GUIDG.COM – PG. 1    8/6/2010 – CDI 1 – Cálculo diferencial e integral    Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única...
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GUIDG.COM – PG. 7                                                     x + ∆x @ f x     x + ∆x @ sin x                     ...
GUIDG.COM – PG. 8R25                                           (X) ...   Derivadas de funções hiperbólicas                ...
GUIDG.COM – PG. 9                                      ∆y = y 2 @ y1 = f x 2 @ f x1                                       ...
GUIDG.COM – PG. 10                                                          2                                             ...
GUIDG.COM – PG. 11                                            II - A Taxa de Variação Instantânea ou simplesmente Taxa de ...
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Mat derivadas

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Mat derivadas

  1. 1. GUIDG.COM – PG. 1 8/6/2010 – CDI 1 – Cálculo diferencial e integral Obs.: Não utilize esta pesquisa como fonte única de estudos. Correções e adaptações serão feitas regularmente. Omitimos as notas históricas. Tabela geral de derivadas Resumo informal tabelado para os principais teoremas e regras gerais de diferenciação y = f x , y . = f . x ; (t, u, v) funções deriváveis de x ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,7182 , ln u = loge u ` a ` a# y y1 c 02 x 13 a.u a.u4 u+v u + v5 u.v u.v + u.v uf f ff u.fffffuffff fffffffAfff fffffff fff ffv ffffv . f A f @ ffff6 v v27 ua , a ≠ 0 a A u a @ 1 A u.8 au , 0 < a ≠ 1 u. A a u A ln a9 eu e u A u. loga u ffff fff fff fff u.10 A loga e u ffff fff fff fff u.11 ln u u12 tu , t > 0 u A t u @ 1 A t . + u . A t u A ln t # y y13 sen u cos u . u 25 senh u cosh u . u14 cos u – sen u . u 26 cosh u senh u . u 215 tg u 2 sec u A u . 27 tgh u sech u A u. 216 cotg u @ cosec 2 u A u. 28 cotgh u @ cosech u A u.17 sec v sec v . tg v . v 29 sech v – sech v . tgh v . v18 cosec v – cosec v . cotg v . v 30 cosech v – cosech v . cotgh v . v fffffff fffffff fffffff ffffff u. fffffff fffffff fffffff ffffff u. wwww wwww wwww www www www www www wwww wwww wwww www www www www www19 arc sen u q1 @ u 2 31 arg senh u q1 + u 2 fffffff fffffff fffffff ffffff @ u. fffffff fffffff fffffff ffffff u. wwww wwww wwww www www www www www wwww , u > 1 wwww wwww www www www www www20 arc cos u q1 @ u 2 32 arg cosh u qu 2 @ 1 fffff fffff ffff ffff u. fffff fffff fffff ffff u.21 arc tg u 33 arg tgh u , |u|<1 1+u 2 1 @ u2 @ffff fffff ffff ffff fu. fffff fffff fffff ffff u.22 arc cotg u 34 arg cotgh u , |u|>1 1 + u2 1 @ u2 ffffffffff ffffffffff fffffffff fffffffff v. fffffffff ffffffff ffffffff ffffffff @ v. arc sec v , | v | ≥ 1 wwww , | v | > 1 wwww wwww www www www www www wwww , 0 < v < 1 wwww wwww www www www www www23 L Mq 2 Lv M v @ 1 35 arg sech v q1 @ v 2 v ffffffffff ffffffffff fffffffff fffffffff @ v. ffffffffff ffffffffff fffffffff fffffffff @ v. arc cosec v , | v | ≥ 1 wwww , | v | > 1 wwww wwww www www www www www wwww , v ≠ 0 wwww wwww www www www www www24 L Mq 2 Lv M v @ 1 36 arg cosech v q1 + v 2 |v | * Tabela de derivadas elementares considerando a regra da cadeia.
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2Legenda: D = Definição, P = Proposição ou Propriedade, F = Fundamental / Elementar, T = Teórico / Teorema, R = RegraLeg. Notação Descrição e demonstração se possível. Um dos problemas ao se estudar a derivada, é que todo o estudo se fundamenta em conceitos de limites, então seu conhecimento é necessário. Recomendamos também uma breve revisão, utilize a Tabela de Limites e quando houver duvidas quanto aos símbolos use o arquivo Notação Matemática. Feito isso, novos !!! * símbolos serão introduzidos, fique atento. Faremos o máximo possível para alerta-lo das diferenças entre os símbolos que parecem ter o mesmo significado, porém ficam só de aparência e na verdade são completamente diferentes. Recomendamos utilizar esta tabela acompanhada de um livro para auxilia-lo nos estudos. Inclinação da reta secante, definição: ` a ` a Sejam A x1 ,y 1 e B x 2 ,y 2 dois pontos quaisquer distindos no plano cartesiano, então o segmento AB defini uma reta, tal que a inclinação da reta (m) relativa ao eixo x é dado pelo quociente ∆y sobre ∆x . yffffff ∆yf f @f 1f ff 2 fy ff ff f f f ff f f F0 m = tg α = = x 2 @ x1 ∆x ∆y = y2 @ y1 ∆x = x 2 @ x1 fff fff ff ff * Se AB for paralelo ao eixo y , então não existe m . Em Diferenciais, entraremos numa nova definição. Derivada, definição: Ainda em F0, admita que os dois pontos A e B fazem parte de uma função f (uma curva por exemplo), então se fizermos B se aproximar a A de maneira que a inclinação da reta AB tenda a um valor limite constante, chamamos este valor de inclinação da reta tangente no ponto P ( m p ). Assim defini-se a derivada quando este limite existe e denota-se por f’ . Portanto geometricamente, a derivada é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P. Demonstração: ` a ` a ∆yf fff ff f @ y1 x 2 @ f x1 yffffff ffffffffffff ffffff ffffffffff fffff ffffffffff mx1 = lim = x limx 2 = B Q A ∆x 2 Q 1 x @x x 2 @ x1 2 1 ffff+ffff@fffff x f ∆x fff x ` a ` a ffffffff f fff ffffffffffffff fffffffffffff F1 lim ∆x Q 0 ∆x mas x 2 = x1 + ∆x e se x 2 Q x1 , ∆x Q 0 b c x1 + ∆x @ f x1 ` a ffffffffffffffff fffffffffffffff fffffffffffffff então mx1 = lim ∆x Q 0 ∆x O processo para se encontrar m p (a derivada) é chamado derivação ou diferenciação. Logo a fórmula à esquerda é a generalização para um ponto qualquer, de uma função qualquer desde que satisfaça os critérios dados. f + ∆x f f f ` a ` a ffffff@ffff fffffffffffxff fxfffffffff fffffffffff fffffffff f é por homenagem chamado de Quociente de Newton. ∆x
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3 * Se 8 x 2 ao D f 9 f. , então dizemos que f é derivável . + * Se m p // ao eixo y então 9 f. . * Se m p // ao eixo x então f’ = 0 # se f é constante f. = 0 . Notação: à esquerda estão os síbolos usados para representar (F1) a derivada de uma função. Também podemos encontrar notações extras dependendo do livro, as mais comuns são: fff df ff f Operador de derivação: Isto não é um quociente e deve ser visto como um todo. Indica que o que estiver a sua direita deve ser diferenciado em relação dx a x ( x uma variável qualquer). dyf fff ff f Lê-se: A derivada de y em relação à x . Também fala-se dy dx como se escreve. dyf ` a fff ff f dxF2 = f. x dx f. x ≠ f x ` a ` a ` a Lê-se: f linha de x . Veja que , Mas f. x f. x = y. ` a ` a Dx f x Lê-se: A derivada de f de x “ f (x) ” em relação a x . Dx y Lê-se: A derivada de y em relação a x . * Todas essas notações podem ser aplicadas as regras da tabela de derivadas elementares. Com base em F0 e F1, definimos após a derivada, a equação da reta tangente. A fórmula pode variar: sabemos que: y1 = f x1 ` a então: α y @ y1 = m x @ x1 ` a ` aF3 b c β y @ f x1 = m x @ x1 ` a ` a α e β são todas equações da reta tangente. Condição de paralelismo.F4 r // s Duas retas são paralelas quando seus coeficientes angulares (as derivadas) são iguais. r // s ^ mr = ms . Condição de perpendicularismo ou condição de ortogonalidade. mr A m s =@ 1 Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares for igual à um negativo:F5 r?s r ? s ^ mr A ms = @ 1 Os exercícios costumam dizer “dada uma reta r normal a s...”, ou vice e versa. Isto nos diz que as retas são perpendiculares entre si (formando um ângulo de 90º). *O ângulo de 90º é conhecido como o ângulo reto.T1 * A equação da reta normal à Seja f (x) uma curva continua e derivável. Logo esta tem n retas tangentes, e portanto n curva no ponto. retas normais.
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4 Num ponto de uma curva, pode-se determinar uma reta normal a esta, desde que determine-se préviamente a derivada neste ponto. Uma função é continua num ponto x1 se atender simultaneamente a três condições, e são elas: a ` a 1 9 f x1T2 * Continuidade da função. a ` a 2 9 xlim f x1 Qx 1 lim f x1 = f x1 a ` a ` a 3 x Q x1 A continuidade de uma função num ponto não implica na existência da derivada dessa função nesse mesmo ponto. * Continuidade de funçõesT3 deriváveis. Porém, toda função derivavel num ponto é continua nesse mesmo ponto. * A demonstração foi omitida. Seja a função f definida num ponto a então: a + ∆x @ f a ` a ` a fffffffffffffff fffffffffffff fffffffffffff a = lim @ , ` a f@ ∆x Q a ∆x Derivadas Laterais Isto é, a derivada à esquerda de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores menores que a.T4 , , f@ e f+ a + ∆x @ f a ` a ` a fffffffffffffff fffffffffffff fffffffffffff a = lim + , ` a f+ ∆x Q a ∆x Isto é, a deriva à direita de f, é o limite para quando ∆x tende à a por valores maiores que a. Se tiver dificuldades, estude primeiro limites laterais. Conclui-se a partir de T4 que a derivada de uma função num ponto a, existe se, e somente se as derivadas laterais existirem e forem iguais, isto é: f 9 ^ f+ = f@ , , , Derivadas Laterais, conclusão:T4* f@= f+ , , Quando as derivadas laterais existirem mas forem diferentes, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. Portanto a derivada de f neste caso não existe. f 9 se f + ≠ f @ , , , + 1f ff ff ≠ @1 Lembre-se: f f @1 f é a notação para a inversa da função f, e não o inverso do símbolo de função f. A derivada da função inversa Se tiver dúvidas, estude a determinação da inversa de uma função (funções inversas).T5 b c 1f ff ff .= @1 1f f ff fff Erro comum entre alunos: Se por um instante você acreditar que f = e por @1 f. f ff 1ff ff f f b c . = @1 isso f , então você não entendeu nada. f. Notações, indicação da derivada da inversa:
  5. 5. GUIDG.COM – PG. 5 fff df ff f b c b c b ac @1 @1 @ 1` f . , y . , f x dx I) Seja f uma função definida (contínua) num intervalo (a, b) ; b c @1 @1 II) Suponhamos que f admita inversa f . Então por (I) f também é contínua. III) Se a derivada de f existe e é diferente de zero para qualquer x pertencente ao intervalo dado, então a derivada da inversa é igual ao inverso da derivada de f . b c 1f ff ff .= @1 f se, e somente se, I, II e III forem satisfeistas. f. Em linguagem matemática podemos resumir tudo isso como: b c b c Se f x 9 8 x 2 a, b e 9 f. x | f. x ≠ 0 8 x 2 a, b ` a ` a ` a b c 1f b c@ 1 ff ff . = = f. @1 Então 9 f f. Se pudessemos resumir mais ainda (mas se fazendo valer I, II e III), dizemos que: A derivada da inversa é igual ao inverso da derivada. * Este teorema é importante para a definição das derivadas de funções trigonométricas inversas, por isso deve ser compreendido. * Este teorema foi resumido, no caso de obscuridade procure a demonstração em um dos livros citados na ultima página. Agora já podemos seguir para as regras de derivação, e serão enunciadas a baixo, onde # indica a ordem na tabela geral de derivadas elementares que pode ser vista na pg. 01. AsR# Regras de derivação regras de derivação existem com o único objetivo de tornar o método de diferenciação mais eficiente, visto que o uso da definição é extenso e desnecessário para os próximos casos. Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, e f(g(x)) = fog(x) está definida, então a derivada de fog(x) é dada por: . b c ` a b ` ac fog . x = f. g x A g. x ` a . Para esta regra utiliza-se a notação definida em F2: dyf dyf duf ff ff ff ff ff ff ff ff ff f = fA f dx du dx b c Derivada da função composta: Exemplo: Derive a função y = ln x 2 + 1 :R0 A regra da cadeia Solução: Veja primeiro a R11, a derivada da função logaritmo natural. . Fazendo u = x 2 + 1 , temos y = ln u , então: ` a dyf 1f ff f ff f ff f ff f f duf ff ff ff ff f y. = = , u. = = 2x du u dx dyf dyf duf ff ff ff ff ff ff ff ff f f f f ff f f f f Aplicando a regra = A temos: dx du dx dyf 1f ff f ff f ff f ff f 2xf ff ff f ff = A 2x = , como u = x 2 + 1 , então: dx u u dyf ffff ff ffff f f ffff f f ffff f f 2x f ff = 2 dx x + 1
  6. 6. GUIDG.COM – PG. 6 * Não precisamos dar nomes as funções como fizemos, a importância da regra é quanto a cadeia, ou seja, quando tratamos de funções compostas: a derivação começa com a aplicação das regras externamente em direção as funções internas, e por isso o nome. A demonstração foi omitida. A derivada da função constante é zero. Por dedução: Isto por que a a reta tangente à curvaR1 Derivada de uma constante é paralela ao eixo x, logo não existe inclinação, e se a derivada é a inclinação, então não existe a derivada. A derivada de uma variavel independente qualquer com expoente um, é um. Ex: se x, y, z são variaveis independentes então suas derivadas são um, respectivamente.R2 Derivada de x A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = x . A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f(x) = c.x . Derivada do produto por uma Por aplicação de propriedade de limites, enunciamos:R3 constante A derivada de um produto de f(x) por uma constante, é a constante vezes a derivada de f(x).R4 Derivada da soma A derivada da soma é a soma das derivadas.R5 Derivada do produto DEB. Demonstração em breve.R6 Derivada do quociente DEB. Derivada da função exponecial:R7 DEB. Expoente constante Derivada da função exponencial:R8 DEB. Base constante, expoente função Derivada da função exponencial:R9 DEB. Base número e , expoente função Derivada da função logaritmica:R10 DEB. base a Derivada da função logaritmo natural ou logaritmo de base e, ou também logaritmo Derivada da função logaritmica: neperiano.R11 base e DEB. Derivada da função exponecialR12 DEB. composta A regra 13 diz que para y = sen u [ y. = u. A cos u levando em consideração R0.R13 Derivada da função seno Logo a prova para a derivada de y = sen x é dada por:
  7. 7. GUIDG.COM – PG. 7 x + ∆x @ f x x + ∆x @ sin x ` a ` a ` a ` a fffffffffffffff sinfffffffffffffff y. = lim ffffffffffffff ffffffffffffffff fffffffffffff ffffffffffffffff fffffffffffff fffffffffffffff = f ∆x Q 0 ∆x ∆x mas: sin x + ∆x = sin x A cos∆x + sin∆x A cos x ` a fx A cos∆x + sin∆x A cos x @ sin x y. = lim fffffffffffffffffffffffffff sinffffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffff ∆x Q 0 ∆x fffffffffffff+fffffffffff ` a fx cos∆x @ 1 A f sin∆x A ffff sinffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffcos x f y . = lim fffffffffffffffffffffffff ∆x Q 0 ∆x y . = lim sin x A lim ffffffff+ lim fffff lim cos x ` a cos∆xffff ffffffff ffff@ 1 fffffff sin∆xf ffff ffff fff S A ∆x Q 0 ∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0 y. = sin x A 0 + 1 A cos # y. = cos x (S) Simplificação: Para este ponto em diante utilizou-se as propriedades de limites junto com a aplicação de limites fundamentais.R14 Derivadas de funções ... (X) As demonstrações foram omitidas, siga as regras na tabela da pg. 01 .R18 trigonométricas A função f(x) = arc sen x é definida no intervalo D: [-1 , 1] em IM: [-π/2 , π/2] . fffffff fffffff ff1ffff ffffff f Então y = f(x) é derivavel em (-1 , 1) e y. = wwww . wwww wwww www www www www www q1 @ x 2 A demonstração é trivial, por aplicação do teorema da inversa T5: Se y = arcsin x então: α x = sin y , procuramos pela derivada da inversa, então por T5: ` a ffffff ffffff fffff fffff 1 f1ff ffff ffff fff f b c b c b c x@ 1 . = b c [ β x@ 1 . = sin y . cos y sin y + cos 2 y = 1 2R19 Derivada da função arco seno wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwww wwww cos 2 y = 1 @ sin y [ γ cos y = q1 @ sin y 2 ` a 2 por α temos: x = sin y [ x 2 = sin y ` a 2 substituindo em γ : ` a wwww wwww wwww www www www www www cos y = q1 @ x 2 b c substituindo em β : fffffff fffffff fffffff ffffff 1 b c x @ 1 . = y. = wwww wwww wwww www www www www www q1 @ x 2 Neste caso x @ 1 ≠ f , x @ 1 e está indicando a inversa da função A 1f ff * x A determinação das derivadas de funções trigonométricas inversas, levam em conta T5, oR18 Derivadas de funções teorema da derivada da função inversa. ... trigonométricas inversas (X)R24
  8. 8. GUIDG.COM – PG. 8R25 (X) ... Derivadas de funções hiperbólicas As derivadas das funções hiperbólicas, são as derivadas de suas respectivas funçõesR30 exponenciais.R31 (X) Derivada de funções hiperbólicas ... As derivadas de funções hiperbólicas inversas, são as derivadas dos agumentos das funçõesR36 inversas hiperbólicas. Seja f uma função derivável, e se a própria derivada de f for derivável, então chamamos esta de derivada segunda. Se a derivada segunda for derivával, esta se chamará derivada terceira, e assim sucessivamente. Notações extra: dyf ff ` aC ff d f ff ff ff ff f f B y. = f . x = ` a [ f x dx dx 2 V B W 2 B dfff ff ff ` aC fff d f d f fff ff ff fff ff ff y f f fff ` a dff fff fff C y. = f. x [ 2 = f x = 2 f x ` a dx dx dx dx X Y 3 2 3 Derivadas Sucessivas ou dfff ff fff ` aC fff d f dff fff ff fff fff ff fff y f B fff fff fff ff ] d B ` aC y/ = f/ x [ 3 = Z 2 f x [ = 3 f x ` a Derivadas de ordem superior dx dxT6 dx dx f. , f. , f/ … ( Em geral isto pode ser resumido como: n n ` a dfff dfff ` aC ffyf fff fff fff f B =f n = ` a n n ` a y x [ n f x dx dx Lê-se: A derivada n-ésima de y = a derivada n-ésima de f (x). Por razões de interpretação, para n > III , utiliza-se números (N*) dentro de parênteses: ` a ` a ` a ` a ` a … 4 5 6 7 n f. , f. , f/ , f , f , f , f , f A esquerda esta a notação para a derivada de uma função num ponto, a partir da notação de Leibnitz. Neste caso k sendo uma constante, que seria substituida na variavel x da função y já derivada. Assim obtendo o valor da derivada neste ponto. A derivada num ponto Esta notação é uma variação da notação convencional, isto é:T7 = y. x = f. x para x = k ` a ` a ou . Isto será muito aplicado na derivada na forma paramétrica, na forma implicita e principalmente na taxa de variação e taxas relacionadas, com o intuito de aliviar a notação. Acrécimos ou Incremento: Seja f (x) uma função, então sempre podemos considerar uma variação de x . Se fizermos x variar de x1 até x2 , definimos o acrécimo de x e denotamos por ∆x.T8 Acrécimos ∆x = x 2 @ x1 A variação de x origina uma correspondente variação de y , denotada por:
  9. 9. GUIDG.COM – PG. 9 ∆y = y 2 @ y1 = f x 2 @ f x1 ` a ` a Mas x 2 = x1 + ∆x Então, substituindo em ∆y: b c ∆y = f x1 + ∆x @ f x1 ` a Com base em T8, entraremos na definição de diferencial. Seja y = f (x) uma função derivável, e ∆x um acrécimo de x, então: I) A diferencial de x (variável independente), denota-se por: dx = ∆x II) Já a diferencial de y é dependente, é só existe devido a derivada, denota-se por: dy = f . x A ∆x dy = f . x A dx ` a ` a ou III) Então com base em F1 e F2, redefimos a derivada como o quociente entre duas diferenciais: dyf dyf ` a fff ff ff ff ff ff f = f= f. x ∆x dx *Importante: o significado geométricos.T9 Diferencial O acrécimo dx = ∆x , ocorre no eixo das abcissas (eixo x). dy ≠ ∆y mas dy ≈ ∆y se ∆x for considerado um valor pequeno. O acrécimo ∆y , ocorre no eixo das ordenadas (eixo y); Mas o acrécimo dy é um produto, e ocorre devido a variação da reta tangente (isto é de sua inclinação). ∆yf fff ff ff f ∆yf dyf fff ff ff ff ff ff f não é a derivada em si ( ≠ f). Mas pode ser interpretado ∆x ∆x dx geometricamente como a inclinação da reta secante definida pelos dois pontos. E por último: b c xf+ ∆x @ f ff ` a dyf ff ff ff f ∆yf fffffffffffffxfff = lim fff lim ff ff f = fffffffffffffff ff1 fffffffffff ffffffffffff1 f dx ∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0 ∆x Portanto a derivada é o limite do quociente ∆y / ∆x , quando ∆x tende a zero. y=f x dy = f . x A dx , então se a ` a ` a Com base em T9 (II), seja temos que d y = f. x A dx e esta se chamará 2 ` a 2 diferencial da função y for diferenciavel, temos a diferencial segunda, se novamente for diferenciavel teremos a diferencial terceira dada d y = f/ x A dx , e assim sucessivamente. A diferencial n-ésima de 3 ` a 3 por y é dada ` a por: d y = f n n ` a n Diferenciais sucessivas ou x A dx .T10 Diferencial de ordem superior . Veja que isso esta baseado na manipulação algébrica da derivada de ordem superior, isto é, para a função y = f x , seja o a ordem da ` a operação, temos: . o As derivadas sucessivas: As diferenciais sucessivas: dyf ` a ff ff ff f dy = f . x A dx ` a 1 = f. x dx
  10. 10. GUIDG.COM – PG. 10 2 dfff fff fff fy f f = f. x d y = f . x A dx ` a 2 ` a 2 2 2 dx 3 dfff fff fff fy f f = f/ x d y = f/ x A dx ` a 3 ` a 3 3 3 dx n dfff ` n a ` a ffff fff fff y ` a n = f d y= f n n ` a n n x x A dx dx A partir de F3, definimos a aproximação linear local. Intuitivamente esta é uma ferramenta que nos dará a partir de dados conhecidos, valores próximos a estes. Para uso por exemplo www ww ww ww ww ww ww ww na resolução de problemas como: q 65,5 , tan 45º4. 30. , etc. 3 ` a Partindo de F3 (a equação da reta tangente), saímos de α e seguimos: α y @ y1 = m x @ x1 ` a ` a b c β y @ f x1 = m x @ x1 ` a ` a mas: x @ x1 = ∆x , y = f x e m = f. x1 ` a ` a então: γ f x @ f x1 = f . x1 A ∆x ` a ` a ` a ` a logo: δ f x = f . x1 A ∆x + f x1 ` a ` a ` a ` a Aproximação Linear LocalT11 b c novamente: x @ x1 = ∆x [ x = x1 + ∆x f x1 + ∆x ≈ f . x1 A ∆x + f x1 ` a ` a Agora substituindo em δ , chegamos exatamente aonde queremos, ou seja: b c ε f x1 + ∆x ≈ f. x1 A ∆x + f x1 ` a ` a ` a Veja que o sinal de igualdade muda, por estarmos tratando de uma aproximação, por que: y = f x somente para valores próximos de x1 , e é a melhor medida que podemos ` a obter apartir de x1 . A interpretação de ε : Dado um valor conhecido x1 , então se estivermos buscando por um valor x próximo de x1 , isto é x = x1 + ∆x , então podemos utilizar (ε) a aproximação linar local para determina-lo, visto que temos x1 e a aproximação ∆x . Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y = f(x) , quando a variavel independente varia de x à x + ∆x , existe uma correspondente variação de y dada por ∆y = f(x+∆x) – f(x) . ∆y que definimos em F0 e por equivalência chegou a esta última forma. Com isto definimos genericamente: I - A Taxa de Variação Média: ∆yf ffff+ffff@fffff x f ∆x fff x ` a ` a ff ffffffff f fff fff ffffffffffffff ff fffffffffffff f =T12 Taxa de Variação ∆x ∆x * Interpretação informal: ∆yf variaçãofffff yffffffffff final @ yinicial fff fffffffffff fffffffffff ff fffffffde ff ffffffffff f fffffffffy = = ∆x variação de x x final @ x inicial Isto é, com esse quociente podemos definir a média da variação de alguma coisa em relação a outra variação, independente do que seja. Veja a interpretação mecânica.
  11. 11. GUIDG.COM – PG. 11 II - A Taxa de Variação Instantânea ou simplesmente Taxa de Variação, que é a própria derivada: ffff+ffff@fffff x f ∆x fff x ` a ` a ∆yf fff ff ff f ffffffff f fff ffffffffffffff fffffffffffff f . x = lim = lim ` a ∆x Q 0 ∆x ∆x Q 0 ∆x A interpretação mecânica: * Velocidade média: podemos definir com um exemplo prático. Se a distância de um ponto A até outro B é 80Km, e uma particula viajou de A para B, em uma hora, então sua velocidade média é 80 Km/h (lê-se quilômetros por hora), mesmo que durante o percurso ela tenha acelerado ou freiado. * Velocidade instantânea: é o que vemos no painel de um automóvel por exemplo, é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo (este medido num intervalo muito curto, por isso emprega-se o limite da função para ∆x tendendo a zero, ∆x é a variação do tempo. As demais são definidas análogamente à velocidade, isto é, podemos calcular a taxa média, e a taxa instântanea. * A Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Taxa de variação, alguns nomes nomes especiais: * A Densidade Linear, em fios elétricos por exemplo, é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento do fio. * A Vazão, de uma torneira por exemplo, é a taxa de variação do volume de água despejado em relação ao tempo. A aplicação se extende em diversas áreas.Fontes de pesquisa e estudo:Diva Marilia Flemming - Cálculo A (5ª edição) ; Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; Louis Leithold – Ocálculo com geometria analítica Vol.1 ; W.A. Granville – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral ; Apostila/Livro de CDI-1 UDESC 2010-1.* Encontrou algum erro, faça sua sugestão pelo site www.guidg.com

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