Ap trigonometria numeros complexo

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Ap trigonometria numeros complexo

  1. 1. Universidade do Sul de Santa Catarina Trigonometria eNúmeros ComplexosDisciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2007
  2. 2. CréditosUnisul - Universidade do Sul de Santa CatarinaUnisulVirtual - Educação Superior a DistânciaCampus UnisulVirtual Diva Marília Flemming Monitoria e Suporte Equipe Didático-Rua João Pereira dos Santos, 303 Itamar Pedro Bevilaqua Rafael da Cunha Lara pedagógicaPalhoça - SC - 88130-475 Janete Elza Felisbino (Coordenador)Fone/fax: (48) 3279-1541 e Jucimara Roesler Adriana Silveira Capacitação e Apoio3279-1542 Lilian Cristina Pettres (Auxiliar) Caroline Mendonça Pedagógico à TutoriaE-mail: cursovirtual@unisul.br Lauro José Ballock Dyego Rachadel Angelita Marçal FloresSite: www.virtual.unisul.br Luiz Guilherme Buchmann Edison Rodrigo Valim (Coordenadora) Figueiredo Francielle Arruda Caroline BatistaReitor Unisul Luiz Otávio Botelho Lento Gabriela Malinverni Barbieri Enzo de Oliveira Moreira Marcelo Cavalcanti Josiane Conceição Leal Patrícia MeneghelGerson Luiz Joner da Silveira Mauri Luiz Heerdt Maria Eugênia Ferreira Celeghin Vanessa Francine Corrêa Mauro Faccioni Filho Rachel Lopes C. PintoVice-Reitor e Pró-Reitor Michelle Denise Durieux LopesAcadêmico Simone Andréa de Castilho Design Instrucional Destri Tatiane SilvaSebastião Salésio Heerdt Moacir Heerdt Daniela Erani Monteiro Will Vinícius Maycot Serafim (Coordenadora) Nélio HerzmannChefe de Gabinete da Reitoria Onei Tadeu Dutra Carmen Maria Cipriani Pandini Produção Industrial e Carolina Hoeller da Silva BoeingFabian Martins de Castro Patrícia Alberton Suporte Patrícia Pozza Dênia Falcão de Bittencourt Raulino Jacó Brüning Arthur Emmanuel F. Silveira Flávia Lumi MatuzawaPró-Reitor Administrativo (Coordenador) Rose Clér E. Beche Karla Leonora Dahse NunesMarcus Vinícius Anátoles da Silva Francisco Asp Leandro Kingeski PachecoFerreira Tade-Ane de Amorim (Disciplinas a Distância) Ligia Maria Soufen Tumolo Projetos Corporativos Márcia LochCampus Sul Diane Dal Mago Viviane Bastos Design GráficoDiretor: Valter Alves Schmitz Neto Vanderlei Brasil Viviani PoyerDiretora adjunta: Alexandra Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (Coordenador) Núcleo de Avaliação daOrsoni Secretaria de Ensino a Aprendizagem Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Distância Márcia Loch (Coordenadora)Campus Norte Karine Augusta Zanoni Evandro Guedes Machado Cristina Klipp de OliveiraDiretor: Ailton Nazareno Soares Fernando Roberto Dias (Secretária de Ensino) Silvana Denise GuimarãesDiretora adjunta: Cibele Schuelter Zimmermann Ana Luísa Mittelztatt Higor Ghisi Luciano Ana Paula Pereira Pesquisa e DesenvolvimentoCampus UnisulVirtual Pedro Paulo Alves Teixeira Djeime Sammer Bortolotti Dênia Falcão de BittencourtDiretor: João Vianney Rafael Pessi Carla Cristina Sbardella (Coordenadora)Diretora adjunta: Jucimara Vilson Martins Filho Franciele da Silva BruchadoRoesler Grasiela Martins Núcleo de Acessibilidade Gerência de Relacionamento James Marcel Silva Ribeiro Vanessa de Andrade Manuel com o Mercado Lamuniê SouzaEquipe UnisulVirtual Walter Félix Cardoso Júnior Liana Pamplona Marcelo PereiraAdministração Logística de Encontros Marcos Alcides Medeiros JuniorRenato André Luz Presenciais Maria Isabel AragonValmir Venício Inácio Olavo Lajús Marcia Luz de Oliveira Priscilla Geovana Pagani (Coordenadora) Silvana Henrique SilvaBibliotecária Aracelli Araldi Vilmar Isaurino VidalSoraya Arruda Waltrick Graciele Marinês Lindenmayr Guilherme M. B. Pereira Secretária ExecutivaCerimonial de Formatura José Carlos Teixeira Letícia Cristina Barbosa Viviane Schalata MartinsJackson Schuelter Wiggers Kênia Alexandra Costa Hermann Priscila Santos Alves TecnologiaCoordenação dos Cursos Osmar de Oliveira Braz JúniorAdriano Sérgio da Cunha Logística de Materiais (Coordenador)Aloísio José Rodrigues Ricardo Alexandre BianchiniAna Luisa Mülbert Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Rodrigo de Barcelos MartinsAna Paula Reusing PachecoCátia Melissa S. Rodrigues Eduardo Kraus(Auxiliar)Charles Cesconetto
  3. 3. ApresentaçãoEste livro didático corresponde à disciplina Trigonometria eNúmeros Complexos.O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma,abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando umalinguagem que facilite seu estudo a distância.Por falar em distância, isso não significa que você estarásozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplinatambém será acompanhada constantemente pelo SistemaTutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentirnecessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ouEspaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipeterá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nossoprincipal objetivo.Bom estudo e sucesso!Equipe UnisulVirtual.
  4. 4. Rosana Camilo da Rosa Eliane Darela Paulo Henrique Rufino Trigonometria eNúmeros Complexos Livro didático Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes 2ª edição revista e atualizada Palhoça UnisulVirtual 2007
  5. 5. Copyright © UnisulVirtual 2007 Nenhum a partedesta publicação podeser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição. Edição - Livr Didático - o Pr essor Conteudistas of es Rosana Cam ilo da Rosa ElianeDarela Paulo HenriqueRu. no Design I ucional nstr Karla Leonora DahseNunes I 978-85-60694-32-7 SBN Pr eto Gr ico e Capa oj áf EquipeUnisulVirtual Diagr ação am Fernando Roberto Dias Zim m erm ann Revisão Or áf togr ica B2B516.24R69 Rosa, Rosana Camilo da Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 326 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-32-7 1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título. Fi catal cha ográfca el i aborada pel Bi i a bloteca U ni versi a da U ni tári sul
  6. 6. SumárioApresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
  7. 7. Palavras dos professoresEstamos apresentando os conteúdos relativos à disciplinaTrigonometria e Números Complexos. Os assuntosapresentados são de fundamental importância para suaformação profissional e são abordados de forma clarae objetiva, sempre salientando aspectos da História daMatemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógicodo Curso de Matemática Licenciatura.É indiscutível que o uso das tecnologias deve estarpresente na sala de aula, logo a formação de umprofissional com competência para desenvolver atividadesdidáticas num contexto informatizado torna-senecessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwaresmatemáticos.Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamosinseridos num contexto de Educação a Distância, e umalinguagem mais técnica poderia prejudicar o andamentodas atividades.Você terá a oportunidade de desenvolver atividades eleituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobreaspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudadoscom a utilização de recursos tecnológicos.Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho,e dizer que nossa relação didática será no ambientevirtual, mas estaremos sempre em contato para sanarsuas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia econte conosco.Profª. Eliane Darela, Msc.Prof . Paulo Henrique Rufino.Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.
  8. 8. Plano de estudoO plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimentoda disciplina. Nele, você encontrará elementos queesclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas deorganizar o seu tempo de estudos.O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtualleva em conta instrumentos que se articulam e secomplementam. Assim, a construção de competências se dásobre a articulação de metodologias e por meio das diversasformas de ação/mediação.São elementos deste processo:  o livro didático;  o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);  as atividades de avaliação (auto-avaliação, a distância e presenciais).Carga Horária60 horas – 4 créditos.EmentaArcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relaçõestrigonométricas. Equações e inequações trigonométricas.Números Complexos. Operações e representações dosnúmeros complexos. Trigonometria e os números complexos.
  9. 9. Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivo(s) Geral A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade. Específicos  Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.  Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.  Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos.  Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.  Introduzir o conceito das funções circulares.  Reduzir arco ao 1º quadrante.  Construir, ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e ferramentas tecnológicas.  Resolver equações e inequações trigonométricas.  Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas.  Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.  Compreender o conceito de números complexos.  Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss.12
  10. 10. Trigonometria e Números Complexos Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z. Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica.Conteúdo programático/objetivosOs objetivos de cada unidade definem o conjunto deconhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento dehabilidades e competências necessárias a sua formação. Nestesentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didáticodesta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.Unidades de estudo: 5Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos TriângulosNesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nostriângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenosem triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite aresolução de problemas que envolvem situações reais.Unidade 2 - Conceitos Básicos da TrigonometriaNesta unidade, são apresentados conceitos relativos àtrigonometria na circunferência. Estes conceitos sãofundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferênciatrigonométrica, o que também será abordado nesta unidade.Unidade 3 - Estudando as Funções TrigonométricasAs funções trigonométricas, também conhecidas como funçõescirculares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando aleitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursostecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representaçõesgráficas. 13
  11. 11. Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas O estudo das relações e transformações trigonométricas será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, abordando equações e inequações trigonométricas. Unidade 5 - Números Complexos Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação gráfica desse número. Agenda de atividades/ Cronograma  Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor.  Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.  Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.14
  12. 12. Trigonometria e Números ComplexosAtividadesAvaliação a DistânciaAvaliação PresencialAvaliação Final (caso necessário)Demais atividades (registro pessoal) 15
  13. 13. 1UNIDADE 1Estudando a Trigonometria nosTriângulos Objetivos de aprendizagem  Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.  Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.  Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Seções de estudo Seção 1 Introdução à Trigonometria Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
  14. 14. Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra a estrada do início ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de modo indireto. A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução de problemas que envolvem grandes distâncias como os de engenharia, navegação e astronomia. Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma importância, será abordada no desenvolvimento das atividades. SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria O que é trigonometria? Tri = três gonos = ângulos metria = medição Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.18
  15. 15. Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º).O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidadede evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já queas dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. Oastrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi Para compreender, acesseum dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, o site sugerido na seçãoa Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos ‘saiba mais’ ao final destalados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. unidade.Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu como astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.),também conhecido como o Pai da Trigonometria por terestudado e sistematizado algumas relações entre os elementosde um triângulo.A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com asmedidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição dedistâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas,torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia,na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até naMúsica. Unidade 1 19
  16. 16. Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo. Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:  Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 40 metros;  Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 60 metros;  Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 80 metros. Figura 1.1: Representação da situação problema Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três momentos considerados.20
  17. 17. Trigonometria e Números Complexos Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da alturaTemos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU BS CT DU 30 45 60Logo: AS = AT = AU → = = 50 75 100 = 0, 6 (valorconstante).Você pode observar que, em qualquer um dos triângulosretângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS,CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT eAU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente dasmedidas dos lados considerados.Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamospor sen α.Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento nahorizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista,para os três momentos considerados. Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal AB AC AD 40 60 80Temos: AS = AT = AU → = = 50 75 100 = 0, 8 (valorconstante). Unidade 1 21
  18. 18. Universidade do Sul de Santa Catarina Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e simbolizamos por cos α. Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu deslocamento na horizontal. Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal BS CT DU 30 45 60 Temos: AB = AC = AD → = = 40 60 80 = 0, 75 (valor constante). Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e simbolizamos por tg α. Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo retângulo.22
  19. 19. Trigonometria e Números ComplexosGeneralizando, tem-se: Figura 1.5: Triângulo retânguloNa figura, 1.5 tem-se:  O triângulo ABC é retângulo em A;  O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa (a);  Os lados b e c denominam-se catetos;  O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α ;  O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β. Você lembra do Teorema de Pitágoras? O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a2=b2+c2 Unidade 1 23
  20. 20. Universidade do Sul de Santa Catarina Desta forma, tem-se: cateto oposto b senβ = = hipotenusa a cateto adjacente c cos β = = hipotenusa a cateto oposto b tg β = = cateto adjacente c De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α. Que tal você rever agora alguns aspectos que caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da matemática? Retrospectiva histórica Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. Rapidamente, os membros desta sociedade passaram a ver números por toda a parte concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior essencialmente matemática.24
  21. 21. Trigonometria e Números Complexos Figura 1.6 – Pitágoras Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op- ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm. Capturado em 09/04/2006Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmaçãode que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeiravez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da maisantiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dosbabilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam tersuas origens em outras épocas bem mais remotas.O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dosirracionais, mas seu mérito máximo consiste em haveremprovocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática,que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia. Saiba mais Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.Ângulos notáveisOs ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis umavez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria.Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e datangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmofará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação aofinal da unidade. Unidade 1 25
  22. 22. Universidade do Sul de Santa Catarina Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis em uma única tabela:26
  23. 23. Trigonometria e Números ComplexosConsiderando as definições das razões trigonométricas eutilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulose segmentos, podemos construir uma tabela de valorestrigonométricos para consultar quando encontrarmos situaçõesque não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se umatabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a89º.Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricosutilizando as funções de uma calculadora científica ou softwaresmatemáticos. Você sabia... Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan. Unidade 1 27
  24. 24. Universidade do Sul de Santa Catarina Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até o presente momento. 1) Calcule o valor de x: Figura 1.7: Triângulo retângulo Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar será a tangente. cateto oposto tg 55º = cateto adjacente x tg 55º = 3 x 1, 428 = 3 x = 4, 284cm 2) Determine o valor de x: Figura 1.8: Triângulo retângulo28
  25. 25. Trigonometria e Números ComplexosAgora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é ocateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno paraencontrar a medida x. cateto opostosen 30º = hipotenusa xsen 30º = 161 x =2 162 x = 16x = 8cmm3) Encontre o valor de x: Figura 1.9: Triângulo retânguloNa figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos arazão cosseno para descobrir o valor de x. cateto adjacentecos 60º = hipotenusa 10cos 60º = x1 10 =2 xx = 20 cm Unidade 1 29
  26. 26. Universidade do Sul de Santa Catarina E então? Você sentiu dificuldade para compreender os exemplos? Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. Caso não compreenda, entre em contato com o(a) professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem). Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, observe os problemas abaixo: P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do mesmo projetada no solo, mede 2,4 m. Modelo real Modelo matemático Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1 Solução: A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que corresponde a sombra do poste.30
  27. 27. Trigonometria e Números Complexos cateto opostotg 68º = cateto adjacente xtg 68º = 2, 4 x2, 475 = 2, 4x = 5, 94 mLembre-se:A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabelatrigonométrica.Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim desemana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo poruma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitudeesta família estará?Modelo real Modelo matemático Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2Solução:Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentadano problema P2 e percebe que a solução será encontrada pormeio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a famíliase encontra, está representada por x, sendo denotada porcateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, quecorresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros. Unidade 1 31
  28. 28. Universidade do Sul de Santa Catarina cateto oposto sen 36º = hipotenusa x sen 36º = 80 x 0, 588 = 80 x = 47, 04 m Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros. P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3 Solução: A situação apresentada no problema P3 está representada na figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros. cateto oposto tg 20º = cateto adjacente x tg 20º = 50 x 0, 364 = 50 x = 18, 20 m32
  29. 29. Trigonometria e Números ComplexosNote que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros,logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 +1,50 = 19,70 metros.Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros. Você sabia... Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir ângulos horizontais e verticais. Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões necessárias para uma aplicação prática.Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...Retrospectiva HistóricaAcredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com oastrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Estegrande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever oseclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração decalendários mais precisos e maior segurança na navegação.Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre oselementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabelatrigonométrica. Unidade 1 33
  30. 30. Universidade do Sul de Santa Catarina Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes. No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido um preconceito meramente especulativo: o de que os astros descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo imperfeito e não da eterna impassividade celeste. Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo campo da matemática, a trigonometria. Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores. SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade. Você sabia... Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.34
  31. 31. Trigonometria e Números ComplexosLei dos senosUm fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte desua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocardois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagemdo fio.Para fazer este projeto é necessário saber a distância entreos postes, e a presença do rio impede a sua medição direta.Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiroposicionou-se em um local em que era possível visualizar os doispostes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre alinha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu adistância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste maispróximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º.Modelo real Modelo matemático Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciadoNote que no modelo matemático da figura 1.13, temos otriângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB éa resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamosestudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo. Teorema Em todo o triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a b c ^ = ^ = ^ sen A sen B sen C Unidade 1 35
  32. 32. Universidade do Sul de Santa Catarina Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14: Figura 1.14: Lei dos senos Agora observe a resolução do problema! 100 d = sen 45º sen120º 100 d = 2 3 2 2 d 2 100 3 = 2 2 100 3 d= 2 100 3 2 d= . 2 2 100 6 d= 4 100 6 d= 2 d = 50 6 d = 122, 47 m Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 122,47 metros. Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.36
  33. 33. Trigonometria e Números ComplexosExistem três casos a considerar:  O triângulo ABC é retângulo;  O triângulo ABC é obtusângulo;  O triângulo ABC é acutângulo.Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Osoutros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura1.15: Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstraçãoSejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e ACrespectivamente.No triângulo retângulo AH1C, temos que ^ h1 ^sen C = ⇒ h1 = b.sen C . [1] bNo triângulo retângulo AH1B, temos que ^ h1 ^sen B = ⇒ h1 = c.sen B . [2] cComparando [1] e [2], temos: ^ ^ b cb.sen C = c.sen B ⇒ ^ = ^ [A] sen B sen C Unidade 1 37
  34. 34. Universidade do Sul de Santa Catarina No triângulo retângulo BH2C, temos que ^ h2 ^ sen C = ⇒ h2 = a.sen C . [3] a No triângulo retângulo AH2B, temos que ^ h2 ^ sen A = ⇒ h2 = c.sen A . [4] c Comparando [3] e [4], temos: ^ ^ a c a.sen C = c.sen A ⇒ ^ = ^ [B] sen A sen C De [A] e [B] podemos concluir que: a b c ^ = ^ = ^ sen A sen B sen C Lei dos cossenos Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir qual a extensão da ponte. Modelo real Modelo matemático Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.38
  35. 35. Trigonometria e Números ComplexosPerceba agora que, no modelo matemático temos o triânguloABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir amedida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação dalei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz oteorema: Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto àquele lado, ou seja: ^ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A ^ b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B ^ c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C Figura 1.17: lei do cossenosVoltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo nafigura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamosencontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos:AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2. AC.BC.cos 120ºd 2 = 302 + 502 − 2.30.50.(−0, 5)d 2 = 900 + 2500 + 1500d 2 = 4900d = 4900d = 70mResposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei. Unidade 1 39
  36. 36. Universidade do Sul de Santa Catarina Existem três casos a considerar:  O triângulo ABC é retângulo;  O triângulo ABC é obtusângulo;  O triângulo ABC é acutângulo. Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde,  é reto e  é obtuso respectivamente. Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.18: Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração Demonstração: O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB. Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos de acordo com a figura 1.19.40
  37. 37. Trigonometria e Números Complexos Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos,temos:b2 = m2 + h2 a 2 = h2 +(c-m)2h2 = b2 - m2 [1] a 2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]Substituindo [1] em [2], temos:a 2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2a 2 = b2 + c2 -2.c.m [3] ^ ^ mNote no triângulo A H C que temos: cos A = bLogo m = b.cos [4]Substituindo [4] em [3], temos:a 2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂDe forma análoga, você demonstra que: ^b2 = a 2 + c2 -2.a.c. cos B . ^c2 = a 2 + b2 -2.a.b. cos C . Unidade 1 41
  38. 38. Universidade do Sul de Santa Catarina Retrospectiva Histórica Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante para o avanço do estudo da trigonometria. A forma atual da expressão do teorema dos cossenos foi estabelecida por ele. Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg. Capturado em 16/04/06. Utilizando recursos tecnológicos na trigonometriaVocê poderá encontrar o softwareacessando o site: O uso de softwares no ensino é importante. No ensino dahttp://www.unifra.br/cursos/ trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeitodownloads.asp?curs=25&grad=M à visualização de vários conceitos explorados no triânguloatem%C3%A1tica&endereco=ma retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamostematica o software Thales. Síntese Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter observado que os conteúdos abordados são muito úteis para calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os42
  39. 39. Trigonometria e Números Complexosexercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidascom o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próximaunidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência.Atividades de auto-avaliação1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:a) Unidade 1 43
  40. 40. Universidade do Sul de Santa Catarina b) 4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas: 5) Observando a seguinte figura, determine: a) O valor de a;44
  41. 41. Trigonometria e Números Complexosb) O valor de b;c) A medida do segmento AD.6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC. Unidade 1 45
  42. 42. Universidade do Sul de Santa Catarina 8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio. 9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore? 10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C? 11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo. 12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm .46
  43. 43. Trigonometria e Números Complexos13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; med( )=60º e med( )=75º.14) Determine o valor de x na figura abaixo:15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo? Unidade 1 47
  44. 44. Universidade do Sul de Santa Catarina 17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo. 18) Prove a lei dos cossenos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. 19) Prove a lei dos senos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. Desafios na Trigonometria 1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?48
  45. 45. Trigonometria e Números Complexos2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?Saiba maisComo você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenasa estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida emvários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia,Mecânica, etc.Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde vocêverá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Luae também a aplicação da trigonometria na construção de umtúnel. Unidade 1 49
  46. 46. 2UNIDADE 2Conceitos Básicos daTrigonometria Objetivos de aprendizagem  Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.  Calcular a primeira determinação positiva de arcos maiores que 360º.  Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 0º a 360º.  Reduzir arco ao 1º quadrante. Seções de estudo Seção 1 Arcos e Ângulos Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Seção 4 Simetrias Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante
  47. 47. Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente, na circunferência trigonométrica, também conhecida como circunferência unitária. Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir, serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada, trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da Matemática. SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos Considere a circunferência na figura 2.1. Figura 2.1: Arco de circunferência Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de circunferência.52
  48. 48. Trigonometria e Números ComplexosTemos:  O arco , em que o ponto A é a origem e B é a extremidade do arco;  o arco , em que o ponto B é a origem e A é a extremidade do arco. Você sabia...  Arco nulo é o ponto;  Arco de uma volta é a circunferência.Ângulo CentralÂngulo central é o ângulo cujo vértice é o centro dacircunferência.Observe a figura 2.2: Figura 2.2: Ângulo CentralA medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α. Unidade 2 53
  49. 49. Universidade do Sul de Santa Catarina Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Observe a figura 2.3: Figura 2.3: Arcos de circunferência Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem comprimentos diferentes, m e n respectivamente. Unidades de medida de arcos e ângulos Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.  Grau Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes iguais. O grau é uma dessas 360 partes: 1 1º = da circunferência. 36054
  50. 50. Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. 11`= do grau. 60 11``= do minuto. 60RadianoRadiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio dacircunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura2.4: Figura 2.4: RadianoNote que, esticando o arco , a medida do segmento obtidoserá igual à do raio. Unidade 2 55
  51. 51. Universidade do Sul de Santa Catarina Relação entre grau e radiano Lembre-se que o comprimento de uma circunferência é calculado pela fórmula C = 2 π r , onde r é o raio da circunferência. Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a seguinte relação: 360º → 2π rad ou 180º → π rad É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três unidades: Desenho Grau 90 180 270 360 Grado 100 200 300 400 Radiano π/2 π 3π/2 2π Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o radiano: 1) Vamos converter 300º em radianos. 180 → π rad 300 → x 180 π rad = 300 x 18 π rad = 30 x 3 π rad = 5 x 3 x = 5π rad 5π x= rad 356
  52. 52. Trigonometria e Números ComplexosNote que você deverá usar a simplificação até transformar afração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na formade fração e não em forma decimal. 3π2) Transforme rad em graus. 4Como já se viu que π rad → 180º, tem-se:3π 3.180 540 rad = = = 135 4 4 43) Vamos transformar 15º 30’ em radianos.Primeiro, transforma-se 15º 30’ em minutos:1º = 60’15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’Agora, transforma-se 180º também em minutos:180º = 180.60’ = 10800’Então, tem-se:10800 → π rad930 → x10800 π rad = 930 x1080 π rad = 93 x360 π rad = 31 x360 x = 31π rad 31πx= rad 360 Unidade 2 57
  53. 53. Universidade do Sul de Santa Catarina Tudo com você! Vá até a página de auto-avaliação e resolva as atividades referentes a este assunto. Comprimento de arco de circunferência Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não representa o seu comprimento, pois este depende do raio da circunferência em que esteja contido. Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um arco  2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 7cm de raio. Então, tem-se: Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco de comprimento  , pode-se estabelecer: Comprimento do arco Medida do arco r _________________________ 1 rad  _________________________ α rad que fornece a relação  =α . r Essa relação permite calcular o comprimento de um arco de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente, medido em radianos.58
  54. 54. Trigonometria e Números ComplexosAcompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento dearco de circunferência.1) Considere a circunferência representada na figura 2.5: Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferênciaDetermine, em cm, o comprimento  do arco , sabendo queα =3 rad.Resolução: =α.r =3.6 =18 cm2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m deraio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros? = α .r4,5 = α .3 4 ,5α= 3α = 1,5 rad3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm,executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6.Determine o comprimento do arco descrito pela extremidadedo pêndulo. Use π=3,14. Unidade 2 59
  55. 55. Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.6: Pêndulo Resolução: O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm. O ângulo α =2.35º = 70º. Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível utilizar a medida em graus. 180º → π rad 70º → x 180º π rad = 70º x 18 π rad = 7 x 18 x = 7π rad 7π x= rad 18 Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .  =α.r 7π = .25 18 175 π = 18 175.3,14 = 18  = 30 ,53 cm60
  56. 56. Trigonometria e Números Complexos Verifique se você realmente compreendeu esta seção, resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação. Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu dificuldade em resolver os exercícios, procure sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção novamente.SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométricaQuando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesmacircunferência que conhecemos, só que com característicasespecíficas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raiounitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Eleé orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe afigura 2.7: Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico  O centro da circunferência é O(0,0).  O raio da circunferência é unitário, r = 1.  O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são medidos a partir de A.  O sistema de coordenadas cartesianas divide a circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.  Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra sua extremidade. Unidade 2 61
  57. 57. Universidade do Sul de Santa Catarina Veja alguns exemplos: 1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas são: a) 130º Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. b) -120º Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.62
  58. 58. Trigonometria e Números Complexos 5πc))c rad 3Neste exemplo, você observa que o arco de 5π rad partiu 3do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4ºquadrante, logo, ele pertence a este quadrante.Arcos CôngruosObserve as circunferências representadas na figura 2.8: Figura 2.8: Arcos CôngruosVocê pode observar que o arco permanece com a mesmaextremidade, independentemente do número de voltas completasna circunferência.Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como: Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, apenas, pelo número de voltas completas na circunferência. Unidade 2 63
  59. 59. Universidade do Sul de Santa Catarina Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º. Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta descrevermos voltas completas na circunferência. Dessa forma, podemos escrever:  60º = 60º + 0.360º  420º = 60º + 1.360º  780º = 60º + 2.360º Assim: Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α + k. 360º, k ∈ Z Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α +2kπ, k ∈ Z É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á infinitos arcos côngruos com medidas negativas.64
  60. 60. Trigonometria e Números Complexos Faça a mesma representação gráfica 2.9 para este caso. É uma boa forma de verificar se você compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estarassociados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, deprimeira determinação positiva de um arco, a medida α do arcocôngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad.Acompanhe alguns exemplos:1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressãogeral dos arcos côngruos a 1240º.Solução:Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltascompletas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e asua primeira determinação positiva.Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa onúmero de voltas completas.A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será:β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressãogeral dos arcos côngruos a -1352º.Solução:Daí, -272º + 360º = 88º. Unidade 2 65
  61. 61. Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º. A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será: β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z 3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 11π geral dos arcos côngruos a rad . 3 Solução: Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado desmembrando-o de forma conveniente: Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é necessário pensar em um número que seja imediatamente menor que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em um número par. 5π 11π Logo, rad é a primeira determinação positiva de rad . 3 3 11π A expressão geral dos arcos côngruos a rad será: 3 5π β= + 2kπ ,, k ∈ Z. 366
  62. 62. Trigonometria e Números Complexos4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadranteonde está a extremidade dos seguintes arcos:a) 1720ºSolução:Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o númeroapresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arcode 280º, que é côngruo ao arco de 1720º.Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessaforma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois270º < 280º < 360º.b) 19π 4Solução:Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação 3πpositiva do arco, que é rad . 4 19πComo você percebe, este arco é côngruo a rad e, portanto,ambos possuem a mesma extremidade. 4 19πLogo, o arco de rad está é no 2º quadrante. 4 3πPara entender melhor, note que rad é equivalente a 135º. 4 Unidade 2 67
  63. 63. Universidade do Sul de Santa Catarina Você sabia... Normalmente, as pessoas justificam que o raio da circunferência é r=1, porque nas definições dadas para tangente e secante, bem como nas definições de seno e cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador. Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante. Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento do raio como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante convencionar r=1. (Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo, Ática, 2004) SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos π apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0 < α < . 2 Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou π ângulos maiores que rad, algo impensável quando se trabalhava 2 com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!! Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Considere a figura 2.10:68
  64. 64. Trigonometria e Números Complexos Figura 2.10: Seno e Cosseno na CircunferênciaEntão:  Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, ou seja: senx=OM”;  Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M, ou seja: cosx=OM’.Veja por que: Figura 2.11: Seno e Cosseno Unidade 2 69
  65. 65. Universidade do Sul de Santa Catarina Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas na unidade 1. Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para melhor visualização. Observe a figura 2.12: Figura 2.12: Triângulo Retângulo Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se: cateto oposto cateto adjacente sen x = cos x = hipotenusa hipotenusa MM OM sen x = cos x = OM OM MM OM sen x = cos x = 1 1 sen x = MM cos x = OM sen x = OM Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”. Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a ordenada do ponto que representa a extremidade deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto. Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de ângulos negativos.70
  66. 66. Trigonometria e Números ComplexosNa unidade 1, você viu que alguns ângulos são consideradosnotáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas, π π πsão eles: 30º ou rad, 45º ou rad e 60º ou rad. Observe a 6 4 3representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles: π 1 sen = 6 2 π 3 cos = 6 2 π 2 sen = 4 2 π 2 cos = 4 2 π 3 sen = 3 2 π 1 cos = 3 2Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser πconsiderados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou rad, 180º ou π rad, 2 3π270º ou rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um 2deles, representa o seno e o cosseno. Observe: Unidade 2 71
  67. 67. Universidade do Sul de Santa Catarina72
  68. 68. Trigonometria e Números ComplexosVeja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno ecosseno representados geometricamente.Tabela 2.1: Valores Notáveis π π π π 3π x (30º) 0 (45º) (60º) (90º) π (180º) (270º) 2π (360º) 6 4 3 2 2 1 2 3 senx 0 1 0 -1 0 2 2 2 3 2 1 cosx 1 0 -1 0 1 2 2 2 Você sabia... Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no século XVII como sendo o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos ecossenos de arcos maiores que 360º. Unidade 2 73

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