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Mat funcao polinomial 2 grau

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Mat funcao polinomial 2 grau

  1. 1. Função polinomial de 2º grau Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaComo captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro? ...........................1Reconhecer como função quadrática toda função definida pela equação y = ax² + bx + c ..... 1Gráfico da função quadrática no plano cartesiano ................................................................3Reconhecer e calcular o vértice da parábola .........................................................................4Zeros ou raízes da função polinomial de 2º grau ..................................................................5Estudando a concavidade da parábola...................................................................................5Fazer gráficos de funções de 2º grau observando o sinal do coeficiente a e de ∆ ................6 Construção do gráfico de uma função de 2º grau...........................................................6Ponto de mínimo ou ponto de máximo .................................................................................7Analisando a função y = ax² + bx + c quanto ao sinal...........................................................8Determinar os valores de x para os quais o sinal da função é positiva; negativa ou nula .....9Resolver uma inequação de 2º grau na variável x ...............................................................13Referências bibliográficas ...................................................................................................15
  2. 2. 1FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAUComo captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelogoleiro?O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um pontomáximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nomede parábola. O físico italiano Galileu Galilei, estudou atentamente movimentoscomo o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquercorpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo.Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 ⋅ 12 = 5 metros; depois de 2segundos, percorreria cerca de 5 ⋅ 2 2 = 20 metros; depois de 3 segundos,5 ⋅ 9 2 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos,percorreria 5 ⋅ x 2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração dagravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo queescrever a função f ( x) = y = 5 x 2 . Galileu agrupou todos esses elementos em umimportante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual avariável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de funçãoquadrática, ou função polinomial de 2º grau, pois o expoente máximo davariável é o quadradoReconhecer como função quadrática toda função definida pelaequação y = ax² + bx + cFunção polinomial de 2º grau ou função quadrática é toda função definidapela fórmula matemática y = ax 2 + bx + c , com a, b e c números reais e a ≠ 0 .Assim, são funções polinomiais de 2º grau:• y = x 2 + 4 x − 3 ( a = 1, b = 4, c = −3 )• y = 2x 2 ( a = 2, b = 0, c = 0 )• y = − x 2 + 5 ( a = −1, b = 0, c = 5 )
  3. 3. 2Considerando as definições dadas e os conhecimentos que você já tem, observeos exemplos:a) Dado o número real 7, qual é a imagem pela função y = 3 x 2 − 4 x + 1 ?Nesse caso temos x = 7.y = 3x 2 − 4 x + 1y = 3 ⋅ 72 − 4 ⋅ 7 + 1y = 3 ⋅ 49 − 28 + 1y = 147 − 28 + 1y = 120Logo, a imagem do número 7, pela função, é 120.b) Dada a função definida por y = x 2 + 5 x − 4 , determinar o número real x cujaimagem, pela função, é 20.Nesse caso temos y = 20. y = x 2 + 5x − 4 −b± ∆ x= x 2 + 5x − 4 = y 2a − 5 ± 121 − 5 + 11 6 x 2 + 5 x − 4 = 20 x= x′ = = =3 2 ⋅1 2 2 x 2 + 5 x − 24 = 0 − 5 ± 11 (a = 1, b = 5, c = 24) x= 2 ∆ = b 2 − 4ac − 5 − 11 − 16 x′′ = = = −8 ∆ = 5 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−24) 2 2 2 ∆ = 25 + 96 ∆ = 121Logo, temos x = −8 ou x = 3.
  4. 4. 3Gráfico da função quadrática no plano cartesianoJá vimos que o gráfico de uma função polinomial de 1º grau, no planocartesiano, é uma reta. Veremos, nos exemplos a seguir, qual a figura querepresenta o gráfico de uma função de 2º grau ou função quadrática.1) Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = x 2 − 3 x y = x2 − 3 (x, y) −3 y = (−3) 2 − 3 = 6 (−3, 6) −2 y = (−2) 2 − 3 = 1 (−2, 1) −1 y = (−1) 2 − 3 = −2 (−1, −2) 0 y = 0 2 − 3 = −3 (0, −3) 1 y = 12 − 3 = −2 (1, −2) 2 y = 22 − 3 = 1 (2, 1) 3 y = 32 − 3 = 6 (3, 6) O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = x 2 − 3 , é o gráfico da função, representado por uma curva chamada parábola. O ponto V, que você observa na figura, chama-se vértice da parábola.2) Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = − x 2 + 2 x x y = − x2 + 2x (x, y)−1 y = −(−1) 2 + 2 ⋅ (−1) = −3 (−1, −3) 0 y = −0 2 + 2 ⋅ (0) = −2 (0, 0) 1 y = −(1) 2 + 2 ⋅ 1 = 1 (1, 1) 2 y = −(2) 2 + 2 ⋅ 2 = 0 (2, 0) 3 y = −(3) 2 + 2 ⋅ 3 = −3 (3, −3)O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = − x 2 + 2 x , que é o gráfico da função, nos dá a parábola da figura acima. Observe, novamente, o ponto V, que se constitui no vértice da parábola.
  5. 5. 4Reconhecer e calcular o vértice da parábolaVocê pode notar a existência de um vértice em cada parábola que foi construídanos exemplos dados. Pode-se calcular o vértice de uma parábola da seguinteforma: b• Calcula-se o valor x do vértice: xV = − 2a• Substitui-se o valor de x na função e encontra-se o valor de y do vértice ( yV )► No Exemplo 1 do item anterior temos:y = x 2 − 3 ( a = 1, b = 0, c = −3 ) b −0• xV = − = =0 2a 2• y = x 2 − 3 = 0 2 − 3 = −3Portanto, a coordenada do vértice é V (0, −3).► No Exemplo 2 do item anterior temos:y = − x 2 + 2 x ( a = −1, b = 2, c = 0 ) b −2• xV = − = =1 2a − 2• y = − x 2 + 2 x = −12 + 2 ⋅1 = 1Portanto, a coordenada do vértice é V (1, 1).
  6. 6. 5Zeros ou raízes da função polinomial de 2º grauAs raízes ou zeros de uma função são os pontos onde seu gráfico corta o eixo x.Na função de 2º grau y = ax 2 + bx + c , se y = 0 obtemos a equaçãoax 2 + bx + c = 0 .Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos quando resolvemos aequação de 2º grau ax 2 + bx + c = 0 . O discriminante (∆) da equação é, também,o discriminante da função:• Se ∆ > 0, a função y = ax 2 + bx + c tem dois zeros reais diferentes• Se ∆ = 0, a função y = ax 2 + bx + c tem dois zeros reais iguais• Se ∆ > 0, a função y = ax 2 + bx + c não tem dois zeros reaisExemplo:a) Determine, algebricamente, os zeros da função y = x 2 + 5 x + 6 .x 2 + 5x + 6 = 0Basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.Acharemos que x′ = −3 e x′′ = −2 . Portanto, os zeros ou raízes da funçãopolinomial de 2º grau são −3 e −2.Estudando a concavidade da parábolaAntes de construir o gráfico da função y = ax 2 + bx + c , é possível saber comoserá a sua concavidade. Basta observar o sinal do coeficiente a: Se a > 0 (a positivo), a concavidade Se a < 0 (a negativo), a concavidade estará voltada para cima estará voltada para baixo
  7. 7. 6Fazer gráficos de funções de 2º grau observando o sinal docoeficiente a e de ∆Podemos fazer um resumo das condições que envolvem o coeficiente a e odiscriminante ∆ para facilitar a construção de gráficos: ∆>0 ∆=0 ∆<0 a>0 A parábola corta o A parábola tangencia A parábola não corta eixo x em 2 pontos eixo x o eixo x ∆>0 ∆=0 ∆<0 a<0 A parábola corta o A parábola tangencia A parábola não corta eixo x em 2 pontos eixo x o eixo xConstrução do gráfico de uma função de 2º grauPara isso, procedemos da seguinte maneira: b1º) Determinamos as coordenadas do x do vértice: xV = − 2a2º) Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x do vértice e calculamos os correspondentes valores de y.3º) Construímos assim uma tabela com os valores encontrados.4º) Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano.5º) Traçamos o gráfico.
  8. 8. 7OBS.:• A parábola é uma figura que apresenta simetria axial.• No gráfico da função quadrática o eixo de simetria da parábola é sempre perpendicular ao eixo x.• O encontro da parábola com seu eixo de simetria é seu vértice.Ponto de mínimo ou ponto de máximoToda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo,dependendo do sinal do coeficiente a.Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2ºgrau é o vértice da parábola.Observe as figuras abaixo que representam gráficos de funções: y = x2 − 3 y = − x2 + 2x Nesse caso dizemos que o vértice é o Nesse caso dizemos que o vértice é o ponto de mínimo da função ponto de máximo da função• Quando a > 0, a função y = ax 2 + bx + c tem um ponto de mínimo no vértice.• Quando a < 0, a função y = ax 2 + bx + c tem um ponto de máximo no vértice.
  9. 9. 8Analisando a função y = ax² + bx + c quanto ao sinalConsideremos uma função quadrática y = ax 2 + bx + c e determinemos osvalores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y épositivo. Conforme o sinal do coeficiente a e do discriminante ∆, podemos obteros seguintes casos: ∆>0 ∆=0 ∆<0 a>0 A parábola corta o eixo A parábola tangencia A parábola não corta o x em 2 pontos eixo x eixo x y > 0 ⇔ x < x1 ou x > x2 y > 0, ∀x ≠ x1 y > 0, ∀x y < 0 ⇔ x1 < x < x 2 y < 0, não existe x y < 0, não existe x ∆>0 ∆=0 ∆<0 a<0 A parábola corta o eixo A parábola tangencia A parábola não corta o x em 2 pontos eixo x eixo x y > 0 ⇔ x1 < x < x2 y > 0, não existe x y > 0, não existe x y < 0 ⇔ x < x1 ou x > x2 y < 0, ∀x ≠ x1 y < 0, ∀x
  10. 10. 9Determinar os valores de x para os quais o sinal da função épositiva; negativa ou nulaConsideremos os seguintes exemplos:1) Dada a função y = x 2 − 2 x − 8 , verifique quais são os valores reais de x paraque se tenha:a) y = 0 b) y > 0 c) y < 0Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função parapodermos fazer um esboço do gráfico da função:Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.∆ = b 2 − 4ac = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) = 4 + 32 = 36 > 0Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos. −b± ∆ x= 2a − (−2) ± 36 2+6 8 x= x′ = = =4 2 ⋅1 2 2 2±6 x= 2 2−6 −4 x′′ = = = −2 2 2Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.Esboço: y = 0 para x = −2 ou x = 4 y > 0 para o intervalo {x ∈ / x < −2 ou x > 4} y < 0 para o intervalo {x ∈ / −2 < x < 4}
  11. 11. 102) Dada a função y = x 2 − 4 x + 4 , verifique quais são os valores reais de x paraos quais vamos ter:a) y = 0b) y > 0c) y < 0Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função parapodermos fazer um esboço do gráfico da função:Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.∆ = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 4 = 16 − 16 = 0Então, a parábola tangencia eixo x. −b± ∆ x= 2a − (−4) ± 0 x= 2 ⋅1 4±0 4 x= x′ = x′′ = =2 2 2Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.Esboço: y = 0 para x = 2 y > 0 para o intervalo {x ∈ / x ≠ 2} y nunca será negativo
  12. 12. 113) Dada a função y = − x 2 + 2 x − 10 , determine para quais valores reais de xvamos ter:a) y = 0b) y > 0c) y < 0Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função parapodermos fazer um esboço do gráfico da função:Como a = −1 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.∆ = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−10) = 4 − 40 = −36 < 0Então, a parábola não corta o eixo x.Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.Esboço: Nesse caso, y será sempre negativo para qualquer valor real de x
  13. 13. 124) Para quais valores reais de x a função y = −5 x 2 + 4 x + 1 é positiva?Inicialmente, vamos analisar o coeficiente a e o discriminante ∆ da função parapodermos fazer um esboço do gráfico da função:Como a = −5 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.∆ = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 ⋅ (−5) ⋅ 1 = 16 + 20 = 36 > 0Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos. −b± ∆ x= 2a − 4 ± 36 −4+6 2 1 x= x′ = = =− 2 ⋅ (−5) − 10 − 10 5 −4±6 x= − 10 − 4 − 6 − 10 x′′ = = =1 − 10 − 10Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.Esboço: / − < x <1 1 y > 0 para o intervalo ∈ 5
  14. 14. 13Resolver uma inequação de 2º grau na variável xConsideremos os seguintes exemplos:1) Resolver a inequação − 9 x 2 + 6 x − 1 < 0 .A inequação dada é uma inequação de 2º grau na incógnita x.Para resolvê-la, vamos aplicar o que aprendemos com a análise da funçãoquadrática quanto ao sinal. Assim, temos:Como a = −9 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.∆ = b 2 − 4ac = 6 2 − 4 ⋅ (−9) ⋅ (−1) = 36 − 36 = 0Então, a parábola tangencia o eixo x. −b± ∆ x= 2a −6± 0 x= 2 ⋅ (−9) −6±0 −6 1 x= x′ = x′′ = = − 18 − 18 3Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.Esboço: Como a inequação nos pede valores reais de x tais que y < 0, podemos dizer que a solução dessa inequação é: / 1 S= ∈ 3
  15. 15. 142) Determinar os valores reais de x para os quais o produto ( x − 7)( x + 3) é maiorque 11.Através do problema apresentado temos:( x − 7)( x + 3) > 11x 2 + 3 x − 7 x − 21 − 11 > 0x 2 − 4 x − 32 > 0 → inequação do 2º grauComo a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.∆ = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−32) = 16 + 128 = 144 > 0Então, a parábola corta o eixo x em dois pontos. −b± ∆ x= 2a − (−4) ± 144 4 + 12 16 x= x′ = = =8 2 ⋅1 2 2 4 ± 12 x= 2 4 − 12 − 8 x′′ = = = −4 2 2Pelo que obtivemos, podemos fazer o esboço do gráfico e dar a resposta.Esboço: Como a inequação nos pede valores reais de x para os quais temos y > 0, podemos dizer que a solução dessa inequação é: S = {x ∈ / x < −4 ou x > 8} Então, o produto ( x − 7)( x + 3) é maior que 11 para {x ∈ / x < −4 ou x > 8}
  16. 16. 15Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 21 de agosto de 2008.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.TUTOMANIA: MANÍACOS POR CONHECIMENTO. Disponível em: <http://tutomania.com.br>. Acesso em: 24 de agosto de 2008.

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