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Apostila 3 funções

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Apostila 3 funções

  1. 1. AS FUNÇÕESPROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO Apostila 3
  2. 2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕESPara iniciar nossos estudos vamos responder algumas questões relacionadasao estudo das funções.O que é uma função?Quais as características que identificam uma função?Quais as aplicações das funções?Quais os matemáticos contribuíram com o estudo das funções?Vamos iniciar nossos estudos a partir da observação e análise de algunsgráficos encontrados em nosso contexto.
  3. 3. Escolha dois gráficos anteriores e identifique quando possível: a) As grandezas variáveis envolvidas. b) A grandeza dependente e a independente c) O valor mínimo e o valor máximo d) Os gráficos representam funções? Justifique sua resposta. e) Identifique o domínio e a imagem de cada caso que representa função.
  4. 4. Vamos falar um pouco das funções e suas representaçõesUma função pode ser representada em diferentes sistemas de representação, tais como:GráficosTabelasTempo ( min) Volume(em L)5 30010 20020 10035 0Língua natural:Em um reservatório havia 50 litros de água quando foi aberta uma torneira que despejadentro desse tanque mais 20 litros de água por minuto. A quantidade de água no tanqueé dada em função do número x de minutos em que a torneira fica aberta. Determine a leique representa a quantidade de água no reservatório em função do número de minutosque a torneira fica ligada.Representação algébricaf(x) = 50 + 20x No entanto nem sempre é possível representar uma mesma função em todos ossistemas de representação.
  5. 5. As funções podem representar modelos ou padrões(Prova Brasil 2007) As figuras mostradas abaixo estão organizadas dentro de um padrãoque se repete.Mantendo-se essa disposição, a expressão algébrica que representa o número de pontosda figura de ordem n (n=1,2,3,...)Outro exemplo:Se um tijolo de 8 furos para construção custa R$ 0,60, represente algebricamente egraficamente o valor gasto para qualquer número de tijolos. No entanto nem sempre é possível representar uma mesma função em todos ossistemas de representação. Mas é importante discutir em sala de aula as possibilidadesque se dispõe para explicar um mesmo objeto matemático. O estudo das funções constitui-se em uma das mais importantes ferramentasmatemáticas. Hoje as funções apresentam aplicações na medicina, na geografia, na economia,na química, botânica, zoologia, na engenharia e de um modo geral é utilizada paracompreender os fenômenos físicos, biológicos e sociais. Entre os matemáticos que contribuíram significativamente com o estudo dasfunções destaca-se Leonhard Euler.
  6. 6. De acordo com Boyer (1996), de 1727 a 1783, Euler escreveu sobre matemática pura e aplicada, praticamente na notação que utilizamos hoje, pois, nenhum matemático foi tão responsável pela forma da matemática de nível universitário quanto ele, considerado o elaborador de notações mais bem sucedido de todos os tempos. Mas talvez a notação mais importante de todas seja a notação para a funçãode Finalizando, nossas notações atuais são fundamentadas, principalmente, em Euler. Outro matemático que apresentou SUS contribuições no estudo das funções foiGottfried Wilhelm von Leibniz Leibniz não tinha só uma notável habilidade para construir notações, mas também criou os termos abscissa, ordenada, coordenada, eixo de coordenadas e função. A palavra função foi introduzida por Leibniz em 1673, para designar qualquerdas variáveis geométricas associadas com uma dada curva, aos poucos passou asignificar a dependência de uma variável em termos de outra ou outras variáveis. Na atualidade função é definida como: Uma função f é uma correspondência que atribui segundo uma lei qualquer, umvalor y a cada valor x da variável independentemente. Escreve-se: f :A→B ou A f B → →Assim uma função f: A→B conta de 3 partes.1) Um conjunto A chama – se domínio (onde a função está definida).2) Um conjunto B chama –se contradomínio da função (onde f toma os valores)3) Uma regra que permite associar cada elemento de x ∈ A a um único elemento f( x )∈ B. O conjunto A é o domínio de f e o conjunto B é o contradomínio de f. A natureza daregra que ensina como obter o valor de f( x) ∈B quando é dado x ∈ A é inteiramentearbitrária sendo sujeito a apenas duas condições:1) Não deve haver exceções a fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) para todo x ∈ A.2) Não deve haver ambiguidades, a cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f( x ) ∈ B.
  7. 7. Mas nem sempre uma relação entre duas grandezas representa uma função etambém o campo de definição de uma função pode ou não apresentar restrições em seudomínio. O estudo do domínio de uma função é um dos objetos matemáticos discutidos naeducação básica, vamos retomar o campo de definição de uma função em especial o seuestudo do domínio. DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO Dados dois conjuntos não vazios A e B, e uma lei f que associa a cada elementox de A um único elemento y de B, teremos uma função f de A em B para o qualempregamos a seguinte linguagem: Domínio da função - D(f) = A . Imagem da função – Im(f) , sendo que Im está contida em B. Contradomínio da função – CD(f) =B Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto imagem ou simplesmente imagem da função. O desenvolvimento da capacidade da análise gráfica auxilia os processos resolutivos de muitas situações problemas encontrados em nosso contexto. Vamos analisar alguns gráficos e determinar o seu domínio e imagem quando possível. a) b)c) d)
  8. 8. e) f)g) h) O ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Mas o campo de definição de uma função, pode ser analisado apenasalgebricamente. Quando o domínio de uma função não está explícito, devemos considerar para estedomínio todos os valores reais de x que tornam possíveis, em R as operações indicadasna fórmula matemática que defina a função. Ex.: Determine o domínio das funções abaixo: x x a) f(x) = b) g(x) = ( x − 1) c) f(x) = x−5 ( x − 3)
  9. 9. 2 1 xd) y = e) y = 3 5 x + 1 f) y = + x −4 2 x x+2g) f(x) = 5x – 3 h) g(x) = x2 - 3x + 1Exemplos.:1) Dados os conjuntos A = {-2,-1, 0,1,2} e B = {-1,0,1,2,3,4,5,6}, e a função de Aem B expressa pela equação y = - x + 1, determinar:a) Domínio da função;b) CD(f)c) Imagem da funçãod) Representação gráfica2) Dado A = {-1,0,1,2,3}, e a função f: A em R, definida por f(x) = x2+2x,determine:a) Domínio da função;b) CD(f)c) Imagem da função3) Dado A = {-2,-1,0,1,2}, e B = { -2,-1,0,1,2,3} e a função de A em B expressapela equação y = x + 1 determine:a) Domínio da função;b) CD(f)c) Imagem da funçãod) represente graficamente.
  10. 10. Vamos pensar na seguinte situação o perímetro do quadrado em funçãodo lado p = 4 l observando seu campo de definição. Mas se desejamos escrever o perímetro em função do lado temos que p l= 4 Veja na tabela de valores como isso ocorrel p=4l p l = p/4 1 4 4 1 2 8 8 2 3 12 12 3 4 16 16 4 Veja no Gráfico como isso ocorre: Assim em algumas situações podemos realizar a inversão dasgrandezas variáveis, esse processo é denominado de função inversa.
  11. 11. Uma função será inversa se ela for bijetora. Se f : A→B é consideradabijetora então ela admite inversa f : B→A. Por exemplo, a função y = 3x - 5 x+5possui inversa y = y −1 = , observe o diagrama desta situação 3Neste caso pode-se estabelecer a seguinte diagramação: Note que a função possui relação de A→B e de B→A, então podemosdizer que ela é inversa. Pode-se também observar que entre a função e sua inversa há umatroca entre o domínio e a imagem das mesmas. Isto possibilita quealgebricamente a inversa seja determinada pela troca de x por y conformesegue: No caso anterior temos o seguinte: y = 3x – 5 efetuando-se a troca de x por y temos: x = 3y – 5 agora realizando o processo de isolar o y temos x + 5 = 3y 3y = x + 5 x+5 y −1 = ou seja a função inversa de y = 3x – 5 3 Vejamos outros exemplos:
  12. 12. b) A inversa de y = log 2 x definida de f : R+ → R realizando o *processo de troca de x por y temos o seguinte: x = log 2 y aplicando-se a definição de log temos o seguinte: y −1 = 2 x ou seja, a inversa da função log é a função exponencial evice-versa respeitando-se o campo de definição para que isso ocorra. A situação acima pode ser visualizada no gráfico. Podemos traça umaassíntota que passa pela origem em relação ao primeiro e terceiro quadrantes. Atividades: 1) determine as inversas de cada função abaixo considerando que todassão bijetoras respeitando seus campos de definição a) y = 2x – 1 f : R →R b) y = log 3 x f : R+ → R *
  13. 13. FUNÇÃO COMPOSTA Vamos analisar a seguinte situação problema:Uma festa de aniversário geralmente são consumidos 10 salgadinhos por pessoa, cadasalgadinho custa R$ 0,32. Qual a representação algébrica do valor gasto na festa emfunção do número de pessoas e do valor do salgadinho (considere y = nº de salgadinho,p (nº de pessoas) e v (valor gasto) ou V(y(p)). De o domínio da composta.Definição: Dados as funções f : A → B e g : B →C , denominamos afunção composta de g e f a função g o f : A → C que é definida porg(f(x)) = f(g(x)) e x.Veja a imagem:
  14. 14. Exemplos: 1) Dado a função f(x) = x² - 2x + 1 e g(x) = 2x + 1 determine: a) f(g(x)) b) g(f(2)) c) f(f(19)) 2) Se f e g são funções tal que f(x) = 3x – 1 e f(g(x)) = x determine g(x)Atividades 1) Dado f(x) = 2x -3 e g(x) = x² - 1, obtenha: a) f(g(2)) b) g(g(3)) c) f(f(x)) d) f(f(x)) = 3 e) f(g(x)) f) f(g(x)) Conforme destacado anteriormente vamos ressaltar neste estudo as principaiscaracterísticas de cada função.Vamos iniciar nossos estudos pela função exponencial e logarítmica.O que caracteriza uma função exponencial?Qual a relação com a função logarítmica?O que caracteriza cada uma das funções?
  15. 15. FUNÇÃO EXPONENCIAL Os Babilônios, foram os primeiros a utilizar potências, quando calculavam juroscompostos, utilizavam uma expressão que corresponde hoje a função exponencialM = P.(1 + i ) n , sendo M o montante, P o valor inicial i a taxa e n o período. A função exponencial pode ser aplicada a resolução de outros problemas, comoprever crescimento populacional, analisar epidemias, prever produções em empresas,determinar a idade dos fósseis, decomposição de sustâncias, árvore genealógica, etc. A função f: R em R dada por f(x) = ax ( com a ≠ 1 e a > 0) é denominada funçãoexponencial de base “a” e definida para todo x real.Ex.: Represente graficamente as funções abaixo e determine o domínio e a imagem everifique se as funções são crescentes ou decrescentes:a) f(x) = 2x b) f(x) = (1/2)x a >1 ( crescente) 0< a < 1 ( decrescente)Característica da função exponencial no gráficoOutros exemplos:1) Dado as funções abaixo represente-as graficamente, verifique se são crescentes oudecrescentes, determine o domínio e a imagem, o ponto onde f(x) corta o eixo y.a) f(x) = 5x b) f(x) = (1/5)x 2) Represente no plano cartesiano as funções considerando que são definidas em R determine a imagem. x 3a) f(x) = 2 x +1 b) g(x) =   4
  16. 16. x 4c) y =   d) g(x) = - 3 x 3 Conforme já estudamos o logaritmo pode ser representado como umaequação exponencial, também a função logarítmica é a inversa da funçãoexponencialFUNÇÃO LOGARITMICADefinição:Seja um número real a ∈ R tal que a > 0 e a ≠ 1 . Denomina-se função logarítmica afunção f: R+ → R, dada por: * f(x) = loga xEx.: Construa o gráfico das funções abaixo e determine o domínio e a imagem.a) f(x) = log 3 x b) f(x) = log 1 x c) g(x) = log 3 ( x − 1) 3 Observando os gráficos construídos anteriormente identifique qual função écrescente e qual função é decrescente. O que diferencia uma função da outra? O que sepode concluir em relação ao crescimento das funções logarítmicas?Características da função logarítmica a>1 ( crescente) 0 < a <1 ( decrescente)
  17. 17. Outros exemplos:1) Construa o gráfico das funções abaixo, determine o domínio e a imagem e verifique se são crescentes ou decrescentes.a) y = log 2 x b) y = ln x c) y = log 1 x 2 FUNÇÃO MODULARDEFINIÇÃO: Denomina-se função modular a função f(x) = | x | de R em R, definidapor:  x, se ≥ 0 f(x) =  − x, se x< 0Ex.: Se f: R em R é dada por f(x) = | -x + 5 |, calcule:a) f(-1) b) f(1/2) c) f(-3)CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DA FUNÇÃO MODULAREx.: Características da função modular f(x) = | x2 –x –2| f(x) = | x – 2 | f(x) = | x | - 2
  18. 18. 1) construa o gráfico das funções modulares abaixo:a) f(x) = | x – 2 | b) f(x) = |x -1 | - 2 c) f(x ) = | x +1 | + | x – 2|d) f(x) = | x2 – 9| e) f(x) = | x | + | x – 1 | f ) f(x) = | x2 - 2 x – 8 |2) Represente no mesmo gráfico as funções abaixo:a) f(x) = | x | b) f(x) = | x | + 1 c) f(x) = | x | - 1
  19. 19. Seguindo nossos estudos sobre as funções elementares, vamos conhecer agora afunção do segundo grau, ou seja, as funções que caracterizam-se pela representação deuma parábola. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Veja o problema a seguir:Agora vamos aprofundar os estudos na função do segundo grau e seuselementos
  20. 20. Outro problema1) Um foguete carregando um satélite, depois de lançado, caiu, devido a umpane do sistema. Ao estudar sua trajetória e as causas do acidente, a equipeda base construiu o seguinte gráfico, que mostra a altura (y) alcançada pelofoguete em função do tempo (t) decorrido após o lançamento.Determine:a)A altura máxima aproximada que o foguete atingiu;b) O tempo que o foguete levou para atingir o ponto mais alto;c) o tempo que o foguete levou para atingir a altura inicial;d) a altura inicial;1) A trajetória da bola , num chute a gol, descreve aproximadamente uma parábola. Supondo que a sua altura h, em metros, t segundos após o chute, dada por h = - t² + 6t, determine: a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual a altura máxima da bola? c) Qual o intervalo crescente? d) Qual o intervalo decrescente? e) Em que instante a bola retorna ao solo? f) Determine o valor de: f(1) f(3) f(9)DEFINIÇÃO:Chama-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática a função f: R emR onde f(x) = ax2 + bx + c e os números a, b, c pertencem aos reais e a ≠ 0. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAUGraficamente a função do 2º grau representa uma parábola.Ex.: Construa o gráfico das funções abaixo:a) f(x) = x2 – 2x - 3 b) f(x) = - x2 – 4x
  21. 21. ZEROS OU RAÍZES DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU Representam os valores que anulam a função. graficamente são ospontos de intersecção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas) . Noentanto, dentro do conjunto R existem funções do segundo grau que nãoapresentam raízes reais. Quem determina a existência ou não de raízes reais éo delta. Identifique as raízes das funções abaixo. a) b)c) d)e) f)
  22. 22. ESTUDO DO DELTAO delta determina a existência ou não das raízes da função.1º caso ∆ > 0 ( existem duas raízes reais e diferentes) ( intercepta o eixodas abscissas em dois pontos2º caso : ∆ < 0 (não existe raízes reais) não intercepta o eixo das abscissas3º caso: ∆ = 0 ( uma raiz real ou zero duplo) tangencia o eixo das abscissasExemplos:1) Determine as raízes reais (se existir) das funções abaixo e faça o esboço dográfico.a) f(x) = x2 – x +4 b) f(x) = - x2 + 4x - 6c) f(x) = x2 + 2x + 1 d) f(x) = x2 + 2x – 8e)Determine m para que a função dada por f(x) = x 2 − 3x + m tenha duas raízesreais.
  23. 23. CONCAVIDADE DA PARÁBOLAQuem determina a concavidade da parábola é o “a” , assim :a > 0 = concavidade para cima;a < 0 = concavidade para baixo;Exemplos:Em cada caso determine a concavidade da parábola:a) f(x) = x2 – x +2 b) f(x) = - x2 + 4x - 6c) f(x) = -2 x2 + 2x + 1 d) f(x) = x2 + 2x – 8FORMA FATORADA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAUax 2 + bx + c = 0 ⇒ a ( x − x ).( x − x" ) =0Exemplos .: Escreva da forma fatorada as equações abaixo:
  24. 24. a) x 2 − x − 2 = 0 b) 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 c) x 2 − 9 = 0 ESTUDO DO VÉRTICEObserve o problema:O lucro, em reais, de uma empresa na venda de determinado produto é dado pela função 2L(x) = – 2x + 300x – 16, onde L(x) é o lucro e x representa a quantidade de produtos vendidos.Determine o lucro máximo obtido pela empresa na venda desse produto O vértice representa o ponto máximo quando ( a < 0) ou o ponto mínimo( a > 0) de uma função do segundo grau. O vértice pode ser calculado com a −b −∆fórmula : V = ,   2a 4a  O yv é o ponto de referência para determinar a imagem. .Ex.: Encontre as coordenadas do vértice das funções abaixo:a) f(x) = x2 + 2x +1 b) g(x) = - x2 + 4x –6 c) h(x) = x2 + 2x – 3Atividades:1)Determine o vértice das funções abaixo e o identifique como máximo oumínimo:a) f(x) = x2 – 4 b) f(x) = - 3x2 – 5x c) f(x) = -x2
  25. 25. ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Estudar o sinal de uma função é determinar os valores de x para osquais a função é positiva, negativa ou igual a zero. Tudo o que está acima do eixo x é positiva e abaixo do eixo x é negativa.Ex.: Faça o estudo do sinal das funções abaixo:a) f(x) = x2 – 4 b) f(x) = - x2 – 5x c) g(x) = - x2 + 4x –Exercício resolvido:1) Observe o gráfico da função f(x) = x² -2x -3 ou pode ser representada naforma fatorada f(x) = (x+1)(x-3) agora vamos observar seus pontos notáveis: 9 y f(x)=x^2-2x-3 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  26. 26. a) A concavidade voltada para cima pois a = 1 ou seja a > 0;b) as raízes: representam os pontos que passam pelo eixo x, no caso x’ = - 1 e x” = 3c) O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas corresponde ao valor de c, ou seja no caso -3.d) O domínio corresponde os valores que podem ser substituídos no x, no caso é todos os reais, as parábolas em geral quando não representam situações problemas são R, ou então quando determinamos a inversa precisamos fazer a restrição no domínio.e) Para determinar a imagem, deve-se levar em consideração o ponto mais baixo uma vez que a concavidade é voltada para cima, então a imagem é Im = { y ∈ R / y ≥ −4}Considera-se que a referencia para o conjunto imagem corresponde aovalor do vértice y, ou seja, −∆Im = { y ∈ R / y ≥ } se a > 0 4a −∆Im = { y ∈ R / y ≤ } se a < 0 4af) O ponto de vértice corresponde ao ponto mínimo ou ponto máximo conforme o caso: −b −∆V =( , ) é o ponto máximo se a < o e mínimo se a > o. 2a 4aNo caso o vértice será V = (1,−4) como a = 1 , b= -2 e ∆ = 16 então −b −2 − ∆ − 16xv = = =1 e yv = = =−4 2a 2 4a 4
  27. 27. 2) Observe o gráfico e responda: a) Qual o domínio e a imagem da função representada no gráfico?3) O custo para produzir x unidades de certo produto é dado porC (x) = 2x² - 100x + 5000, encontre: a) O valor do custo mínimo b) O valor de x para o qual o custo é mínimo.4)Dado o gráfico abaixo responda as questões que se pede 10 y f(x)=x^2 -2x-3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 a) O domínio da função b) O conjunto imagem c) Intervalos crescentes e decrescentes. d) As coordenadas do vértice e) f(4) f(-2) f(1)
  28. 28. 5) Dado a função y = - x² + 2x + 8 determine: a) o valor máximo b) a imagem c) a concavidade d) a função é crescente entre x = 1 e x = 3 e) o domínio f) as raízes g) o valor de y quando x = 5resposta da questão 5:a) O valor máximo é obtido com o Yv, para isso precisamos do valor do∆ = b 2 − 4ac − ∆ − 36Então Yv = = = 9 este é o valor máximo. 4a − 4b) Im = ] − ∞,9] imagem da função do segunda grau é sempre o Yv quandodefinida em Reaisc) Como a < 0 então concavidade voltada para baixod) Quando x = 1 trem se y = 9 e quando x = 3 tem-se y = 5 então é decrescentediminuiu o valor.e) Domínio é todos os reaisf) as raízes são x’ = 4 e x” = -2 pontos onde a parábola corta o eixo x g) quando x = 5 tem-se y = -(5)² + 2.5 + 8 então y = -25 + 10 + 8 então y = - 7Visualize todos os cálculos que você realizou no gráfico y f(x)=- x^2 + 2x + 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  29. 29. Seguimos nossos estudos nas funções agora destacando a função doprimeiro grau. ESTUDO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU É uma função polinomial do primeiro grau quando a sua representação matemática é um polinômio de grau 1 do tipo y = ax +b Modelando funções a partir de situações problemas. 1) Na produção de peças, uma indústria tem custo fixo de R$ 5,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas. Represente algebricamente o custo em função do número de peças e graficamente o custo referente a 6 peças Representações intermediárias Variáveis unidades Representação adotada no problema DEFINIÇÃO: Uma função f: R em R chama-se função afim ou função do 1º grau quando existem dois números reais a e b tais que f(x) = ax + b, sendo a e b números reais, para todo x ∈ R e x é a variável independente. Ex.: f(x) = 2x – 1 g(x) = x – 4 h(x) = x Graficamente a função do 1º grau é representada por uma reta. Ex.: Represente graficamente as funções abaixo: a) f(x) = x – 3 b) g(x) = - x + 4 c) f(x) = 2. OBS.: O a é também chamado de coeficiente angular da reta, representa o ângulo que a reta faz com o eixo das abscissas (x). O b é também chamado de coeficiente linear, representa o ponto que a reta passa pelo eixo das ordenadas (y). Determinação de uma função polinomial do primeiro grau a partir do gráfico. Uma função do primeiro grau f(x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois dos seus pontos. Ex.:
  30. 30. Exemplos:1) Obtenha, em cada caso, a função f( x) = ax + b, cuja reta, que é seu gráfico passapelos pontos:a) (-1,1) e ( 2, 0) b) ( -2, 4) e ( 4 , 2 )2) Sabendo que a função f(x) = ax + b é tal que f(1) = 5 e f(-2) = - 4, determine:a) os valores de a e b e escreva a função;b) o gráfico de f;4) O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma funçãolinear de x, com x ≥ 0, cujo gráfica está representado abaixo. Nessas condições o custode R$ 700,00 corresponde `a produção de quantos litros?
  31. 31. ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAUSituação problema:Uma indústria implantou em programa de prevenção de acidentes de trabalho. Essaprograma prevê que o número y de acidentes varie em função do tempo t ( em anos) deacordo com a lei y = 28,8 – 3,6 t. nessas condições, quantos anos levará para essaindústria erradicar os acidentes de trabalho?Definição:Zero ou raiz de uma função é o valor de x para o qual a função f(x) = ax + b se anula,ou seja, o valor para o qual f(x)= 0. Graficamente o zero ou raiz representa o ponto quea reta passa pelo eixo x ( abscissas). Para determinar o zero ou raiz basta resolver a equação ax + b = 0.Exemplos: determine o zero ou raiz das funções abaixo:a) f(x) = x + 2 b) f(x) = 3x –1 c) f(x) = -2x + 5CRESCIMENTO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAUO que determina se a função f(x) = ax +b, com a ≠ 0, e crescente ou decrescente é osinal de a . Assim:Se a > 0 é uma função crescenteSe a < 0 é uma função decrescente.Ex.: determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes.a) f(x) = x – 4 b) f(x) = -x/3 +1 c) f(x) = 2x d) f(x) = -x +2Estudo do sinal da função polinomial do 1º grauEstudar o sinal da função significa determinar os valores de x para os quais a funçãof(x) é positiva, negativa ou igual a zero.
  32. 32. Situação problema:Após o pagamento de todos os custos na importação de um produto, uma empresacalcula o faturamento que terá com o mesmo usando a lei f(x) = 8x – 640, onde f(x) éo faturamento líquido e x unidades vendidas. Qual a quantidade mínima que essaempresa terá de vender para obter lucro?Outros exemplos:Faça o estudo do sinal das funções abaixo definidas em R.a) f(x) = 3x + 1 b) f(x) = 2 – 6x c) f(x) = x -5 EXERCÍCIOS1)Dada a função afim f(x) = 5x - 1, determine:a) f(1) b) f(0) c) f(1/5)2)Na produção de peças uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custovariável de R$ 50,00 por unidade produzida . Sendo x o número de unidadesproduzidas:a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças;b) calcule o custo de 100 peças.3)Construa, num sistema cartesiano ortogonal, o gráfico das seguintes funções:a) f(x) = 2x +3 b) f(x) = -2x +54) Sem construir gráficos , descubra os pontos em que as retas, cortam os eixos x e y:a) f(x) = x – 5 b) f(x) = -2x c) f(x) = 2 – ¾ x d) f(x) = 1 + 4x5) ( Unificado – RJ) Uma barra de ferro com temperatura inicial de –10 ºC foi aquecidaaté 30 ºC. o gráfico abaixo representa a variação da temperatura da barra em função do
  33. 33. tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência,a temperatura da barra atingiu 0 ºC. Finalizando o estudo das funções e suas representações vamos estudara função definida por várias sentenças.FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS As funções definidas por várias sentenças aparecem em diferentessituações em nosso contexto, por exemplo na conta de energia de nossa casa,na conta de água, no ingresso do cinema entre outras situações.ENEM 2010
  34. 34. Exemplo:1) Uma papelaria cobra R$ 0,10 por página xerocada, caso o número depáginas seja inferior ou igual a 50.se o número de páginas for superior a 50, ocusto por página adicional passa a ser R$ 0,08. escreva a lei que representa ovalor gasto em função do número de páginas xerocadas.2) Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e determine oconjunto imagem. 2 x, se ≥ 0a) f(x) =  2  x , se x < 0  x 2 + 1, se > 1b) f(x) =   x − 3, se x ≤ 1 3, se ≥ 2c) f (x) =   x − 1, se x < 2
  35. 35. Agora que finalizamos o estudo das funções vamos finalizar nossosemestre estudando as inequações. Assim como as funções as inequaçõespodem ser de diferentes tipos. Vamos estudar cada tipo. O ESTUDO DAS INEQUAÇÕES E SEUS ALGOTIMOS DERESOLUÇÃO As inequações aparecem em diferentes situações em nosso contexto.Por exemplo: 1)A receita mensal em reais de uma empresa é r = 20 000p – 2000p²onde p é o preço de venda de cada unidade. Para que valores de p a receita éinferior a R$ 37 500,00?2)Determine o conjunto solução das inequações abaixoa) x ² - 2x >0 b) 3(x+1) – 6 < o
  36. 36. x−2 >0c) 1 − x d) x( x 2 − 4) ≤0 x−3 1 2x > 8 ( )x > 8e) f) 2g) log 2 x < 3 h) log 1 x < 3 2 x 2 − 4x + 3 > 0 i) x(x + 4) > − 4(x + 4) j)  2 x − 2x < 0 l) |2x-3| <5 m) |2-x | > 1

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