Trigonometria exercicios resolvidos

262,984 views

Published on

Published in: Education
7 Comments
17 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
262,984
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
103
Actions
Shares
0
Downloads
1,540
Comments
7
Likes
17
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Trigonometria exercicios resolvidos

  1. 1. A Trigonometria está presente em diversas situações cotidianas, sendoconsiderada um dos mais antigos estudos da humanidade. A relação das medidas decomprimento com os valores dos ângulos surgiu da necessidade de calcular distânciasinacessíveis, sendo os estudos relacionados à Astronomia, Agrimensura e Navegação osprimeiros a usarem as relações trigonométricas. A Trigonometria (trigono: triângulo emetria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre oslados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuemvalores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nostriângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pelarelação entre os ângulos e os lados.Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendodesenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situaçõesde medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi umastrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos eleimplantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema dePitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, poisé através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculosrelacionados a situações práticas cotidianas.Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funçõestrigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do séculoXV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadasaos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral,pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos nocenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, comoMedicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia,Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.As turmas de 9º ano do Ensino Fundamental possuem nas grades curriculares os estudosintrodutórios envolvendo a Trigonometria no Triângulo Retângulo. O professor deveatender essa necessidade, no intuito de preparar o aluno para os conteúdos segmentaresdo Ensino Médio. Deverão ser trabalhadas as posições relativas entre cateto oposto,cateto adjacente e hipotenusa dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Na sequência,as relações seno, cosseno e tangente serão definidas da seguinte forma:Seno do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e hipotenusa.Cosseno do ângulo indicado: razão entre cateto adjacente e hipotenusa.Tangente do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e adjacente. senC = a/c cosC = b/c tgC = a/b senA = b/c cosA = a/c tgA = b/a
  2. 2. É de extrema importância discutir com os alunos a presença dos ângulos notáveis, essetipo de ângulo possui valores fixos e são determinantes em casos de aplicaçõescotidianas. Os ângulos de 30º, 45º e 60º devem ser citados pelo professor e fixados pelosalunos. Os valores das relações envolvendo esses ângulos são representados por umatabela de razões trigonométricas.Exemplo 1Um avião, ao decolar, sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Após percorrer 700 metros, qual aaltura em que ele se encontra do solo? Observe o desenho do esquema:Será usada a relação do seno em razão da altura corresponder ao cateto oposto em relação ao ângulode 30º e a hipotenusa corresponder ao espaço percorrido pelo avião.
  3. 3. Exemplo 2Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Nadireção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3km doaeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião podecolidir com a torre.Esquema da situação:Usaremos a relação da tangenteO avião não irá colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avião estará auma altura de 1700 metros.Exemplo 3Do ponto A, uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ângulo de 60º. Determine aaltura da torre, sabendo que a pessoa está a 20 metros dela.A torre tem 34 metros de altura.
  4. 4. Exemplo 4Uma inclinação tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ângulode 30º. A que altura está situado o ponto mais alto da inclinação?O ponto mais alto da inclinação está situado a 20 metros do solo.Exemplo 5Um navegador devia viajar durante duas horas, rumo nordeste, para chegar a certa ilha.Enganou-se,e navegou duas horas rumo a norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, emquanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?Entre Norte e Nordeste existe um ângulo de 45ºDesenhe um triângulo iósceles com dois lados de comprimento 2 e ângulo de 45º entre elesO lado desconhecido x pode ser obtido através da Lei dos Cossenos:x² = 2² + 2² - 2*2*2*cos45º -----> x² = 8 - 8*(V2/2) -----> x² = 8 - 4*V2 ------> x² ~= 2,4 -----> x ~= V2,4 -----> x ~= 1,5 h ---> x ~= 1 h 30 minResp: 1h 30 min
  5. 5. Outra solução:Alguns valores, como são os casos de Raiz[2] ou Raiz[3], Pi, e (número de Euler), são, emgeral, supostos como conhecidos. Raiz[2]~1,41 e Raiz[3]~1,73.Ficaríamos com o problema de resolver Raiz[2,4]Trigonometria – Exercícios Resolvidos
  6. 6. Calcular x e y a partir dos dados da figura. Obs.: "a" e "2a" são os ângulos.R: x = 40 m e y = 90 mTriângulo NBA ----> tg(2a) = y/120Triângulo MAB ----> tga = x/120tg(2a) = 2*tga/(1 - tg²A) -----> y/120 = 2*(x/120)/[1 - (x/120)²] ----> 240*(x/120) = y*(1 - x²/14400) ---->2x = y*(14400 - x²)/14 400 ----> 28 800x = y*(14 400 - x²) ----> Equação IMC² = x² + 60²NC² = y² + 60²MN² = MC² + NC² ----> MN² = x² = 60² + y² + 60² -----> MN² = x² + y² + 7 200MN² = (NB - MA)² + AB² ----> MN² = (y - x)² + 120² ----> MN² = x² + y² - 2xy + 14 400Igualando ----> -2xy + 14 400 = 7200 ----> xy = 3600 ----> y = 3600/x ----> Equação IIII em I ----> 28 800*x = (3600/x)*(14 400 - x²) ----> 28 800x² = 3 600*14 400 - 3600x² ----> 32400x² = 3 600*14 400x² = 1600 ----> x = 40 ----> y = 90
  7. 7. O Papagaio: O vento conserva o fio esticado e fazendo 60º com a horizontal. Quando se desenrolaram 70 m de fio a que altura estava o papagaio? NOTA: As mãos do rapaz estão a 1,80 metros do chão, aproximadamente. Área da Pirâmide.A pirâmide é regular e a base tem 20 cm de lado. Exprime a área total da pirâmide em função de . RESOLUÇÃO: =20 20=400 Seja h a altura das faces laterais: = tg Portanto 10= h tg h= Área de uma face lateral :
  8. 8. A= = 10h Logo, Área das 4 Faces=4 e Área total=400+001. A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90°e 60°, respectivamente. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a 3^1/2 + 1 (raizquadrada de 3) + 1, determine os raios dos círculos.
  9. 9. Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinteproblema: O teodolito, é um instrumento capaz de medir ângulos, muito usado por agrimensores,engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico medeângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus.Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Elemediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto doprédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com ahorizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,55 m do chão, qual é a altura do prédio?(Considere os valores aproximados: sen 58o = 0,85 e cos 58o = 0,53)Solução: A trigonometria (trigono=triângulo + metria=medida) é o ramo da matemática que tratadas relações entre os lados e ângulos de triângulos.Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 é a altura do instrumento e CE = x + 1,55 é a altura do prédio.
  10. 10. No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x é o cateto oposto ao ângulo de58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus.Trabalhando com as razões trigonométricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos:sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27.Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter aproporção: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6.Daí, vem que: x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,55 = 44,75 m..Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo deaço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60°. Qual é ocomprimento do cabo?Solução: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulode 60°.Como o sen 60° = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo é :x = 50/√3 = 50(√3)/3 .Se considerarmos √3 = 1,7 , então x = 28,4m.(UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo. (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora Ática, 1990).No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 ocom a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que areta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 o com a mesma direção AB. Seguindosempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros,a:(A) 500 (B) 500√3 (C) 1.000 (D) 1.000√3Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB queforma os triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x adistância do barco ao ponto B.A razão trigonométrica y / x é a tangente do ângulo de 60 o.De modo análogo, a razão y / (1000 + x) é a tangente de 30 o.
  11. 11. Como a tg60 o = √3 e tg30 o = (√3) / 3 , vem que, y = x√3 .Então, (√3) / 3 = y / (1000 + x) = (x√3) / (1000 + x)."Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equação pela √3, ficamos com1000 + x = 3x.Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500.Assim, y = 500√3. A alternativa (B) é a correta.Nota: Considerando √3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m.(PRF) Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, umapapelaria, uma relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro: A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é:(A) 0,0007 (B) 0,007 (C) 0.07 (D) 0,7 (E) 7,0Solução: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos: x2 = 82 + 32 - 2(8)(3)cos 60o = 64+ 9 - 48×½ = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 é 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo,(B) é a alternativa correta.De outra maneira, poderíamos usar a condição de existência do triângulo (desigualdade triangular):|8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) é aopção correta.(UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energiaelétrica para as suas dependências. O local mais próximo onde há rede elétrica é um pontoinacessível momentaneamente por meio terrestre; mas visível de onde se instalará a indústria. Aindústria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmissão deenergia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medição de ângulos, e comuma trena, efetua as medições constantes da figura abaixo, em que A é o ponto onde se localizará aindústria e C é o ponto de ligação à rede elétrica já existente.A distância em “linha reta” da indústria ao ponto de interligação à rede elétrica é ?Solução: Construindo, no ∆ABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:
  12. 12. 1000 = AH + BH = x cos 45o + y cos 60o = x√2/2 + y/2CH = h = y sen 60o = x sen 45o, o que implica em y = x√2/√3então, 2000 = x√2 + x√2/√3Logo, o valor procurado, em metros, é x = (2000√3) / (√2)(√3 + 1) = (1000√6) / (√3 + 1).Se considerarmos √6 = 2,45 e √3 = 1,732 , teremos x = 896 m.(PUC-SP) Sabe-se que θ é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triânguloretângulo.Se sen θ = k+1/2, cos θ = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área.Solução: Sendo y o cateto oposto ao ângulo e x o cateto adjacente ao ângulo, temos que:sen θ = y /20 = k + 1/2 e cos θ = x/20 = kEntão: y = 20k + 10 e x = 20kUsando o Teorema de Pitágoras , ficamos com: sen2 θ + cos2 θ = 1 , ou seja, (k + 1/2)2 + k2 = 1O que implica em: 8k2 + 4k - 3 = 0Resolvendo esta equação encontramos:k = -1/4 - (√7)/4 (não serve)ouk = -1/4 + (√7)/4Logo: x = (-5 + 5√7) cm e y = (5 + 5√7) cmAssim, a Área = xy/2 = 150/2 = 75 cm2.O ciclo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seuraio mede 1. É usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ângulos)com medidas quaisquer (maiores que 90°, por exemplo). Observe ciclo trigonométrico abaixo.
  13. 13. Calcule: sen 150° = ..................... cos 225° = ..................... sen 1950° = ..........Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1. Assim , as hipotenusas dos triângulosretângulos formados pelos ângulos na figura mede 1. Como resultado, temos que o seno do ângulofica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal.Como π radianos (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma regra de três, segueque:sen 150° = sen (5π/6) = 1/2cos 225° = cos (5π/4) = (-√2) / 2Como 1950° = 5×360° + 150°, descontando as voltas, temos:sen 1950° = sen 150° = sen (5π/6) = 1/2.(UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos xpodem ser representados, respectivamente, por : sen x ≅ x e cos x ≅ 1 - x2 / 2.A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x +cos x.(A) 1 (B) -1 (C)3/2 (D)-3/2Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.
  14. 14. Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente,f(x) = x + 1 - x2 / 2 = (-x2 / 2 )+ x + 1 , que é uma função quadrática (polinômio do segundo grau).Temos que o valor máximo de uma função f(x) = ax2 + bx + c , é -∆ / 4a, onde ∆ = b2 - 4ac.Calculando delta encontramos ∆ = (1)2 - 4(-1 / 2)(1) = 3.Assim, o valor máximo da expressão é: (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) é a alternativacorreta. 1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º)
  15. 15. 2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabelacon 60º) 3. Observando a figura seguinte, determine:
  16. 16. 4. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo deinclinação de 60º (ver figura). Determinar a altura do foguete após4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante.Trigonometria no triângulo retângulo 11) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x a) b)02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96¸ cos 74º = 0,28 e tg74º = 3,4) a) 55 m b) 15 m c) 45 m d) 42 m e) 51 m
  17. 17. 03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4√3 m e o vão entre elas é de 12 m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x AD = x DC = x - 38 BD = y06) Com base na figura abaixo é correto afirmar: 01. h = √2 m 02. h = √3 m 04. a = (1 + √3) m 08. O triângulo ACD é isósceles 16. O lado AC mede 6 m07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)08) Determine o valor de x e y na figura abaixo:09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
  18. 18. a) b cos α b) a cos α c) a sen α d) b tg α e) b sen α10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.01. AC = 10 km 02. AD = 2,5 km 04. BC = 5√3 km 08. O ângulo BÂD mede 60° 16. A velocidade média do barco é de 15 km/h11) 9 cm, o segmento (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = DF mede, em cm: a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6 2 212) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos α)x – (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.
  19. 19. Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente:a) π/8 e 3π/8 b) π/6 e π/3 c) π/4 e π/4 d) π/3 e π/6 e) 3π/8 e π/813) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um oponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75 e o ângulo ACB omede 75 . Determine a largura do rio.15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCDda figura. Conhecendo-se o ângulo α, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é:h = 12√3 cm y = 21 cm α = 30°

×