MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

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MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

  1. 1. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I 1. OBJETIVO  Establecer una expresión matemática que describe la trayectoria de un móvil, cuando es disparado horizontalmente desde el extremo de una rampa. 2. FUNDAMENTO TEORICO Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se le da una velocidad inicial y a continuación sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitacional que actúa sobre él y por la resistencia de la atmósfera. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria. Consideremos solo trayectorias suficientemente cortas para que la fuerza gravitacional se pueda considerar constante en magnitud y dirección. El movimiento se referirá a ejes fijos respecto al a tierra. Esta no es precisamente un sistema inercial, pero para trayectorias de corto alcance, el error que se comete al considerarla como tal es muy pequeño. Por último, no se tendrán en cuenta los efectos de la resistencia del aire; de este modo, nuestros resultados solo serán exactos par el movimiento en el vacío, de una tierra plana sin rotación. Estas hipótesis simplificadoras constituyen la base de un modelo idealizado del problema físico, en el cual se desprecian detalles sin importancia y se centra la atención en los aspectos más importantes del fenómeno.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 1
  2. 2. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I Como, en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes de coordenadas rectangulares. Tomaremos el eje x horizontal y el eje y vertical. La componente x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula, y la componente y es el peso del proyectil. -mg. 𝑎 𝑥 = 𝐹𝑥 = 0, 𝑎 𝑦 = 𝐹𝑦 = −𝑚𝑔 = −𝑔 o bien: a = -gj Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente vertical, dirigida hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto que aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante. La clave para el análisis del movimiento de proyectiles reside en el hecho de que todas las relaciones vectoriales que se necesitan, incluidas la segunda ley de Newton y las definiciones de velocidad y aceleración, pueden expresarse por separado mediante las ecuaciones de las componentes x e y de las cantidades vectoriales. Además la ecuación vectorial F = ma equivale a las dos ecuaciones de componentes: 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎 𝑦 De igual forma, cada componente de la velocidad es la variación por unidad de tiempo de la coordenada correspondiente, y de cada componente de la aceleración es la variación por unidad de tiempo de la componente de la velocidad correspondiente. En este aspecto los movimientos en x e y son independientes y pueden analizarse por separado. El movimiento real es, entonces, la superposición de estos movimientos separados.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 2
  3. 3. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I Supongamos que en el instante t = 0 nuestra partícula está situada en el punto (x0, componentes de la aceleración son 𝑎 𝑥 = 0 y 𝑎 𝑦 = −𝑔. La variación de cada y0) y que las componentes de la velocidad son vx y vy. Como ya se ha visto, las utilizarse directamente sus ecuaciones; sustituyendo 𝑉0𝑥 por 𝑉0 y 0 por 𝑎 𝑥 tenemos coordenada con el tiempo es la de un movimiento uniforme acelerado, y pueden para x. Las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas instantáneas del vector posición de un proyectil. x = xo + vox t e-1 y = yo+ voy t - ½ g t2 e-2 Despejando t de la ecuación e-1 y sustituyendo en e-2 obtenemos la ecuación de la trayectoria del proyectil. y-yo = voy (x − x0 ) − 1 g (x − x0 ) e-3 2 vox 2 v0 x → Como el vector velocidad esta dado por V = (V0, θ0); por lo tanto sus componentes son: V0x = V0 cos θ0 y V0y = V0 sin θ0. Reemplazando en la ecuación e-3 obtenemos la ecuación e-4. (x − x0 ) y-yo = ( x − x0 ) tan θ 0 − 1 g 2 e-4 2 v0 cos 2 θ 0Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 3
  4. 4. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I Las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas instantáneas del vector posición de un proyectil. x = xo + vox t e-1 y = yo+ voy t - ½ g t2 e-2 Despeje t de la ecuación e-1 y sustitúyalo en e-2 para demostrar que obtenemos la ecuación de la trayectoria del proyectil. y-yo = voy (x − x0 ) − 1 g (x − x0 ) e-3 2 v ox 2 v0 x → Como el vector velocidad esta dado por V = (V0, θ0); por lo tanto sus componentes son: V0x = V0 cosθ0 y V0y = V0 sin θ0. Sustituyendo los componentes en e-3 obtenemos e-4. (x − x0 ) y-yo = ( x − x0 ) tan θ 0 − 1 g 2 e-4 2 v0 cos 2 θ 0Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 4
  5. 5. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I 3. MATERIALES 1 HOJA DE PAPEL 1 RAMPA ACANALADA 1 REGLA CARBÓN 1 PRENSA 1 HOJA DE PAPEL BLANCO 1 BOLA DE ACERO 1 PLOMADAToribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 5
  6. 6. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I 4. PROCEDIMIENTO 1. Arme el equipo como se muestra en la figura (1) 2. Coloque a una altura “y”, la rampa acanalada del tablero. Mida con la regla.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 6
  7. 7. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I 3. Coloque en el tablero la hoja de papel carbón sobre la hoja de papel blanco. 4. Escoja un punto de la rampa acanalada. La bola se soltará desde ese punto. Ese punto, así escogido, debe ser el mismo para todos los lanzamientos.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 7
  8. 8. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I 5. Suelte la bola de la regla acanalada. El impacto de esta dejará una marca sobre el papel blanco. Repita éste paso 5 veces 6. Mida a partir de la plomada la distancia x1 del primer impacto, después la distancia x2 del segundo impacto, etc. Tome el valor promedio de las coordenadas “x” de estos puntos 7. Coloque el tablero a otra distancia “y” de la rampa acanalada y repita los pasos (5) y (6). 8. Repita el ítem (7), 5 veces y complete la tabla I.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 8
  9. 9. �MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL 𝐱 FISICA EXPERIMENTAL I y (cm) x1 x2 x3 x4 x5 y1 = 33,0 cm 31,50 cm 32,5 cm 31,7 cm 31,6 cm 32,2 cm 31,9 cm y2 = 41,5 cm 36,0 cm 35,8 cm 35, 5 cm 36, 3 cm 35, 5 cm 35,82 cm y3 = 43,0 cm 36,6 cm 36,2 cm 36,4 cm 36,0 cm 36,8 cm 36,4 cm y4 = 44,2 cm 37,6 cm 37,0 cm 37,1 cm 37,75 cm 36,65 cm 37,22 cm y5 = 46,5 cm 38,7 cm 38,1 cm 37,9 cm 37,4 cm 38,6 cm 38,14 cm 5. CUESTIONARIO 1. Demuestre y justifique la expresión matemática. La demostración de la expresión matemática se da integrando dicha expresión. dv Como a= y como la aceleración es constante, tenemos integrando la dt expresión anterior tenemos:  (α ) dv = ∫ adt = a ∫ dt = a (t − t 0 ) v t t ∫ v0 t0 t0 Donde v0 es la velocidad para t = t0. Luego, teniendo en cuenta que: v ∫v0 dv = v - v 0 (β ) Reemplazando (β ) en (α ) tenemos lo siguiente:Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 9
  10. 10. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I v = v 0 + a(t − t 0 ) (θ ) sustituimos (θ ) en la dr Que nos da la velocidad en función del tiempo. Como v = dt expresión anterior, obteniendo lo siguiente: dr = ∫ [v 0 + a(t − t 0 )]dt = v 0 ∫ dt + a ∫ (t − t 0 )dt r t t t ∫r0 t0 t0 t0 , donde r0 da la posición en el tiempo t0. Por lo tanto: r = r0 + v 0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 ) 1 2 (φ ) 2 Nos da la posición de la partícula en cualquier instante. Para nuestro caso a = g = aceleración de la gravedad . Escogeremos el plano XY coincidente con el plano definido por v0 y a=g; el eje Y hacia arriba de modo que → g= − g j , y el origen O coincidente con v0 como se muestra en la figura: Cuando la aceleración es constante la trayectoria es una parábola. Entonces, descomponiendo a la velocidad en sus componentes rectangulares X e Y tenemos que: → → v 0 = v0 x i + v0 y j  (ω )Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 10
  11. 11. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I Donde: v 0 x = v 0 cos α , v 0 y = v 0 senα  (ψ ) La ecuación (θ ) puede separarse en sus componentes (si t0 = 0) escribiendo →  → → →  → v = v x i + v y j =  v0 x i + v0 y j  − gt j   v x = v0 x , v y = v0 y − gt  (1) Ó Similarmente, la ecuación (φ ) con r0 = 0 y t0 = 0, cuando se separa en sus componentes, se transforma → →  → →  1 → →  1 → r = x i + y j =  v0 x i + v0 y j t − gt 2 j = v0 x t i +  v0 y t − gt 2  j   2  2  Igualando componentes tendremos lo siguiente: 1 x = v0 x t , y = v0 y t − gt 2  (2) 2 La ecuación de la trayectoria se obtiene eliminando el tiempo t en las ecuaciones obtenidas en la expresión (2) x x = v0 x t ⇒ t = v0 x Reemplazando en la expresión y tenemos: 2  x  1  x  y = v0 y   v  − 2 g v      0x   0x   v0 y  1 x2 y= x − g 2    v0 x  2 v0 x  (3) De (ψ ) dividimos ambas expresiones y tenemos:Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 11
  12. 12. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I v0 y = v0 senα  v0 y v0 senα ⇒ = = tgα  (4 ) v0 x = v0 cos α  v0 x v0 cos α Luego, (4) en (3), obtenemos que: gx 2 y = (tgα )x − 2(v0 cos α ) 2 Finalmente, la expresión que se pide demostrar es la siguiente: g sec 2 α y = (tgα )x − 2 x2 2v0 2. ¿Qué tipo de dificultades ha encontrado al realizar ésta experiencia? Encontramos las siguientes deficiencias:  Desnivel tanto de la rampa como en la superficie a impactar.  Oscilaciones en la plomada al momento de medir el alcance horizontal presentado por la bola de acero.  Desajustes producidos por el impacto de la bola de acero desde la rampa. 3. ¿Cuáles cree que han sido las posibles fuentes de error en su experimento? Los errores más comunes encontrados son:  Estimación diferente ya que no todos observamos con la misma perspectiva.  Desviación de la plataforma por el efecto de cada caída de la esfera.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 12
  13. 13. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I  El desajuste de la rampa por el desgaste natural de la madera.  Desviación de las medidas debido al desvió natural de la plomada. 4. ¿Qué tipo de movimiento tiene el móvil a lo largo del eje x?, Explique. Por el uso de la ecuación (1) y (2) desarrolladas anteriormente, deducimos lo siguiente:  De (1) se obtuvo v x = v0 x ; la cual nos indica que la componente de v en la dirección X permanece constante, ya que no hay aceleración en dicha dirección.  De (2) se obtuvo x = v 0 x t ; la cual nos muestra la ecuación del Movimiento rectilíneo uniforme. Por lo tanto, a lo largo del eje X, el movimiento presentado por el móvil es un Movimiento rectilíneo uniforme. 5. ¿Qué tipo de movimiento tiene el móvil a lo largo del eje y?, Explique. Por el uso de la ecuaciones (1) y (2) desarrolladas anteriormente, deducimos que:  De (1) se desprende v y = v0 y − gt ; la cual nos indica que la componente de la velocidad v en la dirección Y va variando producto de la gravedad que va dirigida en el mismo sentido.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 13
  14. 14. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I 1 2  De (2) se desprende y = v0 y t − gt ; la cual nos muestra la ecuación del 2 movimiento vertical de caída libre. Para nuestro experimento, como la bola se inicio en una rampa, su velocidad en la vertical será: v0 y = 0 , lo que tendríamos lo siguiente: 1 2 y=− gt 2 6. En Lima la aceleración de la gravedad tiene un valor a 9,78 m/s2 con los datos tabulados en la tabla I halle la velocidad inicial con la cual la bola pasa por el origen de coordenadas. Liso 14..2cm vo =0 V N.R La velocidad inicial cuando la esfera pase por el origen de coordenadas se calculara con el principio de la conservación de la energía, considerando las superficies lisas.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 14
  15. 15. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I EM F = EM I ECF + EPF = ECI + EPI ECF = EPI 1 2 mv = mgh 2 1 2 v = gh 2 v 2 = 2 gh v = 2 gh v = 2(9.78)(0.142) m v f = 1.67 s 7. ¿En qué punto la bola chocará contra el suelo? ¿Y en qué tiempo? Para calcular el tiempo que la bola choca en la superficie usaremos la ecuación del MRU puesto que en esta dirección no actúa la aceleración de la gravedad y es un movimiento independiente. Vx=1.67m/s (x,y) h Vy=0 (x,0) (0,0)Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 15
  16. 16. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I Para el movimiento horizontal usaremos: e = v.t i) 31,9cm = 0,319m, luego: e = v.t 0,319 = 1,67.t El tiempo es: t = 0,19 Impacto donde la bola choca es: (0,319;0) ii) 35,82cm = 0,3582m, luego: e = v.t 0,3582= 1,67.t El tiempo es: t = 0,2 Impacto donde la bola choca es: (0,3582;0) iii) 36,4cm = 0,364m, luego: e = v.t 0,364 = 1,67.t El tiempo es: t = 0,22 Impacto donde la bola choca es: (0,364;0) iv) 37,22m = 0, 3722m, luego: e = v.tToribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 16
  17. 17. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I 0, 3722= 1,67.t El tiempo es: t = 0,22 s Impacto donde la bola choca es: (0, 3722; 0) v) 38,14cm = 0, 3814m, luego: e = v.t 0, 3814 = 1,67.t El tiempo es: t = 0,23 s Impacto donde la bola choca es: (0, 3814; 0) 8. ¿Porqué la ecuación es válida solo si el alcance es suficientemente pequeño?, Explique. La ecuación es válida cuando el alcance es suficientemente pequeño, ya que así se puede despreciar la curvatura de la tierra, de lo contrario se produciría no una parábola, sino un arco de una elipse, tal y cual se muestra en el gráfico siguiente. 9. ¿Cómo podría cambiar y medir el ángulo? Para cambiar el ángulo se podría considerar el tipo de lanzamiento realizado al inicio. En el caso general, el cambio del ángulo se realizará con respecto a laToribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 17
  18. 18. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I inclinación que se haga con la horizontal. Y su medida se calculará con las ecuaciones dadas para este tipo de movimiento. Sin embargo, para nuestro caso la bola de acero inicio su movimiento horizontalmente, cambiando así el ángulo a 0º y describiendo un movimiento semiparabolico. 10. Encuentre la ecuación de la trayectoria de la bola Partiendo de la ecuación general de la expresión matemática: g sec 2 α 2 y = (tan α ) x − x 2vo Si consideramos el ángulo α = 0 , ya que el movimiento presentado por nuestra esferita es semiparabólico. Vx=1.67m/s h Vy=0 (0,0) La expresión anterior queda reducida de la siguiente manera: tan 0 ° = 0 sec 0 ° = 1Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 18
  19. 19. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I v x = 1,67 m / s y = (0) x − g (1) 2 x y=− g 2 x ….. (I) 2vo 2v x Con los datos obtenidos de la velocidad horizontal y la aceleración de la gravedad podríamos reemplazarlos en la ecuación (I), pero por cuestiones didácticas la dejaremos tal y como nos quedo para cualquier valor obtenido en la velocidad inicial. 11. ¿Qué velocidad lleva la bola justo un instante antes de chocar contra el tablero? Para calcular la velocidad un instante antes de chocar tendremos que calcular primero la velocidad vertical con la ecuación de Caída Libre y luego procederemos a calcular la velocidad como una resultante de la velocidad horizontal y la velocidad vertical. Vx=1.67m/s h Vy=0 V V yf = V yo + gt → V yf = gt i) Para un tiempo t = 0.19 entonces: V yf = gt Vyf = (9.78)(0.19)Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 19
  20. 20. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I Vyf = 1.86m/s V = (V yf ) 2 + (V x ) 2 V = (1.86) 2 + (1.67 ) 2 m V = 2.50 s ii) Para un tiempo t = 0.21 entonces: V yf = gt Vyf = (9.78) (0.21) Vyf = 2.05m/s V = (V yf ) 2 + (V x ) 2 V = (2.05) 2 + (1.67 ) 2 m V = 2.64 s iii) Para un tiempo t = 0.22 entonces: V yf = gt Vyf = (9.78) (0.22) Vyf = 2.15m/s V = (V yf ) 2 + (V x ) 2 V = (2.15) 2 + (1.67 ) m 2 V = 2.72 s iv) Para un tiempo t = 0.22 entonces: V yf = gt Vyf = (9.78)(0.22) Vyf = 2.15m/sToribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 20
  21. 21. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL FISICA EXPERIMENTAL I V = (V yf ) 2 + (V x ) 2 m V = ( 2.15) 2 + (1.67 ) V = 2.72 2 s v) Para un tiempo t = 0.23 entonces: V yf = gt Vyf = (9.78)(0.23) Vyf = 2.25m/s V = (V yf ) 2 + (V x ) 2 V = (2.25) 2 + (1.67 ) 2 m V = 2.80 s 12. ¿Cómo podría cambiar la velocidad inicial de la bola? Para poder cambiar la velocidad inicial de la bola se necesita soltarla desde un punto de lanzamiento mayor (mayor altura), puesto que a mayor altura existe mayor energía potencial gravitatoria almacenada en la esfera que esta esperando ser liberada para luego convertirse en energía de movimiento (considerando la fuerza de rozamiento nula). 13. ¿Qué conclusiones pueden obtener de este experimento? Como conclusiones específicas podemos nombrar:  De la tabla: a mayor altura desde la rampa acanalada del tablero, mayor es el alcance horizontal.  A mayor punto de lanzamiento, mayor es la velocidad y como consecuencia su alcance aumenta y viceversa.Toribio Córdova / Job Abanto / Juan Aquino 21

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