Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos

47,861 views

Published on

Published in: Education

Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos

  1. 1. Ilydio Pereira de Sá Geraldo Lins
  2. 2. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 2 MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO 1ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA) 1) INTRODUÇÃOObserve as seguintes situações, tiradas de situações do cotidiano ou de diversos ramos daprópria matemática: 1. Vinícius tem, guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir desse momento, fazer uma poupança de forma que colocaria no cofrinho um real no primeiro dia, dois no segundo, três no terceiro...e assim sucessivamente, até o 30º dia. Quanto ele terá em seu cofrinho, passados os 30 dias? 2. A população de uma cidade cresce 2% a cada ano. Se em 1990 a população era de 25 000 habitantes, quantos serão os habitantes dessa cidade, em 2007, mantida a mesma taxa de crescimento anual? 3. Observe a seqüência abaixo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 10Esses números são chamados de números triangulares (veja a disposição e aquantidade de pontos de cada termo). Qual será o décimo termo dessa seqüência?Problemas como os que apresentamos acima, que envolvem seqüências especiais,serão facilmente resolvidos com as técnicas que estudaremos no capítulo dasprogressões aritméticas e das progressões geométricas.Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o quechamamos de seqüências. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação deum determinado fato ou fenômeno.Imagine, por exemplo, que uma pessoa acompanhasse a variação do dólar (compra) nosprimeiros dez dias (úteis) do mês de abril de 2003. Vejamos o resultado de sua pesquisa natabela a seguir: Dia útil Dólar Dia útil Dólar (Abril de 2003) (Compra) (Abril de 2003) (Compra) 1 R$ 3,335 6 R$ 3,164 2 R$ 3,278 7 R$ 3,184 3 R$ 3,255 8 R$ 3,214 4 R$ 3,246 9 R$ 3,213 5 R$ 3,171 10 R$ 3,181
  3. 3. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 3Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordenação, constituem umaseqüência. Convenciona-se designar por uma letra minúscula qualquer (normalmente a) aqualquer um dos termos de uma seqüência, usando como índice um número que denota aposição do termo na seqüência. Assim, a notação a1 representa o primeiro termo daseqüência, que no nosso exemplo do dólar é o valor 3,335. A notação a10 representa odécimo termo e assim sucessivamente. Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüência, escrevemos an.Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção deuma fábrica em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa deinflação mensal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, não teríamos comosaber, por exemplo, a sua cotação no dia 15, ou no dia 20, já que a seqüência é variável edepende de diversos fatores não previsíveis.Em nosso curso vamos estudar umas seqüências muito especiais. Por sua regularidade,conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-seProgressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado umprimeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Porexemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes: 7 10 13 16 19 22 ... +3 +3 +3 +3 +3O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R).Portanto, nesse exemplo, temos: a1 = 7 e R = 3.Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e suas classificações: 3, 7, 11, 15, 19, 23 ...Temos R = 4. Uma progressão crescente. 9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5, ...Temos R = - 2. Uma progressão decrescente. 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...Temos R = 0.… uma progressão estacionária.Você já deve ter percebido que é muito fácil sabermos o valor da razão de uma progressãoaritmética. Como a razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter oseguinte, podemos dizer que: A razão de uma progressão aritmética é a diferença entrequalquer termo e o anterior, a partir do segundo termo.Assim, retomando os três últimos exemplos, temos:na 1a. progressão:R=7 -3=4R = 11 -7 = 4R = 15 - 11 = 4 etc.na 2a. progressão:R=7-9=-2R = 5 - 7 = - 2 etc.na 3a. progressão:R=4-4=0
  4. 4. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 4 2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.APassemos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressãoaritmética (de agora em diante representada por PA) de razão R:a1 a2 a3 a4 a5 a6 .... an +R + R + R + R + R + R ....Suponha que você conhece o primeiro termo (a1), e a razão (R). Como faremos paracalcular qualquer outro termo? Observe as igualdades: a2 = a1+ R a3 = a1 + 2R a4 = a1 + 3R a5 = a1+ 4R ................... a10 = a1 + 9RVemos então que, para calcular um termo qualquer (an) é preciso somar ao 1º termo, (n -1)vezes a razão, ou seja:Fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1).RPara entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de umaescada e deseja chegar ao 10º. Quantos degraus deve subir? É claro que são 9.Se você está no 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quantos deve subir? Deve subir 24,lógico. Então, para chegar ao degrau número n, devemos subir (n -1) degraus.Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes.EXEMPLO 1: Qual é o trigésimo (30º) termo da progressão aritmética: 10, 17, 24, 31, 38, ...?Solução: A razão da progressão é R = 17 -10 = 7 e o primeiro termo é a1 = 10. Desejamoscalcular o trigésimo termo, ou seja, a30.A partir da fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1)RSubstituindo a letra n por 30, obtemos:a30 = a1 + 29.RDaí, a30 = 10 + 29 . 7a30 = 213Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213.EXEMPLO 2: Um aluno escreveu todos os números ímpares desde 17 até 63. Quantosnúmeros ele escreveu?Solução: A progressão desse exemplo é a seguinte:17, 19, 21, 23, ..., 63.O primeiro termo é 17, o último termo é 63 e a razão é 2. Escrevemos então: a1 = 17 an = 63 R=2Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, calcularemos n que é o número determos da progressão:an = a1 + (n - 1).R63 = 17 + (n - 1). 263 - 17 = 2n - 246 = 2n - 2
  5. 5. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 548 = 2nn = 24A progressão tem, portanto, 24 termos.EXEMPLO 3: Escreva a P.A obtida, quando inserimos 5 números entre 1 e 25?Nesse caso, estamos querendo formar uma P.A, com sete termos, sendo que os extremossão os números 1 e 25. Esse tipo de problema é o que chamamos de INTERPOLAÇÃOARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão desta P.A.(1, __, __, __, __, __, 25).an = a1 + (n - 1).R oua7 = a1 + 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou ainda 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.Aprocurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)EXEMPLO 4:Em janeiro, de certo ano, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeuaumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará ganhando emdezembro do ano seguinte?Solução: Se o salário de Lídia aumenta R$ 8,00 todos os meses, então a seqüência dossalários é uma progressão aritmética de razão igual a 8.Vamos Montar uma tabela, para melhor entender a situação: janeiro _ a1 = 270,00 fevereiro _ a2 = 278,00 ............................................ ............................................ dezembro _ a12 = janeiro _ a13 = ............................................ ............................................ dezembro _ a24 = ? Logo, o que queremos é o valor do 24º termo dessa P.A. Usando a fórmula do termo geral, teremos: a24 = a1 + 23.R a24 = 270 + 23.8 a24 = 270 + 184 a24 = 454 Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, Lídia estará ganhando, em dezembro do ano seguinte, R$ 454,00."Há grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas overdadeiro grande homem é aquele que faz com que todos se sintam grandes." (Gilbert Keith Chesterton, escritor inglês)
  6. 6. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 6 3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICASA) Propriedade Fundamental de uma P. ASempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. A, o termo do meio será igual àmédia aritmética dos outros dois. x+zAssim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.A, teremos que y= . Essa 2propriedade decorre da própria definição da P.A, onde as diferenças entre dois termosconsecutivos devem ser iguais. x+zDe fato, se y – x = z – y , isso acarretará que 2y = x + z ou y= . 2EXEMPLO 5: Sabendo-se que ( 2x, 4x – 10, 4x , ...) são os três primeiros termos de umaP.A, obtenha: a) o valor de x b) o valor da razão da P. A c) o valor do 25º termo dessa mesma P. ASolução:De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. A, 2x + 4xteremos: 4x - 10 = = 3x . Logo, teremos x = 10. (pergunta a). 2b) Se x = 10, então os três primeiros termos da P.A serão (20, 30, 40) e fica fácil perceberque a razão é igual a 10.c) a25 = a1 + 24. R, logo, a25 = 20 + 24. 10 = 20 + 240 = 260.B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dosextremos.Exemplo: 9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20Poderemos fazer a demonstração para o caso geral: (a1, a2, a3... ap, ... aq,.......... an) __ p termos__ __ p termos__Verifique que entre o primeiro termo e o termo ap existem p termos e entre o termo aq otermo an também existem p termos. Por isso esses termos são denominados deeqüidistantes dos extremos. Temos que provar que a soma desses dois termos (ap + aq ) éigual à soma dos dois extremos da P.A (a1+ an).De fato, ap = a1+ (p – 1).r e an= aq + (p – 1).r ...logo:ap – an= a1+ (p – 1).r – (aq + (p – 1).r) = a1+ pr – r – aq – pr + r
  7. 7. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 7ap – an= a1 – aq ou então ap + aq= a1 + an o que demonstra a nossa propriedade.C) O Gráfico de uma P.APodemos visualizar os termos de uma progressão aritmética por meio de um gráfico comoeste:Os valores dos termos são representados pelas barras verticais que formam o desenho deuma escada. Nessa escada, a altura de cada degrau é a razão da progressão aritmética.D) Uma outra fórmula (Recorrência)Imagine que você se encontra no 3º andar de uma escada e que deseja atingir o 9º andar.Quantos andares você terá de subir? É claro que a resposta é 6 andares. Isso, emlinguagem matemática pode ser representado por: a9 = a3 + 6 . R.De modo geral, se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau denúmero m, devemos subir (m – n) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maneiramais geral de escrever a fórmula, relacionando dois termos quaisquer e nãoobrigatoriamente como primeiro termos. Ë a seguinte fórmula: am = an + (m – n) . R.Exemplo 6:A mesada de Luciana aumenta todos os anos de um valor constante de reais, combinadocom o seu pai. Sabemos que no 5º ano após o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e queno 8º ano estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada de Luciana no início desseacordo?Solução: Pelo que vimos na fórmula anterior, poderemos relacionar diretamente os valoresdo 8º e do 5º ano de mesada.a8 = a5 + 3 . RSubstituindo os valores conhecidos, temos:110 = 80 + 3R, logo, teremos que 3. R = 30 ou R= 10.Podemos agora, relacionar um desses termos (o 5º ou o 8º) com o primeiro e determinar ovalor da mesada de Luciana no início do acordo (no primeiro ano de acordo)a5 = a1 + 4 . R ou 80 = a1 + 4.10 ou a1 = 40.Resposta: No início (e durante todo o primeiro ano) a mesada de Luciana era de R$ 40,00.
  8. 8. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 1)1) Uma criança está brincando com palitos de fósforo. Observe o que ela está fazendo.Se ela continuar construindo seguindo o mesmo critério usado até agora, quantosquadrados ela terá construído com 250 palitos?2) Achar três números em P. A e tais que a soma do primeiro com o terceiro seja 12 e o produto do primeiro pelo segundo seja 24.3) Um corpo em queda livre, partindo do repouso, cai 16 m durante o primeiro segundo, 48 m durante o segundo, 80 m durante o terceiro, etc. Calcular a distância que cai no 15o.segundo.4) O perímetro de um triângulo retângulo é 60 m e os seus lados formam uma P. A. Determine a área desse triângulo.5) Qual o primeiro termo de uma P.A, de 49 termos, se o último termo vale 28 e a sua razão é igual a ½?6) Quantos números inteiros existem, entre 84 e 719, e que são múltiplos de 5?7) Quantos números inteiros existem, de 13 até 902, e que NÃO são múltiplos de 3?8) Qual a razão da P.A obtida quando inserimos 4 termos(meios aritméticos) entre 9 e 24?9) (UNESP) Duas pequenas fábricas de calçados A e B têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a sua produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a sua produção em 290 pares por mês, a partir de que mês a produção da fábrica B vai superar a produção da fábrica A?10) Escreva uma P.A (crescente), de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.11) Os 3 termos de uma seqüência são proporcionais aos números 3, 5 e 9. Somando 4 ao termo do meio, a nova seqüência formada é uma P.A. Determine a seqüência inicial. 1 5 3 712) Considere a seqüência ( , , , , ...) . Determine seus três próximos termos. 2 8 4 813) Seja uma P.A de 7 termos e razão igual a R. Se retirarmos o segundo, o terceiro, o quinto e o sexto termos, teremos uma outra P.A, de razão ...14) Em uma P.A o primeiro termo é igual a 0,402 e o segundo termo é igual a 0,502. Qual o valor do décimo termo dessa progressão?15) Quantos termos possui uma P.A cujo primeiro termo é igual a 10x – 9y, o último é igual a y e a razão é igual a y – x (sendo y x)?
  9. 9. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 9 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
  10. 10. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 10O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), de abril de 2003, nosmostra de uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança,conseguiu de forma genial uma prova para a soma dos termos de uma P.A. É claro que oque está na reportagem não é uma demonstração rigorosa, nem genérica, mas, com auxíliodas propriedades que estudamos anteriormente, podemos aproveitar a idéia de Gauss ededuzirmos tal fórmula. Vejamos:Consideremos a soma S, de todos os termos de uma P.A (finita, é claro).S = a1 + a2 + a3 + ........ + an 2 + an 1 + anÉ claro que tal soma não modificará, como fez Gauss, se a escrevermos em outra ordem.Vamos escrever a mesma soma, de trás para frente:S = an + an 1 + an 2 + ........ + a3 + a2 + a1Se somarmos essas duas expressões, teremos:2S = (a1 +an ) + (a2 + an 1 ) + (a3 + an 2 ) + ........ + (an + a1 )Já vimos anteriormente que todas essas somas, de termos eqüidistantes dos extremos, sãoiguais à soma dos próprios extremos. Logo, a segunda parte da expressão obtida pode sersubstituída por (a1 +an ) + (a1 +an ) + (a1 +an ) + ..... (an + a1 ) = n . (a1+an ) (a1 + an ) . nLogo, chegamos finalmente a, S= que é a fórmula clássica para obtermos 2a soma dos termos de uma progressão aritmética. UMA CURIOSIDADE... (adaptado de Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Podemos visualizar o que está ocorrendo durante a soma dos termos de uma P.Aassociando à uma progressão aritmética a idéia de uma “escada”. Vejamos essa situaçãopara uma P.A de sete termos.Estamos querendo calcular a soma dos comprimentos de todos esses degraus. Vamos usardo mesmo artifício usado pelo nosso brilhante Gauss.Imaginemos duas dessas “escadas” (uma delas invertida) e acopladas.
  11. 11. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 11Observando a figura, constatamos algo que já sabíamos – que as somas a1 + a7 , a2 + a6 ,a3 + a5 , ... são todas iguais. Logo, podemos somar da seguinte forma: (a1 + a 7 ) . 7Dessa forma, temos 2S = (a1 + a 7 ) . 7 ou S = 2Acredito que a “visualização” acima mostrada, bem como a história de Gauss (RevistaGalileu Especial) facilitarão que você se lembre de como proceder para somar todos ostermos de uma progressão aritmética.Exemplo 7: Qual a soma dos 50 primeiros termos de uma P.A na qual a6 + a45 = 160?Solução: Pela fórmula que acabamos de deduzir, sabemos que a soma dos 50 primeiros (a1 + a50 ) . 50termos de uma P.A. é dada por: S = mas, como sabemos que a1 + a50 = a6 2 (160) . 50+ a45 = 160, teremos então: S = = 4000 2Exemplo 8: Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em progressão aritmética, 202 + 206 +210 + ..., por distração não foi somada a 35ª parcela. Qual a soma que foi encontrada, porengano?Solução: Observamos que a razão da P.A é igual a 4 e que o primeiro termo é 202. Logo, jápodemos obter os valores da 35ª e da 50ª parcelas, necessárias à solução do problema.Cálculo da 35ª parcela a35 = a1 + 34 . R = 202 + 34 . 4 = 338 (que terá de ser descontada dototal, já que ela foi “esquecida”).Cálculo da 50ª parcela a50 = a1 + 49 . R = 202 + 49 . 4 = 398
  12. 12. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 12 (a1 + a50 ) . 50 (202 + 398) . 50Soma das 50 parcelas = S = = = 15000 2 2Soma que foi encontrada, com a falta da 35ª parcela = 15 000 – 338 = 14 662 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS (De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho) Hoje em dia, todos nós usamos uma máquina simples para facilitar nossos cálculos: a máquina de calcular. Além de realizar as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão), a máquina calcula raiz quadrada e tem memória. Vamos ver uma forma interessante e simples de usar a calculadora para facilitar o trabalho com progressões aritméticas.Como exemplo, vamos considerar a progressão aritmética de razão R = 7, começando ema1 = 9. Para visualizar quantos termos você quiser, digite:A primeira vez que você acionar a tecla = a máquina vai mostrar o termo 16 (segundo termoda P.A). Nas outras vezes que você acionar a tecla =, sucessivamente, o visor da máquinamostrará: 23, 30, 37, 44, ...até o termo que você desejar.A máquina de calcular também soma os termos de uma progressão aritmética. Se nãoforem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastante eficiente.Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujoprimeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17.Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemos apenas, apóscada termo que aparecer no visor, apertar a tecla M+ . Isto faz com que os termos daprogressão sejam acumulados na memória da calculadora.Depois que você apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a soma dos 5termos da progressão aparecer· no visor.O esquema da operação que vamos fazer é o seguinte:Iniciando por 15,86 e usando a razão 0,17, você irá obter o valor 81 para soma dos 5primeiros termos da progressão.
  13. 13. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 2)1) Calcule a soma de todos os números naturais ímpares de dois algarismos.2) Em uma casa de campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras. A torneira está a 15 m da primeira roseira e o espaço entre as roseiras é de 1 m.O jardineiro tem apenas um balde. Ele enche o balde na torneira, rega a primeira roseira,volta para encher o balde, rega a segunda roseira, e assim por diante. Após regar adécima oitava (18ª) roseira ele retorna para deixar o balde junto à torneira. Qual foi adistância total percorrida pelo jardineiro?3) Sendo x um número real, não nulo, calcule o valor da expressão: 53 50 47 44 x .x .x .x .....x 74) Calcular a soma de todos os termos de uma P.A cujo primeiro termo é 4, o último termo é 46 e a razão é igual ao número de termos.5) Obtenha a soma dos termos de uma P.A crescente, cujos dois primeiros termos são 2 as raízes da equação x – 10x + 24 = 0. O número de termos dessa progressão é o dobro do valor do segundo termo.6) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora de prova, em seguida percorre 17 km na segunda hora (ou seja, 37 km em 2 horas) e prossegue sempre dessa forma, percorrendo 3 km a menos nas próximas horas de percurso. Quanto tempo ele levou para percorrer um total de 77 km?7) Obtenha a razão de uma P.A de 11 termos, cuja soma dos termos é 176. Sabemos que esta razão é positiva e que a diferença entre os dois termos extremos é igual a 30.8) Colocando-se 1540 estudantes em fila, com 1 estudante na primeira fila, 2 estudantes na segunda, 3 estudantes na terceira e assim sucessivamente, formamos um triângulo. Quantas filas tem essa formatura?9) (UFRJ) Um painel contêm lâmpadas vermelhas e azuis. No instante inicial (t0 = 0) acendem-se, simultaneamente, uma lâmpada vermelha e 43 azuis. A partir daí, de 2 em 2 segundos, acendem-se as lâmpadas vermelhas e apagam-se as azuis. O número de lâmpadas vermelhas acesas cresce em progressão aritmética de razão igual a 4 e o de azuis decresce em progressão aritmética de razão –3. Em
  14. 14. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 14 determinado instante teremos a mesma quantidade de lâmpadas vermelhas e azuis acesas. Quantas lâmpadas de cada cor estarão acesas nesse momento? 10) Para escrever seus contos um escritor procede da seguinte maneira: escreve no primeiro dia de trabalho 20 linhas, e nos dias seguintes, escreve o número de linhas do dia anterior, acrescido de 5 linhas. Seu último conto tem 17 páginas, e em cada página 25 linhas. Calcule em quantos dias esse conto foi escrito. GABARITOS SÉRIE 1 2 01) 83 02) 4, 6, 8 03) 464 m 04) 150 m 05) 180 06) 127 07) 594 08) 3 09) outubro 10) (0, 4, 8) 11) 12, 20, 36 12) 1, 9/8, 5/4 13) 3R 14) 1,302 15) 11 SÉRIE 2 -483 01) 2475 02) 846 m 03) x 04) 175 05) 180 06) 7 h 07) R = 3 08) 55 09) 25 10) 10"Nós geralmente descobrimos o que fazer percebendo aquilo que não devemos fazer. E, provavelmente, aquele que nunca cometeu um erro nunca fez uma descoberta." (Samuel Smiles)
  15. 15. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 15 MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE II - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G) 1) INTRODUÇÃOConsideremos agora a seguinte situação: uma mercadoria, que em 1990 custava 100 reais,teve seu preço reajustado nos 4 anos seguintes, sob taxa de 10% ao ano, sobre o preço doano anterior. Vejamos uma tabela representativa desses preços: Ano Preço (R$) 1990 100,00 1991 110,00 1992 121,00 1993 133,10 1994 146,41Se você pegar sua calculadora e dividir os valores de dois termos consecutivos dessaseqüência, vai observar agora que os quocientes dessas divisões serão todos iguais.Vejamos:110 : 100 = 1,10 121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10Se lembrarmos que o número decimal 1,10 corresponde a 110/100 ou 110%, constataremosque cada preço está sendo reajustado em 10% sobre o preço do ano anterior.Esse tipo de seqüências, onde cada termo (a partir do segundo) é obtido através damultiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q), é o que chamamosde Progressão Geométrica (PG) e que estudaremos nesse capítulo.Valem para as progressões geométricas as mesmas notações e convenções que usamospara as progressões aritméticas: a1 para o primeiro termo; an para o termo geral...etc. Aúnica diferença de notação que usaremos é que, neste caso, denotaremos a razão por q enão R, como fizemos anteriormente, pois a razão agora é obtida pela divisão de dois termosconsecutivos da seqüência, e, você sabe que o resultado de uma divisão é denominadoquociente.Vejamos um exemplo inicial, para fixarmos o que já mostramos. Imagine uma progressãogeométrica, de razão igual a 2, começando no número 3. xPerceba que, se fosse uma progressão aritmética, de razão igual a 2, começando no três, ocrescimento seria bem mais lento: 3 5 7 9 11 13 15 17 21 ... +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2Você pode perceber, claramente, a mensagem que existe em frases do tipo: “A produçãode alimentos cresce em progressão aritmética, enquanto a população mundial cresceem progressão geométrica”.Podemos então resumir que uma P.G é uma seqüência onde cada termo, a partir dosegundo, é obtido pelo produto do termo anterior por um fator fixo, denominado razão.
  16. 16. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 16Podemos ainda afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior.Em nosso estudo, por motivos práticos, nos deteremos nas progressões geométricas derazões positivas (que é o que ocorre na grande maioria dos exemplos práticos) e, podemosusar a seguinte classificação para as P.G.Ou seja, se a razão é superior a 1, a progressão geométrica é crescente, se a razão éinferior a 1 (e positiva, como já combinamos), a progressão geométrica é decrescente e sea razão é igual a 1, a progressão é dita estacionária.OBS: É claro que existem progressões geométricas, normalmente teóricas, cuja razãoé negativa. Essas progressões, pelo fato de ter razão negativa, terão seus termosvariando de sinal e são ditas oscilantes. 2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.GVamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas.Podemos, dessa forma, inferir que a fórmula para o cálculo de um termo qualquer de umaP.G é: n a = a .q 1 ( n 1)FATO CURIOSO: Se você comparar as definições dos dois tipos de progressões queestamos estudando (aritméticas e geométricas), observará que o que na P.A é uma soma,na P.G se transforma em uma multiplicação. O que na P.A é uma multiplicação (ou soma de
  17. 17. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 17parcelas iguais), na P.G é uma potenciação (ou multiplicação de fatores iguais). Se lembrartambém que a razão da P.A é indicada por R, enquanto que a da P.G é indicada por q, teráum poderoso artifício para transformar as propriedades e fórmulas obtidas para a P.A, paraas propriedades e fórmulas da P.G.Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G: Verifique, a fórmula da P.A se transforma na da P.G,P.A an = a1 + R. (n - 1) bastando substituir a soma por produto, a razão R, por q eP.G a n = a 1.q( n 1) o produto por uma potência.Mas, mesmo sabendo essas fórmulas, é muito mais importante do que elas saber que,como numa escada, quantos “saltos” devemos dar para ir de um termo ao outro. Somandosempre um valor fixo, no caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, no caso da P.G.Cabe ainda ressaltar que, a fórmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo inicial quedenotaremos por a0 o que se mostrará bastante vantajoso em diversos exemplos práticosque mostraremos, como na biologia e na matemática financeira. Nesses casos, a fórmulaassumirá o seguinte aspecto:a n = a 0 .qnExemplo 1: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Você poderia (e deve) resolver diretamente essa questão, lembrando que do primeiro termo,ao décimo segundo, teríamos 11 saltos da dar e, como se trata de uma P.G, era sómultiplicar o primeiro termo pela razão elevada ao expoente 11.Exemplo 2:Quantos termos tem a P.G (1, 3, 9, ...2187) ?Solução:Verificando que a razão é igual a 3 e, usando a fórmula do termo geral, teremos: (n – 1) 7a n = a 1.q( n 1) ou ainda 3 = 2187 = 3 . Esse tipo de equação que obtivemos, onde aincógnita se encontra no expoente, chamamos de equação exponencial e, como temos uma
  18. 18. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 18igualdade de potências de mesma base, é claro que seus expoentes terão de ser iguais,logo, n – 1 = 7, o que acarreta n = 8.Exemplo 3: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é abactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transformaem 8 iguais, no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir,quantas elas serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido?Solução: A população dessas bactérias forma uma P.G.Momento inicial a1 = 11 hora depois a2 = 82 horas depois a3 = 64..................................Como estamos querendo a quantidade de bactérias 12 horas depois do início, temos queobter o 13º termo dessa progressão geométrica. Logo, aplicando a fórmula do termo geral,teremos: 12 12a13 = a1 . q ou a13 = 1 . 8 = 68 719 476 736 bactérias.Exemplo 4:(ITA) Obtenha os valores de x e y, de modo que a seqüência seja uma P.G (2, x, y, 1458)Solução:Verificamos que o primeiro termo é igual a 2 e que o quarto termo da P.G é igual a 1458.Logo, aplicando a fórmula do termo geral, teremos: 3 3 6 3a n = a 1.q( n 1) ou ainda 1458 = 2.q . Assim, q = 729 = 3 = 9 . 3 3Nesse caso, temos uma equação do tipo q = 9 , o que acarretará que q = 9.Dessa forma, podemos agora completar a progressão:(2 18 162 1458) x9 x9 x9Conclusão: x = 18 e y = 162.
  19. 19. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 19 CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Exemplo 5:Sr. Gastão aplicou R$ 1000,00 num investimento que valorizava o seu dinheiro 2% ao mês.Quanto ele vai ter, 4 meses após o início da aplicação?Solução:Esse tipo de situação, da Matemática Comercial e Financeira, é o que denominamosJUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formará sempre uma ProgressãoGeométrica, como vimos no exemplo da introdução, a razão dessa P.G é o quedenominamos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemplo, o fator de correção será igual a1,02, pois 100% + 2% corresponde a 102% ou 1,02. Logo, teremos de calcular o resultado 4de 1000 . (1,02) . Na calculadora basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43.O que vimos no exemplo acima é um dos grandes usos das progressões em nossavida – a Matemática do Dinheiro. As progressões geométricas podem (e devem) serobservadas como uma seqüência de termos com taxa de variação constante (sejapara aumento ou para redução). 3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICASA) Propriedade Fundamental de uma P. GSempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. G (de razão positiva), o termo domeio será igual à média geométrica dos outros dois.Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.G, teremos que y = x.z . Essapropriedade decorre da própria definição da P.G, onde o resultado (quociente) das divisõesentre dois termos consecutivos devem ser iguais.
  20. 20. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 20 y zDe fato, se = , isso acarretará que y 2 = x.z ou ainda y = x.z . x yEssa propriedade poderia também ser obtida diretamente da propriedade similar da P.A,bastando fazer as substituições das operações correspondentes.EXEMPLO 6: Sabendo-se que ( x - 2, 2x + 1, 5x + 10 ...) são os três primeiros termos deuma P.G crescente, obtenha: d) o valor de x e) o valor da razão da P. G f) o valor do 6º termo dessa mesma P. GSolução:De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. G,teremos: 2x + 1 = ( x 2).(5 x + 10) . Dessa forma, (2x + 1) 2 = ( x 2).(5 x + 10) . 2 24x + 4x + 1 = 5x + 10x – 10x – 20 2x – 4x – 21 = 0. Resolvendo essa equação, obteremos os resultados 7 e –3. Como a P.G écrescente, logo, a resposta válida será o valor que gerar uma razão maior do que 1. • vejamos a opção x = 7, teremos a seguinte P.G (5, 15, 45), que atende à condição do problema. • Vejamos agora a opção x = -3, teremos a seguinte P.G (-5, -5, -5)...que não atende ao nosso problema.Logo a resposta da primeira pergunta é x = 7.b) a razão da nossa P. G é q = 3 (15 : 5)c) o sexto termo da P.G será:a 6 = a1.q 5 = 5.3 5 = 1215B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produtodos extremos.Exemplo:Considere a P.G (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)Verifique: 1 . 512 = 2 . 256 = 4 . 128 = 8 . 64 = 16 . 32 = 512.Você pode, mais uma vez, tirar essa propriedade diretamente da propriedade similar da P.A,substituindo a operação de ADIÇÃO, pela de MULTIPLICAÇÃO.C) Gráfico de uma P.GVamos supor, para exemplo, uma P.G cujo primeiro termo fosse igual a 1 e a razão fosseigual a 1,5. Teríamos o seguinte tipo de gráfico:
  21. 21. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 21Você deve lembrar que, quando estudamos o gráfico da progressão aritmética, asextremidades dos segmentos verticais obtidos estavam em linha reta. Agora, na progressãogeométrica, essas extremidades estão sobre uma curva, denominada curva exponencial. 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICASeja S = a1 + a 2 + a 3 + ........ + an 2 + an 1 + anVamos multiplicar todos os termos dessa igualdade por q. Teremos então:q.S = a1.q + a2 .q + a3 .q + ........ + an 2 .q + an 1.q + an .q a2 a3 a4 an – 1 anSubtraindo a primeira expressão da segunda, teremos:q.S – S = an . q - a1 e agora, colocando o termo S, em evidência, teremos:S. (q – 1) = an . q - a1 a n .q a1S= q 1A fórmula acima pode assumir um outro aspecto, bastando substituir o an pela respectivaexpressão do termo geral da P.G. A fórmula da soma dos termos da P.G (finita) ficará então: ( qn 1)S = a1. (q 1)
  22. 22. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 22Portanto, temos duas expressões distintas para o cálculo da soma dos termos de uma P.Gfinita. A escolha de qual usar em cada situação problema dependerá obviamente dosparâmetros envolvidos em cada caso.Exemplo 7:Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...)Solução:Para este caso, é melhor usarmos a segunda expressão da fórmula da soma da P.G, poistemos o primeiro termo, o número de termos que queremos somar e a razão (q = 2). ( qn 1) (210 1)S = a1. = 2. = 2.(1024 1) = 2046 (q 1) (2 1)OBSERVAÇÃO:Verifique que, quando numa P.G decrescente, o número de termos cresce indefinidamente(dizemos que n tende ao infinito), a expressão dessa soma (que tenderá a um valor limite)ficará bastante simplificada, pois o termo an tenderá a zero.Verifique o exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0.09375, ...) observe que quantomaior o número de termos, mais se aproxima de zero o último termo considerado.Logo, a fórmula que estudamos ficará, neste caso, transformada em: a n .q a1 lim S = a1 S= substituindo an por 0, teremos então 1 q q 1 nExemplo 8:Calcular a soma dos termos da P.G (16, 8, 4, 2, 1, ....)Solução:Verificamos que se trata do caso da P.G com razão menor que 1 (q = ½, P.G decrescente).Quando o número de termos tender ao infinito, o último termo tenderá a zero e poderemosaplicar a fórmula anterior, ou seja: a1 16 16lim S = = = = 32 1 q 1 1 1 2 2nExemplo 9 (PUC):Na figura está representado um conjunto infinito de círculos C0, C1, C2, .... Os diâmetros detodos eles estão sobre um segmento de reta de comprimento igual a 1. Além disso, o raio deCn é a metade do raio de Cn – 1 . A área da região hachurada na figura é:
  23. 23. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 23Solução:Pela figura, verificamos que a área hachurada é igual à diferença entre a área do maiorsemicírculo (C0 ) e a soma das áreas dos demais semicírculos, a partir do C1. 1 2 . r a) Raio do semicírculo C0 = ½ . Área desse semicírculo = = 4 = 2 2 8 1 . r2 16 = b) Raio do semicírculo C1 = ¼. Área desse semicírculo = = 2 2 32 1 . r2 c) Raio do semicírculo C2 = 1/8. Área desse semicírculo = = 64 = 2 2 128Percebemos que cada área é igual a ¼ da área anterior, logo, essas infinitas áreas formamuma P.G decrescente, de razão igual a ¼. Podemos, mais uma vez, aplicar a fórmula dolimite da soma, quando o número de parcelas tende a infinito. Considerando como primeirotermo a área do semicírculo C1 a1 4lim S = = 32 = 32 = . = 1 q 1 3 32 3 24 1 4 4nFinalmente, a área hachurada pedida, será igual a: = 8 24 12 Dificuldades reais podem ser resolvidas; apenas as imaginárias são insuperáveis." (Theodore N. Vail)
  24. 24. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 24 4) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO A) OS FATORES DE CORREÇÃOConforme já comentamos anteriormente, o grande uso prático das progressões geométricasestá nas seqüências de taxa de variação constante. Isso ocorre em muitas situações queenvolvem dinheiro, operações bancárias e comerciais.Para que você resolva a maioria dessas questões que, independentemente de estarem ounão nos concursos que realizamos – e estão – achamos fundamental enfocar com maisdetalhes os fatores de correção e a matemática do dinheiro.Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos nossas contas,conferir trocos, coisas desse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que o dinheiro, astransações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes na vida de todas aspessoas.Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos, mais 100reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter todos esses valorespara uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma. Analogamente, precisamos tomarcuidado com valores monetários no tempo. Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas comintervalos de 30 dias, correspondem a um único pagamento de 300 reais, numa Economiacom inflação?Infelizmente, a maioria dos livros de matemática ignora esta fato, assim como ignoramtambém a inflação. Esse tipo de erro é encontrado tanto em textos para o EnsinoFundamental e para o Ensino Médio.Você deve concordar comigo que, sem a Matemática, não conseguiríamos entender nossoscontracheques, calcular nossos aumentos de salário, identificar os produtos queaumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as propagandas enganosas,reivindicar nossos direitos trabalhistas, ...Observe a reportagem seguinte:Fonte: Revista Veja – Edição 1755 de 12 de junho de 2002
  25. 25. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 25Nossa abordagem inicial será através de um importante “segredo” da “Matemática dodinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que, este conceito, é abase de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e Financeira e, com o auxíliode uma calculadora simples, você poderá entender e resolver uma grande quantidade deproblemas que estão no nosso cotidiano.Após um estudo detalhado desses fatores de correção, voltaremos à reportagem da revistaVeja, verificando as informações nela contidas.Nossa abordagem será feita de forma contextualizada, através de pequenas histórias queservirão para nos apresentar e familiarizar com essa Matemática inserida nas transaçõesfinanceiras e de comércio. História 1O salário de Maria era, em agosto de 2001, de R$ 320,00 e, após muita luta, recebeu umreajuste de 12% no mês de setembro de 2001. Qual o valor do salário que Maria passou areceber a partir de setembro?Perguntamos a dois professores nossos conhecidos como resolveriam a questão acimaproposta e, obtivemos as seguintes respostas: 12% são 12 centésimos, logo, divido 320 por 100 para achar um centésimo, depois Professora AnaAcho que você concorda comigo que a solução da professora Ana está correta, uma boasolução, vejamos sua solução completa:320 : 100 = 3,203,20 x 12 = 38,40320 + 38,40 = 358,40 12% são 12 centésimos ou 0,12... para saber quanto vale 0,12 de uma quantia, basta Professor JoséA solução do professor José, que também é muito boa, está correta também, certo?Vejamos sua solução completa:0,12 x 320 = 38,40320 + 38,40 = 358,40Verifique que os dois professores souberam aplicar seus conhecimentos para descobrir onovo salário de Maria. O professor José apresentou uma solução um pouco mais rápida, eele conhece um fato importante que dá um significado da multiplicação: ele sabe que, aomultiplicarmos 0,12 por 320,00, o resultado significa quanto vale 0,12 da quantia 320,00, ouseja, quanto vale 12 centésimos de 320,00.Gostaríamos que você acompanhasse conosco uma outra forma de resolver esse problema.
  26. 26. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 26Em agosto, a professora Maria recebia 100% do seu salário, certo? Mas em setembropassou a receber 12 % a mais desse valor. No total, acho que você concorda comigo, elavai ficar com 112% desse salário!Para achar 112% = 112/100 ou 1,12 de uma quantia, basta multiplicá-la por esse valor. Façana sua máquina de calcular a multiplicação 1,12 x 320,00 e compare com as respostasencontradas pelos professores José e Ana. Percebeu que obtivemos a mesma resposta? “Refletindo sobre o assunto”Alguns alunos ou professores, que resolvem essa questão como o professor José ou aprofessora Ana, podem achar melhor o modo como pensavam antes e continuar resolvendoos problemas da mesma maneira.Mas quando relacionamos as coisas que já sabemos em Matemática podemos descobrirnovos caminhos, e isso nos leva sempre a compreender mais essa ciência. Veja ainda umavantagem, a última solução é bem mais rápida que as demais. Veja: Salário de 320,00, após receber um aumento de 12%. 1,12 x 320,00 = 358,40 Em Matemática Financeira, dizemos que, nesse caso: • A taxa de aumento percentual do salário foi de 12% • O fator de aumento (ou multiplicador) do salário foi de 1,12. História 2:Durante uma liquidação, na loja “KOBRA KARO”, foi colocado um grande cartaz,anunciando descontos de 15% para todas as mercadorias. Quanto passará a custar umacalça jeans que, antes da promoção, custava R$58,40? GRANDE LIQUIDAÇÃO!!! 15% EM TODAS AS MERCADORIASPoderíamos desenvolver uma solução mais extensa, como a que a professora Ana fez naHistória 1.15% correspondem a 15 centésimos do preço da calça.Um centésimo do preço da calça corresponde a 58,40 : 100, que é igual a 0,584. Quinzecentésimos corresponderão a 15 x 0,584, que é igual a 8,76. Dessa forma, o preço da calçana liquidação será: 58,40 – 8,76 = 49,64Que tal resolvermos da forma mais rápida, como também fizemos na história 1. Verifique oque vai ocorrer se multiplicarmos 58,40 x 0,85?58,40 x 0,85 = 49,64
  27. 27. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 27Por que será que agora usamos o número 0,85 para gerar o desconto oferecido pelaloja?Veja que podemos usar um raciocínio parecido com o que fizemos na história 1, ou seja:Preço normal da calça = 100%. Desconto oferecido = 15%. Valor a ser cobrado naliquidação = 100% - 15% = 85%.Como sabemos que 85% correspondem a 85 centésimos ou a 0,85, temos a conclusão quequeríamos, encontrar o preço da calça com 15% de desconto, bastará multiplicar o preçonormal de 58,40 por 0,85.Nesse caso temos: • taxa percentual do desconto foi de 15% • fator de redução (ou multiplicador) para 15% foi 0,85.Os dois fatores (ou multiplicadores) que usamos – o de aumento na história 1 e o deredução na história 2, são denominados FATORES DE CORREÇÃO.Acho que você concorda comigo que todo fator de aumento será um número maior do que 1e todo fator de redução será um número menor do que 1. Por que será? Exemplo 9: Se o jornal anunciar, num determinado mês, que a caderneta de poupança será corrigida pelo fator 1,025, ele estará nos informando que os investidores estarão recebendo que correção percentual sobre o saldo anterior?Solução:Como o fator 1,025 corresponde à taxa percentual de 102,5%, verificamos que a correçãodas cadernetas de poupança foi de 2,5%.Aumentos ou Reduções Sucessivos e As Progressões Geométricas.Você sabe que em nosso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos situações de aumentosou reduções sucessivas, como na caderneta de poupança, nas liquidações, nos reajustes deimpostos ou mesmo de salários (menos comum, infelizmente). O que será que ocorre comos fatores de correção nesses casos?Vejamos um exemplo:Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de 4%, respectivamente. Qualo aumento percentual correspondente a essas duas correções?Você poderia usar um recurso, bastante válido, de supor um preço inicial para essamercadoria (normalmente usamos o valor de 100 reais, pois facilita nossos cálculos). Emseguida, aumentar esse preço em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correção.Comparando o preço final com os 100 reais, teremos a variação percentual procurada.Vejamos esse tipo de solução.Preço inicial = 100 reais primeira correção (3%) = 103 reais segunda correção,4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preço final será de 103 reais +4,12 reais = 107,12 reais.
  28. 28. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 28Se compararmos o preço final de 107,12 reais, com o preço inicial de 100 reais, temos que oaumento foi de 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que oaumento percentual foi de 7,12%.Gostaríamos de alertá-lo novamente sobre a agilidade que você pode adquirir, usando paraesse tipo de questões os fatores de correção, como já vimos anteriormente. Vejamos essaoutra possível solução. Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria de P. Você já deve estar sabendo que, comum aumento de 3%, usando os fatores de correção, esse preço passará a ser de P x 1,03(certo?). Com o segundo aumento de 4%, o preço passará a ser de P x 1,03 x 1,04 o quecorresponde a P x 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai significar que,independentemente do preço inicial ele está, após os dois aumentos sucessivos, sendomultiplicado pelo fator 1,0712, o que corresponde a uma variação percentual de 7,12%, amesma resposta que achamos na primeira solução comentada.Gostaríamos que você observasse esse importante fato nas transações comerciais e naMatemática Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em países como o Brasil)geram um aumento acumulado que pode ser obtido através do PRODUTO dos fatores deaumento correspondentes às taxas desses aumentos.Um raciocínio parecido com esse seria feito para o caso de reduções sucessivas de preçosou salários.Reduções sucessivas podem ser também calculadas através do PRODUTO dos fatores deredução correspondentes às taxas dessas reduções.Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Ensino Fundamental é que elesnormalmente só abordam os chamados juros simples e, nesse caso, daria ao aluno a falsaimpressão de que os dois aumentos desse exemplo gerariam um aumento total de 7%. Talfato só estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ouseja, se eles não fossem acumulativos, ou sucessivos – o que caracteriza uma situaçãodenominada juros compostos.Exemplo 10:Qual a variação percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos de 30%?Solução:Aplicando direto o conceito de fatores de correção, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houveum aumento acumulado de 69%.Verifique que, se usássemos valores monetários, formando uma seqüência, como se tratade taxa fixa de correção, teríamos uma situação muito particular e já conhecida nossa,vejamos:Supondo um valor inicial de 100 reais.Com um primeiro aumento de 30%, teremos um segundo valor de 100 x 1,3 = 130 reais.Com um segundo aumento de 30%, teremos um terceiro valor de 130 x 1,3 = 169 reais.Logo, temos a seqüência (100, 130, 169), que é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA derazão igual a 1,3 (ou 1,30) o que corresponde a uma variação percentual fixa de 30% deaumento.O Fato que verificamos acima irá sempre acontecer quando as taxas de variação foremconstantes e aumentos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação deprogressões geométricas.
  29. 29. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 29 História 3:O remédio que o Sr. João toma diariamente, para pressão alta, custava R$ 40,00 no mês deabril de 2001 e passou a custar R$ 48,00. Qual foi o fator de correção e o aumentopercentual correspondente?Você já sabe que ao multiplicarmos o valor inicial pelo fator de correção teremos o valorfinal, no caso o preço do remédio com a correção. Isso também significa que, dividindo ovalor final pelo valor inicial, obtém-se o fator de correção. Valor final: valor inicial = fator de correçãoNo caso narrado na história 3, teremos que o fator de correção será igual a 48,00 : 40,00 =1,225.Espero que, nesse ponto de nosso curso, você já esteja sabendo que esse fatorcorresponde a uma variação percentual de 22,5% (aumento do remédio).Caso não tenha ainda percebido o que aconteceu, vale a pena observar que:Quando multiplicamos o valor inicial por 1,225 (fator de correção) é como tivéssemosmultiplicado por (1 + 0,225). Multiplicar por 1 reproduz o valor inicial e multiplicar por 0,225(ou 22,5 / 100) dará o aumento havido. Que em nosso caso corresponde a 22,5%.Verifique também o importante fato de que os números decimais podem ser transformadosem percentagens por uma multiplicação por 100.Veja:0,225 = 22,5 % (0,225 x 100)0,15 = 15% (0,15 x 100)0,8 = 80% (0,8 x 100)1,32 = 132% (1,32 X 100)2,45 = 245% (2,45 X 100)Podemos resumir o que ocorreu nessa história, quando temos o fator de aumento equeremos obter o percentual de aumento correspondente. Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para conhecer o aumento havido. Exemplos: Fator de aumento Aumento gerado Percentual de aumento 1,45 1,45 – 1 = 0,45 45% 1,953 1,953 – 1 = 0,953 95,3% 1,065 1,065 – 1 = 0,065 6,5% 2, 86 2,86 – 1 = 1,86 186% História 4:Ritinha, que recebe um salário de R$ 340,00 por mês, verificou em seu contracheque que,após todos os descontos sofridos por ela em um determinado mês, recebeu apenasR$ 299,20. Você saberia determinar o percentual do desconto a que foi submetido o saláriode Ritinha?Você já verificou, na história 3, que existe um modo de obtermos o fator de correção dosalário de Ritinha que, nesse caso, será um fator de redução.Antes de continuar a leitura do comentário dessa história, verifique se você está sabendocomo determinamos o fator de correção.Nesse caso, o fator de redução será igual a 299,20 : 340,00 = 0,88.
  30. 30. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 30Qual o percentual de redução do salário de Ritinha, ao ter sido multiplicado por 0,88?Se eu disser que é de 12%, você saberia o porque dessa minha resposta?O fato é que o 0,88 obtido como fator de redução corresponde a uma taxa de 88%. Como osalário de Ritinha sem os descontos, corresponde a 100%, a redução sofrida será adiferença entre 100% e 88%, concorda?Uma outra forma de entender essa resposta, e semelhante a que vimos no fator deaumento, e lembrar que 0,88 é igual a (1 – 0,12) e, se multiplicarmos o salário de Ritinha poresse fator teremos a multiplicação por 1, que recompõe o valor do salário, sem descontos,menos a multiplicação do salário por 0,12, o que representa os descontos ou seja, umpercentual de 0,12 x 100 ou 12 %. Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para conhecer a redução ou desconto havido.Exemplos: Fator de redução Redução gerada Percentual de redução 0,45 1 – 0,45 = 0,55 55% 0,95 1 – 0,95 = 0,05 5% 0,76 1 – 0,76 = 0,24 24% 0, 86 1 – 0,86 = 0,14 14% História 5:Esta historinha ocorreu (ou melhor, não chegou a ocorrer) na loja do Sr. Manoel, meuvizinho, há muitos anos atrás.Sr. Manoel pretendia usar uma estratégia para tentar movimentar sua loja – aumentaria opreço de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, anunciando uma grandeliquidação, daria descontos de 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que,agindo dessa forma, venderia pelos mesmos preços de antes, com a vantagem de estaranunciando uma liquidação. Antes de continuar a leitura dessa história, qual a sua opiniãosobre a estratégia que ele pretendia usar?Quando ele começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria comoreferência, teve o susto de verificar que não ocorria como havia planejado e que seriaobrigado a vender por um preço inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou-me paraperguntar o que estava ocorrendo, onde estava o erro de sua estratégia e, desistiu doartifício após minha explicação. Vejamos o que ocorreu ...Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Manoel, para compor a tabela,teria de colocar o preço de 120 reais e quando fosse na tal “liquidação”, teria que dar umdesconto de 20% sobre os 120 reais, que corresponderia a um desconto de 24 reais. Logo,teria de vender a mercadoria por 120 – 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda de 4 %.O fato é simples de ser entendido se você lembrar que o aumento inicial e o descontoposterior foram ambos de 20%, só que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foisobre os 100 reais, o desconto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre120 é maior que 20% sobre 100.Gostaria de lembrar que essa questão é também um caso de correções sucessivas(aumento, seguido de redução) e, como já vimos anteriormente, podemos usar mais umavez os fatores de correção.
  31. 31. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 311,2 representa o fator de correção ou multiplicador para um acréscimo de 20%, certo? E0,80 (ou 0,8) representa o fator de correção para um desconto de 20%.O produto 1,2 por 0,8 (aumento e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é umfator de redução. Qual o percentual dessa redução (que para o Sr. Manoel seria umaperda)? Acertou se pensou em 4%. (lembra que temos de calcular 1 – 0,96 = 0,04 ou 4%). História 6:Vamos apresentar agora uma história que, provavelmente, você já se deparou com algumfato semelhante em sua vida. Essas situações estão presentes no cotidiano de todas aspessoas. Uma loja anuncia a venda de um aparelho de som, com duas possibilidades de pagamento. A vista por R$ 1500,00 ou com uma entrada de 50% e uma segunda parcela de R$ 900,00, paga 30 dias depois. Quanto está pagando de juros a pessoa que escolher a segunda opção de pagamento?Um aluno meu apresentou a seguinte solução: • Preço a vista = R$ 1500,00 • Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00 • Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 – R$ 1500,00 = R$ 150,00 • Percentual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10%Você concorda com essa solução de meu aluno? Em caso negativo, apresente uma outra ecompare em seguida com o comentário apresentado.Verifique comigo que esta solução (que aparentemente não tem nada de errada) não estácorreta já que, quando o cliente paga a entrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívidade R$ 750,00 e é sobre esse valor que nossos cálculos devem ser efetuados (é o quedenominamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificando-se o aumento de R$ 750,00 para R$ 900,00.Devemos determinar o percentual de juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais,com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%.Se formos usar os fatores de correção, teremos que, neste caso, o fator de aumentocorresponde a 900 : 750 = 1,20.O fator 1,20 corresponde a um acréscimo de 1,20 - 1 = 0,20 = 20%.Verifique que é uma resposta bem diferente da que meu aluno calculou e nós, pordesconhecimento ou falta de atenção, muitas vezes somos levados a calcular erradamenteos juros que estão inseridos nas compras que fazemos. História 7: Vejamos agora um fato interessante e que você talvez se assuste com a sua conclusão. Imaginemos um jogo no qual a pessoa, em cada rodada, se ganhar recebe metade do que possui na ocasião e se perder, perde metade do que tem no momento. Uma pessoa, que entrou com R$ 128,00, fez 6 apostas consecutivas, ganhando 3 e perdendo 3 dessas apostas. O que podemos afirmar sobre esse apostador? A) Que ele ganhou dinheiro.
  32. 32. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 32 B) Que ele não ganhou, nem perdeu dinheiro. C) Que ele poderá ganhar, ou perder dinheiro, dependendo da oredem em que ocorrerem as 3 vitórias e as 3 derrotas. D) Que ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem em que ocorreram as vitórias e as derrotas.Solução:Antes de mostrarmos a solução a este jogo, vamos tentar uma das hipóteses possíveis,para buscar alguma pista, ou descartar opções de resposta.Vamos supor que o nosso jogador tivesse ganhado as três primeiras rodadas e perdido astrês últimas.A evolução de seu capital seria: 128 192 288 432 216 108 54. Note que ojogador perdeu dinheiro e, como entrou com 128 reais e saiu com 54 reais a sua perda foide 128 – 54 = 74 reais. Com isso já podemos descartar as opções A e B, mas, será que seas vitórias e derrotas ocorressem em outra ordem o resultado seria o mesmo? Vamos suporagora que as vitorias e derrotas se alternassem. Vejamos o que ocorreria...128 192 96 144 72 108 54. Percebemos que chegamos ao mesmoresultado, uma perda de 74 reais. Mas poderia ser uma coincidência...Vamos usar novamente os nossos fatores de correção e tentar uma explicação convincentedeste jogo.Lembre-se que quando um valor aumenta em 50%, ele está sendo multiplicado por 1,5.Lembre também que quando um valor reduz 50%, ele está sendo multiplicado por 0,5. Onosso valor inicial, 128 reais, estará sendo multiplicado três vezes por 1,5 e três vezes por0,5. Como a ordem dos fatores não altera o produto, confirmamos que, independentementeda ordem das vitórias e derrotas, o resultado final será o mesmo. E qual será esseresultado?128 x 1,5x1,5x1,5x0,5x0,5x0,5 = 54Conclusão desse surpreendente jogo. Ele perdeu 74 reais, independentemente da ordemem que se sucederam vitórias e derrotas. (opção D)VOLTANDO À INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO.Na página 23, quando começamos a conversar sobre matemática e dinheiro, exibimos umareportagem da revista Veja, de junho de 2002, onde temos que a inflação (naquelemomento) acumulada nos oito anos do plano Real, era de 179%.Baseando-se nessa informação e com a ajuda dos fatores de correção que acabamos deestudar, você poderia agora verificar se todas as informações contidas no texto estãocorretas.Podemos agora resumir, os principais conceitos que aprendemos nas historinhas queapresentamos, com objetivo de apresentar os fatores de correção: Você reparou que: Todo fator de aumento é um número superior a 1? O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24. Todo fator de redução é um número inferior a 1?
  33. 33. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 33 O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de redução percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76. Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não pela soma das taxas a eles correspondentes? B) À VISTA OU A PRAZO?Um dos problemas mais comuns de encontrarmos no nosso dia-a-dia refere-se à decisãode comprar à vista ou a prazo uma determinada mercadoria. Somos sempre tentados pelapropaganda, com promoções do tipo “20% de desconto à vista ou em três vezes semacréscimo”. A decisão melhor decisão dependerá de uma série de fatores, como taxas dejuros, disponibilidade do comprador.Vamos mostrar nessa seção que, mais uma vez, o valor do dinheiro no tempo, os fatores decorreção e as progressões geométricas serão fundamentais para nossa escolha correta.É claro que existirão casos que as opções serão equivalentes, nesses casos, tanto faz umaescolha ou outra. Vejamos um exemplo:Na conseguiu um tipo de investimento que lhe paga juros de 5% ao mês pelo dinheiro queaplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma calça jeans pode ser comprada a vista por 80reais ou ser adquirida com um cheque pré-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que,nesse exemplo apresentado, as duas opções são equivalentes, pois se ela aplicar os 80reais por 30 dias, vai receber de juros 4 reais (5% de 80) o que permitirá exatamente cobriro cheque pré-datado.Portanto, todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas no fatodo valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de jurosque incide sobre os valores aplicados (pode ser a da caderneta de poupança, por exemplo).Logo, se a taxa vigente para as aplicações (taxa de atratividade do mercado) for de 3% aomês, 100 reais hoje valerão 103 reais em um mês, valerão 106,09 reais em dois meses 2(multiplicando 100 x (1,03) ), valerão 109,27 reais em três meses (multiplicando 100 x 3 n(1,03) ), e valerão multiplicando 100 x (1,03) daqui a n meses.Verifique que o fato que mostramos nada mais é que a utilização prática da fórmula dosjuros compostos.Podemos assim resumir o que acabamos de mostrar: Um valor monetário M, valerá daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao n mês, M x (1 + i) . (com a taxa i expressa na sua forma decimal) n M VALORIZAÇÃO NO TEMPO M x (1 + i)Analogamente, caso o valor fosse considerado num período anterior, ou seja, n meses ou nperíodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M : (1 + i) n M DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO M : (1 + i)PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROSCOMPOSTOS, TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM COM O QUE ACABAMOS DEMOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR n n n n(1 + i) (OU F )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR (1 + i) (OU F ).
  34. 34. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 34Exemplo 11:Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2002. Acontece que Lídia ganhou umdinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2002, ouseja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia terá de pagar?Solução:Como se trata de uma antecipação de pagamento é claro que Lídia pagará um valor menor.Aplicando o que vimos anteriormente, o valor será igual a 80 : (1,05) = 76,19 reais.Exemplo 12:Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois,ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valordesse último pagamento?Solução:Entendemos que fica mais fácil perceber o que está ocorrendo mostrando um gráfico dasituação – é o que chamamos de fluxo de caixa.5000 Devemos “empurrar” todos os valores para 1 2 3 uma mesma data (por exemplo para o mês 3) 0 e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos). 2500 x 32500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)2625 + x = 5788,13x = 3163,13Resposta: Vinícius deverá pagar uma segunda parcela de R$ 3163,13Exemplo 13:Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendocobrada pela loja?Solução:Nesse caso está faltando o valor da taxa de juros cobrada, sugerimos chamar a incógnita doproblema de F, que é o nosso fator de correção. Fica mais simples trabalhar com essavariável do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos ataxa procurada.Vejamos o fluxo de caixa do problema. 400 Sugerimos agora “empurrar” todos os valores 1 2 para a data 2 e igualar as entradas (valoa a vista) com as saídas (prestações). 220 220
  35. 35. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 35 2400 . F = 220 . F + 220 2 240 . F = 22 . F + 22 ou 20. F – 11. F – 11 = 0Resolvendo a equação do segundo grau, teremos: 11 ± 121 4.20.( 11) 11 ± 1001 11 ± 31,64F= = 40 40 40 42,64Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = 1,067 40Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7% EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 3): 1) Obtenha o sexto termo de uma P.G, de razão positiva, onde o quinto e o sétimo termos valem, respectivamente 9 e 16. 2) Qual o valor da soma dos sete primeiros termos de uma P.G definida por: an = 3n 2 ? 3) A população de um país era de 3 000 000 de pessoas em 1999. Sabe-se que essa população cresceu a uma taxa constante de 2% ao ano. Que população o país atingiu em 2002? 4) Considere a progressão geométrica (100, 80, 64, ...). Qual a razão dessa P.G e a sua representação como uma taxa de variação? 5) Qual o sétimo termo de uma P.G cujo quinto termo vale 5 e o oitavo termo vale 135? 6) Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existente em certo recipiente. Depois de 6 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente? 7) Qual a variação da área de um retângulo cuja base sofre um aumento de 10% e a altura sofre uma redução de 10% do seu valor? 8) A espessura de uma folha de estanho é 0,1 mm. Forma-se uma pilha com essas folhas colocando-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha será, aproximadamente: a) a altura de um poste de luz. b) A altura de um prédio de 40 andares. c) O comprimento da praia de Copacabana. d) A distância Rio / São Paulo e) O comprimento do equador terrestre. 9) (Escola Naval) Divide-se um segmento de comprimento L em três partes iguais e retira-se a parte do meio. Divide-se, em seguida, cada uma das partes que sobraram em três partes iguais e retira-se a parte do meio. Repetindo-se essa operação uma infinidade de vezes, qual será a soma dos comprimentos retirados?
  36. 36. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 3610) (Escola Naval) Ações de certa companhia valorizaram-se 10% ao mês, durante cinco meses consecutivos. Quem investiu nessas ações obteve, durante esses cinco meses, um lucro aproximado igual a: a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%11) (UFRJ) Certa população de bactérias dobra a cada hora. Num certo dia, às 8 horas da manhã, a população é de 1000 bactérias. A que horas a população será de 512 000 bactérias?12) (AFA) 2 3 A raíz da equação 1 + x + x + x + ... + = 4 é igual a :13) Luciana comprou um aparelho de som em três prestações (30, 60 e 90 dias da data da compra). O aparelho à vista custava R$ 900,00 e as duas primeiras parcelas foram de R$ 400,00. Se a loja está cobrando juros de 6% ao mês, qula será o valor do terceiro pagamento que Luciana terá de fazer?14) Uma loja oferece duas opções de pagamento para as compras. À vista, com 30% de desconto ou em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Quanto está pagando de juros, em um mês, a pessoa que escolher a opção em dois pagamentos?15) Lídia comprou um relógio, pagando R$ 180,00 um mês após a compra e R$ 200,00 dois meses após a compra. Se foram pagos juros de 12% sobre o saldo devedor, qual era o preço à vista desse relógio? GABARITO (SÉRIE 3) 1093 04) q = 0,8 e 01) 12 02) 03) 3 183 624 05) 45 3 redução de 20%06) 87,38% 07) reduz 1% 08) D 09) L/2 10) D 11) 17 h 12) ¾ 13) R$198,47 14) 150% 15) R$320,15
  37. 37. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 37 PARTE III – ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) “PARA COMEÇAR A CONVERSA”… O HOMEM QUE SEMPRE GANHAVA NAS CORRIDAS DE CAVALO “Caso verídico narrado pelo professor Manoel H. Botelho à Revista do Professor de Matemática (SBM, nº 18) Inesperadamente, numa terça-feira, chegou-me uma carta. Envelope branco, sem nome doremetente. Dentro, um papel dizia simplesmente: “Sr. Manoel. Sou seu amigo. Sei o cavalo que vai ganhar no quarto páreo do próximo sábado. Será o cavalo nº 3. Atenciosamente, Antônio Silva.” Não sou de jogar, por princípios morais e por achar que, entendendo de Matemática e Teoriadas Probabilidades, o jogo não favorece ao jogador. Nem liguei para a enigmática carta. Quemseria Antônio Silva? Juro, mas juro mesmo, que a única conseqüência da carta foi eu ler, pela primeira vez naminha vida, a seção de turfe no jornal de Domingo. Surpresa! Deu o cavalo nº 3 no quarto páreode sábado. Fiquei surpreso, intrigado. Ao ler os comentários do cronista do jornal, entendi tudo. Ocavalo nº 3 era o segundo principal favorito. Sua chance de ganhar era grande. Assim, até euacerto. A história terminaria por aí se na outra quarta-feira eu não recebesse uma nova cartinha: “Vai dar o cavalo nº 2 no sexto páreo do domingo”. Aquilo agora era um desafio. Corri a ler a seção de turfe no jornal. Aumentando a minhaexpectativa, o comentarista dizia: “No domingo, sexto páreo, o nº 2 não terá chances”. Porcuriosidade, ouvi a transmissão da corrida pelo rádio. Suspense! Ganhou o nº 2. Um misto deangústia e surpresa me assaltou. Como o Antônio Silva podia saber quem ia ganhar? Afinal, onúmero 2 era azarão!Na terça-feira não recebi a nova cartinha, ou seria mais honesto eu dizer, não recebi a tãoesperada cartinha. Chegou a desejada na quarta-feira. Simples e objetiva como sempre. “Sr. Manoel. No domingo, primeiro páreo, vai dar o número 1. Antônio Silva.” Embora eu não estivesse entendendo o porquê de ser eu o privilegiado receptor de tãocerteiros palpites, decidi jogar. A primeira e última vez, prometi eu. Joguei e ganhei. Infelizmente joguei pouco e por isso pouco ganhei. Fiquei revoltado. Se muitotivesse jogado, muito teria ganho. A espera de uma nova cartinha foi em ambiente de alta tensão. E lá veio ela, agora na sexta-feira. Os termos eram algo diferentes:
  38. 38. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 38 “Sr. Manoel. Graças a meus conhecimentos, o Sr. teve três indicações certas para jogar. O Sr. deve hoje estar rico com o que ganhou. Tenho o nome do cavalo que vai dar no próximo sábado. Não quero dinheiro. Quero apenas que o Sr. jogue em sociedade comigo. O Sr. trará no mínimo cinqüenta mil reais e apostaremos esse valor no cavalo que eu lhe direi. O Sr. ficará com a metade do valor da aposta e eu, com a outra metade. Amanhã lhe telefono. Seu amigo, Antônio Silva.” O homem era meu amigo, seguramente. A proposta era muito boa. Ele jogaria junto comigo(se bem que com meu dinheiro, destaque-se). Eta homem seguro de seus conhecimentos!Dinheiro ele não queria. Queria apenas os boletos (poules) do jogo. Retirei o dinheiro do banco eesperei o telefonema. Não teria sido melhor ele dar o seu telefone? Não entendi o anonimato.Nem telefone, nem endereço. Só o nome, Antônio Silva. Afinal, por que um amigo permaneceincógnito? Seria modéstia? Ou seria acanhamento desse meu amigo? Sábado de manhã o telefone tocou. Era Antônio. Marcamos o encontro. Sábado, no centroda cidade, em frente ao Centro de Apostas. O meu amigo Antônio me esperaria junto ao poste,segurando um jornal aberto na Seção de Turfe. Encontrei-o na hora certa. Quarentão algo gordo, costeletas compridas, camisa de seda transparente, cordão de ourono pescoço, dente de ouro na boca, relógio de ouro no pulso. Apresentamo-nos e fomos direto aoguichê. Cinqüenta mil reais de aposta, vinte e cinco mil de poules para mim e outro tanto para ele.Junto ao guichê, ele finalmente falou, sussurrando o segredo. “ No quarto páreo, cavalo nº 5.”Antônio era simpático, mas de pouca conversa. Pegou os vinte e cinco mil em poules que lhecabiam e despediu-se (estava com um filho com febre). Desapareceu na multidão. Solitário, fui para casa esperar que desse o cavalo nº 5 no quarto páreo. O locutor do rádiofoi dramaticamente claro na chegada desse páreo: “Os cavalos Príncipe da Alegria (nº 2) e Seta Dourada (nº 6) chegam juntos e cruzam alinha de chegada”. Perdi. Até hoje não sei o porquê. Antônio nunca mais me procurou. Peço aos leitores ajuda para deslindar esse mistério. O mistério de Antônio, o homem quesempre ganhava (ou quase sempre) nas corridas de cavalos. QUAL A SUA OPINIÃO SOBRE O “TRUQUE” USADO PELO SR. ANTÔNIO. O QUE SERÁ QUE ELE FAZIA PARA ENGANAR AS PESSOAS? COMENTÁRIO: O espertalhão do Sr. Antônio pegou uma lista telefônica, selecionou 10 mil pessoas(Manoel entre elas) e dividiu-as em dez grupos, correspondentes aos 10 cavalos quecorreriam um páreo. A cada grupo enviou cartas indicando um dos cavalos comovencedor. Os mil que receberam a indicação certa (obrigatoriamente mil), ele dividiu em 10grupos de 100 e enviou novas dicas de cavalos para outro dia, aí por diante. No final, Antonio sempre ganhava quando dava o bote final.
  39. 39. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 39 2) COMBINATÓRIA–PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (Adaptação do Projeto Educ@ar (USP / SC) e da aula 48 do Tele-curso, da Fundação Roberto Marinho) 2.1) Elementar: O raciocínio combinatórioExemplo inicial: "Os sanduíches da padaria Regênciasão famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano.Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto oumortadela. Quantos tipos de sanduíche a padariaoferece?"Quem encontra pela primeira vez esse tipo de problemapode não perceber que se trata de uma situação queenvolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar deforma desorganizada algumas combinações de pão com recheio.Vejamos como o problema pode ser resolvido. Para todas as combinações possíveis,precisamos pensar de maneira organizada. Isto pode ser conseguido, por exemplo, com aajuda de uma tabela retangular. salame queijo presunto mortadela pão de pão de forma pão de forma pão de forma pão de forma com forma com salame com queijo com presunto mortadela pão pão francês pão francês pão francês com pão francês com francês com salame com queijo presunto mortadela pão pão italiano pão italiano pão italiano com pão italiano com italiano com salame com queijo presunto mortadela Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo: Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore (deitada), é conhecidocomo árvore das possibilidades. Tanto com a tabela retangular como com a árvore das possibilidades, podemosobter a solução do problema: contamos os tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos. Oque não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação.
  40. 40. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 40 Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pãotemos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, ossanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12. Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheiopara obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de raciocínio combinatório, o qualleva á multiplicação. Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de "desenho" doraciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos",dando um total de 12. Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, comono caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação.Mas, quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginoudesenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios? Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de trêsalgarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição dealgarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantosnúmeros podem ser escritos nestas condições?" Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, masos números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginarescrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas noproblema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades. Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usadonas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenastemos duas maneiras de escolher o das dezenas.Ao escrever o algarismo das unidades não podemos repetir nenhum dos dois que já foramusados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os doisprimeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito.Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132,213, 231, 312 e 321.O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles! • "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser escritos nestas condições?"
  41. 41. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 41 Vamos construir a árvore das possibilidades para este problema:Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma delas, há3 maneiras de escolher o dígito das dezenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolheraqueles dois dígitos. Para cada uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolhapara o algarismo das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades podemos ver quais são estesnúmeros. 2.2 ) O princípio fundamental da Contagem (ou multiplicativo)A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada comatividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. Asprimeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contarobjetos de um conjunto, enumerando seus elementos. As operações de adição e multiplicação são exemplos de técnicas matemáticasutilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira (adição) reúne oujunta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda (multiplicação) é normalmenteaprendida como uma forma eficaz de substituir adição de parcelas iguais. A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante emMatemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui aferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessárioenumerar seus elementos (como veremos nos exemplos).Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória.EXEMPLO 1:Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar·, separou 2 saias e 3blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.
  42. 42. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 42solução: O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também pode ser enunciado daseguinte forma: Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outradecisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras detornarmos as decisões d1 e d2 será n · m. No exemplo anterior havia duas decisões a serem tomadas:d1: escolher uma dentre as 3 blusasd2: escolher uma dentre as 2 saias Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2, ou seja,6 possibilidades diferentes de se vestir.EXEMPLO 2: Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada,salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). Dequantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, umasalada e uma sobremesa?Solução: Esse e outros problemas da análise combinatória podem ser representados pelaconhecida árvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma árvore oproblema do cardápio do restaurante. Observe que nesse problema temos três níveis de decisão:
  43. 43. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 43d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes.d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada.d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24 maneiras detomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio. As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, nos fornecemsoluções gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigemengenhosidade, criatividade e uma plena compreensão da situação descrita. Portanto, Èpreciso estudar bem o problema, as condições dadas e as possibilidades envolvidas, ouseja, ter perfeita consciência dos dados e da resolução que se busca.EXEMPLO 3: Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendomais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão com salada verde, de quantasmaneiras você poderia se alimentar pagando menos?Solução: Note que agora temos uma condição sobre as decisões d1 e d2: d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichão). d2: escolher salada verde (apenas uma opção). d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Então há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos. (Verifique oscardápios mais econômicos na árvore de possibilidades do exemplo anterior).EXEMPLO 4:Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem?Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como o algarismoda ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões: d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções). d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que j· foi escolhido para ocupar a centena (9 opções). d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que j· foram utilizados (8 opções).Portanto, o total de números formados ser· 9 · 9 · 8 = 648 números.EXEMPLO 5:De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos contar dentre os 648 números de 3algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), comodeveríamos proceder?Solução:

×