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Ap mat universitaria

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Ap mat universitaria

  1. 1. Introdu¸˜o ` Matem´tica ca a a Universit´ria a 1Jos´ St´lio Rodrigues dos Santos e a Tarcisio Praciano-Pereira Universidade Estadual Vale do Acara´ u Sobral - Ce 16 de mar¸o de 2009 c C=YX Y X 1 0 X −Y Y C=XY 1 Dep de Computa¸˜o - tarcisio@member.ams.org ca 01
  2. 2. Rodrigues dos Santos, Jos´ St´lio e a MSc em Matem´tica a Praciano-Pereira, Tarcisio PhD em Matem´tica a Introdu¸˜o ca ` Matem´tica Universit´ria a a a Sobral, 2003 Textos para o Ensino Publica¸˜es do coLaborat´rio de Matem´tica Computacional o a Universidade Estadual do Vale do Acara´ u
  3. 3. Copyleft Laborat´rio de Matem´tica Computacional o a Este livro pode ser livremente copiado para uso individual e n˜o comercial, desde aque seja feita c´pia de capa a capa sendo preservada a descri¸˜o do copyleft N˜o fazer o ca aassim representa um crime contra os direitos autorais. Para distribuir comercialmentecontactar tarcisio@member.ams.org. Rodrigues dos Santos, Jos´ St´lio e a Praciano-Pereira, Tarcisio P496c Introdu¸ao a Matem´tica Universit´ria c˜ ` a a Sobral: Laborat´rio de Matematica Computaciaonal - 2009 o 301p Bibliografia ISBN: 1 - An´lise Combinat´ria - a o 2 - Rela¸oes e Fun¸oes c˜ c˜ 3 - N´ meros - 4 - Polinˆmios. u o I. T´ ıtulo CDD 517.... Capa: Tarcisio Praciano-Pereira
  4. 4. Sum´rio a Introdu¸˜o ................................... ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Teoria dos Conjuntos. 7 1.1 O conceito de conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Conjunto e estrutura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 elemento, subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 opera¸˜es . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 uni˜o, interse¸˜o . . . . . a ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 diferen¸ a . . . . . . . . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Estrutura alg´brica nos conjuntos e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 An´lise Combinat´ria Simples. a o 31 2.1 An´ lise Combinat´ria . . . . . . a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 combina¸˜es . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Parti¸˜es de um conjunto. co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 O binˆmio de Newton. . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.1 repeti¸˜o . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2 Arranjos simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.3 Permuta¸˜es. . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 n(A ∪ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6 n(A x B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Rela¸˜es e Fun¸˜es. co co 67 3.1 Rela¸˜es. . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 Rela¸˜es de ordem. . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2 equivalˆ ncia . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 fun¸˜o . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 fun¸˜o . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.2 sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.3 bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4 Fun¸˜es polinomiais . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.1 A fun¸˜o linear afim ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3
  5. 5. 4 Conjuntos num´ricos fundamentais. e 93 4.1 os naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.1 ´lgebra N . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.2 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2 Os n´meros inteiros. . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1 A defini¸˜o de Z. . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.2 adi¸˜o em Z . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.3 produto em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.4 ordem em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.5 demonstra¸˜es . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.1 incompletitude, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.2 ´ lgebra dos racionais . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3.3 compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.4 demonstra¸˜es . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.5 equivalˆncia . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.6 m.m.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.4 interpreta¸˜o geom´trica . . . . . . . ca e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.1 A reta e os racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.2 os irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4.3 racionais na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5 programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235 Constru¸˜o geometrica de R. ca 127 5.1 os reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2 ´lgebra na reta . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.1 A adi¸˜o em R. . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.2 A multiplica¸˜o em R. ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2.3 corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396 Fun¸˜es Especiais co 141 6.1 fun¸˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 Progress˜o aritm´tica . . . . . . . . . . . a e . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2.1 Nota¸˜o e exemplos . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.2 Soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3 Gr´ficos das fun¸˜es lineares . . . . . . . . a co . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.1 Coeficiente angular de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3.2 Retas e suas equa¸˜es . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4 Equa¸˜o da reta que n˜o passa na origem ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 156 o 6.5 Equa¸˜o do 1 Grau . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.6 Discuss˜o da equa¸˜o do 1o Grau . . . . . a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.1 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.7 Sistema de Equa¸˜es do 1o Grau . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.7.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7.2 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8 Problemas do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.1 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.8.2 Solu¸˜o de alguns exerc´ ca ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.9 Progress˜es geom´tricas . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.10 Fun¸˜o quadr´tica . . . . . . . . . . . . . ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 175
  6. 6. 6.10.1 A fun¸˜o padr˜o y = f (x) = x2 . . ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.11 O gr´fico de uma fun¸˜o do segundo grau a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.11.1 A forma padr˜o x → (x − a)(x − b) a . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.12 Equa¸˜o do 2o grau . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.12.1 Exerc´ ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.12.2 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.12.3 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.12.4 Exerc´ ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.12.5 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.13 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.13.1 A hist´ria . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.13.2 Constru¸˜o de um logaritmo . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.13.3 Construindo outro logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.13.4 Os logaritmos decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.13.5 A base de um logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.14 Gr´fico de uma fun¸˜o logaritmica . . . . a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.15 Fun¸˜o inversa de uma fun¸˜o logaritmica ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.15.1 Troca de base do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.16 Fun¸˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 2297 N´meros Complexos u 245 7.1 incompletitude, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.1.1 n´ meros complexos . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . 246 7.1.2 A representa¸˜o geom´trica dos complexos . ca e . . . . . . . . . . . 248 7.2 N´meros complexos: extens˜o dos reais . . . . . . u a . . . . . . . . . . . 251 7.3 M´dulo, argumento e conjugado . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 256 7.4 Intepreta¸˜o geom´trica do produto . . . . . . . . ca e . . . . . . . . . . . 256 7.5 Raizes de um n´mero complexo . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . 2608 O anel dos polinˆmios. o 267 8.1 n´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . 268 8.2 polinˆ mio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 270 8.3 estrutura alg´ brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 272 8.3.1 sobre os exerc´ cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . . . 274 8.4 estrutura dos polinˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 280 8.5 divis˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 282 8.5.1 resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Bibliografia ............................................................................... 287 ´Indice remis-sivo alfab´tico.........287 e
  7. 7. Lista de Figuras 1.1 O conjunto universo e tres subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Um grafo com 6 n´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 13 1.3 A uni˜o de trˆs conjuntos. . . . . . . a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 A interse¸˜o de dois conjuntos . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 A interse¸˜o de duas retas . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 A diferen¸a entre os conjuntos A e B . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 ´ Arvore de possibilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 A ∪ B∪C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3 n(A ∪ B ∪ C ∪ D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1 Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Histograma dos enfermeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3 Evolu¸o do pre¸o do dolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c 76 3.4 gr´fico de f (x) = x dom´ a ınio A = {−10, −9, −8, ..., 10}. . . . . . . . . . . . 77 3.5 Gr´fico de f (x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 78 3.6 gr´fico de f (x) = x + 1 dom´ a ınio A = {−5, −9, −8, ..., 5}. . . . . . . . . . . . 79 3.7 f (x) = x2 esta fun¸ao n˜o ´ sobrejetiva se dom´ c˜ a e ınio A = {−5, −4, −3, ..., 5}; contra-dom´ınio = {−25, −24, . . . , 24, 24}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.8 diferen¸ a, fun¸˜o linear afim . . . . . . . . . . . . . . . c ca . . . . . . . . 85 3.9 a tangente do angulo α ´ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ e . . . . . . . . 86 3.10 Os pontos em que uma fun¸ao linear afim corta os eixos. . . c˜ . . . . . . . . 87 3.11 A fun¸ao linear y = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . . 89 4.1 Fra¸oes equivalentes com denominadores diferentes 4 = 2 . . c˜ 1 8 . . . . . . . . 105 4.2 Racionais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 entre dois racionais sempre h´ outro... . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . 118 4.4 O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6 Raizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1 A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados . . . . . . . . . 130 5.2 Figuras semelhantes obtidas com um pant´grafo . . . . . . . . o . . . . . . 131 5.3 Soma de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4 Adi¸ao e diferen¸a dos vetores a, b. . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c . . . . . . 133 7
  8. 8. 5.5 Multiplica¸ao, m´dulo em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 1345.6 Adi¸ao, m´dulo, desigualdade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 1355.7 A multiplica¸ao geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 1375.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.1 A soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2 ´ Area do trap´sio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 1496.3 Coeficiente angular da reta e a raz˜o da P.A. . . . . . . . . . . . . . . . a . 1516.4 V´rias reta, seus angulos, sentido dos angulos . . . . . . . . . . . . . . . a ˆ ˆ . 1526.5 Um par de n´ meros representa um ponto no plano . . . . . . . . . . . . u . 1536.6 Equa¸ao de reta que passa na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . 1546.7 duas retas paralelas, uma delas passa na origem . . . . . . . . . . . . . . 1566.8 Discuss˜o geom´trica, sistema de equa¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . a e c˜ . 1636.9 O produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.10 Alguns pontos do gr´fico x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 2386.11 Um gr´fico com mais densidade x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 2396.12 Gr´fico de x → x2 com alta densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 2406.13 Uma par´bola e sua transla¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a c˜ . 2406.14 duas transla¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . 2416.15 Homotetias da par´bola padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . 241 1 16.16 logaritmos base a; a ∈ { 5 , 2 , 2, e, 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.17 Primeira vers˜o do gr´fico do logaritmo - base maior do que 1 . . . . . . a a . 2426.18 Gr´fico do y = log2 (x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados. a . 2437.1 Representa¸ao geom´trica dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 2477.2 Produto de n´ meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 2487.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.4 Propriedades dos n´ meros complexos u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.5 Conjugado de um n´ mero complexo . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.6 A proje¸ao de a + bi sobre S1 . c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.7 ızes da unidade . . . . . . . . . As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.8 ızes quartas da unidade . . . . . . Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.9 ızes terceiras de 2 . . . . . . . As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.10 ızes quintas de 7 . . . . . . . . . Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.11 ızes c´ bicas de 3 + 4i . . . . . . . Ra´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.1 R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
  9. 9. Introdu¸˜o. ca Como usar este livro. Este livro tem oito cap´ ıtulos que devem ser lidos em sequˆncia porque todo cap´ e ıtulo depende do anterior. Dentro dos cap´ ıtulos h´ se¸˜es em que eles s˜o divididos e n´s a co a oqueremos chamar sua aten¸˜o que o texto ´ completado com coment´rios: observa¸˜es ca e a coe as notas de rodap´. e Os coment´rios, o texto te´rico, s˜o de nossa considera¸˜o o material mais impor- a o a catante do livro, mas nem sempre o mais f´cil. Sugerimos que vocˆ inicialmente dˆ-lhes a e emenos importˆncia e se concentre nos exerc´ a ıcios. Talvez vocˆ deva ler as observa¸˜es na ordem em que elas aparecerem, mas com e cobaixa prioridade, numa primeira leitura. Para lhe permitir uma busca mais acuradade informa¸˜es, o livro tem um ´ co ındice remissivo alfab´tico, ao final, em que todos eos conceitos que surgem nas observa¸˜es se encontram indexados para que facilmente covocˆ retorne a eles quando achar necess´rio. e a Os exerc´ cios foram escritos para serem feitos com aux´ de uma teoria m´ ı ılio ınima.A pr´pria teoria deve ser surgir dos exerc´ o ıcios. Mas n˜o desprese totalmente a teoria, nela h´ dicas de como se aprofundar na a asolu¸˜o dos exerc´ ca ıcios. Em suma, quase todos os exerc´ ıcios podem ser resolvidos emmais de um n´ vel, e vocˆ deve resolvˆ-los no n´ ı e e ıvel em que puder, e depois tentaraprofundar a solu¸˜o. ca Usamos uma conven¸˜o tipogr´fica no livro, texto em it´lico representa material ca a aque vocˆ deve olhar com cuidado, possivelmente n˜o est´ definido ainda e estamos e a ausando a concep¸˜o intuitiva do termo. Quando usarmos texto tipogr´fico estare- ca amos fazendo referˆncia a um termo t´cnico, j´ definido anteriormente ou considerado e e abem conhecido como tal. Quando usarmos letra pequena estamos lhe querendo dizerque o assunto ´ polˆmico e que h´ muito mais coisa para ser dito do que estamos con- e e aseguindo dizer naquele momento. Usamos texto sublinhado para chamar sua aten¸˜o cade um detalhe que poderia passar desapercebido, tem o mesmo sentido texto emnegrito. Queremos agradecer ˚ acomunidade de programa¸˜o livre e aberta sem a qual este calivro nunca teria sido escrito porque depende de programas de dom´ ınio p´blico para usua edi¸˜o, de programas de dom´ ca ınio p´blico para confec¸˜o de gr´ficos e simula¸˜o u ca a cacomputacional. Com o mesmo espirito este livro ´ colocado como copyleft uma evariante da GPL - Gnu Public Licence. Uma c´pia da GPL pode ser encontrado em owww.debian.org. Quer dizer que vocˆ pode copiar este livro para seu uso pessoal sem epagar nada ao autor. Claro, se vocˆ, quiser comercializar o livro ent˜o um contrato e acom o autor, neste sentido, se torna obrigat´rio. o Os leitores s˜o encorajados a entrar em contacto com o autores, por e-mail, atarcisiomember.ams.org, para qualquer assunto ligado a este livro.
  10. 10. Cap´ ıtulo 1Teoria dos Conjuntos.Na d´cada de 60 se iniciou uma renova¸ao de linguagem em matem´tica colocando o conceito e c˜ ade conjunto como m´dulo central de toda a constru¸ao matem´tica. o c˜ aA raz˜o bem simples para isto se encontra nos seguintes fatos: a 1. As opera¸oes fundamentais com conjuntos servem de modelo concreto para as c˜ opera¸oes fundamentais da l´gica. Em suma, estudar Teoria dos Conjuntos equivale c˜ o a estudar uma realiza¸˜o do modelo da l´gica formal. ca o 2. Todas as estruturas matem´ticas tem como objeto inicial uma fam´ de conjuntos a a ılia ` qual se associam rela¸oes t´ c˜ ıpicas da estrutura. Existem algumas exce¸oes a esta regra, c˜ teoria dos grafos por exemplo, mas se tratam de autˆnticas exce¸oes confirmando a e c˜ regra geral . . .Quer dizer que, estudando conjuntos estamos desenvolvendo a ferramenta b´sica para pro- aduzir matem´tica, a l´gica formal, e estamos tamb´m produzindo os blocos b´sicos desta a o e aconstru¸ao. c˜1.1 O conceito de conjunto.A grande dificuldade de se iniciar qualquer conversa¸˜o ou explana¸˜o te´rica reside ca ca ona defini¸˜o das id´ias b´sicas, nas conven¸˜es iniciais que v˜o servir de alicerce para ca e a co ao resto da constru¸˜o. No in´ do s´culo 20 este sentimento se concretizou vindo das ca ıcio edificuldades sentidas pelos nossos predecessores no s´culo 19 e se criou o conceito de eno¸˜es b´sicas que, junto com os postulados formariam, o background da teoria e seria co aaceitas sem discuss˜o, a menos que outra teoria seja desejada. a Conjunto ´, para a Teoria dos Conjuntos, esta no¸˜o primeira. Os que nos prece- e caderam no in´ ıcio do s´culo 20 e escreveram sobre esta teoria, ficaram circulando entre epalavras como agregado, lista ou conjunto, tentando com uma, justificar a outra. De-pois de algum tempo a frase “conjunto ´ uma id´ia b´sica, que n˜o iremos definir”, e e a acome¸ou a prevalecer nos textos. c N˜o definiremos conjunto como ningu´m definiu para vocˆ as primeiras palavras a e eda lingua que vocˆ fala. Diziam-lhe, no come¸o, que um determinado objeto era e cuma cadeira e que outro era uma mesa sem lhe apresentar nenhuma l´gica porque ouma cadeira n˜o seria uma mesa, ou vice-versa. Somente depois, quando vocˆ j´ havia a e aadquirido algum vocabul´rio b´sico ´ que lhe foi dado o direito de fazer perguntas. Para a a en˜o agir de forma t˜o autorit´ria, daremos alguns exemplos de conjuntos, escreveremos a a aalgumas frases iniciais de forma semelhante ao modo como vocˆ aprendeu a falar... e 11
  11. 11. Escrevemos: {a, e, i, o, u} ´ um conjunto, e “a” ´ um elemento deste conjunto, e e, i, o, u tamb´m o s˜o. e a Temos uma simbologia para resumir a frase “a ´ um elemento do conjunto {a, e, i, o, u}”. e • Inicialmente damos um nome ao conjunto {a, e, i, o, u} escrevendo: A = {a, e, i, o, u}. • Depois diremos a ∈ A, em que o s´ ımbolo “∈” lˆ-se “pertence”. e • Ent˜o as frases a ∈ A, e ∈ A, i ∈ A s˜o senten¸as verdadeiras. Da mesma forma a a c as senten¸as: c b ∈ A, c ∈ A s˜o falsas e a nega¸˜o delas ´ a ca e b ∈ A, c ∈ A. / / ımbolo ∈ lˆ-se ”n˜o pertence”. em que o s´ / e aObserva¸˜o 1 Sintaxe e linguagem ca N˜o fizemos nenhuma tentativa de definir os s´ a ımbolos ∈, ∈ . / Tudo que fizemos foi escrever frases para lhe mostrar qual era a sintaxe do uso destaspalavras. Estamos construindo uma linguagem e o m´todo se assemelha `quele usado no e aaprendizado da lingua materna: em lugar de explicar como s˜o as coisas, damos exem- aplos mostrando como as coisas funcionam. As linguagens, sejam elas naturais oulinguagens de computador tˆm uma semelhan¸a que ´ preciso salientar: e c e • nomes H´ s´ a ımbolos chamados nomes, os substantivos, que guardam o significado de objetos com os quais fazemos algumas ou que fazem algumas coisas. Alguns destes s´ ımbolos s˜o chamados vari´veis; a a A ´ um nome que guarda o valor {a, e, i, o, u}. A ´ uma vari´vel. e e a Outros s´ımbolos tem um uso mais est´vel, o valor deles ´ imut´vel, e eles s˜o a e a a chamados identificadores. cadeira ´ um exemplo de identificador da linguagem brasileira, coisa ´ um e e exemplo de vari´vel da linguagem brasileira; a • predicativos H´ palavras que representam a a¸ao ou a qualifica¸ao a ser a c~ c~ exercida sobre as vari´veis, verbos ou conjuntos de palavras, chamados predica- a tivos; ∈, ∈ / s˜o predicativos; a • controle do fluxo l´gico H´ palavras que representam a conex˜o l´gica ou o o a a o controle l´gico, enfim a decis˜o nas bifurca¸˜es, o a co se, ent˜o, a controlam o fluxo l´gico da linguagem, s˜o pontos de decis˜o do discurso; o a a
  12. 12. • operadores l´gicos A l´gica (e consequentemente a teoria dos conjuntos) tem o o operadores que transformam proposi¸˜es em outras proposi¸˜es, co co e, ou, ⇒, n˜o a s˜o operadores l´gicos. a o e, ou, ⇒ s˜o operadores bin´rios, quer dizer que recebem dois parˆmetros para modificar a a a criando um terceiro. n˜o a ´ um operador un´rio, quer dizer, recebe um unico parˆmetro para modificar. e a ´ a A Matem´tica, como as linguagens de computador, tem estas caracter´ a ısticas. Oque difere a Matem´tica ou uma linguagem de computador das linguagens naturais ´ a ea ausˆncia de aspectos subjetivos, presentes nas linguagens naturais, que tornam os esubstantivos multi-valuados. Se espera que a Matem´tca ou as linguagens de computa- ador n˜o tenham semˆntica, portanto n˜o tenham ambigu¨ a a a ıdades... mas existe tamb´m eInteligˆncia Artificial, que ´ computa¸˜o e admite ambigu¨ e e ca ıdades. Agora vem a primeira defini¸˜o. Nela vamos tomar alguns elementos b´sicos e lhes ca aaplicar operadores l´gicos produzindo um novo elemento, ou conceito. oDefini¸˜o 1 Subconjunto ca Dado um conjunto A diremos que um outro conjunto B ´ um subconjunto do eprimeiro, em s´ ımbolos B⊂Ase a frase seguinte for verdadeira x ∈ B ⇒ x ∈ A. Para demonstrar que um determinado conjunto ´ subconjunto de outro, temos que everificar, exaustivamente, a frase x∈B⇒x∈Apara todos os elementos de B ou apresentar uma dedu¸˜o l´gica desta frase. ca o Por exemplo, o conjunto V = {a, e, i, o, u}´ um subconjunto dee A = {a, b, c, d, e, f, ..., z} V = {a, e, i, o, u} ⊂ {a, b, c, d, ..., z} = A.porque Dem : V ´ um conjunto de vogais e (1.1) A ´ o conjunto de todas as letras e (1.2) x ∈ V ⇒ x ´ uma letra ⇒ x ∈ A e (1.3) x∈V ⇒x∈A≡V ⊂A (1.4)q.e.d .
  13. 13. Na demonstra¸˜o acima fizemos uma dedu¸˜o l´gica da inclus˜o sem necessitar ca ca o ade fazer uma verifica¸˜o exaustiva, elemento por elemento, de que os elementos de V catamb´m eram elementos de A. Vamos apresentar outro demonstra¸˜o em que, exaus- e cativamente, iremos testar a verdade V ⊂ A. Dem : a∈V ea∈A (1.5) e∈V ee∈A (1.6) i∈V ei∈A (1.7) o∈V eo∈A (1.8) u∈V eu∈A (1.9)q.e.d . Observe que um pouco mais acima haviamos escrito A = {a, e, i, o, u}e agora usamos V = {a, e, i, o, u}. N˜o h´ nenhum erro nisto, mas obviamente devemos a aevitar de usar t˜o seguidamente “valores” diferentes1 para uma vari´vel. a aExerc´ ıcios 1 Sintaxe e l´gica o 1. nome, predicado, controle l´gico do fluxo, opera¸˜o o ca Identifique nas frases abaixo o que ´ nome, predicado, controle de fluxo e (a) x ∈ A (b) A e B (c) A ou B (d) Se x ∈ A ent˜o x ∈ B a (e) Enquanto x ∈ A escreva x (f ) x ∈ A ⇒ x ∈ B 2. Mostre que V = {0, 2, 4, 6, 8} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = A usando uma dedu¸˜o ca l´gica, (isto ´), sem verificar a veracidade de cada uma das poss´ o e ıveis rela¸˜es co x ∈ V ⇒ x ∈ A. Solu¸˜o: Como A ´ o conjunto de todos as n´meros menores que ca e u 10, ent˜o para qualquer que seja x ∈ V , como x ´ n´mero par menor do que 10 ent˜o a e u a x ∈ A isto ´ e x ∈ V ⇒ x ∈ A ⇐⇒ V ⊂ A 3. Apresente os elementos dos conjuntos definidos por (a) {x ∈ N; x < 10} (b) {x ∈ N; x > 10} (c) {x ∈ N; 3 < x < 10} (d) {x ∈ N; 3 ≤ x < 10} (e) {x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 10} (f ) {x ∈ N; x < 0} (g) {x ∈ N; x ´ par} e (h) {x ∈ N; x ´ impar} e 1 isto ´ bem natural num programa de computador, mas deve ser evitado num texto para eleitura humana
  14. 14. 4. Propriedades, “desigualdade” e “contido” (a) Se P = {x ∈ N; x ´ par} e I = {x ∈ N; x ´ impar} ent˜o ´ verdade que e e a e • P ⊂I ? • I⊂P ? (b) Dados dois n´meros naturais, x, y ∈ N ent˜o ´ verdade que (tricotomia) u a e a) x < y ou; b)x > y ou; c)x=y (c) i. Descreva as propriedades que vocˆ conhece de ”<”em N. e ii. Descreva as propriedades que vocˆ conhece de ”⊂”entre conjuntos. e iii. Se vocˆ fosse aplicar o adjetivo “fraca” a uma das duas rela¸˜es <, ⊂, e co qual das duas receberia o adjetivo, a partir do resultado dos dois itens anteriores. 5. Quais dos conjuntos seguintes, tomados dois a dois, s˜o diferentes: a , {}, {0} Solu¸˜o: Todos s˜o diferentes: ca a • O conjunto {0} cont´m um elemento, o n´mero zero; e u • O conjunto {} cont´m um elemento, o conjnto v´zio; e a • O conjunto ´ o conjunto v´zio, n˜o tem elementos. e a a 6. Construa um diagrama representando o conjunto U , universo, e mais os con- juntos A, B, C tal que A⊂B ; B⊂A ; C⊂A; C⊂B Solu¸˜o: Observe na figura (fig. 1.1) p´gina 12, a representa¸˜o gr´fica da solu¸˜o. ca a ca a ca 7. Considere A = {0, 1, 2, 3} e determine: (a) O n´mero de subcojuntos de A. u (b) Quantos subconjuntos de A possuem 2 elementos. (c) Quantos subconjuntos de A possuem 4 elementos.1.2 Conjunto e estrutura.Vocˆ viu um primeiro exemplo de estrutura em dos exerc´ e ıcios acima quando lhe pe-dimos para descrever as propriedades de “<” em N ou as propriedades de “⊂” entreconjuntos. Vamos discutir mais a fundo este conceito agora. Lembre-se do m´todoeque adotamos, n˜o vamos dizer-lhe tudo, vocˆ ter´ que descobrir os fatos a partir dos a e aexemplos.Exemplo 1 Figura plana. • Um triˆngulo fica bem determinado pelos seus tres v´rtices. a e • Um quadril´tero pelos seus quatro v´ rtices. a e • Podemos falar do conjunto Pde todos os pol´ ıgonos do plano.
  15. 15. B U A F C E Figura 1.1: O conjunto universo e tres subconjuntos Outro conceito associado aos pol´ ıgonos ´ “´rea”. Podemos criar uma estrutura as- e asociada aos poss´ıveis pol´ ıgonos determinados por conjuntos finitos de pontos do plano,que v˜o constituir os v´rtices dos pol´ a e ıgonos. Se aplicarmos o m´todo “´rea” a este e aconjunto de pol´ıgonos, e se designarmos este m´todo com a letra A, estamos fazendo ereferˆncia ˚ e aestrutura (P,A).Exemplo 2 Grafos Um conjunto finito de pontos do plano determina um pol´ ıgono mas podemos vˆ-lo esobre outro enfoque. A figura (fig. 1.2) p´gina 13, cont´m um exemplo de grafo com v´rios caminhos a e atendo como oirgem O. Por exemplo OABCD, OCD, OACD, OED.Observe que as setas indicam o sentido do fluxo. Um grafo ´ um m´todo associado a um pol´ e e ıgono. Agora, em vez de calcularmos´reas, estamos definindo caminhos poss´ veis entre os “n´s”. O resultado ´ um grafo.a ı o e Se designarmos um grafo qualquer com a letra G agora estamos estudando (P,G). Os grafos s˜o usados para modelar o fluxo do trˆnsito, ou as rotas de entregas a ade mercadorias, rotas de linhas ar´as, enfim tudo que envolver “caminhos” entre um econjunto de n´s dados. o Agora os v´rtices se chamam n´s. e oExemplo 3 Semelhan¸a c
  16. 16. E D O A C B Figura 1.2: Um grafo com 6 n´s o Se considerarmos ainda o conjunto de todos os pol´ ıgonos, podemos identificar, dois ´ um outro m´todo que podemos associar aosa dois, aqueles que sejam semelhantes. E epol´ ıgonos. Podemos designar a semelhan¸a com o s´ c ımbolo ≈ e neste caso estamos estudando(P,≈). Vejamos um exemplo bem diferente dos anteriores, mas sempre em torno do as-sunto: conjunto, m´todo, estrutura. eExemplo 4 Conjunto dos n´meros naturais u No conjunto N = {0, 1, 2, · · ·} podemos considerar o m´todo adi¸˜o. Neste caso e caestamos estamos estudando (N,+). Se, ao inv´s de associarmos aos n´meros naturais o m´todo adi¸˜o, lhe associarmos e u e cao m´todo multiplica¸˜o, estaremos considerando a estrutura (N,·). e ca Vamos resumir as id´ias contidas nos exemplos acima. e • m´todos Associados ao conjunto dos pol´ e ıgonos identificamos acima tres m´todos: e grafo, ´rea, semelhan¸a. a c Associado ao conjunto dos n´meros naturais, identificamos dois m´todos: u e adi¸˜o, multiplica¸˜o. ca ca Observe que esta listagem n˜o ´ exaustiva. a e • estrutura Quando analisamos um conjunto e um m´todo que esteja definido e nele, estamos estudando uma estrutura. Se analisarmos mais de um m´todo, e estaremos estudando uma estrutura mais complexa. Fomos levados assim a considerar as seguintes estruturas:
  17. 17. 1. (P,G), (P,≈), (P,A) ; 2. (N, +),(N, ·) • estruturas mais complexas – (P,A,≈) – (N, +, · )Observa¸˜o 2 Conjunto finito e conjunto limitado. ca Os dois conceitos, conjunto finito e conjunto limitado s˜o diferentes. a O conjunto dos pontos do plano limitado pelos lados de um triˆngulo, ´ um conjunto a elimitado e isto significa que este conjunto pode ser colocado dentro de um c´ırculo. Emoutras palavras, o padr˜o para limita¸˜o s˜o os c´ a ca a ırculos. Tudo que puder ser colocado dentro de um c´ ırculo ´ limitado. e Conjunto finito ´ aquele que cujos elementos podem ser contados. Neste caso a efrase “o n´mero de elementos do conjunto A ´ n” tem um sentido artim´tico, e n ∈ N. u e e O conjunto N pode ser representado sobre uma reta, neste caso ele aparece comoum conjunto de pontos que se “espalham” ao longo da reta a iguais intervalos. O conjunto N ´ um conjunto infinito: n´s n˜o podemos colocar o conjunto N, re- e o apresentado na reta num´rica, dentro de um c´ e ırculo. Assim, N ´ um conjunto ilimitado, etamb´m. e A frase “o n´mero de elementos do conjunto N ´ ∞” u en˜o tem um sentido aritm´tico. O s´ a e ımbolo ∞ n˜o ´ aritm´tico nem ´ um n´mero, a e e e uembora se possam fazer algumas extens˜es dos m´todos da aritm´tica incluindo o seu o e euso. N´s n˜o podemos contar os pontos que se encontram dentro de um triˆngulo, ent˜o o a a ao conjunto dos pontos limitados pelos lados de um triˆngulo ´ infinito. ´ um conjunto a e einfinito e limitado.Exerc´ ıcio 1 No ultimo par´grafo a palavra “limitado” foi usada duas vezes com sen- ´ atidos diferentes. Vocˆ conseguiria distinguir estes dois sentidos? e O simples exemplo de um triˆngulo j´ nos permitiu divagar por trˆ s teorias ma- a a etem´ticas, isto mostra a riqueza do conceito “conjunto” que permite associar, (ou adissociar), formas diferentes de analise dum objeto como um simples triˆngulo. a O m´todo que utilizamos est´ ligado ao conceito de elemento de um conjunto. e aQuando olhamos um triˆngulo como um conjunto finito, estamos nele identificando atres elementos apenas, os tres v´rtices. Quando pensamos na ´rea, na medida, de e aum triˆngulo, estamos pensando no conjunto infinito formado por todos os pontos do aplano limitado pelos tres lados. Observe, entretanto, que ´rea nada tem o que ver com a quantidade de pontos do atriˆngulo. A ´rea do triˆngulo ´ finita, ´ um n´mero, e um triˆngulo ´ um conjunto a a a e e u a einfinito de pontos. Quando pudermos identificar propriedades associadas aos elementos do conjunto,diremos que temos uma estrutura. H´ quem identifique conjunto como uma estrutura, aseria uma estrutura zero, inicial.Exerc´ ıcios 2 Identifica¸˜o de estruturas ca 1. triˆngulos, ´rea, semelhan¸a a a c
  18. 18. (a) Especifique uma estrutura usando os conceitos de triˆngulo e ´rea. Liste a a as propriedades. (b) Torne a estrutura anterior mais complexa agregando-lhe o conceito de se- melhan¸a. Liste as propriedades, (monte alguns exemplos afim de descobrir c as propriedades que podem ser listadas). 2. Considere o conjunto A = {0, 1, 2, . . . , 9}. (a) Use o conjunto A para indexar objetos. Dˆ exemplos. e (b) Verifique que n˜o tem sentido a express˜o a a x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A. Por que ? (c) quest˜o semelhante ˚ a aanterior Use o conjunto A = {0, 1, 2, . . . , 9} para contar objetos. Dˆ exemplos. e (d) Verifique que agora a express˜o a x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A, tem sentido, mas nem sempre ´ verdadeira. Dˆ exemplos. e e 3. Vocˆ tem certeza de que sempre que vir um n´mero, ele de fato ´ um n´mero? e u e u 4. Comente a seguinte frase: o problema detectado nos itens acima se deve a nossa pobreza de linguagem, usamos o conjunto A duas vezes, com sentidos diferentes. Vocˆ conhece outras situa¸˜es semelhantes a esta? Dˆ exemplos. e co e Haveria solu¸˜o para o problema que detectamos? ca 5. conjunto, m´todo, estrutura e (a) Monte uma estrutura com os conceitos: H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} + (b) Descreva as propriedades da estrutura (H, +). (c) Torne a estrutura anterior mais complexa incluindo mais algum outro m´todo que possa ser aplicado aos elementos do conjunto b´sico, por exem- e a plo < . (d) Verifique se h´ alguma rela¸˜o entre os dois (ou mais) m´todos que vocˆ a ca e e definiu, se houver fa¸a uma especifica¸˜o detalhada da estrutura. c ca 6. Repita o exerc´ ıcio anterior com o conjunto N dos dos n´meros naturais. u 7. ´rea Qual ´ a defini¸˜o de ´rea? a e ca a 8. Fa¸a uma frase com os conceitos “´rea”e “regi˜o”. c a aExemplo 5 Dados estruturados.
  19. 19. 1. “trˆ s agregados diferentes” e Se olharmos para o “aglomerado” seguinte de n´meros: u 1107991334 eles podem nos lembrar muitas coisas. Se perguntassemos a v´rias pessoas o que a eles significavam poderiamos obter muitas respostas. Mas se mostrassemos `s pessoas os mesmos n´meros assim dispostos: a u 11/07/99 : 13 : 34, algumas pessoas, facilmente, identificariam a´ uma data, um dia do ano, seguido ı de uma hora. Tamb´m poder´ e ıamos ter apresentado os algarismos assim: 01107991334 e, ainda com certa hesita¸˜o, algu´m poderia arriscar: “n˜o seria um n´mero ca e a u de telefone al´ de S˜o Paulo?” ı a Pois ´, o que mudou nos tres exemplos? e2. um agregado com regras alg´bricas. O que torna diferentes e 11/07/99 : 13 : 34 e 01107991334 ? Claro, um desses agregados representa um “ponto” no tempo em que vivemos. “11/07/99 : 13 : 34” obedece a uma regra alg´brica “muito complicada” mas que e n´s dominamos. Se 1 representar “um minuto”, sabemos calcular: o 11/07/99 : 13 : 34 + 1 = 11/07/99 : 13 : 35. Se 59 representar “59 minutos, tamb´m sabemos calcular: e 11/07/99 : 13 : 34 + 59 = 11/07/99 : 14 : 33, apesar da regra complicada que tem a´ de passagem de uma casa para a outra. ı Se 2 : 3 : 10 representarem “dois dias, 3 horas e 10 minutos, sabemos calcular: 11/07/99 : 13 : 34 + 2 : 3 : 10 = 13/07/99 : 16 : 44. Ent˜o, concluimos, existe uma opera¸˜o de adi¸˜o, munidas regras bem compli- a ca ca cadas, mas que todos conhecemos, de modo que podemos discutir qual ´ estrutura e aditiva do conjunto que vamos chamar de T, o tempo, junto com a opera¸˜o de soma de tempos: ca (T , +). N˜o vamos entrar nestes detalhes agora, mas todos entendemos o que isto sig- a nifica.
  20. 20. 3. um agregado sem opera¸˜es alg´bricas. Se tentassemos somar co e (011)334575 + (021)223443 ningu´m duvidaria em desatar numa gargalhada: n˜o se soma n´mero de tele- e a u fone. Mas se houvesse um cat´logo de telefones ordenado pelos n´ meros, seria util. a u ´ Quantas vezes vocˆ tem um n´mero anotado num papel e n˜o sabe de quem ´? e u a e Ningu´m duvidaria que e (021)223443 < (021)332331 no sentido de que (021)223443 deveria vir antes de (021)332331 na listagem. Embora n˜o possamos somar n´meros de telefones, eles tem propriedades alg´bricas, a u e pouco utilizadas, ´ verdade. Existe uma “ordem” definida no conjunto dos e n´meros dos telefones. uExerc´ ıcios 3 Criando estruturas. 1. Defina a estrutura “calend´rio”, estabele¸a qual ´ o seu conjunto b´sico (ou a c e a conjuntos) seus m´todos, etc... e 2. Defina a estrutura “cat´logo telefˆnico”, conjunto b´sico, m´todos, etc... a o a e 3. Defina a estrutura “livro”, fa¸a uma especifica¸˜o o mais completa poss´ c ca ıvel. 4. Defina a estrutura “figuras planas”, conjunto b´sico, m´todos etc... a e 5. Torne a estrutura “figuras planas” mais complexa adicionando um m´todo para e ˜ para comparA¡-las e decidir quando as figuras s˜o semelhantes. a 6. Torne a estrutura “figuras planas” ainda mais complexa, adicione um m´todo e que associe a cada figura um n´mero chamado ´rea. Especifique detalhadamente u a a estrutura, conjuntos, m´todos, propriedades. e 7. dif´ ıcil... Acima falamos de uma ordem no cat´logo telefˆnico, o que subentende a o que existam v´rias ordens. Tente encontrar trˆs exemplos de estrutura de or- a e dem, diferente da habitual: a ordem nos conjuntos num´ricos. Vamos estudar e “ordem” no cap´ ıtulo 3, (de um salto ao cap´ ıtulo 3). Os exemplos dados acima mostram que as informa¸˜es s˜o “agregados” de algaris- co amos e letras dispostos segundo certas regras espec´ ıficas de uma determinada “estru-tura”. Algarismos e letras s˜o apenas dois tipos diferentes de “caracteres” que formam o anosso “alfabeto escrito”. Existiria outro tipo de “alfabeto” que n˜o seja o escrito? a N˜o definimos estrutura, mas usamos a palavra em diversos contextos de formas a apassar-lhe o seu sentido intuitivo. Observe o livro de Leopoldo Nachbin, [5] se quiserse iniciar agora nas estruturas alg´bricas, ou [3] que ´ um pouco mais avancado que o e eanterior. Os exerc´ıcios destes cap´ ıtulo tratam das propriedades dos conjuntos, dos seus ele-mentos, dos sub-conjuntos de um conjunto universo dado.
  21. 21. 1.3 Conjunto, elemento e subconjunto.Neste momento nos encontramos ante dois tipos de objetos: conjuntos, elementos.Entre os dois existe uma diferen¸a hier´rquica. c a x ∈ x ´ sempre falso e x ⊂ x ´ sempre verdadeiro e (1.10) Na segunda equa¸˜o estamos dizendo que x ´ um conjunto, na primeira equa¸˜o ca e caestamos dizendo que x ´ simultaneamente conjunto e elemento, isto ´ imposs´ e e ıvel. N˜o airemos insistir numa discuss˜o direta sobre a diferen¸a entre elemento e conjunto. a cEsta diferen¸a ser´ salientada construtivamente. c aExerc´ ıcios 4 Inclus˜o e pertinˆncia a e 1. Considere N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Liste os elementos dos conjuntos abaixo:a) A = {x ; x ∈ N ; x < 10} b) B = {x ; x ∈ N ; 5 < x < 15}c) C = {x ; x ∈ N ; x < 0} d) D = {x ; x ∈ N ; x < 10} 2e) E = {x ; x ∈ N ; x < 10} f ) F = {x ∈ N ; x ´ primo; x < 30} 3 e 2. Qual das senten¸as seguintes ´ verdadeira: c e a) 3 ∈ A b) 0 ∈ A c) −3 ∈ A d) A ⊂ B e) B ⊂ A f ) C ⊂ A g) D ⊂ A h) E ⊂ A i) D ⊂ B j) E ∈ A k) E ⊂ A l) E ⊂ D 3. Use diagramas de Venn para representar as rela¸˜es que for poss´ co ıvel entre os conjuntos A, B, C, D, E. 4. Escreva todos os subconjuntos do conjunto A = {0, 1, 2, 3}. O conjunto assim obtido se chama P(A), o conjunto2 das partes de A. (a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos. (b) Fa¸a um diagrama de Hasse com os elementos de P(A). c (c) Fa¸a uma tabela indicando a frequˆncia dos elementos de P(A) pelo n´mero c e u dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2 elementos. 5. estrutura de P(A).. Considere agora A = {0, 1, 2}. (a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos. (b) Fa¸a um diagrama de Hasse com os elementos de P(A). c (c) Fa¸a uma tabela indicando a frequˆncia dos elementos de P(A) pelo n´mero c e u dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2 elementos. 6. Repita a quest˜o anterior com A = {0, 1}. a 7. Repita a quest˜o anterior com A = {0}. a 8. Repita a quest˜o anterior com A = {}. a 2O conjunto dos subconjuntos de A.
  22. 22. 9. Colecte as tabelas de freq¨ˆncia feitas nas quest˜es acima. O resultado deve ue o ser o triˆngulo de Pascal. Vamos chamar de linha de ordem n do triˆngulo de a a Pascal `quela que corresponder a um conjunto com n elementos. Quer dizer que a a primeira linha, contendo apenas 1 ´ a linha de ordem 0. Verifique que que os e n´ meros em cada linha s˜o os n´meros combinat´rios: u a u o p Cn = (n ). p p Vocˆ poder´ ler Cn como a quantidade de subconjuntos com p elementos que e a podemos encontrar num universo com n elementos. 10. Escreva o triˆngulo de Pascal at´ a linha de ordem 10 e compare com os con- a e juntos: • A = {}. • A = {0}. • A = {0, 1}. • A = {0, 1, 2}. • ... • A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 11. Seja A = {1, 2, {1, 2}, 3, {3}, 4}. Determine quais das afirma¸˜es abaixo ´ ver- co e dadeira, justificando seu entendimento. a) {1, 2} ∈ A. b) {1, 2} ⊂ A. c) {1, 2, 3} ∈ A. d) {1, 2, 3} ⊂ A. e) {3} ∈ A. f ) {3} ⊂ A. g) 3 ∈ A. h) A ⊂ A 12. Considere U = {1, 2, 3}. Se A, B forem sub-conjuntos arbitr´rios de U, encontre a o n´mero de rela¸˜es do tipo A ⊂ B que ´ poss´ escreverem-se. u co e ıvel As 15 primeiras linhas do Triˆngulo de Pascal a 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1Observa¸˜o 3 Cardinalidade. ca Nesta se¸˜o trabalhamos com os conceitos, ca 1. Conjuntos;
  23. 23. 2. m´todos e estruturas; e 3. pertinˆncia; e 4. inclus˜o; a 5. n´mero de elementos de um conjunto. u Mais a frente, o cap´ ıtulo 2, ser´ dedicado exclusivamente ao ultimo assunto. a ´ Se um conjunto for finito, tem sentido falar do n´mero de seus elementos. Se uum conjunto n˜o for finito, exatamente, isto quer dizer que ele n˜o tem mais um a adeterminado n´mero de elementos, mesmo porque n˜o h´ “n´mero infinito”. u a a u Uma extens˜o deste conceito ´ a cardinalidade. Quando n˜o pudermos falar do a e a“n´mero de elementos de A”, ent˜o falaremos do “cardinal de A.” Voltaremos no u afinal do cap´ ıtulo 2 a este assunto.1.4 Opera¸˜es com conjuntos co Uni˜o, interse¸˜o e diferen¸a a ca cNesta se¸ao discutiremos tres opera¸oes (m´todos) entre conjuntos: uni˜o, interse¸ao e dife- c˜ c˜ e a c˜ren¸a. Faremos um paralelo entre estas opera¸oes e as opera¸oes da l´gica formal. c c˜ c˜ o1.4.1 Uni˜o e interse¸˜o de conjuntos. a caDefini¸˜o 2 Uni˜o, A B. ca a Dados dois conjuntos A, B dizemos que AU B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B} Diagramas de Venn facilitam a compreens˜o das opera¸˜es mas tamb´m podem a co einduz´ em erros l´gicos. ı-lo o A figura (fig. 1.3), p´gina 21 ilustra a uni˜o de conjuntos. Usamos a uni˜o quando a a aquisermos reunir, num s´ conjunto, os elementos de dois ou mais conjuntos. oDefini¸˜o 3 Interse¸˜o, A B. ca ca Dados dois conjuntos A, B dizemos que A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}isto ´, para que x ∈ A ∩ B, x tem que ser simultˆneamente elemento de cada um dos e aconjuntos. A figura (fig. 1.4), p´gina 22 ilustra a interse¸˜o de dois conjuntos. Usamos a a cainterse¸˜o quando quisermos os elementos que forem comuns a dois outros conjuntos. caNa figura (fig. 1.5) p´gina 22 vocˆ pode ver duas retas paralelas, que s˜o dois conjuntos a e a“sem nenhum ponto de interse¸˜o”. Neste caso o conjunto vazio resolve o problema cacriando uma solu¸˜o: ca r t = ∅.Exerc´ ıcios 5 1. Calcule A ∩ B e A ∪ B se
  24. 24. Figura 1.3: A uni˜o de trˆs conjuntos. a e • A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} • B = {5, 6, 7, 8, 9}2. Se V representar o conjunto de todas as vogais, e C o de todas as consoantes, calcule V ∩ C, V ∪ C.3. Represente com diagramas de Venn, (identifique as express˜es que estiverem o indefinidas): a) A ∪ B; b) B ∪ A ; c) A ∩ B; d) A ∪ B ∪ C; e) A ∩ B ∩ C; f ) (A ∪ B) ∩ C; g) A ∪ B ∩ C; h) (A ∩ B) ∪ C; i) A ∩ B ∪ C; j) A ∪ (B ∩ C);4. Verifique quais das senten¸as abaixo s˜o verdadeiras: c a (a) A ∪ B = B ∪ A; (b) B ∩ A = A ∩ B; (c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); (d) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C); (e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); (f ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (g) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (h) A ∪ B ∩ C = A ∪ (B ∩ C);5. Qual das afirma¸˜es abaixo ´ a falsa: co e • A ∩ B ⊂ A; • A ∪ B ⊂ A;
  25. 25. B A Figura 1.4: A interse¸˜o de dois conjuntos ca r t Figura 1.5: A interse¸˜o de duas retas ca • A ⊂ A ∪ B; • A ∩ B ⊂ A ∪ B; A unica afirma¸˜o falsa pode ser verdadeira em caso particular dos conjuntos ´ ca A, B. Explicite tal caso.Observa¸˜o 4 Indefini¸˜o de express˜es. ca ca o T´cnicamente falando, as express˜es: e o • A ∪ B ∪ C; • A ∩ B ∩ C; • A ∪ B ∩ C; • A ∩ B ∪ C;est˜o indefinidas, porque n˜o fica claro que opera¸˜o deve ser efetuada primeiro. a a ca Aqui que se vˆ a importˆncia da propriedade associativa que algumas vezes e avale, outras vezes n˜o vale. a
  26. 26. Por exemplo, se a, b, c ∈ N, a, b, c = 0, ent˜o a (a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c),porque a (a ÷ b) ÷ c = bcenquanto que b c ac a ÷ (b ÷ c) = a ÷ =a· = ; c b bConcluimos que a “divis˜o n˜o ´ associativa.” a a e Como uni˜o ´ associativa, ent˜o A ∪ B ∪ C est´ bem definida. Da mesma forma a e a acomo a interse¸˜o ´ associativa, ent˜o A ∩ B ∩ C est´ bem definida. ca e a a Como a interse¸˜o ´ distributiva relativamente ` uni˜o ent˜o ca e a a a A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ Co que deixa a express˜o “A∪B ∩C” indefinida. Veja que n´s sabemos realizar, apenas, a oduas opera¸˜es de cada vez, ent˜o temos que interpretar uma express˜o como A∪B ∩C co a acomo uma das duas formas escritas acima com parentesis. Fazendo um diagrama de Venn vocˆ vai se dar contas rapidamente de que as duas eexpress˜es o A ∪ (B ∩ C) ; (A ∪ B) ∩ Cs˜o diferentes. Ao mesmo tempo este diagrama de Venn ´ uma demonstra¸˜o desta a e cadesigualdade porque apresenta um exemplo em que n˜o vale a igualdade. a Enfim, • quando a propriedade associativa valer, a repeti¸˜o de uma opera¸˜o fica bem ca ca definida sem necessidade de patentesis. Quando ela n˜o valer, somos for¸ados a c a indicar com parˆntesis o que queremos dizer; e • quando a propriedade distributiva valer entre duas opera¸˜es somos for¸ados a co c indicar qual a express˜o desejada com o uso de parentesis: a a ∗ b + a ∗ c = a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + c Nas linguagens de programa¸˜o este problema de interpreta¸˜o de texto ´ contor- ca ca enado criando-se uma prioridade entre as opera¸˜es. co O produto tem prioridade sobre ` adi¸˜o e subtra¸˜o, com isto significando que a ca ca“a + b ∗ c” vai ser entendido pela m´quina como a + (b ∗ c). a Prioridade entre as opera¸˜es co • primeiro se executam as potencia¸˜es e radicia¸˜es, co co • depois as multiplica¸˜es e divis˜es, co o • finalmente as adi¸˜es e as subtra¸˜es. co co Velha regra operat´ria, que se ensinava antigamente, e da qual os computadores oainda se lembram... Experimente com uma m´quina de c´lcular: a a • 32 ∗ 7 = 7 ∗ 32 = 63 • 3 ∗ 2 + 7 = 7 + 3 ∗ 2 = 42 • 6÷2+3 =3+6÷2 =6
  27. 27. 1.4.2 Complementar e diferen¸a entre conjuntos. cO complementar de um conjunto A s˜o os elementos que n˜o pertencem ao conjunto a aA relativamente a um outro conjunto chamado universo. Observe a figura (fig. 1.6) na p´gina 25. Nela est˜o representados tres conjuntos a aA, B, U. Os conjuntos A, B s˜o subconjuntos de U que se chama, por esta raz˜o, con- a ajunto universo.Na figura se encontra hachuriado o complementar de B relativamenteao universo. O complementar ´ designado com o s´ e ımbolo B c ou alumas vezes com CU B. Nestaultima nota¸˜o se quer deixar claro que o complementar ´ um conceito relativo. Mu-´ ca edando o conjunto universo, muda o complementar. Se define a diferen¸ a entre dois conjuntos assim: cDefini¸˜o 4 Diferen¸a entre conjuntos. ca c Dados dois conjuntos A, B A − B = {x ; x ∈ A e x ∈ B} Se produz um novo conjunto a partir do conjunto A, formado de todos os ele-mentos de A que n˜o perten¸am a interse¸˜o A ∩ B : a c ca A − B = A − (A ∩ B). Na figura (fig. 1.6) p´gina 25, vocˆ pode ver a diferen¸a entre os conjuntos A,B a e cnesta ordem. Observe que A − (A ∩ B) = A − B (1.11) B − A = B − (A ∩ B) (1.12) A−B =B−A (1.13)estas equa¸˜es cont´m as id´ias da demonstra¸˜o do seguinte teorema: co e e caTeorema 1 Diferen¸a n˜o ´ comutativa c a e A−B =B−A Da defini¸˜o podemos concluir uma propriedade da diferen¸a de conjuntos: ca cTeorema 2 Diferen¸a e complementar c A−B =A BcExerc´ ıcios 6 1. Calcule A − B para os conjuntos abaixo: (a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} (b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} (c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {7, 8, 9, 10} (d) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (e) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (f ) A = {7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  28. 28. U A B A − B Figura 1.6: A diferen¸a entre os conjuntos A e B c 2. Fa¸a os diagramas de Venn correspondentes a cada um dos itens na quest˜o c a anteior. ıcio 1 se A − B = B − A ´ verdadeira ou falsa. 3. Deduza do exerc´ e 4. Prove que A − B = A − (A ∩ B). 5. Prove que se A ∩ B = A ∩ C ent˜o A − B = A − C. aObserva¸˜o 5 Provar, verificar, . . . se convencer. ca Um trauma comum entre as pessoas que estudam Matem´tica se encontra associado aao conceito de provar. A palavra verificar ´ aceita com menor carga de preconceitos edo que provar. ´ E preciso perder e combater este preconceito. H´ muitas coisas dif´ a ıceis em Ma-tem´tica, como as h´ em Biologia, Qu´ mica, F´ a a ı ısica ou Hist´ria. O conhecimento ´ o eformado de fatos ´bvios para uns, (um mesmo teorema pode ser uma trivialidade para oalgu´m) e uma barreira te´rica para outros. e o Mas, dif´ ıcil, ´ apenas aquilo que vai tomar mais tempo para ser compreendido, n˜o e a´ imposs´e ıvel, ´ apenas dif´ e ıcil. N˜o h´ outro meio de fazer Matem´tica, sem fazer demonstra¸˜es, esta ´ a essˆncia a a a co e ede nossa disciplina. Mas h´ passos para conduzir-nos a compreens˜o de um teorema a ae consequentemente ` sua demonstra¸˜o, a ca • um gr´fico, a • algumas constru¸˜es geom´tricas, co e • alguns modelos concretos com papel, ou sucata, • um programa de computador.

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