
y = x2 – 6
−0
xv = → xv = 0
2 ⋅1
y v = 02 − 6 → y v = −6

Então: M(0; –6)

– Pontos de interseção com o eixo x:

x 2 − 6 =→ x = 6 ou x = − 6
A( − 6; 0) e B( 6, 0)

Logo, a área do ΔABM é dada por:

1
Área = | DABM |
2
0 −6 1
| DABM |= 6 0 1 = 12 6
− 6 0 1

1
Área: ⋅ 12 6 = 6 6 u.a
2

Resposta: D

4
12 A distância do vértice da parábola y = (x – 2)(x – 6) à reta y = x +5 é:
3
72 29 43 43
A) B) C) 43 D) E)
25 25 25 5

8


Matemática
Solução:
I) f(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0

Coordenadas do vértice: ⎧ x = x1 + x 2
⎪ v
⎨ 2
⎪ y v = f(x v )
⎩

II) Distância de um ponto a uma reta.

ax + by + c = 0

| ax 0 + by 0 + c |
dp,r =
a2 + b2

r P(xo, y o)

Temos: y = (x − 2) ⋅ (x − 6) → parábola
raízes : 2 e 6
2+6
xv = =4
2
y v = f(4) = (4 − 2) ⋅ (4 − 6) = 2 ⋅ ( −2) = − 4

Distância do vértice à reta:

4x – 3y + 15 = 0

| 4 ⋅ 4 − 3 ⋅ ( −4) + 15 |
d=
42 + ( −3)2
d = ??? 43
d=
5
(4, – 4)

Resposta: E

13 Resolvendo a inequação log1/2(2x + 1) > log1/2(– 3x + 4), obtemos:
1 4 4 3 1 3 3 4
A) − <x< B) 0 < x < C) x < D) − <x< E) <x<
2 3 3 5 2 5 5 3

Solução:

Lembre: loga > loga → x < y
x y

(0 < base < 1)

Temos: log 1 (2x + 1) > log 1 ( −3x + 4)
2 2

⎧ 3
Então: ⎪2x + 1 < −3x + 4 → 5x < 3 → x <
5
⎪
⎪ 1
⎨2x + 1 > 0(C.E) → x > −
⎪ 2
⎪ −3x + 4 > 0 (C.E) → x < 4
⎪
⎩ 3

9


Interseção (I) (III)
3 4
5 3
(II) (I) Δ (II) Δ (III)
−1 −1 3
2 2 5
Resposta: D
14 Se o número complexo z = 1 – i é uma das raízes da equação x10 – a = 0, o valor de a é:
A) 16 B) 32 C) 64 D) – 16i E) – 32i

Solução:
Temos: x10 = a, se z é raiz, então z10 = a.

Daí: a = (1 − i)10
a = [(1 − i)2 ]5
a = ( −2i)5
a = −32i5 → a = −32i
Resposta: E
15 A reta y = ax + 1 intercepta a curva x2 + 4y2 = 1 somente num ponto. Calcule 8a2.
Solução:
⎧y = ax + 1
Temos: ⎨ 2
⎩x + 4y = 1
2

Substituindo (I) em (II): x 2 + 4(ax + 1)2 = 1
x 2 + 4a2x 2 + 8ax + 4 − 1 = 0
x 2 (1 + 4a2 ) + 8ax + 3 = 0 (Equação do 2o grau)

Condição:
Δ = 0 (única solução)

Daí: (8a)2 − 4 ⋅ (1 + 4a2 ) ⋅ 3 = 0
64a2 − 12 − 48a2 = 0
16a2 = 12
8a2 = 6
Resposta: 6

16 A condição para que o trinômio mx2 + (m + 1)x + 1 seja sempre positivo, qualquer que seja x, é que:
A) m > 0
B) (m + 1)2 + 4m < 0
C) (m − 1)2 ≤ 0
D) m ≠ 1,m > 0
E) não há valores de m tais que o trinômio proposto, qualquer que seja x, se torne sempre positivo.
Solução:
Devemos ter:

+ + + + + +
{
Δ<0
a>0
1ª condição: a > 0 → m > 0

2ª condição: Δ < 0 → (m + 1) − 4 ⋅ m ⋅ 1 < 0 →
2

→ m + 2m + 1− 4m < 0 → m2 − 2m + 1 < 0 →
2

→ (m − 1)2 < 0(absurdo, pois,(m − 1)2 ≥ 0, ∀m ∈ 1 )
Resposta: E

10


17 Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O conjunto-solução de f[f(x)] = 3, é:

Matemática
A) {1} B) {2} C) {3} D) {1, 2, 3} E) vazio

Solução: A A
Temos:

1 1
2 2 se x = 1 → f(f(1)) = f(3) = 2 → f(f(1)) = 2(n.s)
3 3 se x = 2 → f(f(2)) = f(1) = 3 → f(f(2)) = 3(OK)
se x = 3 → f(f(3)) = f(2) = 1 → f(f(3)) = 1(n.s)
S = {2}
Resposta: B
6S
18 Seja S a soma, em radianos, das raízes da equação 1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 0, x ∈[0, π]. Calcule .
π
Solução:
⎛ p +q⎞ ⎛ p −q ⎞
Fórmula de Werner: cosp + cosq = 2cos ⎜ cos ⎜
⎝ 2 ⎟
⎠ ⎝ 2 ⎠
⎟

⎧ ⎛x⎞ ⎛x⎞
Temos: ⎪ 1+ cos x = cos0 + cos x = 2cos ⎜ ⎟ ⋅ cos ⎜ ⎟
⎪ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎨
⎪ cos2x + cos3x = 2cos ⎛ 5x ⎞ ⎛x⎞
⎪ ⎜ 2 ⎟ cos ⎜ 2 ⎟
⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛ 5x ⎞ ⎛x⎞
Então: 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ + 2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = 0
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

⎛x⎞ ⎡ ⎛x⎞ ⎛ 5x ⎞ ⎤
2cos ⎜ ⎟ ⋅ ⎢cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎥ = 0
⎝ 2⎠ ⎣ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎦

⎛x⎞ ⎛ 3x ⎞
2cos ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⋅ cos ⎜ ⎟ cos ( − x) = 0
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

⎛x⎞ ⎛ 3x ⎞
4 cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ cos(x) = 0
⎝2⎠ ⎝ 2⎠

x x π
Daí: cos = 0 → = + kπ → x = π + 2kπ
2 2 2
ou
3x 3x π π 2kπ
cos =0→ = + kπ → x = +
2 2 2 3 3
ou
π
cos x = 0 → x = = kπ
2
π π
se k = 0 → x = π, ou
3 2
se k = 1, 2, 3, ... → raízes já encontradas ou fora do intervalo dado.
π π
Raízes: π, ,
2 3
π π 6 π + 3π + 2π
Soma das raízes = S = π + + =
2 3 6
11π
S=
6
6S
Logo : = 11
π
Impor tan te :
cos( − x) = cos(x), ∀x ∈ Df
Resposta: 11

11


3 x(1 − x)
19 A função f(x) = x− é crescente, para todo x pertencente a:
2 4
⎡ 25 ⎞ ⎡ 25 ⎞ ⎡ 5 ⎞ ⎡ 5⎞
A) ⎢− , +∞ ⎟ B) ⎢− , +∞ ⎟ C) ⎢− , +∞ ⎟ D) ⎢ −∞, ⎟ E) 1
⎣ 16 ⎠ ⎣ 4 ⎠ ⎣ 2 ⎠ ⎣ 4⎠

Solução:

3 x – x2
Temos: f(x) = x−
2 4
6x − x + x 2
f(x) =
4
x 2 + 5x
f(x) =
4
1 2 5
f(x) = x + x
4 4

Parábola
crescente

5
−
5
xv = 4 = −
1 2
2⋅
4

f é crescente ∀ x ≥ − 5
2

Resposta: C

20 Se p e q são raízes não-nulas de x2 + 5px – 8q = 0, calcule p + q.

Solução:

Girard

{x1 + x 2 = −5p
x1 ⋅ x 2 = −8q
Daí:

{p + q = −5q
p ⋅ q = −8q

2ª equação

p ⋅ q = −8q (como q é diferente de zero)
Temos:

p = −8
Logo :
p + q = −5p
p + q = −5 ⋅ ( −8)
p + q = 40

Resposta: 40

21 Quantos valores inteiros satisfazem a inequação (2x – 7) (x – 1) ≤ 0.
A) zero B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

12


Matemática
Estudo do sinal
Solução:
– – – + + +
7
2

– – – + + +
1

+ + – – + +
produto
1 7
2
Inteiros: 1, 2, 3
Resposta: D
22 Sobre a equação 1.983x2 – 1.984x – 1.985 = 0, a afirmativa correta é:
A) não tem raízes. D) tem duas raízes positivas.
B) tem duas raízes simétricas. E) tem duas raízes negativas.
C) tem duas raízes reais distintas.
Solução:
Temos: Δ = B2 − 4ac
Δ = ( −1984)2 − 4.1983 ⋅ ( −1985)
Δ = 1984 2 + 4.1983 ⋅ 1985

Então :
Δ > 0 → raízes reais e distintas
Resposta: C
23 Seja f uma função real tal que f (x + 1) = (f (x))2 e f (0) = 10. Então f (4) é igual a:
A) 1016 B) 100 C) 10258 D) 101 E) 121
Solução:
Temos que:
f(x + 1) = [f(x)]2
se x = 0 → f(1) = [f(0)]2 → f(1) = 102
se x = 1 → f(2) = [f(1)]2 → f(2) = 104
se x = 2 → f(3) = [f(2)]2 → f(3) = 108
se x = 3 → f(4) = [f(3)]2 → f(4) = 1016

Resposta: A
24 Se o domínio da função f, definida por f(x) = 1 – 2x, é o intervalo ]–3, 2], então Imf é:
A) ]–7, 3] B) [–3, 7[ C) ]–3, 7] D) [–3, 5[ E) ]–3, 3]
Solução:
1− y
Temos: y = 1 − 2x → x =
2
Veja: x ∈] − 3,2]
Então: −3 < x ≤ 2

Agora :
1− y
−3 < ≤2
2
−6 < 1 − y ≤ 4
−7 < − y ≤ 3
7 > y ≥ −3
ou
−3 ≤ y < 7 → y ∈ [−3,7[

Resposta: B

13


25 Se f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1, ∀x ∈ 1 , então f(1 – x) vale:
A) 2 – x2 B) 2 + x2 C) x2 + 2x – 4 D) 3x2 – 2x + 4 E) x2 + x – 1

Solução:
k−3
Tomando: 2x + 3 = k → x =
2

Então:
2
⎛k −3⎞ ⎛k − 3⎞
f(k) = 4 ⎜ ⎟ + 6⎜ 2 ⎟ +1
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
f(k) = (k − 3)2 + 3(k − 3) + 1
f(k) = k 2 − 3k + 1
Agora:

f(1 − k) = (1 − k)2 − 3(1 − k) + 1
f(1 − k) = k2 + k − 1

Por tanto :
f(1 − x) = x 2 + x − 1
Resposta: E

26 A distância do centro da circunferência x2 + y2 – 6x – 8y + 21 = 0 à bissetriz do Iº e IIIº quadrantes, vale:

3 2
A) 5 B) 2 C) 3 D) E)
2 2
Solução:

Circunferência
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
Centro (a,b)

Daí:
– 2a = – 6 → a = 3
– 2b = – 8 → b = 4

Bissetriz dos quadrantes ímpares

x−y=0
y=x

C(3,4)

| 1⋅ 3 − 1⋅ 4 + 0 | 1 2
distância = = =
1 + ( −1)
2 2
2 2

Resposta: E

3
27 A reta y = x é tangente a uma circunferência do centro (2, 0). O raio dessa circunferência é:
3
A) 3 B) 2 C) 3 D) 1 E) 0,5

14


Matemática
Solução:
(2,0)
3x − 3y = 0

distância de um ponto a uma reta.

| 3 ⋅ 2 − 3⋅0 + 0 | 2 3
R= =
( 3)2 + ( −3)2 12
2 3
R=
2 3
R =1
Resposta: D
28 Se S = 1! + 2! + 3! + ... + 89!, então o dígito das unidades de S é:
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

Solução:
Veja:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24
A partir de 5!, os resultados serão múltiplos de 10.
Então:
S = 1+4 + 6 424 + 5!4 ... 4 89!
1 4 2 2 +4
4 4 3 1 + 2+4 4 3
33 múltiplo de 10
S = 3 + 14243
30 + 10α’
múltiplo de 10
S = 3 + 10α → dígito das unidades é 3.

Resposta: B
kx +2y = −1
{
29 O sistema linear de equações nas incógnitas x e y 2x − y = m é impossível se, e somente se:

1 1 1 1
A) k = – 4 e m ≠ B) k ≠ − 4 e m = C) k ≠ − 4 e m ≠ D) k = − 4 E) k = − 4 e m =
2 2 2 2
Solução:

{
kx + 2y = −1
Sistema 4x − 2y = 2m

Somando: (k + 4)x = 2m − 1
Impossível
⎧k + 4 = 0 → k = −4
⎪
⎨2m − 1 ≠ 0 → m ≠ 1
⎪
⎩ 2
Resposta: A

30 Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com OA = a e OB = b, são dados pontos P em OA e Q em OB
de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nessas condições o valor de x é:
A) ab − a − b
B) a + b − 2ab
C) a2 + b2
D) a + b + 2ab
E) ab + a + b

15


Solução:
o
Pitágoras a–x
b–x
P
x = (a − x) + (b − x)
2 2 2
x Q
x 2 = a2 − 2ax + x 2 + b2 − 2bx + x 2 x

x 2 − 2(a + b)x + a2 + b2 = 0 A B
Δ = [−2(a + b)]2 − 4 ⋅ 1(a2 + b2 )
Δ = 4(a + b)2 − 4(a2 + b2 )
Δ = 8ab
Daí:

2(a + b) ± 8ab 2(a + b) ± 2 2ab
x2 = =
2 2

x = a + b + 2ab (absurdo, veja figura) ou
x = a + b − 2ab

Resposta: B
31 Num triângulo retângulo de catetos 1 e 3cm , a altura relativa à hipotenusa mede, em cm:

3 2
A) 2 B) 3 C) 3 D) E)
2 2
Solução: A
Temos: 1 3
h
B C
a

Relações métricas
I) a2 = 12 + ( 3)2 → a2 = 4 → a = 2

3
II) 1⋅ 3 = a ⋅ h → 3 = 2h → h =
2
Resposta: D
f(10−8 ) − f(103 )
32 Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de é:
10−8 − 103
A) 104 B) 102 C) 10 D) 10–5 E) 10–11
Solução:
Saiba:
Se f(x) = ax + b, com a ≠ 0, então:
f(s) − f(v)
= a, com s ≠ v.
s−v
f(10−8 ) − f(103 )
Assim, = 100 (coeficiente angular)
10−8 − 103
Resposta: B

33 Se um polígono convexo de n lados tem 54 diagonais, então n é:
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

Solução:
n(n − 3)
Lembre: Fórmula do número de diagonais d = .
2
Então: 54 = n(n – 3)
2

n2 – 3n – 108 = 0
n = 12 ou n = –9 (n.s)
Resposta: E

16


Matemática
34 O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440º tem, exatamente:
A) 15 diagonais
B) 20 diagonais
C) 25 diagonais
D) 30 diagonais
E) 35 diagonais
Solução:
Lembre: Soma dos ângulos internos Si = (n – 2) ⋅ 180º

Então: 1440º = (n − 2) ⋅ 180º

1400º
=n−2
180º

8 =n−2
n = 10

n(n − 3) 10 ⋅ 7
Portanto: d = =
2 2

d = 35
Resposta: E

35 Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida do ângulo AEB, em graus, é:
A) 30 D) 75
B) 49 E) 90
C) 60
A D
E

B C

Solução:
Figura:
A D
E
x

θ
α
B C
ΔBCE é eqüilátero → α = 60º
ABCD é um quadrado → θ = 30º
Veja: BC ≡ BE (lado do quadrado = lado do ΔBCE)
Daí: ΔABE é isósceles
A
x
x E
θ + 2x = 180º
θ 30º + 2x = 180º
B x = 75º
Resposta: D
36 Na figura abaixo, EFG é um triângulo retângulo, EF = 2cm , EG = 6cm e EP = PQ = QG. Então α + β + θ é igual a:

π 7π 4π π F
A) B) C) D)
3 18 9 2

α β θ
E P Q G

17


Solução:
F

2
α β θ
E 2 P 2 Q 2 G

2
ΔEPF → tgα = → tgα = 1→ α = 45º
2
2 1
ΔEQF → tgβ = → tgβ =
4 2
2 1
ΔEGF → tgθ = → tgθ =
6 3

tgβ + tgθ
Sabemos: tg(β + θ) =
1− tgβ ⋅ tgθ

1 1 5
+
Então: tg(β + θ) = 2 3 = 6 =1
1 1 5
1− ⋅
2 3 6

tg(β + θ) = 1 → β + θ = 45º

Portanto: α +β+ θ = 90º

Resposta: D

37 A área compreendida entre as retas 4y = x – 2, y = 2x – 4 e x = 0 é igual a:
A) 3,0 u.a B) 3,5 u.a C) 4,0 u.a D) 4,5 u.a E) 6,0 u.a

Solução:
Temos:
⎧ x −2
⎪ y= 4
⎪
retas ⎨ y = 2x − 4
⎪ x = 0 (eixo y)
⎪
⎩

Gráfico:
y y = 2x − 4

x −2
y=
4
x
A C

B −1
A(0, );B (0, − 4) e C(2,0)
2

1
0 − 1
2
DABC = 0 −4 1 = −1+ 8 = 7
2 0 1

Logo:
1 7
Área = ⋅ 7 = u.a
2 2

Resposta: B

18


Matemática
38 A razão de uma progressão geométrica, cujos termos são os três lados de um triângulo retângulo é:

1+ 5 1+ 2 1+ 3 1+ 2
A) B) C) D)
2 5 2 3

Solução:
C
⎛x ⎞ x xq
P.G.⎜ ;x;xq ⎟
⎝ q ⎠ q
A x B

2
⎛x⎞
(xq)2 = x 2 + ⎜ ⎟
Pitágoras ⎝q⎠
x2
x 2q2 = x 2 + 2
q

1
q2 = 1+
q2
Dividindo ambos os membros por x2 q4 − q2 − 1 = 0
1± 5 1+ 5
q2 = → q2 =
2 2

1+ 5
Portanto: q =
2

Atenção!!! q é positivo.

Resposta: A

39 Sejam a e b números reais. Se a > b > 0, a2 – b2 = 4 e log2(a + b) – log3(a – b) = 2, então a2 + b2 é igual a:
A) 13/2 B) 15/2 C) 17/2 D) 19/2

Solução:
Fazendo: log2 (a + b) = x → a + b = 2x
log3 (a − b) = y → a − b = 3y

Sistema: ⎧2 ⋅ 3 = 4
x y
⎨
⎩x − y = 2 → x = 2 + y

Substituindo: 2x ⋅ 3y = 4
22+y ⋅ 3y = 4
22 ⋅ 2y ⋅ 3y = 4
4 ⋅ 6y = 4
6y = 1 → y = 0 → x = 2

{
Assim: a + b = 4
a−b =1

5 3
Resolvendo: a = eb=
2 2
34 17
Logo: a2 + b2 = =
4 2

Resposta: C

19


40 Se x1 e x2 são as raízes da equação 32logx 3 = xlogx (3x) , então 9(x1 + x2) é igual a:
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28

Solução:
Lembre: I) aloga b = b
II)Se loga b = x → ax = b
Temos: 32logx 3 = xlogx 3x
Então: 3
2logx 3
= 3x
1
Tomando: log3 x = k → logx 3 = e x = 3k
k
1
2.
Substituindo: 3 k = 3 ⋅ 3k
2
3k = 3k +1

2
Comparando: k + 1 =
k
k2 + k − 2 = 0
1
k = −2 → x = 3−2 → x =
9
ou
k = 1 → x = 31 →= 3
Logo :
⎛1 ⎞
9(x1 + x 2 ) = 9 ⎜ + 3 ⎟ = 1+ 27 = 28
⎝9 ⎠

Resposta: D
3
41 O número de raízes de equação + cos x = 0 é:
2
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) maior que 3

Solução:
Sabemos: −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x.

3
Temos: + cos x = 0
2
3
cos x = −
2
cos x = −1,5 (absurdo, pois o mínimo de cos x é – 1)
Resposta: A

42 O número de raízes da equação tg2x – sen2x = 0, 0 ≤ x < 2π, é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) maior que 3

Solução:
sen2x
Temos: − sen2x = 0
cos2 x
sen2x − sen2x cos2 x = 0
sen2x(1 − cos2 x) = 0
sen2x ⋅ sen2x = 0
sen4 x = 0
Daí: senx = 0
x = 0 ou x = π

Resposta: C

20


Matemática
∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 2p = 729
n
n
43 Determine n, sabendo que ⎜ ⎟
⎝ ⎠
p =0

n
⎛n⎞
Solução: (a + b)n = ∑ ⎜ ⎟ ⋅ an−p ⋅ bp (binômio de Newton)
p =0 ⎝ ⎠
p

∑ ⎛ p ⎞ ⋅ 1n−p ⋅ 2p = (1+ 2)n = 3n
n
n
Veja: ⎜ ⎟
⎝ ⎠
p=0

Então: 3n = 729 → n = 6

Resposta: 6

44 O domínio real da função f(x) = 2senx − 1 para 0 ≤ x < 2π, é:
π 5π π 5π π 2π
A) ≤x≤ B) 0 ≤ x ≤ ou ≤ x < 2π C) 0 ≤ x < π D) ≤x≤
6 6 6 6 3 3

Solução:
s
Condição:
150º 30º
2senx − 1 ≥ 0 1
2
1
sen x ≥ c
2

π 5π
Daí: ≤x≤
6 6

Resposta: A

45 Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que contêm exatamente 18 elementos é:
A) 360 B) 190 C) 180 D) 120 E) 18

Solução:
Temos: M = {a1, a2, a3 ..., a20}.
A ordem dos elementos não altera um conjunto.
Daí: nº de subconjuntos com 18 elementos = C20, 18

Resposta: B

46 Se Cn, 2 + 2.An,2 + 100 = A2n, 2, então n é igual a:
25
A) 24 B) 8 C) 6 D) 10 E) −
3
Solução:

n! n ⋅ (n − 1)
Temos: Cn,2 = =
(n − 2)!2! 2
n!
An,2 = = n ⋅ (n − 1)
(n − 2)
(2n)!
A2n,2 = = (2n) ⋅ (2n − 1)
(2n − 2)!

n(n − 1)
Então: + 2 ⋅ n(n − 1) + 100 = (2n)(2n − 1)
2
n2 − n + 4n2 − 4n + 200 = 8n2 − 4n
3n2 + n − 200 = 0
25
n = 8 ou n = − (n.s)
3
Resposta: B

21


47 Deseja-se acondicionar em um certo número de caixas, 1590 bolinhas brancas, 1060 amarelas e 583 azuis, de
modo que cada caixa contenha bolinhas de todas as cores. Calcule o número máximo de caixas de modo que
qualquer dessas caixas contenha, para cada cor, quantidades iguais de bolinhas.
Solução:
x → número de caixas.
p → quantidade de bolas brancas em cada caixa.
q → quantidade de bolas amarelas em cada caixa.
r → quantidade de bolas azuis em cada caixa.
1590
Temos: =p
x

1060
=q
x

583
=r
x

Veja: x = m.d.c. (1590,1060,583)
x = 53

* MDC (1590, 1060) = 530 * MDC (530, 583) = 53

1 2 1 10
1590 1060 530 583 530 53

530 0 0

Resposta: 53
48 Sejam N o conjunto dos números inteiros positivos e E = {(x,y) ∈ N2; x4y4 – 10x2y2 + 9 = 0}. Determine o número
de elementos de E.
Solução:
Temos: x 4 y 4 − 10x 2y 2 + 9 = 0
(x 2y 2 )2 − 10x 2y 2 + 9 = 0
Fazendo: x 2 y 2 = k

Equação: k 2 − 10k + 9 = 0
k = 1 → x 2 y 2 = 1 → (xy)2 = 1
ou k = 9 → x 2 y 2 = 9 → (xy)2 = 9
Como x e y são inteiros positivos, tem-se:

xy = 1 → (1,1)
ou
xy = 3 → (1,3) ou (3,1)
E = {(1,1),(1,3),(3,1)}

Resposta: 3

2x + 3 3
49 Considere a função real definida por f(x) = ,x ≠ − .
1 1 2
x+
3 2

Então o valor da soma 1⋅ f(1) + 2 ⋅ f(2) + 3 ⋅ f(3) + ... + 20 ⋅ f(20) é:
A) 120 B) 600 C) 210 D) 620 E) 1.260

22


Matemática
Solução:
2x + 3 6
Temos: f(x) = = 2x + 3 ⋅
2x + 3 2x + 3
6

Então: f(x) = 6
Agora:
Soma: 1⋅ 6 +2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 + ... + 20 ⋅ 6
Soma: (1+ 2 + 3 + ... + 20) ⋅ 6

Soma: (1+ 20) ⋅ 20
⋅ 6 = 21⋅ 10 ⋅ 6 → Soma = 1.260
2
Resposta: E
50 Sejam x e y números reais satisfazendo as equações logy x + logx y = 2 e x2y + y2 = 12x. Determine o valor do
produto xy.

Solução:
1
Tomando: logy x = m → logx y =
m
1
Daí: m + =2
m
m − 2m + 1 = 0
2

m =1 → x = y
Substituindo na 2ª equação x 2y + y 2 = 12x
x 2 ⋅ x + x 2 = 12x
x 3 + x 2 − 12x = 0
x(x 2 + x − 12) = 0
x = 0 (n.s) ou x = −4 (n.s)
ou
x=3 → y=3
Resposta: 9
51 Os conjuntos A e B possuem 3 e 4 elementos, respectivamente. Quantas funções de A em B têm o conjunto
imagem igual a B?
A) Nenhuma B) 34 C) 43 D) 3! E) 4!
Solução:
Veja:
I) Numa função de A em B devemos ter todos os elementos de A associados a um único valor em B.
II) Se o conjunto imagem é o próprio B, então existe um elemento em A com duas imagens, pois todos os
elementos de A estão associados.
Portanto, não existem funções de A em B sobrejetoras.
Resposta: A
52 As funções injetoras de A = {1, 2, 3, 4} em B = {5, 6, 7, 8, 9, 0} são em número de:
A) 720 B) 360 C) 15 D) 24 E) 30
Solução:
Lembre:
Se f é injetora, então:
x1 ≠ x 2 → f(x1 ) ≠ f(x 2 )
Daí: A
1 f(1): 6 possibilidades em B

Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 6.5.4.3 = 360 funções injetoras
Resposta: B

23


53 Para ser aprovado numa disciplina, um aluno precisa ter média maior ou igual a 50, obtida num conjunto de 5
provas, sendo quatro parciais, com peso 1 (um) cada, e uma prova-exame, com peso 2 (dois). Um certo aluno
obteve em matemática, nas quatro provas parciais, notas iguais a 30, 60, 50 e 70. Esse aluno, para ser aprovado
nessa disciplina, deverá obter, na prova-exame, nota mínima igual a:
A) 20 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

Solução:
1⋅ 30 + 1⋅ 60 + 1⋅ 50 + 1⋅ 70 + 2 ⋅ x 210 + 2x
Média ponderada = =
6 6

210 + 2x
Temos: ≥ 50
6
210 + 2x ≥ 300
2x ≥ 90
x ≥ 45 → xmin = 45

Resposta: D

54 O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão n por 4 é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:
Temos: n 12
7 q

Daí: n = 12q + 7
n = 12q + 4 + 3
n = 4(3q + 1) + 3
n = 4q'+ 3, onde q' = 3q + 1

Veja: n 4
3 q’

Resposta: D

55 Qual dos cinco números relacionados abaixo não é um divisor de 1015?
A) 25 B) 50 C) 64 D) 75 E) 250

Solução:
Temos: 1015 = (2 ⋅ 5)15 = 215 ⋅ 515
Veja:
(A) 25 = 52 divide 1015 (OK)
(B) 50 = 2 ⋅ 52 divide 1015 (OK)
(C) 64 = 26 divide 1015 (OK)
(D) 75 = 3 ⋅ 52 não divide 1015 (problema fator 3)
(B) 250 = 2 ⋅ 53 divide 1015 (OK)

Resposta: D

56 A fração geratriz de 3,74151515... é:
37.415 3.741.515 37.041 37.041 370.415
A) B) C) D) E)
10.000 10.000 9.900 9.000 99.000

Solução:
37.415 − 374 37.041
Temos: 3,7415 = =
9.900 9.900

Resposta: C

24


Matemática
57 Se A e B são conjuntos, A – (A – B) é igual a:
A) A B) B C) A – B D) A ∪ B E) A ∩ B

B
Solução: A Lembre: A − B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
É fácil ver:
A – (A – B) = A ∩ B
A–B

Resposta: E

a
58 O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão ?
b
a

b

5 2 3 1
A) B) C) 2 D) E)
3 3 2 2

Solução:

Sendo x a medida do lado do menor quadrado, os outros quadrados terão seus lados com as medidas indicadas
na figura.
34444244441 5x
1442443

1 2 31 4

3x 2x
4 4 43

2x
3x 2x
2

x
x x

Assim: a = 5x e b = 3x
a 5
Portanto, =
b 3

Resposta: A

59 A equação x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, de coeficientes reais, admite as raízes 2 – i e 3 + 2i. Então d é:
A) 75 B) 65 C) 25 D) 15 E) 10

Solução:
Sabemos que:
Se os coeficientes de um polinômio P(x) são reais, então: a + bi raiz de P(x) → a – bi também é:

Temos:
2 – i raiz → 2 + i também é.
3 + 2i raiz → 3 – 2i também é.

Daí, aplicando Girard na equação: x1.x 2.x3.x 4 = d
(2 − i) ⋅ (2 + i) ⋅ (3 + 2i) ⋅ (3 − 2i) = d
(4 − i2 ) ⋅ (9 − 4i2 ) = d
5 ⋅ 13 = d
d = 65

Resposta: B

25


2x 2 − 8x
60 O número de soluções reais da equação = x é:
x 2 − 4x
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:
Temos:

2x 2 − 8x
=x
x 2 − 4x
2x − 8x = x 3 − 4x 2
2

x 3 − 6x 2 + 8x = 0
x(x 2 − 6x + 8) = 0
x = 0 (n. serve) → denominador nulo

ou

x 2 − 6x + 8 = 0
ou
x=2
ou
x = 4 (n. serve) → denominador nulo
S = {2}
Resposta: B

61 Determine o número de soluções reais da equação 2x = log2 x .

A) Nenhuma B) Uma C) Duas D) Três E) Infinitas

Solução:

Graficamente:
y y = 2x

y = log2 x

x
0

Como não existe interseção, a equação não admite soluções.

Resposta: A

62 Se n é o maior número inteiro pertencente ao domínio da função f(x) = 1− log2 x , determine o valor de n3 + 3n2 + 2.
A) 2 B) 20 C) 21 D) 22 E) 32

Solução:
Domínio → campo de existência → condição de existência da função →
1− log2 x ≥ 0 → log2 x ≤ 1 → 0 < x ≤ 21 → 0 < x ≤ 2 → maior inteiro x = 2.

Logo, a expressão é igual a 23 + 3 ⋅ 22 + 2 = 22 .

Resposta: D

26


Matemática
1

63 Dado x ≠ 1 e positivo, calcule o valor de x .
Lnx

e
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:
Sabemos que:

I) aloga b = b
1
II) loga b =
logb a
III)Lx = Lnx = loge x
1
log x e
x e
Então, a expressão dada x é igual a: Exp. =
Lnx
= = 1.
e e e
Resposta: B

log10 c log10 a log10 b
⎛ a⎞ ⎛b⎞ ⎛c⎞
64 Prove que ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 1.
⎝b⎠ ⎝c⎠ ⎝ a⎠

Prova:

Tomemos:

log10 a = x → 10x = a
log10 b = y → 10y = b
log10 c = z → 10z = c
z x y
⎛ 10x ⎞ ⎛ 10y ⎞ ⎛ 10z ⎞
Então: 1º membro = ⎜ y ⎟ ⋅⎜ z ⎟ ⋅⎜ x ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠

10xz 10xy 10yz
1º membro = ⋅ ⋅
10yz 10xz 10xy

1º membro = 1

c.q.p

65 Determine o produto das soluções reais da equação 9 ⋅ xlog3 x = x 3 .
A) 4 B) 8 C) 25 D) 27 E) 90

Solução:
Tomemos: log3 x = k → 3k = x
Assim:

9 ⋅ (3k )k = (3k )3
2
3k + 2 = 33k → k 2 + 2 = 3k
→ k 2 − 3k + 2 = 0
k = 1→ x = 3
ou
k =2→ x =9

Portanto, o produto das soluções é 27.

Resposta: D

27


66 Seja x tal que log10 2,log10 (2x − 1) e log10 (2x + 3) estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Calcule 22x.
A) 1 B) 4 C) 8 D) 16 E) 25

Solução:

Temos que: (log10 2,log10 (2x − 1),log10 (2x + 3) P.A →
→ 2 ⋅ log10 (2x − 1) = log10 2 + log10 (2x + 3) →
→ log10 (2x − 1)2 = log10 2(2x + 3) →
→ (2x − 1)2 = 2 ⋅ (2x + 3)
Tome: 2x = a
Então:
a2 – 2a + 1 = 2a + 6 → a2– 4a – 5 = 0
a = 5 → 2x = 5 ou a = – 1 (não serve)

Portanto, 22x = 25
Resposta: E

67 As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 3,5 e 7. Sabendo que a diagonal mede
4 83cm , calcule o volume do paralelepípedo.
A) 105cm3 B) 1575cm3 C) 4725cm3 D) 6720cm3 E) 8575cm3

Solução:

7k
D

5k
3k

Diagonal (D) → D = (3k)2 + (5k)2 + (7k)2
4 83 = 83k2
4 83 = k 83
k=4

Volume (V) → V = 12 ⋅ 20 ⋅ 28
V = 6720cm3

Resposta: D

68 Um prisma reto de altura igual a 9cm tem como base um triângulo. Sabendo que dois dos lados desse triângulo
medem 3cm e 4cm e que o ângulo formado por esses lados mede 45º, determine o volume do prisma.
A) 3 2cm3 B) 9 2cm3 C) 27 2cm3 D) 54 2cm3 E) 81 2cm3

Solução:

Volume do prisma: (Área da base) x (altura)

3 ⋅ 4 ⋅ sen45º ⎞
Então: V = ⎛
⎜ ⎟⋅9
⎝ 2 ⎠

2
V = 6⋅ ⋅ 9 = 27 2cm3
2 9
3
45º
Resposta: C 4

28


Matemática
69 A aresta, a diagonal e o volume de um cubo estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Determine a área
total desse cubo.
A) 3 B) 6 C) 9 D) 18 E) 27

Solução:

a
D

a
a
aresta = a
123
4 4

diagonal = a 3
volume = a3
P.G. (a, a 3 , a3) → ( a 3 )2 = a ⋅ a3 →
3a2 = a4 → a2 = 3

Portanto, a área total será 18u.a.

Resposta: D

g 3
70 Uma esfera de raio r é inscrita num cone equilátero com geratriz de comprimento g. Determine o valor de .
r
A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12

Solução:
2R
2R

2r
0
r

2R
0 = incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro.
Veja:
I) g = 2R (geratriz)
g 3 g 3
II) = 3r → = 6
2 r
Resposta: B

25
71 O raio da base de um cone circular reto mede 4cm e sua altura cm . Determine, em cm3, o volume do cilindro
π
circular reto de maior área lateral, inscrito no cone.
A) 4 B) 10 C) 25 D) 40 E) 50

Solução:

25
π
h
α

r
4

29


Área (lateral do cilindro) = 2πrh = AL

25
= π →h=
h 25
Veja: tgα = (4 − r)
4 −r 4 4π

Subst. h na área lateral, vem:
⎡ 25 ⎤ 25
AL = 2πr ⎢ (4 − r) ⎥ → AL = (4r − r 2 )
⎣ 4π ⎦ 2 123
parábola

Para que AL seja máxima, basta que r seja igual a abscissa do vértice da parábola.
25 25
Então: r = 2 → h = → V = π ⋅ 22 ⋅ = 50cm3
2π 2π
Resposta: E

ˆ π
72 Determine a área (em m2) do setor circular hachurado na figura abaixo, sabendo que o ângulo ABC mede rad
6

6
e o diâmetro AB mede 8 m.
π
C
A) 24 D) 54
B) 48 E) 54 3
B A
C) 48 3

Solução:
C
R
30º
B A
R

πR2
[setor] =
6
ΔABC é retângulo

R 3
cos 30º = =
6 2
8
π

6 6
Então: 2R = 3 ⋅ 8 ⋅ → 4R2 = 3 ⋅ 64 ⋅ →
π π
6 πR2
→ R2 = 3 ⋅ 16 ⋅ → = 3 ⋅ 16 → [setor] = 48m2 .
π 6
Resposta: B

73 Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h. sabe-se que a média harmônica entre o raio r e a altura h
é 4 e que sua área total é 2πm2. Mostre que o raio r satisfaz a sentença r3 – r + 2 = 0.

Solução:

h

r

30


Matemática
Área total
2πrh +2πr 2 = 2π
rh + r 2 = 1 (I)

Média harmônica
2rh
=4
r +h
2r
h= (II)
r−2
Subst. (II) em (I), vem:

⎛ 2r ⎞ 2 2r2
⎟ +r = 1→ r − 2 +r = 1→
2
r⎜
⎝r − 2⎠
→ 2r2 + r2 (r − 2) = r − 2 → 2r2 + r3 − 2r2 = r − 2 →
→ r3 = r − 2 → r 3 − r + 2 = 0

1− 2senx −senx
. Calcule o valor de D
⎛π⎞
74 Seja o determinante D(x) =
1+ 2senx ⎜ 12 ⎟ .
cos x ⎝ ⎠

1 2 3 1 3 1
A) B) C) D) 3+ E) +
2 2 2 2 2 4
Solução:
D(x) = 1 − 2sen2x + senx cos x
sen(2x)
D(x) = cos(2x) +
2
⎛π⎞
sen ⎜ ⎟
⎛ π⎞ ⎛π⎞ ⎝6⎠
D ⎜ ⎟ = cos ⎜ ⎟ +
⎝ 12 ⎠ ⎝6⎠ 2

⎛π⎞ 3 1
D⎜ ⎟ = +
⎝ 12 ⎠ 2 4

Resposta: E

3 senAº cos Aº
75 Seja R a raiz positiva da equação x2 + x – = 0. Se R = sen11º cos11º , onde 0 < A < 90. Calcule o valor de A.
4
A) 30 B) 41 C) 60 D) 75 E) 80

Solução:

3
Temos: x 2 + x − =0
4
1 1
x= → R= ou
2 2
−3
x= (não serve)
2

Assim, R = senAº cos11º − sen11º cos Aº
R = sen(Aº −11º )
1
= sen(Aº −11º )
2
Então: Aº – 11º = 30º

Aº = 41º → A = 41

Resposta: B

31


76 Determine a soma das raízes da equação.
A) 0 D) 4 1 1 1 1
B) 1 E) 5 1 x 1 1
C) 2 =0
1 1 x+2 1
1 1 1 x–4

Solução: Aplicando chió, vem:

1 1 1 1
1 x 1 1
=0
1 1 x+2 1
1 1 1 x−4

x −1 0 0
Daí: 0 x +1 0 = 0
0 0 x −5

(x − 1) ⋅ (x + 1)(x − 5) = 0
x = 1, – 1 ou 5
Portanto, a soma das raízes é 5.

Resposta: E

{
77 Se o sistema x + my = 3 tem infinitas soluções. Determine o valor de m4 – 8m2 + 23.
mx + 4y = 6
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12

Solução:
Sejam:
r: a1x + b1y + c1 = 0
s: a2x + b2y + c2 = 0

Se r e s são coincidentes, então:

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2

Assim, temos:
1 m 3
= = → m=2
m 4 6

* retas coincidentes → infinitas soluções.
Portanto, m4 – 8m2 + 23 = 7

Resposta: B

78 Se (xo, yo, zo) é uma solução do sistema ⎧ x + y = 2 encontre o valor de x 2 + y 2 − 2z 2 .
⎨ o o o
⎩ xy + z = 1
2

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:
⎧ x o + y o = 2 → x o + y o + 2x o y o = 4
2 2
⎨
⎩ x o y o + zo = 1 → − 2x o y o − 2zo = −2
2 2

Somando: x 2 + y 2 − 2z o = 2
o o
2

Resposta: C

32


Matemática
79 Considere a função real definida no conjunto dos números reais não-negativos por f(x) = x + x – 2. Determine
o número real k, tal que f(2k) = 0.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:
Temos que:

2k + 2k − 2 = 0
2k − 2 = − 2k
22k − 4 ⋅ 2k + 4 = 2k
22k − 5 ⋅ 2k + 4 = 0
2k = 1 → k = 0
ou
2k = 4 → k = 2 (não serve)
Veja: se k = 2 → f(2k) = f(4) = 4 ≠ 0

Resposta: A

80 Sendo a reta y = ax + b tangente à elipse x2 + 4y2 = 1, determine o valor de 8(b2 – a2).
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:
Substituindo a reta na equação da elipse, vem:
x2 + 4y2 = 1
x2 + 4(a2x2 + 2abx + b2) = 1
(1 + 4a2) x2 + 8abx + 4b2 – 1 = 0

Como a reta é tangente, então a interseção é um único ponto.

Δ=0 (único ponto)

Daí:
(8ab)2 – 4(1 + 4a2) ⋅ (4b2 – 1) = 0
64a2b2 – 16b2 + 4 – 64a2b2 + 16a2 = 0
8a2 – 8b2 + 2 = 0

8(b2– a2) = 2

Resposta: C

81 Determine o valor de b para o qual a reta y = x + b não intercepta os ramos da hipérbole x2 – y2 = 1.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Solução:

Interseção → x2 – ( x + b)2 = 1
→ x2 – x2 – 2bx – b2 = 1
→ – 2bx =1+ b2
1 + b2
→x= (x da interseção)
−2b
Veja: para que não exista interseção, basta tomarmos b = 0.

Resposta: A

n
⎛ ⎞
82 Determine o menor inteiro n > o, de modo que ⎜ 3 + 1 i ⎟ seja real positivo.
⎜ 2 2⎟
⎝ ⎠
A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

33


Solução:
n
⎛ 3 1⎞
⎜ 2 + 2 i ⎟ = (cos 30º + isen30º ) = 14243) + isen(n ⋅ 30º )
Temos que: ⎜ cos(n ⋅ 30º
n
⎟ 14243
⎝ ⎠
um zero
Então:
n ⋅ 30º = k ⋅ 360º
n = 12k
Portanto: n = 12 (menor inteiro positivo)

Resposta: C

83 Encontre o módulo do complexo 1 , tal que 1 2 = i.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3

Solução:
Temos: 12 = i →| 12 | = | i | →
→| 1 ⋅ 1 | = | 0 + 1 | → | 1 | ⋅ | 1 | = 02 + 12 →
i
→| 1 | ⋅ | 1 | = 1 → | 1 | = 1

Resposta: A

1 A Bx + C
84 Se A , B e C são números reais, tais que = + , para todo x, x ∈ 1 * , calcule o valor de
x(x 2 + 2x + 2) x x 2 + 2x + 2
A + B + C.

Solução:

A Bx + C 1
+ 2 = , ∀x ∈ 1 *
x x + 2x + 2 x(x + 2x + 2)
2

A(x 2 + 2x +2) + (Bx + C)x 1
= , ∀x ∈ 1 *
x(x 2 + 2x + 2) x(x 2 + 2x + 2)
⎧ 1
⎪A = 2
⎧ A+B=0 ⎪
⎪ ⎪ 1
(A + B)x 2 + (2A + C)x + 2A ≡ 1 → ⎨2A + C = 0 → ⎨B = −
⎪ 2A = 1 ⎪ 2
⎩
⎪C = − 1
⎪
⎩

Portanto: A + B + C = – 1

85 Determine um polinômio P(x) de grau 2 que verifique a identidade P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3.

Solução:
Supondo P(x) = ax2 = bx + c, temos: P(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = ax2 + (2a + b)x + (a + b + c).

Então:
⎧a = 1 ⎧a = 1
⎪ ⎪
P(x + 1) ≡ x2 + 2x + 3 ⇔ ⎨2a + b = 2 ⇔ ⎨b = 0
⎪a + b + c = 3
⎩ ⎪c = 2
⎩

Logo, P(x) = x2 + 2.

34


86 Que condições devem satisfazer os números a, b e c para que o polinômio ax2 + bx + c seja o quadrado de um

Matemática
polinômio do 1º grau?

Solução:
Devemos ter ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2, com m ≠ 0; portanto:
⎧a = m2
⎪
⎨b = 2mn
⎪c = n2
⎩
Podemos eliminar m e n e obter a relação entre a, b e c e calculando b2.

b2 = (2mn)2 = 4m2n2 = 4ac

Resposta: A condição é b2 = 4ac e a ≠ 0 (pois m ≠ 0)

87 Na figura abaixo indicamos 9 pontos, entre os quais não há 3 colineares, exceto os 4 que marcamos numa
mesma reta. Quantos triângulos existem com vértices nestes pontos? G
H F
I E
B C
A D
Solução:

Se não houvessem 3 pontos colineares, o número de triângulos seria C9, 3. Desse número, devemos subtrair as
combinações formadas por 3 pontos escolhidos entre os 4 alinhados, isto é, C4, 3, pois essas combinações não
correspondem a triângulos. Assim, o número de triângulos que podemos formar é C9, 3 – C4, 3.

Temos:

9! 9 x 8 x 7 x 6!
C9,3 = = = 84
3!6! 3x 2x1x 6!
4! 4 x 3!
C4,3 = = =4
3!1! 3 !x 1
Logo: C9,3 – C4, 3 = 84 – 4 = 80.

88 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se,
entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

Solução:

Cada mistura de 6 das 10 substâncias corresponde a uma combinação das 10 substâncias tomadas 6 a 6, uma
vez que não importa a ordem das substâncias na mistura. Assim, o total de misturas seria C10, 6 se não houvesse
problema com nenhuma mistura. Devemos, porém, subtrair desse número as combinações em que entrariam as
duas substâncias que, se misturadas, provocam explosão. As combinações em que entram essas duas substâncias
são formadas por elas duas e mais quatro substâncias escolhidas entre as outras oito substâncias (excluímos
aquelas duas). O número de modos de escolher 4 substâncias em 8 é C8, 4.
Concluímos que o número de misturas não explosivas que podem ser produzidas é C10, 6 – C8, 4.

Solução:

Temos:

10! 10 x 9 x 8 x 7x 6!
C10,6 = = = 210
6!4! 6!x 4 x 3x 2x1
8! 8 x 7 x 6 x5 x 4!
C8,4 = = = 70
4!4! 4x 3x 2x1x 4!

Logo: C10, 6 – C8, 4 = 210 – 70 = 140.

35


n
⎛ 2 1⎞
89 Dê a condição sobre o inteiro positivo n para que o desenvolvimento de ⎜ x − ⎟ apresente um termo
⎝ x⎠
independente de x e não-nulo.

Solução:
n k
⎛ ⎞
O termo geral do desenvolvimento de ⎛ x 2 − 1 ⎞ é T = ⎛ n ⎞ (x 2 )n−k ⎜ − 1 ⎟ = ⎛ n ⎞ x 2n−2k ( −1)k x −k = ⎛ n ⎞ ( −1)k x 2n−3k
⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎜k ⎟ ⎜k ⎟
⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2n
Para o termo independente de x devemos ter 2n – 3k = 0, logo k = . Como k dever ser inteiro, concluímos
3
que n deve ser um múltiplo de 3.
x 2 + ax + b
90 Calcule a e b de modo que a fração algébrica tenha o mesmo valor numérico para todo x ∈ 1 .
2x 2 + 1
Solução:
x 2 + ax + b
Devemos ter: = k, ∀x ∈ 1 ; logo: x2+ ax + b ≡ 2kx2 + k
2x 2 + 1

⎧1 = 2k
⎪
⎨a = 0
⎪b = k
⎩

1
A resposta é a = 0 e b = .
2

3 +1 3 −1
91 Calcule o valor numérico de x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4, para x = 4
e y= 4
.
3 3
Solução:
4 4
⎛ 3 +1 3 − 1⎞ ⎛2 3⎞ 24 ⋅ 32
x + 4x y + 6x y + 4xy + y = (x + y) = ⎜ 4
4 3 2 2 3 4
⎜ 3
4 + 4 ⎟ =⎜ 4 ⎟ = = 48.
⎝ 3 ⎟⎠
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ 3

92 O número 2 é raiz dupla de ax3 + bx + 16. Determine a e b.

Solução:
Como admite raiz dupla, o grau da equação ax3 + bx + 16 = 0 é maior que 1. Então, a ≠ 0 e concluímos que o
grau é 3. Há, portanto, 3 raízes. Supondo que as raízes são 2, 2 e α, com α ≠ 2, temos pelas relações de Girard:

⎧ ⎧
⎪2 + 2 + α = 0 ⎪α = − 4
⎪ ⎪ ⎧α = − 4
⎪ b ⎪ a ⎪
⎨2 ⋅ 2 + 2α + 2α = , logo ⎨4α + 4 = , logo ⎨a = 1
⎪ a ⎪ b ⎪b = −12
−16 −4 ⎩
⎪2⋅ 2 ⋅ α = ⎪α =
⎪
⎩ a ⎪
⎩ a
Portanto: a = 1 e b = – 12
12
⎛ 12 ⎞ k
93 Qual é o valor de ∑ ⎜k
⎝
⎟9 ?
⎠
k =0

Solução:
12
⎛12 ⎞ k 12 ⎛12 ⎞ 12−k k
∑ ⎜k
⎝
⎟ 9 = ∑⎜k ⎟ ⋅1 ⋅ 9
⎠
k =0 k =0 ⎝ ⎠
Este fator é igual a 1, portanto não altera o valor do termo.

Notando que ⎛12 ⎞ ⋅ 1 −k ⋅ 9k é o termo geral do binômio (1 + 9)12, concluímos que:
⎜k ⎟
12

⎝ ⎠
12
⎛12 ⎞ k
∑⎜k
⎝
⎟ 9 = (1+ 9) = 10 ( o que dá 1 trilhão).
⎠
12 12

k =0

36


Matemática
94 Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 6 com números negativos. De quantos
modos podemos escolher 4 etiquetas diferentes tal que o produto dos números nelas marcados seja positivo?

Solução:
Teremos o produto positivo em cada caso seguinte:
I) Escolhendo 4 etiquetas com números positivos; ou
II) Escolhendo 4 etiquetas com números negativos; ou
III) Escolhendo 2 etiquetas com números positivos e 2 com números negativos.

Números disponíveis: 6 positivos 6 negativos
↓ ↓
Possibilidades: 4 positivos 0 negativos C6,4

ou

0 positivos 4 negativos C6,4

ou

2 positivos 2 negativos C6,2 ⋅ C6,2

Vamos calcular o número de possibilidades de cada caso (lembrando que não importa a ordem das etiquetas).
I) O número de modos a escolher 4 números positivos, dispondo de 6 números positivos, é C6,4 .

6! 6 x 5 x 4!
C6,4 = = = 15
4!2! 4! x 2 x 1

II) Como temos também 6 números negativos, o número de modos de escolher 4 deles é C6,4 = 15.
III) Dos 6 positivos devemos escolher 2( C6,2 ) e, para cada escolha destes, dos 6 negativos devemos escolher
6!
também 2 (C6, 2). O número de possibilidades deste caso é C6,2 ⋅ C6,2 . Como C6,2 = = 15, temos
2!4!
15 ⋅ 15 = 225 possibilidades.
Então, o total de possibilidades para o produto positivo é 15 + 15 + 225 = 255.

95 Encontre o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 – x) (1 + x)8.

Solução:

Quando multiplicamos (1 – x) pelo polinômio obtido desenvolvendo (1 + x)8, o termo em x5 resulta da adição de
dois produtos:

(1 – x) (1 + ... + termo em x4 + termo em x5 + ... + x8)
Termo em x5 = 1 ⋅ [termo em x5 de (1 + x)8] + [(– x) ⋅ termo em x4 de (1 + x)8]
⎛ 8 ⎞ 8−k k ⎛ 8 ⎞ k
O termo geral de (1 + x)8 é T = ⎜ k ⎟ ⋅ 1 ⋅ x = ⎜ k ⎟ x .
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛8⎞ 5 8! 5 8 x 7 x 6 5
Para k = 5 temos T = ⎜ 5 ⎟ x = x = x = 56x5.
⎝ ⎠ 5! 3! 3x 2x1

⎛8 ⎞ 4 8! 4 8 x 7 x 6 x 5 4
Para k = 4 temos T = ⎜ 4 ⎟ x = x = x = 70x 4 .
⎝ ⎠ 4! 4! 4x3x2x 1

Então, no produto (1 – x) (1 + x) 8 temos:
Termo em x5 = [1 x 56x5] + [(– x) ⋅ 70x4] = 56x5 – 70x5 = – 14x5
O coeficiente pedido é igual a – 14.

37


96 Se A é uma matriz quadrada de ordem três com detA = 5, então o valor de det(2A) é:
A) 6 B) 11 C) 15 D) 30 E) 40

Solução:
Sabemos que:
det(k.A) = kn ⋅ det(A), onde:
n → é a ordem da matriz A

Então: det(2A) = 23 ⋅ det(A) = 8 ⋅ 5 = 40.

Resposta: E

97 Se a matriz A satisfaz A2 – 2A + I = 0, então A– 1:
A) não existe.
B) é igual a I.
C) é igual a A.
D) é igual a A – 2I.
E) é igual a 2I – A.

Solução:
Sabemos que: A ⋅ A– 1 = A –1 ⋅ A = I
Então:
A2 – 2A + I = 0 → I = 2A – A2→
→ I = 2AI – A2 → I = 2IA – AA →
→ I = (2I – A) ⋅ A → A–1 = 2I – A

Resposta: E

98 Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços dos seus produtos. Para voltar
aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%.
Determine o valor de A.
A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

Solução:
80
Preço inicial = P → com desconto = P
14444244443 100
novo preço

80 A 80
Para voltar ao preço inicial, temos: P+ ⋅ P=P
100 100 100

A 80 20
⋅ P= P
100 100 100

A 1
=
100 4

A = 25

Resposta: C

38

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