曲面レイトレ入門
2013/08/24
Toru Matsuoka

曲面をレンダリング
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曲面
– Bezier, B-Spline, NURBS
●
曲面をレンダリング
– Reyes
●
ピクセル精度で分割
– テッセレーション
●
事前にテッセレーションレベルを指定

問題点
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問題点
– Reyes
●
レイトレーシングでないので鏡面反射などが表現でき
ない
– テッセレーション
●
事前にテッセレーションレベルを指定する。
●
適切なレベルは絵を見ないとわからない。

レイトレで曲面をレンダリ
ング
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テッセレーションなし
– 調整が必要ない
●
レイトレーシング
– 鏡面反射や GI が可能

曲面
●
曲面：
– ”テンソル積曲面：曲線と曲線の“積 として構成さ
れるもの

曲線
●
パラメトリック曲線
– パラメータによって定義
●
表現方法
– Bezier
– B-Spline
– NURBS

曲線の互換性
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パラメトリック曲線は次数（階数）が同じな
ら変換可能
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表現能力
– Bezier < B-Spline < NURBS

曲面レイトレの手法
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直接曲面と光線の接触位置を求めるのはむず
かしい
– 高次の方程式を解く必要がある
●
数値的な手法
– ２分法
– Bezier Clipping 法

曲面レイトレの計算方法
●
Bezier に変換
– B-Spline, NURBS などの曲線は Bezier に変換す
る
●
Bezier Clipping 法
– 速く収束

Bezier 曲線
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凸包性
– CP （コントロールポイント）の凸包はその曲
線を内側に含む
→CP の AABB に曲線は必ず含まれる。

Bezier Clipping
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Bezier Clipping[Nishita et al. 1990]
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線分とベジェ曲線の交差を高速に求める方法

Bezier Clipping
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CP （ Control Points ）から凸包を作る
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凸包の辺と直線の交差位置の最小値最大値を
求める
●
最小値最大値の範囲が大きければ曲線を半分
に分割する。小さければその範囲で曲線を切
り取る。
●
十分に小さくなるまで繰り返す。

Bezier Clipping

光線 vsBezier 曲面
1. 光線を Z 軸の座標系に曲面を変形する
2. 曲面に２次元の回転をして Bezier Clipping
しやすくする
3.U 方向、 V 方向それぞれ交互に Bezier
Clipping 法を繰り返す
4. 十分に範囲が小さくなるまで 2, 3 を繰り返
し、最後に Bilinear 曲面と交差を求める。

光線を Z 軸に
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光線を Z 軸にする座標系を定義する。
T = -Ray.org
R = [dot(Upper,Ray.dir),Upper,Ray.dir]^t
M = R*T
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曲面のすべての CP を座標系に変換
– Bezier は affine 保存性があるため CP を affine 変
換すればその曲面も affine 変換される

Bezier Clipping しやすくする
●
２次元の回転を加える

光線と Bilinear 曲面を交差
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Bezier 曲面の４すみの CP から Bilinear 曲面
を作り、これと光線との交差テストを行う。
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BiLinear 曲面は解析的に解くことができる。

結果

カーブのレイトレース
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カーブのレイトレース
– Ribbon 状にレンダリング
●
非常に幅の狭い曲面だと過程する。

カーブのレイトレース
●
結果
100000 hair

応用
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サブディビジョンサーフェス
– Catmull-Clerk
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4*4 の接続された面に注目すると B-Spline パッチと同
様となる。
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B-Spline パッチの取り出しは Opensudiv を用いれば
可能（たぶん！）
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B-Spline パッチは Bezier パッチに変換可能
●
ゆえに Catmull-Clerk は直接レイトレ可能

まとめ
●
レイトレで Bezier 曲面をほぼ直接レンダリン
グすることは可能
●
Bezier 以外の曲面も事前に Bezier に変換す
ることでレイトレ可能