Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Qhtt bg

232 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Qhtt bg

  1. 1. 1
  2. 2. BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC LAÏC HOÀNG BAØI GIAÛNG (Taøi lieäu tham khaûo cho sinh vieân)QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH 2010
  3. 3. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Chöông 1 BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH §1. LAÄP BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH1.1. Baøi toaùn laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu Baøi toaùn Moät Xí nghieäp coù keá hoaïch söû duïng m loaïi nguyeân lieäu: N1, N2 , . . . , Nm , ñeå saûn xuaátn loaïi saûn phaåm: S1 , S2 , . . . , Sn . Vôùi tröõ löôïng nguyeân lieäu, ñònh möùc söû duïng khoái löôïng nguyeân lieäu moãi loaïi ñeå saûnxuaát moät ñôn vò saûn phaåm vaø giaù baùn moät ñôn vò saûn phaåm ñöôïc cho nhö trong baûngsau: Teân Tröõ nguyeân löôïng Saûn phaåm lieäu nguyeân lieäu S1 S2 ... Sn N1 b1 a11 a12 ... a1n N2 b2 a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... Nm bm am1 am2 ... amn Giaù baùn c1 c2 ... cn Yeâu caàu + Caàn saûn xuaát soá löôïng moãi loaïi saûn phaåm laø bao nhieâu ñeå doanh thu laø lôùn nhaát. + Quaù trình saûn xuaát khoâng bò ñoäng. Giaû thieát raèng: vôùi giaù baùn ñaõ ñònh thì saûn phaåm cuûa Xí nghieäp ñöôïc tieâu thuï heát. Laäp moâ hình toaùn hoïc 1
  4. 4. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Töø döõ lieäu vaø caùc yeâu caàu thöïc teá cuûa Xí nghieäp ñaõ cho nhö treân, ta phaûi xaây döïngmoät moâ hình toaùn hay coøn goïi laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính. Goïi xj laø soá löôïng saûn phaåm Sj (j = 1, 2, ..., n) caàn saûn xuaát, vôùi ñieàu kieän laø xj ≥ 0. Khi ñoù: + Toång nguyeân lieäu moãi loaïi Ni caàn duøng ñeå saûn xuaát laø ai1x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn , (i = 1, 2, . . . , m)vaø ñeå quaù trình saûn xuaát khoâng bò ñoäng thì ai1 x1 + ai2x2 + · · · + ain xn ≤ bi + Khi Xí nghieäp baùn heát saûn phaåm thì doanh thu ñaït ñöôïc laø c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn → max Töø ñoù ta coù moâ hình toaùn cuûa baøi toaùn laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu laø: f (x) = c1x1 + c2 x2 + · · · + cn xn → max a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn ≤ b2 ··························· am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn ≤ bm xj ≥ 0, (j = 1, 2, . . . , n) Ví duï 1.1: Moät Xí nghieäp deät coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi vaûi laø A, B, C. Nguyeân lieäusaûn xuaát laø caùc loaïi sôïi: cotton, polyester vôùi tröõ löôïng laø: + Cotton: 3 taán + Kate: 2,5 taán + Polyester: 4,5 taán Möùc tieâu hao moãi loaïi sôïi ñeå saûn xuaát 1m vaûi vaø giaù baùn (ngaøn ñoàng/m) vaûi thaønhphaåm moãi loaïi ñöôïc cho trong baûng sau: 2
  5. 5. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Nguyeân lieäu Saûn phaåm (g) A B C Cotton 200 200 100 Kate 100 200 100 Polyester 100 100 200 Giaù baùn 35 48 25 Haõy laäp moät keá hoaïch saûn xuaát toái töu cho Xí nghieäp ? (chæ laäp moâ hình toaùn hoïc)HD: Goïi x1 , x2, x3 ≥ 0 laàn löôït laø soá löôïng cuûa caùc loaïi vaûi A, B, C. Ta coù + Khoái löôïng nguyeân lieäu cotton caàn duøng laø: 200x1 + 200x2 + 100x3 + Khoái löôïng nguyeân lieäu kate caàn duøng laø: 100x1 + 200x2 + 100x3 + Khoái löôïng nguyeân lieäu polyester caàn duøng laø: 100x1 + 100x2 + 200x3 Ñeå khoâng bò ñoäng trong quaù trình saûn xuaát thì ta phaûi coù 200x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 3.000.000 100x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 2.500.000 100x1 + 100x2 + 200x3 ≤ 4.500.000 Khi Xí nghieäp baùn heát saûn phaåm thì doanh thu cuûa XN laø: 35x1 +48x2 +25x3 → max Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laäp keá hoach saûn xuaát toái öu laø: f (x) = 35x1 + 48x2 + 25x3 → max 200x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 3.000.000 100x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 2.500.000 100x1 + 100x2 + 200x3 ≤ 4.500.000 x1 , x2, x3 ≥ 0Ví duï 1.2: Moät Xí nghieäp coù keá hoach saûn xuaát 3 saûn phaåm S1 , S2, S3 töø 3 nguyeân vaätlieäu N1 , N2, N3 . Cho bieát nguyeân vaät lieäu Xí nghieäp ñang coù, ñònh möùc söû duïng caùc loaïinguyeân vaät lieäu ñeå saûn xuaát ra moät saûn phaåm moãi loaïi vaø tieàn lôøi (ngaøn ñoàng) ñöôïc chonhö baûng sau: 3
  6. 6. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Nguyeân Tröõ löôïng Saûn phaåm lieäu nguyeân lieäu S1 S2 S3 N1 240 2 3 2 N2 200 1 2 1 N3 400 4 1 2 Tieàn lôøi/sp 10 12 9 Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho Xí nghieäp ?HD: Goïi x1 , x2, x3 laàn löôït laø soá saûn phaåm S1 , S2, S3 caàn phaûi saûn xuaát. Ñieàu kieän: x1 , x2, x3 ≥ 0. Khoái löôïng nguyeân lieäu Ni caàn duøng ñeå saûn xuaát ra soá saûn phaåm treân laø: N1 : 2x1 + 3x2 + 2x3 (ñôn vò nguyeân lieäu) N2 : x1 + 2x2 + x3 (ñôn vò nguyeân lieäu) N3 : 4x1 + x2 + 2x3 (ñôn vò nguyeân lieäu) Ñeå quaù trình saûn xuaát khoâng bò ñoäng thì toång khoái löôïng nguyeân lieäu Ni caàn duøngñeå saûn xuaát phaûi luoân nhoû hôn hoaëc baèng khoái löôïng nguyeân lieäu Xí nghieäp hieän coù. 2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240 x1 + 2x2 + x3 ≤ 200 4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400 Toång soá tieàn lôøi Xí nghieäp coù theå thu ñöôïc khi baùn heát saûn phaåm laø: 10x1 +12x2 +9x3(ngaøn ñoàng), vaø muïc tieâu cuûa Xí nghieäp laø laøm cho doanh thu ñaït cöïc ñaïi neân: 10x1 + 12x2 + 9x3 → max Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu treân laø (baøi toaùnquy hoaïch tuyeán tính): f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 → max 2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240 x1 + 2x2 + x3 ≤ 200 4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400 x1, x2 , x3 ≥ 0 4
  7. 7. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Vôùi caùch laäp luaän vaø trình baøy töông töï nhö treân, haõy thöïc haønh vôùi 3 baøi taäp sau:Ví duï 1.3: Moät xí nghieäp coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi saûn phaåm kyù hieäu laø A, B, C. Ñònhmöùc hao phí nguyeân lieäu, voán, lao ñoäng (quy ra giôø coâng) vaø lôïi nhuaän thu ñöôïc tínhcho 1 ñôn vò saûn phaåm moãi loaïi cho trong baûng sau: Saûn phaåm Nguyeân lieäu Voán Lao ñoäng Lôïi nhuaän (kg) (1.000 ñoàng) (giôø coâng) (1.000 ñoàng) A 2 1 4 2 B 3 3 8 3 C 3 5 1 5 Möùc huy 150 120 100 ñoäng toái ña Haõy laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho xí nghieäp (Chæ laäp moâ hình baøi toaùn, khoânggiaûi baøi toaùn).Ví duï 1.4: Moät coâng ty Sôn BaXP saûn xuaát hai loaïi sôn laø sôn trong nhaø vaø sôn ngoaøitrôøi. Nguyeân lieäu chuû yeáu ñeå saûn xuaát sôn goàm: + Nguyeân lieäu loaïi A vôùi tröõ löôïng laø 140 taán. + Nguyeân lieäu loaïi B vôùi tröõ löôïng laø 180 taán. Ñeå saûn xuaát 1 taán sôn trong nhaø caàn 3 taán nguyeân lieäu A vaø 2 taán nguyeân lieäu B. Ñeå saûn xuaát 1 taán sôn ngoaøi trôøi caàn 4 taán nguyeân lieäu A vaø 5 taán nguyeân lieäu B. Qua nghieân cöùu thò tröôøng, phoøng tieáp thò döï baùo nhu caàu thò tröôøng trong 1 tuaànnhö sau: + Nhu caàu sôn trong nhaø khoâng lôùn hôn sôn ngoaøi trôøi 2 taán. + Nhu caàu lôùn nhaát cuûa sôn trong nhaø laø 3 taán. Giaù baùn cho ñaïi lyù laø: 45 trieäu ñoàng/taán cho sôn trong nhaø vaø 50 trieäu ñoàng/taán chosôn ngoaøi trôøi. Yeâu caàu: Haõy laäp keá hoaïch saûn xuaát moãi tuaàn nhö theá naøo ñeå coâng ty ñaït doanhthu lôùn nhaát (chæ laäp moâ hình baøi toaùn, khoâng giaûi baøi toaùn). 5
  8. 8. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù BaVí duï 1.5: Nhaân dòp teát trung thu, xí nghieäp saûn xuaát baùnh KD muoán saûn xuaát 3 loaïibaùnh : ñaäu xanh, thaäp caåm vaø baùnh deûo nhaân ñaäu xanh. Ñeå saûn xuaát 3 loaïi baùnh naøy,xí nghieäp caàn: ñöôøng, ñaäu, boät, tröùng, möùt, laïp xöôûng, ... Giaû söû soá ñöôøng coù theå chuaånbò ñöôïc laø 500kg, ñaäu laø 300kg, caùc nguyeân lieäu khaùc muoán bao nhieâu cuõng coù. Löôïngñöôøng, ñaäu caàn thieát vaø lôïi nhuaän thu ñöôïc treân moät caùi baùnh moãi loaïi cho trong baûngsau: Baùnh Baùnh ñaäu Baùnh thaäp Baùnh deûo Nguyeän lieäu xanh caåm Ñöôøng (g) 60 40 70 Ñaäu (g) 80 0 40 Lôïi nhuaän (ñoàng) 2000 1700 1800 Caàn laäp keá hoaïch saûn xuaát moãi loaïi baùnh bao nhieâu caùi ñeå khoâng bò ñoäng veà ñöôøng,ñaäu vaø toång lôïi nhuaän thu ñöôïc laø lôùn nhaát neáu saûn xuaát bao nhieâu cuõng baùn heát.1.2. Baøi toaùn pha troän toái öu Baøi toaùn: Moät nhaø maùy luyeän kim muoán söû duïng n loaïi nguyeân lieäu: N1 , N2, . . . , Nnñeå saûn xuaát moät loaïi hôïp kim coù m chaát: M1 , M2 , . . . , Mm . Haøm löôïng caùc chaát trongmoät ñôn vò hôïp kim thaønh phaåm, haøm löôïng chaát trong moät ñôn vò nguyeân lieäu vaø giaùmoät ñôn vò nguyeân lieäu ñöôïc cho trong baûng sau: Chaát trong Haøm löôïng chaát Haøm löôïng chaát trong NL thaønh phaåm trong thaønh phaåm N1 N2 ... Nn M1 b1 a11 a12 ... a1n M2 b2 a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... Mm bm am1 am2 ... amn Giaù nguyeân lieäu c1 c2 ... cn Vaán ñeà ñaët ra laø phaûi duøng moãi loaïi nguyeân lieäu bao nhieâu ñôn vò ñeå saûn xuaát 1 ñônvò hôïp kim thaønh phaåm sao cho giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm thaáp nhaát nhöng 6
  9. 9. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Bavaãn ñaûm baûo chaát löôïng theo yeâu caàu. Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn pha troäntoái öu treân ?HD: Goïi xj laø khoái löôïng nguyeân lieäu Nj (j = 1, 2, . . . , n) caàn duøng ñeå saûn xuaát 1 ñônvò hôïp kim thaønh phaåm ñaùp öùng caùc yeâu caàu cuûa baøi toaùn. Ñieàu kieän: xj ≥ 0, (j = 1, 2, . . . , n) Toång khoái löôïng chaát Mi (i = 1, 2, . . . , m) coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaátlaø: ai1x1 + ai2x2 + · · · + ain xn Ñeå saûn phaåm laø hôïp kim thaønh phaåm baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâu caàu, ta coù ai1x1 + ai2x2 + · · · + ain xn = bi Giaù thaønh (giaù voán goác) 1 ñôn vò hôïp kim thaønh phaåm laø: c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn Yeâu caàu laø giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm phaûi thaáp nhaát neân c1 x1 + c2x2 + · · · + cn xn → min Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn pha troän toái öu laø f (x) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn → min a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 ··························· am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , nVí duï 2.1: Moät nhaø maùy luyeän kim muoán saûn xuaát moät loaïi hôïp kim coù 20% baïc, 30%ñoàng vaø 50% nhuoâm. Ñeå saûn xuaát ra loaïi hôïp kim ñoù nhaø maùy duøng 6 loaïi nguyeân lieäu:baïc nguyeân chaát, ñoàng nguyeân chaát, nhuoâm nguyeân chaát, hôïp kim A, hôïp kim B, hôïpkim C. Tyû leä caùc chaát baïc, ñoàng, nhuoâm trong 6 loaïi nguyeân lieäu treân vaø giaù nguyeânlieäu (ngaøn ñoàng/kg) moãi loaïi ñöôïc cho trong baûng sau: 7
  10. 10. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Chaát Loaïi nguyeân lieäu Baïc Ñoàng Nhuoâm HK A HK B HK C Baïc 100% 0 0 30% 50% 40% Ñoàng 0 100% 0 40% 20% 35% Nhuoâm 0 0 100% 30% 30% 25% Giaù nguyeân lieäu 1500 300 100 1000 1200 1100 Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh khoái löôïng nguyeân lieäu moãi loaïi ñeåsaûn xuaát 1 kg hôïp kim thaønh phaåm sao cho giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm thaápnhaát nhöng vaãn baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâu caàu.HD: Goïi x1 , x2, x3, x4 , x5, x6 laàn löôït laø khoái löôïng nguyeân lieäu (kg) baïc, ñoàng, nhuoâmnguyeân chaát, hôïp kim A, hôïp kim B, hôïp kim C caàn söû duïng ñeå saûn xuaát 1 kg hôïp kimthaønh phaåm ñaùp öùng caùc yeâu caàu cuûa baøi toaùn. Ñieàu kieän: x1 , x2, x3, x4, x5 , x6 ≥ 0 Toång khoái löôïng chaát baïc coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát laø: x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 Toång khoái löôïng chaát ñoàng coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát laø: x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 Toång khoái löôïng chaát nhuoâm coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát laø: x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 Ñeå saûn phaåm laø hôïp kim thaønh phaåm baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâu caàu, ta coù x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2 x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3 x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5 Giaù thaønh 1 ñôn vò hôïp kim thaønh phaåm laø: 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 8
  11. 11. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Yeâu caàu laø giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm phaûi thaáp nhaát neân 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 → min Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laø f (x) = 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 → min x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2 x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3 x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5 xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6Ví duï 2.2: Moät hôïp chaát ñöôïc cheá taïo töø caùc ñôn chaát A, B, C, D. Caùc ñôn chaát naøy coùtheå laáy töø caùc quaëng I, II, III, IV. Nhöõng quaëng naøy coù theå mua theâm ôû thò tröôøng. Caùcsoá lieäu cho trong baûng sau Soá löôïng yeâu caàu I II III IV A ≥ 12 3 4 1,5 0 B=8 0 3 2 1 C≤6 1 2 1,5 2 D≥7 2 0 3 1,5 Giaù 1 ñôn vò 7 6 8 5 Hoûi caàn mua moãi loaïi quaëng bao nhieâu ñôn vò ñeå cho toång giaù thaønh moät ñôn vòhôïp chaát laø reû nhaát.HD: Goïi xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4) laø soá ñôn vò quaëng thöù j caàn phaûi mua ñeå trích ra caùcñôn chaát duøng cho cheá taïo hôïp chaát. Ta coù baøi toaùn quy hoaïch Tìm x = (x1 , x2, x3, x4 ) sao cho: f (x) = 7x1 + 6x2 + 8x3 + 5x4 → min 3x1 + 4x2 + 1.5x3 ≥ 12 3x2 + 2x3 + x4 = 8 x1 + 2x2 + 1.5x3 + 2x4 ≤ 6 2x1 + 3x3 + 1.5x4 ≥ 7 xj ≥ 0, (j = 1, 2, 3, 4) 9
  12. 12. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba1.3. Baøi toaùn xaùc ñònh khaåu phaàn aên toái öu Baøi toaùn: Giaû söû khoái löôïng toái thieåu veà caùc chaát dinh döôõng D1 , D2 , . . . , Dm chomoät loaïi gia suùc trong moät ngaøy; haøm löôïng caùc chaát dinh döôõng ñoù coù trong moät ñônvò thöùc aên F1, F2, . . . , Fn vaø giaù mua moät ñôn vò thöùc aên moãi loaïi ñöôïc cho trong baûngsau Loaïi chaát Khoái löôïng Loaïi thöùc aên dinh döôõng toái thieåu F1 F2 ... Fn D1 b1 a11 a12 ... a1n D2 b2 a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... Dm bm am1 am2 ... amn Giaù mua c1 c2 ... cn Ngöôøi ta quan taâm laø phaûi mua moãi loaïi thöùc aên bao nhieâu ñôn vò ñeå chi phí muathöùc aên ít nhaát nhöng ñaùp öùng ñöôïc nhu caàu dinh döôõng toái thieåu moãi ngaøy ñöôïc goïilaø baøi toaùn xaùc ñònh khaåu phaàn aên toái öu. Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùcñònh khaåu phaàn aên toái öu ñoù. HD: Goïi xj laø khoái löôïng thöùc aên Fj caàn mua vaø xj ≥ 0 (j = 1, 2, . . . , n) Toång khoái löôïng chaát dinh döôõng Di coù trong caùc thöùc aên caàn mua laø ai1x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn (i = 1, 2, . . . , m) Ñeå ñaùp öùng ñöôïc nhu caàu dinh döôõng toái thieåu moãi ngaøy thì toång khoái löôïng chaátdinh döôõng Di coù trong caùc thöùc aên caàn mua khoâng nhoû hôn khoái löôïng toái thieåu moãingaøy veà chaát dinh döôõng ñoù neân ta coù ñieàu kieän ai1 x1 + ai2x2 + · · · + ain xn ≥ bi Khi ñoù, toång chí phí mua thöùc aên laø c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xnvaø c1 x1 + c2x2 + · · · + cn xn → min 10
  13. 13. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh khaåu phaàn aên toái öu laø f (x) = c1 x2 + c2 x2 + · · · + cn xn → min a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn ≥ b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn ≥ b2 ..................................... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ≥ bm xj ≥ 0 , j = 1, 2, . . . , n Ví duï 3.1: Ñeå nuoâi moät loaïi gia suùc ngöôøi ta söû duïng 3 loaïi thöùc aên laø caùm, baép,boät caù. Tyû leä (%) caùc chaát dinh döôõng ñaïm, ñöôøng, beùo coù trong caùc loaïi thöùc aên caùm,baép, boät caù vaø giaù 1 kg thöùc aên moãi loaïi ñöôïc cho nhö baûng sau Chaát Loaïi thöùc aên dinh döôõng Caùm Baép Boät caù Ñaïm 10 10 20 Ñöôøng 20 15 10 Beùo 5 10 20 Giaù mua (ñoàng) 2000 1000 2000 Yeâu caàu trong khaåu phaàn thöùc aên cuûa loaïi gia suùc naøy laø: ñaïm phaûi coù ít nhaát laø 70g vaø nhieàu nhaát laø 90 g, ñöôøng phaûi coù ít nhaát laø 80 g, chaát beùo phaûi coù ít nhaát 20 g vaønhieàu nhaát laø 60 g. Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh khoái löôïng thöùcaên moãi loaïi caàn mua sao cho toång chi phí thaáp nhaát vaø baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâucaàu ? HD: Goïi x1, x2 , x3 ≥ 0 laàn löôït laø khoái löôïng caùm, baép vaø boät caù caàn mua ñeå laømthöùc aên cho gia suùc. 11
  14. 14. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Phaân tích vaø laäp luaän töông töï baøi toaùn treân, ta coù moâ hình toaùn hoïc f (x) = 2x1 + x2 + 2x2 → min 0, 1x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≥ 70 0, 1x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≤ 90 0, 2x1 + 0, 15x2 + 0, 1x3 ≥ 80 0, 05x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≥ 20 0, 05x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≤ 60 xj ≥ 0 , j = 1, 2, 3 Ví duï 3.2: Coâng ty saûn xuaát thöùc aên giaù suùc coù keá hoaïch saûn xuaát caùc bao thöùc aêngia suùc coù tyû leä (%) chaát dinh döôõng cho moãi bao theo tieâu chuaån sau Chaát dinh döôõng Tyû leä toái thieåu Tyû leä toái ña Ñaïm 22,9 khoâng haïn cheá Ñöôøng 42 75 Beùo 9 15 Xô) 7,8 khoâng haïn cheá Cho bieát tyû leä (%) caùc chaát dinh döôõng treân trong caùc loaïi nguyeân lieäu vaø giaù nguyeânlieäu nhö sau Chaát Nguyeân lieäu dinh döôõng Caùm Gaïo Baép Boät caù Ñaïm 15 8 10 62 Ñöôøng 60 50 60 6 Beùo 15 4 6 20 Xô 2 15 9 3 Giaù (ñoàng/kg) 3 2 1,2 5 Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh thaønh phaàn nguyeân lieäu ñeå saûnxuaát moät bao thöùc aên gia suùc ñaït chaát löôïng vaø coù giaù reû nhaát. Bieát raèng moãi bao thöùcaên coù troïng löôïng 100 kg. 12
  15. 15. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba HD: Goïi x1 , x2, x3, x4 ≥ 0 laø khoái löôïng (kg) caùm, gaïo, baép, boät caù coù trong 1 baothöùc aên. Khi ñoù moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laø f (x) = 3x1 + 2x2 + 1, 2x3 + 5x4 → min x1 + x2 + x3 + x4 = 100 0, 15x1 + 0, 08x2 + 0, 1x3 + 0, 62x4 ≥ 22, 9 0, 6x1 + 0, 5x2 + 0, 6x3 + 0, 06x4 ≥ 42 0, 6x1 + 0, 5x2 + 0, 6x3 + 0, 06x4 ≤ 75 0, 15x1 + 0, 04x2 + 0, 06x3 + 0, 2x4 ≥ 9 0, 15x1 + 0, 04x2 + 0, 06x3 + 0, 2x4 ≤ 15 0, 02x1 + 0, 15x2 + 0, 09x3 + 0, 03x4 ≥ 7, 8 x1, x2, x3 , x4 ≥ 01.4. Moät soá baøi toaùn khaùc Ví duï 4.1: Coâng ty Tieâu Ñieàu döï ñònh troàng hai loaïi caây caø pheâ vaø tieâu treân 3 khuñaát A, B, C coù dieän tích töông öùng laø 50, 60, 40 ha. Do ñaëc ñieåm cuûa caùc khu ñaát khaùcnhau neân chi phí saûn xuaát (trieäu ñoàng/ha) vaø naêng suaát (taï/ha) khaùc nhau vaø cho ôû baûngsau: Khu ñaát Caø pheâ Tieâu 2 1,8 A 9 6 2,2 1,6 B 10 5 2,5 1,5 C 12 4 Soá lieäu ôû goùc beân traùi, phía treân cuûa moãi oâ laø chi phí saûn xuaát; ôû goùc beân phaûi phíadöôùi cuûa moãi oâ laø naêng suaát. Yeâu caàu saûn löôïng cuûa caø pheâ toái thieåu laø 500 taï vaø tieâu toái thieåu laø 420 taï. Haõy laäp moâ hình baøi toaùn xaùc ñònh phöông aùn phaân phoái ñaát troàng sao cho ñaûm baûoyeâu caàu veà saûn löôïng vôùi chi phí thaáp nhaát ? 13
  16. 16. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba HD: Goïi x1, x2, x3 laàn löôït laø dieän tích (ha) khu ñaát A,B,C duøng ñeå troàng caø pheâ vaøx4, x5 , x6 laàn löôït laø dieän tích (ha) khu ñaát A,B,C duøng ñeå troàng tieâu. Khi ñoù moâ hìnhtoaùn hoïc cuûa baøi toaùn laø f (x) = 2x1 + 2, 2x2 + 2, 5x3 + 1, 8x4 + 1, 6x5 + 1, 5x6 → min x1 + x4 ≤ 50 x2 + x5 ≤ 60 x3 + x6 ≤ 40 9x1 + 10x2 + 12x3 ≥ 500 6x4 + 5x5 + 4x6 ≥ 420 xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6 Ví duï 4.2: Moät ngöôøi coù soá tieàn 80 trieäu ñoàng döï ñònh ñaàu tö vaøo caùc loaïi hình kinhteá sau: + Göûi tieát kieäm khoâng kyø haïn vôùi laõi suaát 7,5%/naêm. + Göûi tieát kieäm coù kyø haïn vôùi laõi suaát 9,5%/naêm. + Mua tín phieáu vôùi laõi suaát 10%/naêm + Cho doanh nghieäp tö nhaân vay vôùi laõi suaát 13%/naêm. Vì moãi loaïi hình ñaàu tö ñeàu coù öu khuyeát, ruûi ro cuûa noù neân ngöôøi ñoù quyeát ñònhñaàu tö theo caùc chæ daãn sau ñaây cuûa nhaø tö vaán: (1) Khoâng cho doanh nghieäp vay quaù 20% soá tieàn. (2) Soá tieàn mua tín phieáu khoâng ñöôïc vöôït quaù toång soá tieàn ñaàu tö vaøo 3 loaïi hìnhkia. (3) Ñaàu tö ít nhaát 30% toång soá tieàn vaøo göûi tieát kieäm coù kyø haïn vaø mua tín phieáu. (4) Tyû leä tieàn göûi tieát kieäm khoâng kyø haïn vaø coù kyø haïn khoâng vöôït quaù 1/3. Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh soá tieàn ñaàu tö vaø moãi loaïi hìnhkinh teá ñeå toång soá tieàn lôøi ñaït ñöôïc cao nhaát vaø tuaân theo caùc chæ daãn cuûa nhaø ñaàu tö.Bieát raèng ngöôøi ñoù quyeát ñònh ñaàu tö heát soá tieàn ñang coù. HD: Goïi x1 , x2, x3 , x4 ≥ 0 laàn löôït laø soá tieàn (trieäu ñoàng) ñaàu tö vaøo göûi tieát kieämkhoâng kyø haïn, göûi tieát kieäm coù kyø haïn, mua tín phieáu, cho doanh nghieäp tö nhaân vay. 14
  17. 17. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Moâ hình toaùn hoïc laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = 0, 075x1 + 0, 095x2 + 0, 1x3 + 0, 13x4 → max x1 + x2 + x3 + x4 = 80.000.000 x4 ≤ 16.000.000 x1 + x2 − x3 + x4 ≥ 0 x2 + x3 ≥ 24.000.000 3x1 − x2 ≤ 0 x1, x2 , x3, x4 ≥ 0 15
  18. 18. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba §2. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN CUÛA BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH2.1. Daïng toång quaùt cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính laø baøi toaùn coù daïng nhö sau: f (x) = c1 x1 + c2x2 + . . . + cn xn → max (min) (1)   ≥     ai1 x1 + ai2x2 + . . . + ain xn  ≤  bi (2)   =   ≥0     xj  ≤ 0  (3)   tuyø yù vôùi: i = 1, 2, . . . , m vaø j = 1, 2, . . . , n Trong ñoù: + (1) ñöôïc goïi laø haøm muïc tieâu cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính. Neáu f (x) →max thì goïi laø baøi toaùn cöïc ñaïi, f (x) → min thì goïi laø baøi toaùn cöïc tieåu. + (2) goïi laø heä raøng buoäc chính cuûa baøi toaùn. + (3) goïi laø heä raøng buoäc daáu cuûa baøi toaùn hay ñieàu kieän veà daáu cuûa caùc aån soá. + (2) vaø (3) goïi chung laø heä raøng buoäc cuûa baøi toaùn.Ví duï: Cho caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau: 1.1). f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 → max 2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240 x1 + 2x2 + x3 ≤ 200 4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400 x1, x2 , x3 ≥ 0 16
  19. 19. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba 1.2). f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 → max 2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240 x1 + 2x2 + x3 ≤ 200 4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400 x1, x2 , x3 ≥ 0 1.3). f (x) = 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 → min x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2 x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3 x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5 xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 62.2. Phöông aùn - Phöông aùn cô baûn Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (P) vôùi n aån nhö treân. Phöông aùn: Moät boä n soá thöïc x∗ = (x∗, x∗ , . . . , x∗ ) thoaû maõn heä raøng buoäc cuûa baøi 1 2 ntoaùn (P) thì ñöôïc goïi laø moät phöông aùn hay lôøi giaûi chaáp nhaän ñöôïc cuûa baøi toaùn (P). Moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính coù theå coù nhieàu lôøi giaûi chaáp nhaän ñöôïc (phöôngaùn), thöïc teá ngöôøi ta thöôøng quan taâm ñeán nhöõng phöông aùn toát nhaát (toái öu) trongtaäp caùc phöông aùn cuûa noù. Phöông aùn cô baûn: Coøn goïi laø phöông aùn cöïc bieân - laø phöông aùn thoaû maõn chaëtít nhaát n raøng buoäc cuûa baøi toaùn (P). Moät phöông aùn cô baûn thoaû maõn chaët ñuùng n raøng buoäc cuûa baøi toaùn thì goïi laøphöông aùn cô baûn khoâng suy bieán. Ví duï 2.1: Xeùt baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (P) sau: f (x) = 3x1 + x2 − x3 → max x1 − x3 = 2 x2 + x3 = 3 x1, x2 , x3 ≥ 0 17
  20. 20. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Caên cöù vaøo hai raøng buoäc chính vaø ñieàu kieän veà daáu cuûa caùc aån, ta suy ra taäp caùcphöông aùn cuûa baøi toaùn (P) laø: X = {xα = (2 + α, 3 − α, α)|0 ≤ α ≤ 3} + Vôùi α = 0, ta coù phöông aùn x0 = (2, 3, 0) + Vôùi α = 1, ta coù phöông aùn x1 = (3, 2, 1) Haõy kieåm tra xem hai phöông aùn treân coù phaûi laø phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùn ñaõcho khoâng ?2.3. Phöông aùn toái öu Phöông aùn x0 ñöôïc goïi laø phöông aùn toái öu (PATU) cuûa baøi toaùn quy hoaïch (P) neáuf (x0 ) laø giaù trò lôùn nhaát (nhoû nhaát) treân taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn. Khi ñoù ta noùix0 laø PATU cuûa baøi toaùn vaø f (x0 ) laø giaù trò toái öu. Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính laø ñi tìm PATU vaø giaù trò toái öu (GTTU) cuûa baøitoaùn. Trong quaù trình giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (QHTT) ta gaëp caùc tröôøng hôïpsau: + Baøi toaùn QHTT chæ coù moät PATU hoaëc coù voâ soá PATU. + Baøi toaùn QHTT khoâng coù phöông aùn hoaëc coù phöông aùn nhöng haøm muïc tieâukhoâng bò chaën treân (neáu baøi toaùn cöïc ñaïi) hay khoâng bò chaën döôùi (neáu baøi toaùn cöïctieåu) treân taäp phöông aùn. Khi ñoù baøi toaùn goïi laø khoâng giaûi ñöôïc (khoâng coù PATU).2.4. Moät soá tính chaát cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính i). Moät baøi toaùn QHTT coù phöông aùn thì noù coù phöông aùn cô baûn (höõu haïn). ii). Baøi toaùn cöïc ñaïi (cöïc tieåu) coù phöông aùn vaø haøm muïc tieâu bò chaën treân (chaëndöôùi) thì baøi toaùn coù PATU. iii). Baøi toaùn QHTT coù PATU thì coù phöông aùn cô baûn toái öu. iv. Neáu baøi toaùn QHTT coù hôn 1 PATU thì baøi toaùn ñoù coù voâ soá PATU. Caùc tính chaát treân ta seõ giaûi thích baèng phöông phaùp hình hoïc. 18
  21. 21. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba §3. PHÖÔNG PHAÙP HÌNH HOÏC Baèng phöông phaùp hình hoïc giuùp ta deã hình dung vaø hieåu ñöôïc baøi toaùn hôn. Trongbaøi naøy, söû duïng phöông phaùp hình hoïc muïc ñích laø giaûi thích vaø laøm roõ hôn moät soátính chaát ôû treân. Duøng phöông phaùp hình hoïc ta coù theå tìm ñöôïc phöông aùn toái öu cuûabaøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính 2 aån. Caùc baøi toaùn coù soá aån nhieàu hôn chæ laø söï môû roängcuûa giaûi thích ñoù nhöng khaù phöùc taïp.3.1. Phöông phaùp hình hoïc Ta coù theå giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính 2 aån baèng phöông phaùp hình hoïc nhösau: Böôùc 1: Bieåu dieãn taäp phöông aùn X treân maët phaúng Oxy Treân cuøng moät maët phaúng toaï ñoä Oxy, veõ vaø bieåu dieãn nghieäm cuûa taát caû caùc baátphöông trình (hay phöông trình) cuûa heä raøng buoäc roài xaùc ñònh phaàn giao cuûa caùcnghieäm ñoù - Taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn. Böôùc 2: Bieåu dieãn veùctô phaùp tuyeán vaø haøm muïc tieâu Veõ veùctô phaùp tuyeán (− ) cuûa ñöôøng thaúng haøm muïc tieâu, sau ñoù veõ moät ñöôøng →nthaúng (d) vuoâng goùc vôùi veùctô ñoù thì (d) chính laø ñöôøng thaúng cuûa haøm muïc tieâu. Böôùc 3: Giaûi baøi toaùn Baøi toaùn cöïc ñaïi coù haøm muïc tieâu daïng: z = ax + by → max Cho (d) di chuyeån theo höôùng cuûa veùctô − : → n i). Ñieåm cuoái cuøng maø (d) ñi ra khoûi mieàn X thì ñieåm ñoù laø PATU cuûa baøi toaùn.Tröôøng hôïp (d) ra khoûi mieàn X theo moät ñoaïn thaúng thì baøi toaùn coù voâ soá PATU (moãiñieåm thuoäc ñoaïn thaúng laø moät PATU) vaø khi ñoù hai ñieåm ñaàu cuûa ñoaïn thaúng ñoù laø haiPACB toái öu. Do ñoù baøi toaùn QHTT coù hôn moät PATU thì coù voâ soá PATU (tính chaát 4). ii). Tröôøng hôïp (d) luoân luoân giao vôùi mieàn X khi di chuyeån thì baøi toaùn khoâng coùPATU. Khi mieàn X laø moät ña giaùc loài thì caùc ñænh cuûa ña giaùc chính laø caùc phöông aùn côbaûn cuûa baøi toaùn, do ñoù phöông aùn cô baûn coøn ñöôïc goïi laø phöông aùn cöïc bieân. 19
  22. 22. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Tröôøng hôïp giaûi baøi toaùn cöïc tieåu coù haøm muïc tieâu: z = ax + by → min Thao taùc töông töï baøi toaùn cöïc ñaïi chæ khaùc laø cho (d) di chuyeån ngöôïc höôùng cuûa→−.n Ví duï 1.1: Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn sau: z = 2x + y → max 2x + y ≥ 2 −x + 2y ≤ 6 5x − y ≤ 15 x, y ≥ 0 HD: Veõ vaø bieåu dieãn mieàn nghieäm cuûa 5 raøng buoäc cuûa baøi toaùn treân cuøng maët phaúngtoaï ñoä Oxy, ta xaùc ñònh ñöôïc taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn laø nguõ giaùc loài ABCDE vôùiA(0,2); B(0,3); C(4,5); D(3,0); E(1,0). Veõ veùctô phaùp tuyeán − = (2, 1) vaø ñöôøng thaúng → n2x + y = z (haøm muïc tieâu) treân mieàn ABCDE. 20
  23. 23. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn: Cho (d) di chuyeån theo höôùng vectô phaùp tuyeán→− thì ñieåm cuoái cuøng maø (d) ñi ra khoûi mieàn ABCDE laø C(4, 5). Vaäy PATU cuûa baøintoaùn laø x0 = (4, 5) vaø GTTU laø z(x0) = 2 × 4 + 5 = 13. Ví duï 1.2: Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn sau: z = 2x + y → min 2x + y ≥ 2 −x + 2y ≤ 6 5x − y ≤ 15 x, y ≥ 0 HD: Ñaây laø baøi toaùn cöïc tieåu, do ñoù ñeå tìm PATU cuûa baøi toaùn thì ta di chuyeån(d) ngöôïc höôùng vectô phaùp tuyeán − . Khi naøy ñöôøng thaúng(d) ra khoûi mieàn ABCDE → nkhoâng phaûi laø moät ñieåm maø laø theo moät ñoaïn thaúng AE, neân ta keát luaän baøi toaùn coùvoâ soá PATU vaø moãi ñieåm M0 (x0 , y0) treân ñoaïn thaúng AE laø moät PATU cuûa baøi toaùn vaøhai ñieåm A(0, 2); E(1, 0) laø 2 phöông aùn cô baûn toái öu. Giaù tri toái öu cuûa baøi toaùn laø:zmin = 2.3.2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Treân maët phaúng toaï ñoä Oxy, moãi phöông trình daïng ax + by = c ñöôïc bieåu dieãnbaèng moät ñöôøng thaúng vaø moãi ñieåm treân ñöôøng thaúng ñoù laø moät nghieäm cuûa phöông. Caùc baát phöông trình daïng ax + by ≤ c hay ax + by ≥ c thì nghieäm cuûa noù ñöôïcbieåu dieãn baèng moät nöõa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng ax + by = c. Ñoái vôùi moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính ñôn giaûn 2 aån coù nhieàu raøng buoäc, thìtaäp phöông aùn cuûa baøi toaùn laø moät mieàn phaúng thöôøng laø moät ña giaùc loài, moãi ñieåmM(x, y) treân mieàn phaúng ñoù laø moät phöông aùn cuûa baøi toaùn. Tuy nhieân, ñoâi khi ta cuõngcoù theå gaëp caùc baøi toaùn maø taäp phöông aùn laø taäp roãng hoaëc chæ coù moät ñieåm duy nhaát. 21
  24. 24. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ví duï 2.1: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán sau baèng phöông phaùp hình hoïc z = 3x + 5y → max 2x + y ≤ 8 x≤3 y≤4 x, y ≥ 0 HD: Veõ vaø bieåu dieãn mieàn nghieäm cuûa 5 raøng buoäc cuûa baøi toaùn treân cuøng maëtphaúng toaï ñoä Oxy, ta xaùc ñònh ñöôïc taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn laø nguõ giaùc loàiOABCD vôùi O(0, 0); A(0, 4); B(2, 4); C(3, 2); D(3, 0). Veõ veùctô phaùp tuyeán − = (3, 5) → nvaø ñöôøng thaúng 3x + 5y = z (haøm muïc tieâu) treân mieàn OABCD. Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn ? 22
  25. 25. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ví duï 2.1: Giaûi caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeán sau baèng phöông phaùp hình hoïc a). z = x + 2y → max(min) 6x + y ≥ 18 x + 4y ≥ 12 2x + y ≥ 10 x, y ≥ 0 b). z = −x + y → min(max) −x − 2y ≤ 6 x − 2y ≤ 4 −x + y ≤ 1 x, y ≤ 0 23
  26. 26. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba §4. DAÏNG CHÍNH TAÉC, DAÏNG CHUAÅN CUÛA BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH4.1. Daïng chính taéc Moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính ñöôïc goïi laø coù daïng chính taéc neáu baøi toaùn coùdaïng nhö sau: f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn → max(min) a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2 ······························ am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n Moät löu yù ôû ñaây laø: caùc raøng buoäc chính laø caùc phöông trình vaø caùc aån ñeàu khoângaâm. Khi ñoù, ma traän heä soá cuûa heä raøng buoäc chính, kí hieäu laø A   a a12 · · · a1n  11     a21 a22 · · · a2v  A=  ..    ··· ··· . ···    am1 am2 · · · amn goïi laø ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn. Trong ma traän A: coät j, laø coät heä soá cuûa aånxj trong heä raøng buoäc chính         a a a a  11   12   1j   1n           a21   a22   a2j   a2n A1 =  .   .  A1 =  .  .   ··· Aj =  .  .   ··· An =  .  .    .   .   .   .          am1 am2 amj amn goïi laø coät ñieàu kieän hay veùctô ñieàu kieän. 24
  27. 27. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ví duï 1.1: Xeùt baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 + x4 + 2x5 + x6 → max 2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 15 x1 + 3x2 + 5x3 + x5 = 12 4x1 + 8x2 + x3 + x6 = 10 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6 Baøi toaùn coù 3 raøng buoäc chính ñeàu laø phöông trình vaø 6 aån ñeàu khoâng aâm neân baøitoaùn coù daïng chính taéc. Ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn laø   2 3 3 1 0 0     A= 1 3 5 0 1 0    4 8 1 0 0 1vaø 6 veùctô ñieàu kieän cuûa 6 aån x1 , x2, x3, x4, x5 , x6 laàn löôït laø             2 3 3 1 0 0                        A1 =  1  , A2 =  3  , A3 =  5  , A4 =  0  , A5 =  1  , A6 =  0              4 8 1 0 0 1 Ñònh lyù: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chính taéc sau f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn → max(min) a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2 ······························ am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông aùn x0 = (x0, x0 , . . . , x0 ) laø moät phöông aùn cô baûn 1 2 ncuûa baøi toaùn laø heä veùctô ñieàu kieän Aj |x0 > 0 ñoäc laäp tuyeán tính. j Ví duï 1.2: Trong ví duï 1.1 treân thì x0 = (0, 0, 0, 15, 12, 10) laø moät phöông aùn cuûabaøi toaùn. 25
  28. 28. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ta coù {A4 = (1, 0, 0), A5 = (0, 1, 0), A6 = (0, 0, 1)} laø heä veùctô ñoäc laäp tuyeán tínhneân x0 laø moät phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùn. Chuù yù, trong baøi toaùn ôû ví duï 1.1 treân caùc aån x4, x5, x6 chæ xuaát hieän trong moätphöông trình (raøng buoäc) cuûa baøi toaùn vaø heä soá cuûa chuùng ñeàu baèng 1. Vì vaäy, ñeå xaùcñònh moät phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùn ta chæ vieäc cho caùc aån x1, x2, x3 baèng 0.Bieán ñoåi ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc Vôùi moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán chöa coù daïng chính taéc ta coù theå bieán ñoåi ñeå ñöaveà daïng chính taéc töông ñöông vôùi noù baèng caùc caùch sau i). Raøng buoäc chính coù daïng: ∗ ai1x1 + · · · + ain xn ≤ bi thì (+ xn+1 ) vaøo veá traùi, luùc ñoù: ai1x1 + · · · + ain xn + xn+1 = bi ∗ ai1x1 + · · · + ain xn ≥ bi thì (− xn+1 ) vaøo veá traùi, luùc ñoù: ai1x1 + · · · + ain xn − xn+1 = bi Löu yù: Khi theâm caùc aån phuï vaøo veá traùi caùc raøng buoäc chính thì haøm muïc tieâukhoâng thay ñoåi (töùc laø heä soá cuûa caùc aån phuï ôû haøm muïc tieâu baèng 0). ii). Neáu coù xj < 0 thì ñaët xj = −xj , luùc ñoù xj > 0 Neáu xj daáu tuyø yù thì ñaët xj = xj − xj (xj , xj ≥ 0) Ví duï 1.3: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính z = x1 + 3x2 + 2x3 → max x1 + x2 − 2x3 ≤ 3 3x1 − 2x2 + x3 = 4 2x1 + 4x2 + x3 ≥ 6 x1 ≥ 0, x2 ≤ 0 Haõy bieán ñoåi ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc ? HD: Heä raøng buoäc chính coù 2 baát phöông trình, aån x2 ≤ 0 vaø aån x3 coù daáu tuy yùneân ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi sau ñeå ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc 26
  29. 29. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba + Theâm vaøo baøi toaùn 2 aån phuï laø x4, x5 ≥ 0 + Ñaët x2 = −x2 vaø x3 = x3 − x3 vôùi x3, x3 ≥ 0 Khi ñoù ta ñöôïc baøi toaùn coù daïng chính taéc töông ñöông vôùi baøi toaùn goác nhö sau z = x1 − 3x2 + 2x3 − 2x3 → max x1 − x2 − 2x3 + 2x3 + x4 = 3 3x1 + 2x2 + x3 − x3 = 4 2x1 − 4x2 + x3 − x3 + x5 = 6 x1 , x2, x3, x3 , x4, x5 ≥ 0 Ví duï 1.4: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính f (x) = x1 + 2x2 − x3 + 3x4 → min x1 − x2 + x3 + 2x4 = 8 x1 + x2 + 2x3 − x4 ≤ 25 −x1 + x2 − x3 + x4 ≥ 17 x1, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0 Haõy bieán ñoåi ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc töông ñöông ?4.2. Daïng chuaån Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån laø baøi toaùn coù daïng sau f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn → max(min) x1 + a1m+1xm+1 + . . . + a1n xn = b1 x2 + a2m+1xm+1 + . . . + a2n xn = b2 ···································· xm + amm+1 xm+1 + . . . + amn xn = bm xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n bi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m Trong ñoù: x1 , x2, . . . , xm goïi laø caùc aån cô baûn, xi (i = 1, 2, . . . , m) laø aån cô baûn thöùi vaø xm+1 , . . . , xn laø aån töï do. 27
  30. 30. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Khi ñoù ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån laø   1 0 ··· 0 a1m+1 · · · a1n      0 1 ··· 0 a2m+1 · · · a2n  A=     ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···    0 0 ··· 1 amm+1 · · · amn Haõy chæ ra caùc ñieåm khaùc nhau cô baûn cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïngchuaån vaø daïng chính taéc ? Baøi toaùn QHTT daïng chuaån laø baøi toaùn daïng chính taéc coù soá haïng töï do ñeàu khoângaâm vaø ma traän ñieàu kieän coù chöùa moät ma traän ñôn vò caáp m (neáu baøi toaùn QHTT coù mraøng buoäc chính). Trong baøi toaùn QHTT daïng chuaån neáu cho caùc aån töï do ñeàu nhaän giaù trò 0 thì caùcaån cô baûn xi = bi (i = 1, 2, . . . , m). Khi ñoù ta ñöôïc moät phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùnvaø goïi laø phöông aùn cô baûn xuaát phaùt cuûa baøi toaùn. Ví duï 2.1: Xeùt baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 − x5 + 2x6 → max 3x1 + x2 + 2x3 + x5 = 22 −x1 + 3x5 + x6 = 7 2x1 + 4x3 + x4 + 7x5 = 30 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6 HD: Baøi toaùn treân ñaõ coù daïng chính taéc, vôùi caùc soá haïng töï do ñeàu döông vaø matraän ñieàu kieän laø   3 1 2 0 1 0     A =  −1 0 0 0 3 1    2 0 4 1 7 0 Trong ma traän A, caùc coät veùctô ñieàu kieän A2, A6 , A4 öùng vôùi caùc aån x2, x6, x4 taïothaønh moät ma traän ñôn vò caáp 3. Do ñoù baøi toaùn ñaõ cho coù daïng chuaån. Töông öùng ta coù aån x2 laø aån cô baûn thöù 1, aån x6 laø aån cô baûn thöù 2 vaø x4 laø aàn côbaûn thöù 3. Caùc aån x1 , x3, x5 laø caùc aån töï do. 28
  31. 31. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Baøi toaùn coù phöông aùn cô baûn xuaát phaùt laø: x0 = (0, 22, 0, 30, 0, 7) Ví duï 2.2: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f = x2 − 2x3 + 2x5 → min x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = 7 − 2x2 + x3 + x4 = 3 − 4x2 + 2x3 + 8x5 + x6 = 10 xi ≥ 0, i = 1, 6. Baøi toaùn ñaõ coù daïng chuaån chöa ? neáu coù, thì aån naøo laø aån cô baûn, aån naøo laø aån töïdo vaø vieát phöông aùn cô baûn xuaát phaùt ra ? Bieán ñoåi baøi toaùn veà daïng chuaån Moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chính taéc nhöng khoâng coù daïng chuaån thìta laäp baøi toaùn môû roäng ñeå ñöôïc baøi toaùn coù daïng chuaån. i). Phöông trình coù soá haïng töï do aâm: Nhaân caû hai veá vôùi −1. ii). Phöông trình khoâng coù aån cô baûn: Coäng vaøo veá traùi cuûa phöông trình moät aångiaû khoâng aâm. Löu yù: Khi theâm aån giaû vaøo veá traùi cuûa phöông trình (raøng buoäc chính) thì ôû haømmuïc tieâu noù coù heä soá laø +M (neáu baøi toaùn cöïc tieåu) vaø −M (neáu baøi toaùn cöïc ñaïi).Trong ñoù M laø moät soá döông lôùn tuyø yù (raát lôùn). Ví duï 2.3: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 + x5 → max x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20 −2x1 + 4x3 + x5 ≤ −9 3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 5 Haõy bieán ñoåi baøi toaùn ñöa veà daïng chuaån ? 29
  32. 32. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba HD: Baøi toaùn daïng chính taéc töông ñöông vôùi baøi toaùn ñeà cho f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 + x5 → max x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20 2x1 − 4x3 − x5 − x6 = 9 3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6 Baøi toaùn chöa coù daïng chuaån vì phöông trình (raøng buoäc) thöù 2 chöa coù aån cô baûn,ta caàn theâm vaøo raøng buoäc 2 moät aån giaû x7 ≥ 0 ñeå coù daïng chuaån f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 + x5 − Mx7 → max x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20 2x1 − 4x3 − x5 − x6 + x7 = 9 3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 74.3. Moái lieân heä giöõa baøi toaùn môû roäng vaø baøi toaùn goác i). Neáu baøi toaùn môû roäng khoâng coù PATU thì baøi toaùn goác khoâng coù PATU. ii). Neáu baøi toaùn môû roäng coù PATU vaø caùc aån giaû ñeàu baèng 0 thì baøi toaùn goác coùPATU. Khi ñoù PATU cuûa baøi toaùn goác laø PATU cuûa baøi toaùn môû roäng nhöng boû ñi phaànaån phuï vaø aån giaû (neáu coù). iii). Neáu baøi toaùn môû roäng coù PATU vaø coù ít nhaát moät aån giaû nhaän giaù trò döông thìbaøi toaùn goác khoâng coù PATU. 30
  33. 33. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba §5. PHÖÔNG PHAÙP ÑÔN HÌNH Phöông phaùp ñôn hình hay goïi ñuùng hôn laø "phöông phaùp caûi tieán daàn caùc phöôngaùn" ñöôïc G.Dantzig ñöa ra naêm 1947, laø phöông phaùp giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeántính ñöôïc coi laø hieäu quaû nhaát. YÙ töôûng cuûa phöông phaùp ñôn hình laø xuaát phaùt töø moätphöông aùn cô baûn x0, ta tìm caùch ñaùnh giaù x0 coù phaûi laø PATU cuûa baøi toaùn khoâng. Neáux0 chöa phaûi laø PATU thì ta seõ xaây döïng moät phöông aùn môùi toát hôn döïa treân phöôngaùn x0 . Quaù trình cöù tieáp tuïc caûi tieán caùc phöông aùn cho ñeán khi tìm ñöôïc PATU cuûabaøi toaùn hoaëc phaùt hieän ra baøi toaùn khoâng coù PATU.5.1. Thuaät toaùn ñôn hình A. Giaûi baøi toaùn cöïc ñaïi: Tröôùc heát ta trình baøy caùch giaûi ñeå tìm PATU cho baøi toaùncöïc ñaïi baèng phöông phaùp ñôn hình. Phöông phaùp ñôn hình chæ aùp duïng giaûi cho caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïngchuaån. Do ñoù baøi toaùn ñeà cho chöa coù daïng chuaån thì baét buoäc phaûi bieán ñoåi ñöa veàdaïng chuaån roài môùi aùp duïng phöông phaùp ñôn hình giaûi. Giaû söû ta giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån nhö trong muïc 4.2 treân f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn → max x1 + a1m+1xm+1 + . . . + a1n xn = b1 x2 + a2m+1xm+1 + . . . + a2n xn = b2 ···································· xm + amm+1 xm+1 + . . . + amn xn = bm xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n bi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m Caùc thoâng tin veà baøi toaùn daïng chuaån xem laïi muïc 4.2. Baây giôø ta trình baøy caùc böôùc cuûa phöông phaùp ñôn hình ñeå giaûi baøi toaùn chuaån treân. Böôùc 1 i). Laäp baûng ñôn hình xuaát phaùt 31
  34. 34. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba x1 x2 ... xn−1 xn λ c1 c2 ... cn−1 cn coät heä soá b1 a11 a12 ... a1n−1 a1n cuûa caùc aån coät aån b2 a21 a22 ... a2n−1 a2n cô baûn trong cô baûn . . . ... ... ... ... ... haøm muïc tieâu bm am1 am2 ... amn−1 amn f0 ∆1 ∆2 ... ∆n−1 ∆n Trong ñoù: f0 laø giaù trò cuûa haøm muïc tieâu taïi phöông aùn ñoù vaø ∆j laø heä soá öôùc löôïngcuûa aån xj (j = 1, 2 . . . , n) f0 = ( coät 1)T · ( coät 3) ∆j = ( coät 1)T · Aj − cj + Coät 1: laø coät heä soá cô baûn (heä soá cuûa aån cô baûn töông öùng treân haøm muïc tieâu). + Coät 2: laø coät aån cô baûn (ghi theo thöù töï töø treân xuoáng, baét ñaàu töø aån cô baûn thöù1). + Coät 3: laø coät phöông aùn. + Coät 4: Trong coät 4 coù 3 yù chính sau: - Hai doøng treân cuøng laø caùc aån cuûa baøi toaùn daïng chuaån vaø heä soá cuûa noù töôngöùng trong haøm muïc tieâu. - Tieáp theo döôùi laø ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn chuaån. - Doøng cuoái cuøng laø caùc heä soá öôùc löôïng cuûa caùc aån. + Coät 5: laø coät heä soá λ. ii). Ñaùnh giaù phöông aùn + Neáu ∆j ≥ 0 , ∀j = 1, 2, . . . , n thì PATU, baøi toaùn coù PATU. + Neáu coù ∆k < 0 vaø aik ≤ 0 , ∀i = 1, 2, . . . , m thì baøi toaùn khoâng coù PATU. Böôùc 2 i). Tìm aån vaøo Choïn ∆k < 0 nhoû nhaát, luùc ñoù + xk laø bieán ñöa vaøo laøm aån cô baûn. + Coät Ak cuûa ma traän A goïi la coät chuû yeáu. 32
  35. 35. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba ii). Tìm aån ra bi + bi /aik (chæ chia cho caùc aik > 0) vaø ghi vaøo coät 4 (töùc laø λi = ). aik + Choïn λ0 = min {λi }i=1,2,...,m . Luùc ñoù doøng chöùa soá λ0 vöøa choïn laø doøng chuûyeáu vaø aån cô baûn naèm treân doøng chuû yeáu laø aån ñöa ra. Heä soá naèm giao treân doøng chuû yeáu vaø coät chuû yeáu goïi laø heä soá chuû yeáu. iii). Laäp baûng ñôn hình môùi + Coät 2: Thay aån ra baèng aån vaøo, caùc aån coøn laïi giöõa nguyeân (doøng chöùa aån ñöavaøo laø doøng chuaån). + Coät 1: Thay heä soá phuø hôïp vôùi aån môùi ñöa vaøo (heä soá laáy treân haøm muïc tieâu). + Doøng chuaån:= Doøng chuû yeáu chia cho heä soá chuû yeáu. + Doøng thöù i baát kyø coøn laïi ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: Laáy heä soá cuûa doøng thöù inaèm treân coät chuû yeáu, vieát ra giaáy nhaùp vaø ñoåi daáu noù, sau ñoù laàn löôït nhaân vôùi caùcthaønh phaàn treân doøng chuaån roài coäng vôùi caùc thaønh phaàn treân doøng thöù i (theo ñuùngthöù töï) cuûa baûng ñôn hình lieàn tröôùc ñoù. + Tính caùc heä soá öôùc löôïng ∆j (j = 1, 2 . . . , n) vaø giaù trò cuûa haøm muïc tieâu fgioáng nhö böôùc 1 treân. Baây giôø ta thöïc haønh phöông phaùp ñôn hình giaûi moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán cuïtheå. Ví duï 1.1: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau baèng phöông phaùp ñôn hình f (x) = 8x1 + 3x2 + 38x3 + 4x4 → max 5x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 600 x1 + 4x2 + 2x3 + 6x4 ≤ 800 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4 HD: Theâm hai aån phuï x5, x6 ≥ 0 vaøo hai raøng buoäc chính ñöa bai toaùn veà daïng chuaån. f (x) = 8x1 + 3x2 + 38x3 + 4x4 → max 5x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 + x5 = 600 x1 + 4x2 + 2x3 + 6x4 + x6 = 800 xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., 6 33
  36. 36. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ta giaûi baøi toaùn môû roäng (daïng chuaån) baèng phöông phaùp ñôn hình. Ma traän ñieàu kieän laø   5 2 3 6 1 0 A=  1 4 2 6 0 1 ⇒ aån x5 , x6 laø hai aån cô baûn cuûa baøi toaùn. Baûng ñôn hình ñôn xuaát phaùt x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ 8 3 38 4 0 0 0 x5 600 5 2 3 6 1 0 0 x6 800 1 4 2 6 0 1 0 -8 -3 -38 -4 0 0 Caên cöù vaøo baûng ñôn hình xuaát phaùt, ta thaáy caùc heä soá öôùc löôïng coøn aâm neân phöôngaùn xuaát chöa toái öu. Ta seõ laäp baûng ñôn hình 2 nhaèm xaây döïng moät phöông aùn môùi toáthôn. x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ 8 3 38 4 0 0 0 x5 600 5 2 (3) 6 1 0 (200) 0 x6 800 1 4 2 6 0 1 400 0 -8 -3 (-38) -4 0 0 x3 vaøo, x5 ra 38 x3 200 5/3 2/3 1 2 1/3 0 0 x6 400 -7/3 8/3 0 2 -2/3 1 7600 166/3 67/3 0 72 38/3 0 Do caùc heä soá öôùc löôïng ∆j ≥ 0 (j = 1, 2, . . . , 6) neân baøi toaùn daïng chuaån coù PATUlaø: x0 = (0, 0, 200, 0, 0, 400) vaø giaù trò toái öu (GTTU) laø: f (x0 ) = 7600. Töø ñoù, suy ra PATU cuûa baøi toaùn goác laø: x∗ = (0, 0, 200, 0) vaø f (x∗ ) = 7600 34
  37. 37. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ví duï 1.2: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau baèng phöông phaùp ñôn hình f (x) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 → max x1 + 3x2 + x4 ≤ 1 −5x2 − 2x4 ≤ 3 x2 + 4x3 + x4 ≤ 3 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4 HD: Baøi toaùn ñeà cho chöa coù daïng chuaån, ta theâm vaøo 3 raøng buoäc chính 3 aån phuïlaàn löôït laø x5, x6 , x7 ≥ 0 ñeå coù daïng chuaån f (x) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 → max x1 + 3x2 + x4 + x5 = 1 −5x2 − 2x4 + x6 = 3 x2 + 4x3 + x4 + x7 = 3 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 7 Ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn chuaån   1 3 0 1 1 0 0     A =  0 −5 0 −2 0 1 0    0 1 4 1 0 0 1 Caên cöù vaøo ma traän ñieàu kieän, ta coù theå choïn aån cô baûn laø x5, x6, x7 hoaëc x1, x6 , x7vì hai coät vectô ñieàu kieän A1, A5 trong ma traän A laø gioáng nhau. Vaán ñeà ñaët ra laø taneân choïn phöông aùn xuaát phaùt naøo ñeå coù theå tìm ñöôïc PATU cuûa baøi toaùn nhanh nhaát. Thöôøng thì trong baûng ñôn hình xuaát phaùt, neáu caùc bieán phuï ñöôïc choïn laøm aån côbaûn thì qua caùc böôùc caûi tieán phöông aùn, caùc aån phuï ñoù seõ ñi ra laøm aån töï do vaø moätaån chính cuûa baøi toaùn goác seõ vaøo thay theá. Chính vì vaäy, trong baøi toaùn naøy ta choïncaùc aån x1, x6 , x7 laø aån cô baûn. Ta coù baûng ñôn hình keát quaû sau: 35
  38. 38. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 λ 2 4 1 1 0 0 0 2 x1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 x6 3 0 -5 0 -2 0 1 0 3 0 x7 3 0 1 (4) 1 0 0 1 4 2 0 2 (-1) 1 2 0 0 x3 vaøo, x7 ra 2 x1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 x6 3 0 -5 0 1 10 0 1 1 1 1 x3 3/4 0 1 0 0 4 4 4 11 9 5 1 0 0 2 0 4 4 4 4 Trong baûng ñôn hình thöù 2, caùc heä soá öôùc löôïng ∆j ≥ 0 (j = 1, 2, . . . , 7) neân baøi 11toaùn daïng chuaån coù PATU laø: x0 = (1, 0, 3/4, 0, 0, 3, 0) vaø GTTU laø f (x0 ) = . 4 11 Suy ra PATU cuûa baøi toaùn goác laø: x = (1, 0, 3/4, 0, ) vaø f (x ) = ∗ ∗ 4 Caùc baïn haõy giaûi baøi toaùn daïng chuaån treân vôùi phöông aùn xuaát phaùt laø x =(0, 0, 0, 0, 1, 3, 3), töùc aån cô baûn xuaát phaùt laø x5 , x6, x7. Ví duï 1.3: Moät xí nghieäp coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi saûn phaåm kyù hieäu laø A, B, C.Ñònh möùc hao phí nguyeân lieäu, voán, lao ñoäng (quy ra giôø coâng) vaø lôïi nhuaän thu ñöôïctính cho 1 ñôn vò saûn phaåm moãi loaïi cho trong baûng sau: Saûn phaåm Nguyeân lieäu Voán Lao ñoäng Lôïi nhuaän (kg) (1.000 ñoàng) (giôø coâng) (1.000 ñoàng) A 2 1 4 2 B 3 3 8 3 C 3 5 1 5 Möùc huy 150 120 100 ñoäng toái ña Haõy laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho xí nghieäp. HD: Goïi x1, x2 , x3 ≥ 0 laàn löôït laø soá saûn phaåm A, B, C seõ saûn xuaát. Khi ñoù nguyeân 36
  39. 39. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Balieäu, voán vaø lao ñoäng (giôø coâng) caàn söû duïng ñeå saûn xuaát soá saûn phaåm ñoù laø: Nguyeân lieäu: 2x1 + 3x2 + 3x3 Voán: x1 + 3x2 + 5x3 Lao ñoäng: 4x1 + 8x2 + x3vaø ñeå quaù trình saûn xuaát cuûa Xí nghieäp khoâng bò ñoäng ta coù ñieàu kieän sau: 2x1 + 3x2 + 3x3 ≤ 150 x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 120 4x1 + 8x2 + x3 ≤ 100 Giaû söû raèng saûn phaåm saûn xuaát ra ñöôïc phaân phoái heát, luùc ñoù lôïi nhuaän thu ñöôïccuûa Xí nghieäp laø: 2x1 + 3x2 + 5x3 → max Cuoái cuøng ta coù moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn ñaõ cho laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeántính (P) sau: f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 → max 2x1 + 3x2 + 3x3 ≤ 150 x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 120 4x1 + 8x2 + x3 ≤ 100 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3 Baây giôø ta giaûi baøi toaùn (P) ñeå xaùc ñònh moät phöông aùn saûn xuaát toái öu cho Xí nghieäp. Theâm vaøo 3 raøng buoäc chính cuûa baøi toaùn (P) 3 aån phuï x4 , x5, x6 ≥ 0 thì ta ñöôïcbaøi toaùn daïng chuaån. f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 → max 2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 150 x1 + 3x2 + 5x3 + x5 = 120 4x1 + 8x2 + x3 + x6 = 100 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6 Giaûi baøi toaùn baèng phöông phaùp ñôn hình. 37
  40. 40. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ma traän ñieàu kieän   2 3 3 1 0 0     A= 1 3 5 0 1 0    4 8 1 0 0 1 ⇒ x4, x5, x6 laø caùc aån cô baûn. x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ 2 3 5 0 0 0 0 x4 150 2 3 3 1 0 0 50 0 x5 120 1 3 (5) 0 1 0 (24) 0 x6 100 4 8 1 0 0 1 100 0 -2 -3 (-5) 0 0 0 x3 vaøo, x5 ra 0 x4 78 7/5 6/5 0 1 -3/5 0 5 x3 24 1/5 3/5 1 0 1/5 0 0 x6 76 19/5 37/5 0 0 -1/5 1 120 -1 0 0 0 1 0 Baûng ñôn hình thöù 2 coù heä soá öôùc löôïng ∆1 = −1 neân phöông aùn chöa toái öu. Haõy tieáp tuïc laäp baûng ñôn hình thöù 3 ñeå tìm PATU cuûa baøi toaùn ? ÑS: PATU laø: x0 = (20, 0, 20) vaø GTTU laø f (x0 ) = 140. Vaäy keá hoaïch saûn xuaát toát nhaát maø Xí nghieäp coù theå thöïc hieän laø: Saûn xuaát 20 ñônvò saûn phaåm A, 20 ñôn vò saûn phaåm C, khoâng saûn xuaát saûn phaåm B. Khi ñoù toång lôïinhuaän cao nhaát maø Xí nghieäp coù theå thu ñöôïc laø 140.000 ñoàng. 38
  41. 41. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Trong phöông phaùp ñôn hình, ta coù chuù yù sau: Trong baûng ñôn hình cuoái cuøng cuûa lôøi giaûi, neáu coù moät heä soá öôùc löôïng ∆k = 0cuûa aån töï do xk thì baøi toaùn coù voâ soá phöông aùn toái öu. Trong tröôøng hôïp ñoù, neáuPATU cuûa baøi toaùn laø x0 thì caùc PATU cuûa baøi toaùn coù daïng xλ = x0 − λz λ ; 0 ≤ λ ≤ λ0 trong ñoù, λ0 = min {λi } vaø   z k = (z k , z k , ..., z k )    1 2 n z k = −1  k   k  z =a j ik Ví duï 1.4: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = 2x1 − 5x2 + 4x3 − x4 − 6x5 → max x1 + 6x2 − 2x4 − 9x5 = 32 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 30 3x2 + x5 + x6 = 36 x1, x2 , x3, x4, x5 , x6 ≥ 0 Baøi toaùn ñaõ coù daïng chuaån va ma traän ñieàu kieän laø   1 6 0 −2 −9 0     A= 0 2 1 1 3 0    0 3 0 0 1 1 Giaûi baøi toaùn baèng phöông phaùp ñôn hình, ta coù baûng sau x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ 2 -5 4 -1 6 0 2 x1 32 1 6 0 -2 -9 0 4 x3 30 0 2 1 1 3 0 10 0 x6 36 0 3 0 0 1 1 36 184 0 25 0 1 (0) 0 39
  42. 42. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Do caùc heä soá öôùc löôïng ñeàu khoâng aâm neân phöông aùn xuaát laø PATU. PATU laø: x0 = (32, 0, 30, 0, 0, 36) vaø GTTU laø fmax = 184 Do ∆5 = 0 neân baøi toaùn coù voâ soá PATU. Ta coù z 5 = (−9, 0, 3, 0, −1, 1)vaø xaùc ñònh moät PATU khaùc cuûa baøi toaùn nhö sau: xλ = x0 − λz 5 = (32, 0, 30, 0, 0, 36) − λ(−9, 0, 3, 0, −1, 1) ⇔ xλ = (32 + 9λ, 0, 30 − 3λ, 0, λ, 36 − λ), (0 ≤ λ ≤ 10) Haõy xaùc ñònh 5 phöông aùn toái öu khaùc cuûa baøi toaùn treân öùng vôùi 5 giaù trò cuûa λ ? sosaùnh giaù trò muïc tieâu 5 PATU ñoù ? Ví duï 1.5: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (P) sau z = 50 + 8x1 − x2 − 3x3 − x4 − x5 − 6x6 → max x1 − x3 + x5 − x6 = 15 −2x1 + x4 − 2x6 = 9 −3x1 + x2 + 2x3 + 4x6 = 2 xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6 Chöùng toû raèng baøi toaùn (P) khoâng coù PATU ? Ví duï 1.6: Moät Xí nghieäp coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi saûn phaåm S1 , S2 , S3 töø 3nguyeân lieäu N1 , N2, N3 . Cho bieát nguyeân vaät lieäu Xí nghieäp ñang coù, ñònh möùc söû duïngcaùc loaïi nguyeân vaät lieäu ñeå saûn xuaát ra moät saûn phaåm moãi loaïi vaø tieàn laõi (ngaøn ñoàng)ñöôïc cho trong baûng sau: Nguyeân Khoái löôïng Ñònh möùc söû duïng NVL lieäu NVL hieän coù S1 S2 S3 N1 240 2 3 2 N2 200 1 2 1 N3 400 4 1 2 Tieàn laõi 1 saûn phaåm 10 12 9 40
  43. 43. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Haõy laäp moät keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho Xí nghieäp ? ÑS: PATU laø x0 = (80, 0, 40) vaø GTTU laø fmax = 1160 (töùc 1.160.000 ñoàng) Ví duï 1.7: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau z = 2x1 + 3x2 + 3x3 → max x1 + x2 + x3 ≤ 12 x1 + x2 + 2x3 ≤ 15 x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 20 x1 , x2, x3 ≥ 0 ÑS: PATU laø x0 = (4, 8, 0) vaø GTTU laø z = 32 B. Giaûi baøi toaùn cöïc tieåu: Ñoái vôùi baøi toaùn cöïc tieåu ta cuõng duøng phöông phaùp ñônhình ñeå giaûi töông töï nhö giaûi baøi toaùn cöïc ñaïi nhöng coù 3 keát luaän lieân quan ñeán heäsoá öôùc löôïng coù keát quaû ngöôïc vôùi baøi toaùn cöïc ñaïi nhö sau: i). Ñieàu kieän toái öu cuûa baøi toaùn: ∆j ≤ 0 , ∀j ii). Ñieàu kieän baøi toaùn khoâng coù PATU: ∃∆k > 0 & aik ≤ 0; ∀i iii). AÅn ñöôïc choïn ñöa vaøo laø aån öùng vôùi ∆k > 0 lôùn nhaát. Ví duï 1.8: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + x5 + 3x6 → min 2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 152 4x1 + 2x2 + 3x3 + x5 = 60 3x1 + x3 + x6 = 36 xj ≥ 0; j = 1, 2, . . . , 6 41
  44. 44. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba HD: Baøi toaùn ñaõ coù daïng chuaån vaø ma traän ñieàu kieän laø   2 4 3 1 0 0     A= 4 2 3 0 1 0    3 0 1 0 0 1 ⇒ x4, x5, x6 laø caùc aån cô baûn. Ta giaûi baøi toaùn baèng phöông phaùp ñôn hình x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 5 2 1 3 λ 2 x4 152 2 4 3 1 0 0 76 1 x5 60 4 2 3 0 1 0 15 3 x6 36 (3) 0 1 0 0 1 (12) 472 (12) 6 7 0 0 0 x1 vaøo, x6 ra 2 x4 128 0 4 7/3 1 0 -2/3 32 1 x5 12 0 (2) 5/3 0 1 -4/3 (6) 5 x1 12 1 0 1/3 0 0 1/3 328 0 (6) 3 0 0 -4 x2 vaøo, x5 ra 2 x4 104 0 0 -1 1 -2 2 4 x2 6 0 1 5/6 0 1/2 -2/3 5 x1 12 1 0 1/3 0 0 1/3 292 0 0 -2 0 -3 0 Trong baûng ñôn hình thöù 3 caùc heä soá öôùc löôïng ∆j ≤ 0, (j = 1, 2, . . . , 6) neân baøitoaùn coù PATU vaø GTTU laø: x0 = (12, 6, 0, 104, 0, 0) f (x0) = 292 Phöông aùn toái öu ñoù cuûa baøi toaùn coù duy nhaát khoâng ? neáu khoâng, haõy xaùc ñònhmoät vaøi PATU khaùc ? λ 2λ HD: xλ = 12 − , 6 + , 0, 104 − 2λ, 0, λ 3 3 42
  45. 45. Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba Ví duï 1.9: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 → min 2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 45 4x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 38 3x1 + x3 ≤ 21 xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4 ÑS: PATU laø x0 = (7, 5, 0, 11), f(x0 ) = 77 Ví duï 1.10: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau f (x) = −2x1 + x2 + x4 → min x1 + x2 − x3 ≤ 15 x1 + x2 + x3 + x4 = 27 2x1 − x2 − x3 ≤ 18 xj ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4 ÑS: PATU laø x0 = (15, 0, 12, 0), f(x0 ) = −305.2. Phöông phaùp ñôn hình môû roäng Phöông phaùp ñôn hình môû roäng laø phöông phaùp giaûi caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeántính phaûi laäp baøi toaùn môû roäng (coù aån giaû). Phöông phaùp naøy coù 2 böôùc cô baûn sau: Böôùc 1: Giaûi baøi toaùn môû roäng Baøi toaùn môû roäng laø baøi toaùn daïng chuaån neân ta giaûi baèng phöông phaùp ñôn hình.Caùc böôùc thöïc hieän cuûa phöông phaùp ñôn hình ñeå giaûi baøi toaùn môû roäng cuõng gioángnhö khi thöïc hieän giaûi baøi toaùn daïng chuaån thöôøng (khoâng coù aån giaû) nhöng coù moät soálöu yù sau: + Heä soá öôùc löôïng cuûa caùc aån giaû coù daïng: ∆j = aM + b (M laø moät soá döông raátlôùn), vì theá doøng ghi trò soá caùc heä soá öôùc löôïng seõ chia thaønh doøng keùp, treân ñoù doøngdöôùi ghi heä soá cuûa M vaø doøng treân ghi soá haïng töï do coøn laïi. + Söï so saùnh caùc heä soá öôùc löôïng phuï thuoäc vaøo doøng döôùi. Khi doøng döôùi khoângtheå keát luaän ñöôïc thì môùi phuï thuoäc vaøo doøng treân. 43

×