Apostila 1 calculo i

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Apostila 1 calculo i

  1. 1. 1ELEMENTOS DA LÓGICA MATEMÁTICAFUNÇÕES ELEMENTARESLIMITES E CONTINUIDADEPROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
  2. 2. 21. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão deconceitos básicos da matemática. O principal objetivo consiste na investigação davalidade de argumentos.1.1 PROPOSIÇÕES Proposição é uma sentença declarativa, afirmativa e que deveexprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita naforma simbólica ou na linguagem usual.Exemplos: 3 1) Sen 60° = 2 2) Marleide é professora. 3) Orleans se localiza no estado de Santa Catarina. Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1) se a proposição é verdadeira e é a falsidade (0) se a proposição é falsa.Exemplos: a) Orleans fica no nordeste. b) Sen(30°) + cos(60°) = 1 O valor lógico da proposição a) é a falsidade (0), e da proposiçãob) é a verdade (1). As proposições podem ser simples ou compostas. SIMPLES COMPOSTANão contém nenhuma outra Formada por duas ou maisproposição como parte integrante proposições relacionadas pelosde si mesma. conectivos “e”, “ou” e “se então” .Notação: letras minúsculas do Notação: letras maiúsculas doalfabeto alfabetoExemplos: Exemplo:1) p: Maria é bonita. 1) P(p,q): Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. estudiosa.2) p: 1+2=3 2) Q(p,q): 1+2=3 ou 21. q: 21
  3. 3. 31.2- PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA MATEMÁTICAa) Princípio da Não-contradição Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira efalsa”.b) Princípio do terceiro excluído Toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro estadológico para ela. De acordo com esses princípios, podemos afirmar que todaproposição admite um e um só dos valores 1 e 0.Conectivos Lógicos: são palavras ou expressões que se usam paraformar novas proposições, a partir de proposições dadas.Exemplos:P: O número 9 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar.Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.R: Se João estuda, então sabe a matéria.1.3- TABELA VERDADE O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2 n, onde né o número de proposições componentes. PROPOSIÇÃO Nº DE PROPOSIÇÕES Nº DE LINHAS DA SIMPLES TABELA P 1 21 = 2 P(p,q) 2 22 = 4 P(p,q,r) 3 23 = 8 P(p,q,r,...,n-1,n) n 2n p q r p p q 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
  4. 4. 4EXERCÍCIOS1. Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintesproposições: a) O número 2 é o único número par que é primo. V(a)= b) A área do quadrado de lado 3 é 6. V(b)= c) Log3 3 = 1 V(c)= d) A solução da equação 4x-8=12 em R é S={4}. V(d)= e) O conjunto solução de 3x = 81 é S = {4}. V(e) = f) Todo número divisível por 5 termina em 0. V(f)= g) –2 < 0. V(g)= h) O par {x,x} = {x}. V(h)= i) O par ordenado (x,x)=(x). V(i)= j) x2. x5 = x7 . V(j)=2.Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintesproposições: a) O polinômio f(x)=x3+mx-5 é divisível por x-3 quando m é igual a 4. V(a) = b) A função f:RR definida por f(x)=x+2, é uma função crescente. V(b) = c) A função f:RR definida por f(x)=x2 +1, é uma função crescente. V(c)= d) Se logx-logy=log2 e 9x-y = 81 então o valor de x+y é 6. V(d) = e) A imagem da função y=x² - 2x é [-1, ∞[. V(e) = f) A forma fatorada de x² - 4x + 4 = (x-2)² ; V(f)= g) A forma fatorada de x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4); V(g) = h) A fórmula para a determinação do volume do cilindro é V = R 2 h V(h) = 1 i) x  x2 V(i) = 1 x j)  V(j) = x x3. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 1.4. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 0.
  5. 5. 51.4-OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 1) Negação ( ‘ )ou : nãoExemplos: Altera o valor lógico de uma proposição, isto é, V(p) = 0 entãoV(p‟) = 1 ou se V(p) = 1 então V(p‟) = 0. Lê-se: “não p”.Exemplos: I) p: 1+4=5 V(p)=1 p‟: 1+45 V(p‟)=0 II) q: João é estudante V(q)=0 q‟:João não é estudante V(q‟)=1Tabela Verdade: p P‟ 0 1 1 02) Conjunção ( . ) A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quandoV(p)=1 e V(q)=1, e falsa nos demais casos.Notação: p.q também se utiliza o símbolo : eLê-se: p e qExemplos:I) p: Maria é alegre V(p)=1 q: Maria é simpática V(q)=1P(p,q): p.q: Maria é alegre e simpática. V(p.q)=1II) r: log22=1 V(r)=1 s: 20=2 V(s)=0 0Q(r,s): r.s : log22=1 e 2 =2 V(r.s) = 0Tabela Verdade: p q p.q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1Obs.: Equivale a ligação em série de interruptores.
  6. 6. 63) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+) A soma lógica de duas proposições p e q é uma proposição falsaquando V(p)=0 e V(q)=0 e verdadeira nos demais casos.Notação: p + q também se utiliza o símbolo : ouLê-se: p ou qExemplos:I) p:  = 3 V(p)=0 q: 9-3=6 V(q)=1 V(p+q)=1II) p: 2 < 1 V(p)=0 q: 2 < 2 V(q)=0 V(p+q) = 0Tabela Verdade: p q p+q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 14) Disjunção Exclusiva (  ) A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma proposiçãoverdadeira quando os valores lógicos das proposições são diferentes,isto é V(p)  V(q).Notação: p  qLê-se: p ou q, mas não ambas.Exemplos:I) p: Maria é alta V(p)=1 q: Maria é baixa V(q)=0 P(p,q): (p  q): Maria é alta ou baixa. V(p  q):1II) p:  < 3 V(p)=0 q: 3>2 V(q)=1 V(p,q)=1
  7. 7. 7Tabela Verdade p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 05) Condicional () O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsaquando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Emtodos os outros casos o resultado é verdadeiro. A proposição p échamada antecedente e a proposição q é o conseqüente.Notação: p  qLê-se: “se p então q”Exemplos: I) p:tg =1 V(p)=1 4 q: sen0º=0 V(q)=1V(p,q)=1  2II) p: cos  V(p)=1 4 2  q: tg 0 V(q)=0 4 V(p,q)=0Tabela Verdade p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
  8. 8. 86) Bicondicional () Esta operação equivale a duas operações do tipocondicional. Seu resultado é verdadeiro quando os valoreslógicos das proposições forem iguais.Notação: p  qLê-se: “p se e somente se q”Exemplos:I) p: 2   V(p)=1 q: 2 > 1 V(q)=1 V(p,q)=1II) p: 3  Z V(p)=0 q: 3  1 V(q)=1 V(p,q)=0Tabela Verdade p q pq 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 11.5- ORDEM DE PRECEDÊNCIA ENTRE OS OPERADORES a) Negação ( „ ) b) Conjunção e Soma Lógica (.) e (+) c) Condicional () d) Bicondicional ()Exemplo: a) pq  r (bicondicional) b) p + q‟  q.r (condicional) c) p+(q‟  q.r‟) (soma lógica e condicional)EXERCÍCIOS1) Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis.Escrever na linguagem usual as seguintes proposições: a) p+q b) p.q c) p.q‟
  9. 9. 9 d) p´.q‟ e) (p‟)‟ f) (p‟.q‟)‟2) Dadas as proposições p: Maria é bonita e q: Maria é elegante,escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Maria é bonita e elegante. b) Maria é bonita, mas não é elegante. c) Não é verdade que Maria é feia ou elegante. d) É falso que Maria é feia ou que não é elegante.3) Classificar as proposições compostas abaixo, como conjunção,disjunção, condicional, bicondicional ou negação: a) (p.q‟)‟ b) p+(q.r‟) c) p.(qr) d) p.qr‟ e) (p.q‟)‟+(r+s) f) (p+q‟)(r.s) g) [p(q.r)].s h) [p(q.r)]‟ i) [p+(q.r)]‟ s‟ j) (pq)  r‟ 4) Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) 3+2=7 e 5+5=10 b) sen=0 e cos=0 c) 3>2 ou sen90º>tg45º d) se |-1|< 0 então sen90º=1 e) 3>1  30=3 f) >43> 5 g) tg  =1 se e somente se sen=0 h) Não é verdade que o número 12 é um número ímpar i) (1+1=24+3=5)‟ j) (sen0º=0 ou cos0º=1)‟5) Sabendo que V(p)=1 e V(q)=0, determinar o valor lógico de cadauma das proposições: a) p.q‟ b) p+q‟ c) p´.q d) p‟.q‟ e) p‟+q‟ f) p.(p´+q)
  10. 10. 106) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo que: a) V(q)=0 e V(p.q)=0 b) V(q)=0 e V(p+q)=0 c) V(q)=0 e V(pq)=0 d) V(q)=0 e V(pq)=1 e) V(q)=1 e V(pq)=0 f) V(q)=0 e V(pq)=1 As funções reaisVamos dar uma esquentadinha em nosso tico e o teco (hehehehehe), jáestudaram as funções e suas principais características na disciplina deMatemática básica.Em cada caso identifique o nome de cada função a partir das característicasda sua representação gráfica.a) b)
  11. 11. 11c) d)e) f) Agora vamos construir os gráficos das funções trigonométricas, seno,cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Dado as funções abaixo represente graficamente e determine o domínio e aimagem em cada caso. a) f(x) = sen(x) b) g(x) = cos(x)
  12. 12. 12c)f(x) = tg(x) d) f(x) = cotag(x) e) f(x) = sec(x) f) f(x) = cossec(x) f) f(x) = sen(2x) g) g(x) = cos(2x)
  13. 13. 13 g) y= 2 sen(x) h) y = - 3 cos(x) Outras funções podem ser representadas graficamente desde que respeitadosseu campo de definição, vejamos os exemplos: 1 a) Veja o gráfico da função racional f(x) = x Neste caso observa-se que a função não é definida para x = 0. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 0 pela direita e pela esquerda?
  14. 14. 14 x 1b) Vamos pensar na função racional f(x) = x2 Neste caso observa-se que a função não é definida para x =2. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 2 pela direita e pela esquerda? Analise sempre a linha do gráfico. Vamos pensar eu uma função definida por várias sentenças  x 2  1, se  2c) f(x) =   x  3, se  2 Neste caso observa-se que a função não é definida para x =2. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 2 pela direita e pela esquerda? Analise sempre a linha do gráfico.
  15. 15. 15 Um dos mais importantes temas em Cálculo é a análise das relações entreas quantidades físicas e Matemáticas. Tais relações muitas vezes podem serdescritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras.As funções representam um importante instrumento de análise das relaçõesmatemáticas e físicas.Um problema:Um fabricante que produz caixas abertas de papelão de formas retangulares,dispondo de folhas com faces retangulares com 29 cm por 21 cm de comprimento.Cortando-se pequenos quadrados dos cantos e dobrando-se para cima os lados odepartamento de Pesquisa e Desenvolvimento pede que você determine otamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com maior volume.1. CÁLCULO UMA GRANDE INVENÇÃO HUMANA: UM POUCO DA HISTÓRIA O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução deproblemas que envolviam movimento. A geometria, a álgebra e a trigonometriaaplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante: os métodos decálculo no entanto são necessários para estudar as órbitas dos planetas, paracalcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregadaatravés de um campo eletromagnético, e de um modo geral para tratar de todos osaspectos do movimento. Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas da física, teminúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é ofato de que a derivada é aplicada ao estudo de taxa de variação em geral, e nãosó do movimento. Exemplos: o químico utiliza para prever resultados de diversasreações químicas, o biólogo para pesquisa da taxa de crescimento. O eletricistapara descrever a variação da taxa da corrente num circuito elétrico. Oseconomistas para resolver problemas de lucros e perdas. Muitos problemas queenvolvem máximos e mínimos podem ser tratados com auxílio da derivada,exemplos: como uma empresa pode maximizar sua receita? Como pode umfabricante minimizar seus custos na produção de um artigo? A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certosprocessos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das
  16. 16. 16partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e GttfriedWilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais.Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são consideradosos inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmerascontribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculocomo o estudo de limites, derivadas e integrais.NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Durante a realização das olimpíadas um dos repórter fez a seguintefala: “segundo estudos da evolução da capacidade humana acredita-se queo ser humano está chegando em seu limite quando ao tempo mínimo denatação”.Para que foi utilizada a palavra “limite” neste caso?Em que situações aparecem a palavra limite?Qual o significado da palavra limite em nosso contexto? O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois problemasgeométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva.Esses problemas requerem um processo de limite para a sua solução. Entretanto,o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações, na verdade tantas, que,de fato, o conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos decálculo estão baseados. Considere as seguintes situações:1) Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1Vamos desenvolver as seguintes etapas :Primeira : hachurar metade dessa figura 1 Área hachurada : 2Segunda : hachurar metade do que restou em branco. 1 1 3 Área hachurada :   2 4 4
  17. 17. 17Terceira : hachurar, novamente, metade do restou em branco. Área hachurada : 1 + 1 + 1 = 7 2 4 8 8 Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachuradavai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai seaproximando de 1 ou tendendo a 1. 1 , 3 , 7,..., Quando dizemos que a área 2 4 8 hachurada tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.2) Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:a) 1,2,3,4,5,...b) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,...c)1,0,-1,-2,-3,...d)1,3/2,3,5/4,5,7/6,7,... Em a) os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite dasucessão tende para o infinito .Na sucessão b) os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nuncaatingirem esse valor.Na sucessão c) os termos desta sucessão tendem para o menos infinito ou que olimite da sucessão tende para o menos infinito .Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
  18. 18. 183) Pensamos na trajetória de uma bola cuja altura é uma função do tempo,expressa pelo gráficoa) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 3s?b) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 2s?O LIMITE DE UMA FUNÇÃOConsidere as seguintes funções:1) Sabe-se que a área do quadrado é uma função do lado definida como A   2 . Oque acontece com a área quando a medida do lado tende para 2? 1,8 1,9 1,98 1,99 1,999 3,24 3,61 3,9204 3,9601 3,996001A  2 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 4,41 4,0401 4,004001 4,000400 4,00004A  2Esta função tende a 4 quando x tende a 2.Diz-se que se   2 então A  4 . Esta situação pode ser observada nográfico abaixo:Se considerarmos a medida do lado como x e a medida da área como y,temos:
  19. 19. 19 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1Assim pode-se representar em termos de limite da seguinte forma: lim x 2  4 x 22) Consideramos a função f definida pela equação: f ( x)  Sendo 2 x  3.( x  1) . x 1que f esta definida para todos os valores de x exceto x = 1. Assim, se x  1 , onumerador e o denominador podem ser divididos por ( x  1) para obtermos:f ( x)  2 x  3 para x  1 Estudaremos os valores da função f (x) , quando x estiver próximo a 1, masnão igual a 1.Quadro (1): X 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999f ( x)  2 x  3.( x  1) x 1 3 3,5 4 4,5 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998 ( x  1)Quadro (2) : X 2 1,75 1,50 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 f ( x)  2 x  3.( x  1) x 1 7 6,5 6,0 5,5 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002( x  1)
  20. 20. 20 Vemos, de ambos os quadros, que quando x aproxima-se cada vez mais de1, f(x) aproxima- se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo x estiver de 1, f(x)estará mais próxima de 5. No gráfico visualiza-se a seguinte imagem: Em particular, vemos no nosso exemplo que : (2 x  3).( x  1) (2 x  3).( x  1) lim  5 , mas que: não x 1 ( x  1) ( x  1) é definida para x = 1.Outros exemplos:1) Consideremos o gráfico da função f :IRIR, definida por f(x) = x + 2.O quadro a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x : x 2 2,3 2,9 2,99 ... 3,03 3,4 3,9 f(x) = x + 2 4 4,3 4,9 4,99 ... 5,01 5,4 5,9De acordo com o exposto, podemos dizer que :• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos : lim f ( x )  5 x3• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos : lim f ( x)  5 x3
  21. 21. 21Podemos representar somente por : lim f ( x)  5 x 32) Consideramos também o gráfico da função f : IRIR, definida por :  x, se, x  3 f ( x)    x  2, se, x  3Observe :• quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é: lim f ( x)  3 x3• quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é: lim f ( x)  5 x3 Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemosque: Neste caso não existe o limite de f(x) quando x tende a 3.Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x seaproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é: lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) xa  xa xaObservando a figura podemos afirmar que: lim g ( x)  L lim g( x )  L xb  x b 
  22. 22. 22Isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos quea função g tem limite L no ponto b e escrevemos : lim g( x )  L x b Seja f uma função definida nos reais cujo gráfico está na figura abaixo, definidaà direita e a esquerda de b. Y lim f ( x )  L1 x b  L1 L2 lim f ( x )  L2 X xb b
  23. 23. 23 Vamos retomar o conteúdo do primeiro semestre de Matemáticabásica ( função definida por várias sentenças.Atividade:Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e responda cada item 2 x, se  01) f(x) =  2  x , se x 0a) lim f ( x ) b) lim f ( x ) c) lim f ( x ) x 0- x  0 x 0  x 2  1, se  1 2) f(x) =   x  3, se x  1a) lim- f( x) b) lim f ( x) c) lim f( x) x 1 x1 x 1 3, se  2 3) (x) =   x  1, se x 2 a) lim f ( x ) b) lim f ( x ) c) lim f ( x ) x  2 x  2 x 2Outros exemplos:  x-1 se x  11. Seja h definida por: h( x)   1-x se x  1a) Faça um esboço do gráfico de h.b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites: i) lim h( x) =  x 1 ii) lim h( x) = x 1 iii) lim h( x) = x1
  24. 24. 24  x 2 se x  02. Seja a função f definida por: f(x)=  3 - x se x  0 a) Faça um esboço do gráfico de f. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites: i) lim f ( x) = x 0 ii) lim f ( x) = x 0 iii) lim f ( x) = x0EXERCÍCIOS1) Faça um esboço do gráfico e determine se existir o limite indicado:  x 2  1, se x  2 a) f ( x )   2, se x  2 1 - x 2 , se x  2  i) lim f( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x 2 x 2 x 2  x 2 para x  1 b) f ( x )   2 para x  1 2 - x para x  1 i) lim f( x )  ii) lim f( x )  iii) lim f( x ) x 1 x 1 x 1 2 x  1, se x  1 c) f ( x)   1, se x  1  1-2 x, se x  1 i) lim f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x  1_ x 1  x 1
  25. 25. 25 2 x 2 para x  0 d) f ( x )   1 para x  0 -x 2 para x  0 i) lim f ( x ) ii) lim f ( x) iii) lim f ( x ) x 0 x 0 x 0  2, se x  1 e) f ( x )  - 1, se x  1 - 3, se x  1 i) lim- f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x1 x 1 x 1  2 x  4 se x  -1f) f ( x)   1  2 x se x  1 i) lim- f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x  -1 x  -1 x  -12) Seja a função f definida pelo gráfico:Intuitivamente encontre se existir: a ) lim f ( x)  x 3 b) lim f ( x)  x 3 c) lim f ( x)  x   d ) lim f ( x)  x   e) lim f ( x)  x4
  26. 26. 263) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir: a ) lim f ( x)  x  2 b) lim f ( x)  x  2 c) lim f ( x)  x  2 d ) lim f ( x)  x   e) lim f ( x)  x  4) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir: a ) lim f ( x)  x 0 b) lim f ( x)  x 0 c) lim f ( x)  x 0 d ) lim f ( x)  x2 e) lim f ( x)  x2 f )lim f ( x)  x2 lim f ( x)  L x a
  27. 27. 27DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto contendoa, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, pode ser escrito como: Se para qualquer  0 ,mesmo pequeno, existir um  0, tal que: f ( x)  L   sempre que 0 xa .Exemplo: Considere f: RR definida por y = 2x - 1. O que acontece com yquando x está muito próximo de 3?x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001y = 2x-1 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002Tab.1x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999y = 2x-1 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998Tab.21 =5,2-5,02=0,182 =5,02-5,002=0,0183 =5,002-5,0002=0,00184 =5,0002-5,00002=0,000185 =5,00002-5,000002=0,0000181 = 3,1-3,01=0,092 = 3,01-3,001=0,0093 = 3,001-3,0001=0,00094 = 3,0001-3,00001=0,000095 = 3,00001-3,000001=0,000009QUAL É A RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO?0,18 e 0,09?0,018 e 0,009?0,0018 e 0,0009?Pode-se concluir que:0,09 x 2 = 0,180,009 x 2 = 0,0180,0009 x 2 = 0,0018 Logo podemos concluir que  = 2 x 
  28. 28. 28Outro exemplo: 2xO que significa provar que o lim  3  5? x 3 3Significa que devemos mostrar que para qualquer  0 ,mesmo pequeno, existeum  0, tal que: f ( x)  L   sempre que 0  x  a   , isto é:Dados que neste caso tem-se: 2xf(x) = 3 L = 5 a = 3 então: 3 2x (  3)  5   sempre que 0  x  3   3 2x  2   sempre que 0  x  3   3 2x  6   sempre que 0  x  3   3 2 x  3   sempre que 0  x  3   3 3 x3  sempre que 0  x  3   2Comparando-se as desigualdades tem-se que: 3 = 2Outro modo utilizando as desigualdades temos:3- < x < 3+  5- < y < 5+5- < y < 5+ 25- < x  3 < 5+ 3 25--3 < x < 5+-3 33.(2-) < 2x < 3.(2+)3.(2   ) 3.(2   ) <x< 2 2 3 33  x  3 2 2 3Logo  = 2Vejamos graficamente a situação descrita acima.
  29. 29. 29 Podemos dizer que y se aproxima de 5 quando x se aproxima de 3, oumelhor, y toma valores tão próximos de 5 quanto quisermos, para valores de x 2x lim  3  5suficientemente próximos de 3. Logo x 3 3Exercícios1) Usando a definição de limite prove que:a) lim (3x  1)  2 x 1b) lim (4 x  5)  13 x 22) Segundo a definição de limite considera-se as seguintes condições: Selim f ( x)  L é afirmar que, para qualquer número positivo , haverá sempre umx anúmero positivo  tal que | f(x) – L | <  válido sempre que 0 < | x – a | < . Namaioria dos casos o valor de  depende de , e quanto menor for  escolhido,menor será o  necessário. Usando a definição de limite determine um  tal que| f(x) – L | <  sempre que 0 < | x – a | < .a) f(x) = x + 3 , L = 5, a = 2,  = 0,01, lim ( x  3)  5 x 2
  30. 30. 30 x 1 x 1b) f(x) = L = 3, a = 5,  = 0,1, lim 3 2 x 5 2PROPRIEDADES DOS LIMITES1. Unicidade: Se lim f ( x)  b e se lim f ( x)  c , então b = c. x a x a2. Se a, m e n são números reais, então lim(mx  n)  m.a  n x aCasos particulares:1. Se f(x) = x, então lim f ( x)  lim x  a . x a x a2. Se f(x) = n, então lim n  n (o limite de uma constante é a própria constante). x a3. Se lim f ( x)  b e lim g ( x)  c , então: x a x a a) lim[ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)  b  c x a x a x a b) lim[ f ( x).g ( x)]  lim f ( x).lim g ( x)  b.c x a x a x a f ( x) lim f ( x) b c) lim  x a  (c  0) xa g ( x) lim g ( x) c x a d) lim k. f ( x)  k lim f ( x)  kb x a x a x a x a  e) lim[ f ( x)]n  lim f ( x)  bn , n  Z*  n f) lim n f ( x)  n lim f ( x)  n b ; se lim f ( x)  0 e n  Z* ou se lim f ( x)  0 e n  Z* impar   x a x a x a x a4. Funções Polinomiais Se f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 , então: lim f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  f ( x0 ) x  x0
  31. 31. 31Exemplos:1) lim (5x  6)  x 32) lim x  x 43) lim (3x 2  3x  8)  x 2 3x  14) lim  x 2 55) lim 1  x 2  x16) lim (3x 3  5x 2  8x  7)  x 2 x3  2 x  37) lim  x2 x2  58) lim (5x  7) 2  x 4 x9) lim 3  x 4  7x  1
  32. 32. 32EXERCÍCIOSEncontre o valor dos seguintes limite1) lim 2 x  1  6 x  1 x 1   22) lim 3 x 3  2 x 2  5 x  1  x2 9) lim x 1 1  x   1   3 1 3) lim  4 x 2  x   10) lim  3 x   2   x  4  2  x  1 x x    34) lim x 4  x 3  x 2  1  x  1 x2 1 11) lim  5 x 3  6 x 2  3x x 1 1  2x  85) lim 3  2 1 x  x 2  3x x 2 8x  1 6) lim t  14  t   12) lim t 3 . x 1 x3 x 17) lim 4  x 16 x8) lim (2 x  3)1 / 4  x  1 / 3
  33. 33. 33CÁLCULO DE LIMITES e SUAS INDETERMINAÇÕESO que significa uma indeterminação?Como sair de uma indeterminação? 0  As expressões, ,   , 0  , 0 , 0 ,1 , são ditas indeterminações. O 0 que fazer quando se encontra tais situações? 0Por exemplo . 0Sejam f e g funções tais que lim f ( x)  lim g ( x)  0 . Nada se pode afirmar, a x a x a fprincípio sobre o limite do quociente . Dependendo das funções ele pode g 0assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que é um 0símbolo de indeterminação.Exemplo:Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.lim f ( x)  lim g ( x)  0x 0 x0 lim f ( x) x3e x 0  lim  lim x  0 lim g ( x) x 0 x 2 x 0 x 0Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifíciosalgébricos são necessários.Obs.: Sempre que estamos diante de um limite com x  a , que resulte a 0indeterminação e a função dada é do tipo racional 0  P( x)   f ( x)   polinômios em x  é possível fazer uma simplificação, pois os   Q( x) polinômios serão divisíveis por (x-a).Exemplos: x2 11) lim  x 1 x  1
  34. 34. 34 x 3  4 x 3  7 x  102) lim  x 1 x 2  2x  3 x 3  273) lim  x 3 x  3 x  12  44) lim  x 4 x4
  35. 35. 35 EXERCÍCIOSEncontre o valor dos limites: x3  81) lim  x  2 x  2 x2  x  62) lim  x 3 x3 x 2  5x  63) lim 2  x  2 x  12 x  20 x 1  24) lim  x 1 x 1 2x  1  35) lim  x 5 x56) lim  x  32  9  x 0 x 3 8h 27) lim  h 0 h 5 x  27  28) lim  x 5 x5 3 x 2  17 x  209) lim 2  x  4 4 x  25 x  36 2 x 2  3x  510) lim  x 5 2x  5 2
  36. 36. 36LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDENDO AO INFINITO O símbolo  não representa um número; portanto, não se efetuam com eleas operações que realizamos com os números reais. Alguns exemplos: 11) Observe o gráfico da função f ( x)  : x 1  lim  0 , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é x   x zero. 1  lim  0 , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é x   x zero. 1  lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce x 0 x indefinidamente e o limite é infinito (+). 1  lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y x 0 x decresce indefinidamente e o limite é menos infinito (-).
  37. 37. 37 12) Observe o gráfico da função f ( x)  . x2  Quando x cresce ou decresce indefinidamente a função se aproxima de 1 zero, ou seja y tende a zero. Simbolicamente temos: lim 2  0 e x   x 1 lim 2  0 . x  x  Quando x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, y cresce 1 indefinidamente, isto é, y tende a mais infinito e indicamos: lim 2   e x 0 x 1 lim 2   . x 0 x 13) Considere f ( x)  3 : x
  38. 38. 38  De modo análogo às situações anteriores, percebe-se que quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero. Notação: 1 lim 3  0 . x   x 1Definição: Se nN* e se f: R* R é a função definida por f ( x)  , então: xn 1 1 lim f ( x)  lim 0 e lim f ( x)  lim 0 x  x  x n x  x  x n kDe modo geral: x   lim n 0 x 34) Seja a função f: R-{2} R tal que f ( x)  cujo gráfico é: x2 Observa-se que:  lim f ( x)   x 2  lim f ( x)   x 2   lim f ( x) não existe, pois os limites laterais são diferentes. x2  lim f ( x)  0 x  LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS INFINITO Considere a função polinomial f(x), de grau n, com a n0. f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 lim f ( x)  lim an x n x  x Obs.: Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de an e a paridade den. Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a+, podemos aplicar a seguinte regra prática:
  39. 39. 39   se p  q p p 1 a p x  a p 1 x  ...  a1 x  a0 p ap x  ap lim  lim  se p  qx  b x q  b x q 1  ...  b x  b x  b x q q q 1 1 0 q  bq  0 se p  q Analogamente se x tender a -.PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO
  40. 40. 40Exemplos:1) Dada a função f(x) = 2x3 -5x2 + 2x -1, calcular:a) lim f ( x) x  b) lim f ( x) x   2 x 2  5x  12) Calcular lim . x  4 x 2  3 x  7
  41. 41. 41 2x 4  x  13) Calcular lim . x  x 3  x 2  4Teorema: Se lim h( x)  0 e lim g ( x)  c com c  0, então: x a x a g ( x)1) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores positivos, então lim  . x a h( x ) g ( x)2) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores negativos, então lim  . x a h( x ) g ( x)3) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores positivos então lim  . x a h( x ) g ( x)4) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores negativos então lim  . x  a h( x )Exemplos: 2x 2  6x  51) lim 2  x  2 x  6 x  16 x 2  3x  12) lim  x2 x2  x  6 x 13) lim  x 1 x  x 2  2x 3
  42. 42. 42 EXERCÍCIOS1) O estudo dos limites nos permite analisar o comportamento de uma funçãoquando ela se aproxima de um ponto ou quando ela tende ao infinito. A existênciado limite de uma função está condicionado a sua igualdade quando tende a umponto pela direita e pela esquerda. Com base nos estudos realizados sobrelimites, calcule os limites abaixo. a ) lim (2 x 5  2 x 4  x  1)  x  b) lim (3  7 x  4 x 6 )  x  c) lim (2  x  x 5 )  x  d ) lim ( x 3  3 x 2 )  x  e) lim (4 x 12  4 x  5)  x   12 x 6  3 x 3  1f ) lim  x    3x 3  1 6x 5  x 1g ) lim  x   2 x 4  3 x  5 26 x 5  xh) lim  x   2 x 8  3 x  5 x  16 x 5i ) lim  x   21x 3  3 x  5 12 x 6  34 x 3  1 j ) lim x   1 x 6  x2) Calcule os seguintes limites: x2 2x a ) lim  i ) lim  x 1 1  x x 1 x  1 x x2 b) lim  x  4 x  4 j ) lim  x2 x  2 x2 c) lim 2  x2 x  4 x 2  5x  1 l ) lim 2  x x 3 x  2 x  3 d ) lim  x  1 x  4 2 x 2  3x  2 x  m) lim 2  e) lim x4 x  4 x4 x  3x  4 f ) lim x2  x2 1 x 1 1  x n) lim x2 x  2  4x g ) lim  x  3 9  x 2 4x h) lim  x  3 9  x 2
  43. 43. 43LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO e as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS EASSÍNTOTAS VERTICAISExemplos: 4 a) Observe o gráfico da função f(x) = quando x tende para 3/2 pela 2x  3 esquerda e pela direita Assim podemos concluir que: 4 4lim = e lim = 3 2x  3 3 2x  3x x 2 2Por outro lado no exemplo acima temos que : 4 4lim = e lim =x  2 x  3 x  2 x  3 1b) Observe o gráfico da função f(x) = 2  quando x tende para 1 pela x 1 esquerda e pela direita e quando x tende ao 
  44. 44. 44 Assíntota horizontal y = 2 Assíntota vertical x = 1 Assim podemos concluir que: 1 1lim 2  = e lim 2  =x 1 x 1 x 1 x 1Por outro lado no exemplo acima temos que : 1 1lim 2  = e lim 2  = x  x 1 x  x 1 Pode –se observar que quando x tende a 1 pela direita e pela esquerda oslimites são infinitos. Por outro lado quando x tende a infinito positivo ou infinitonegativo f(x) tende a 2. Pode-se concluir que 1 é uma assíntota vertical e 2 é umaassíntota horizontal.DEFINIÇÃO:ASSÍNTOTA VERTICAL: xVeja o gráfico da função f(x) = x 1 2
  45. 45. 45No caso tem-se que para os valores de x = -1 e x = 1 a função não está definida,estes valores se constituem nas assíntotas verticais conforme segue:Uma linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função fse pelo menos uma das seguintes condições for válida: 1) lim f ( x)   2) lim f ( x)   3) lim f ( x)   4) lim_ f ( x)   x a x a x a x aASSÍNTOTA HORIZONTALNo caso tem-se que para os valores de y = 2 a função nunca atinge este valor , eobserve que quando x tende para o infinito a função se aproxima deste valor semnunca assumir, este valor de aproximação se constituem nas assíntotashorizontais conforme segue:A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de umafunção f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:1) lim f ( x)  b 2) lim f ( x)  b x  x Outros exemplos:Determine as assíntotas das funções abaixo: 3x 2x  6 1  2xa) f(x) = b) f(x) = c) g(x) = x 1 x5 3  5x
  46. 46. 46LIMITE FUNDAMENTAIS ( 2ª parte da apostila)Passa a discussão dos casos que denominamos limites fundamentais1) Primeiro Limite Fundamental sen xlim 1x 0 x2) Segundo Limite Fundamental a x 1lim  ln a (a > 0 e a  1)x 0 x a u ( x)  1De modo geral: lim  ln a x 0 u ( x) ex 1Em particular: lim  ln e  1 x 0 x3) Terceiro Limite Fundamental x  1lim 1    ex   x u ( x)  1 De modo geral: lim 1   u ( x)   e x   Teorema do Confronto Sejam f, g, h funções e a um ponto tal que para todo xa, tem-se g(x)f(x) h(x). Se lim g ( x)  L e lim h( x)  L, então lim f ( x)  L. O teorema do confronto x a x a x aserá utilizado para demonstrar o limite fundamental.
  47. 47. 47Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limitesfundamentais.1) Primeiro Limite Fundamental sen xlim 1x 0 xDemonstração:Da figura temos:Vamos considerar x  1º quadrante.Área do triângulo AOM  área do setor circular AOM  área do triângulo AOT1. sen x 1 1.tgx  .x.12  2 2 2sen x  x  tgxDividindo por senx temos: x 11  sen x cos x sen x sen x1  cos x  cos x  1 x xlim cos x  cos 0  1x 0lim 1  1x 0 sen xPelo Teorema do Confronto, temos: lim 1 x 0 xGraficamente, temos:
  48. 48. 48 sen u ( x)De modo geral: lim 1 x 0 u ( x)Exemplos: sen2 x1) lim  x 0 x sen3 x2) lim  x 0 sen 4 x tgx3) lim  x 0 x sen2 x4) lim  x 0 5x 1  cos x6) lim  x 0 2x2) Segundo Limite Fundamental a x 1lim  ln a (a > 0 e a  1)x 0 x a u ( x)  1De modo geral: lim  ln a x 0 u ( x) ex 1Em particular: lim  ln e  1 x 0 xExemplos: e3x  11) lim  x 0 3x e3x  12) lim  x 0 x 4 2 x  13) lim  x 0 x 7 3x  14) lim  x 0 5x e x 1  15) lim 2  x 1 x  1
  49. 49. 493) Terceiro Limite Fundamental x  1lim 1    ex   x u ( x)  1 De modo geral: lim 1   e x    u ( x)  x  1 f ( x)  1  Seja a função  x , definida num domínio D.O domínio D é determinado pelos valores reais de x que satisfazem a relação 11  0. xD   ,1  0,Atribuindo valores de D a x, temos; x y 1 2,000 Para os valores de x que crescem ou 2 2,250 decrescem indefinidamente, correspondem 3 2,369 valores de y que vão se aproximando do 5 2,489 número irracional e, chamado número de 10 2,594 Euler. 100 2,705 1000 2,717 e = 2,71828182.... 10000 2,718 -2 4 -3 3,375 -10 2,868 -100 2,732 -1000 2,720 -10000 2,718 . . . . . .  e
  50. 50. 50OBSERVE O GRÁFICO:A partir do gráfico, temos que: x x  1  1lim 1    lim 1    ex   x  x   x Exemplos: 4x  11) lim 1    x    x  x 6 x2) lim    x    x  x  13) lim 1    x    x x  2 44) lim 1    x    x
  51. 51. 51 CONTINUIDADEDefiniçãoA função f é contínua em um número a se as três condições seguintes foremsatisfeitas:i) f(a) existeii) lim f ( x)existe x aiii) lim f ( x)  f (a) x aSe uma ou mais destas condições não está satisfeita em a, dizemos que a funçãof é descontínua em a.Mostra de gráficos de funções que não são contínuas em x=a.Exemplos:Verifique a continuidade das seguintes funções. Faça um esboço do gráfico.  x  1 se x  1a) f ( x)   em x = 1 1  x se x  1
  52. 52. 52 2 x  1 se x  1b) f ( x)   em x = 1  4 se x  1  2 se x  1 c) f (x)  - 1 se x  1 em x = 1 - 2 se x  1   x  1 se x  1d) f ( x)   2 em x = 1 x  6 x  7 se x  1  x2  1  se x  1  x 1e) f ( x)   em x = 1   1 se x  1 
  53. 53. 53  x  3 se x  -1f) f ( x)   em x = -1 - x  1 se x  -1Exercícios1) Trace o gráfico das funções e determine os limites indicados:  x se x  1 a) f ( x)   2 se x  1  x 2 se x  1 * lim f ( x) x  1* lim f ( x) x 0 1  x se x  0 b) g ( x )   2 se x  0 1  x se x  0 * lim g ( x) x  1* lim g ( x) x 0* lim g ( x) x 1  x  4 se x  0c) g ( x)   2  x  1 se x  0* lim g ( x) x 0* lim g ( x) x 0* lim g ( x) x 0* lim g ( x) x  9
  54. 54. 54  x se x  1d ) p ( x)    x  2 se x  1* lim p ( x) x 1* lim p ( x) x 1* lim p ( x) x 1* lim p ( x) x 15 1  x 2 se x  22) A função g está definida por g ( x)   7  x se x  2Esboce o gráfico de g.a) Calcule limite de g quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda.b) A função tem limite em x = 2..3) Dado a funçãoa)Esboce o gráfico e verifique se a função é contínua em x = -1 e x = 1

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