1. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
TEORIA DE ERRORES Y MEDICION
1. Objetivos
♦ Crear conciencia de la importancia de la medición en el estudio de la Física.
♦ Clasificar e identificar todas las fuentes de error.
♦ Establecer criterios para reducir los efectos de los errores.
♦ Determinar el valor real de la magnitud física medida.
2. Fundamento Teórico
Al efectuar el proceso de medición influyen factores que no permiten la
obtención del valor real, por lo que tratamos de hallar una aproximación
mediante un valor estimado y un error estimado.
Así, medir una magnitud física, es determinar un intervalo de valores dentro del
cual es razonable que se encuentre el valer real. Esto es:
ത
ܺ = ܺ ± ∆ܺ
Es común cometer errores por paralaje, posición, medición, instrumental, etc.
Los errores se pueden clasificar en sistemáticos y al azar.
Errores Sistemáticos: Son los errores prevenientes de los instrumentos que se
usan y de la imperfección de los mismos. Ejemplo.: una desigual longitud en los
brazos de la balanza, el efecto del calor o del sol en algunos instrumentos,
posición inadecuada del observador, etc.
La magnitud de este error se puede estimar de acuerdo al instrumento utilizado,
usualmente se asume un error igual a la mitad de la lectura mínima, por
ejemplo, si medimos con una regla milimetrada el error estimado sería de 0,5
mm.
Al reducir los errores sistemáticos podemos garantizar la exactitud de la
medición.
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2. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
Errores al Azar o Aleatorios: Son los errores personales, ambientales y otras
provenientes del observador, por lo que se recomienda hacer varias mediciones
con el mismo instrumento y bajo las mismas condiciones, para luego obtener el
promedio como valor medio.
௡
1 ‫ݔ‬ଵ + ‫ݔ‬ଶ + ‫ݔ‬ଷ + . . . + ‫ݔ‬௡
ത
ܺ = ෍ ‫ݔ‬௜ =
݊ ݊
௜ୀଵ
El valor hallado es muy próximo pero es necesario indicar cuál es el grado de
error que afecta el valor medio. Por lo que necesitamos una medición de
dispersión como la desviación estándar:
Y ésta medida de dispersión nos servirá de ayuda para hallar el error estándar
de la medidaܵ௡ :
ܵ
ܵ௡ =
√݊ − 1
ത
Ahora ya podemos definir la medida de la formaܺ ± ܵ௡
Debemos notar que cuanto más pequeño sea el gado de dispersión de una
serie de lecturas, diremos que la medida es más precisa.
Uso del Vernier y Micrometro
Son instrumentos de medición de longitudes más exactos y con los cuales se
pueden hacer mediciones de hasta 0,01 mm, ideales para hallar grosores de
láminas delgadas, profundidades, diámetros exteriores, interiores etc.
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3. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
El calibrador o vernier, consta de una parte fina o regla de una escala móvil o
nonio fig. 1.
La lectura se hace de la siguiente forma fig.2.
El número de milímetros se lee a la izquierda el nonio.
La fracción de milímetros se lee a la derecha del cero del nonio.
metros
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4. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
El Micrómetro, también consta de dos escalas: una fija llamada vástago que
esta graduada en milímetros (cada milímetro tiene dos divisiones, una hacia
(cada
arriba y otra hacia abajo) y una móvil llamada tambor. Cada rotación completa
del tambor equivale a 0,5 mm, estando dividido el tambor en 50 divisiones
(centésimas de mm).
Se debe tener en cuenta que el instrumento es muy susceptible, por lo que se
instrumento
debe comprobar que al unir la cara ଵ ‫ܥ ݕ‬ଶnos debe dar cero. Observe la figura
cara‫ܥ‬
3.
Tomando el ejemplo de la fig. 3 podemos decir que el valor estimado x de esta
magnitud es 5,10 mm y el valor real, teniendo en cuenta el error sistemático del
micrómetro, se escribirá así:
‫ = ݔ∆ ± ̅ݔ = ݔ‬ሺ5,10 ± 0,005ሻ ݉݉
ሺ 10
Mediciones indirectas: Si hacemos el cálculo de un área, debemos de medir
dos magnitudes (ancho y largo) para luego mediante una fórmula hallar su valor
estimado, mas el error estimado se tendrá que obtener mediante otras formulas
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5. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
que se presentan en la tabla I, teniendo en cuenta que Z es la magnitud a
obtener, A y B las medidas hechas, en forma directa y ∆‫ܤ‬sus respectivos
y∆‫∆ ݕ ܣ‬
errores. Hay que mencionar que ⁄‫ݖ‬es el error relativo, y si lo multiplicamos
que∆‫ݖ‬ ,
por 100% obtenemos el Error Porcentual.
TABLA I
Formula Calculo
Calculo de error Ejemplos
Z=A+B ∆Z ൌ ඥሺ∆‫ܣ‬ሻଶ ൅ ሺ∆‫ܤ‬ሻଶ L= ௢൅݀
=‫ܮ‬
(Un longitud cualquiera)
Z=A-B ∆Z ൌ ඥሺ∆‫ܣ‬ሻଶ ൅ ሺ∆‫ܤ‬ሻଶ L = ௢ െ ݀
=‫ܮ‬
(Un longitud cualquiera)
∆Z ∆‫ܣ‬ଶ ∆‫ܤ‬ଶ
ඨ
Z = AB e = vt
ൌ ൅
ܼ ‫ܣ‬ ‫ܤ‬
(movimiento uniforme)
∆Z ∆‫ܣ‬ଶ ∆‫ܤ‬ଶ
ൌ ൅
Z = A/B P = F/A
ܼ ‫ܣ‬ ‫ܤ‬
Z = ࡷ࢔ ∆Z ∆‫ܣ‬ ݉‫ ݒ‬ଶ
ൌ݊ ‫ܧ‬௖ ൌ
ܼ ‫ܣ‬ 2
3. Materiales
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VERNIER BALANZA
TIZAS PIEZA CILINDRICA
MICROMETRO REGLA GRADUADA O CINTA METRICA
HOJAS DE PAPEL CALCULADORA
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7. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
4. Procedimiento
1) Mida con el micrómetro el espesor de un grupo de hojas de papel en
diferentes partes.
Realice 5 mediciones y coloque sus resultados en la tabla II.
TABLA II
Medición Nº Espesor ഥ
ሺࡱ࢏ െ ࡱሻ ഥ
ሺࡱ࢏ െ ࡱሻ૛
ࡱ
1 0,488 mm 0,0238 0,000566
2 0,452 mm -0,0122 0,000149
3 0,422 mm -0,0422 0,001781
4 0,493 mm 0,0288 0,000829
ത ൌ 0,4642
5 0,466 mm 0,0018 0,000003
‫ܧ‬ ௡
෍ሺ‫ܧ‬௜ െ ‫ܧ‬ሻଶ ൌ 0,003328
௜ୀଵ
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8. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
2) Tome un número de tizas y determine su masa con la balanza. Coloque su
lectura en la tabla III. Repita la operación 5 veces.
TABLA III
Medición Nº Peso ሺࢃ࢏ െ തതതሻ
ࢃ ሺࢃ࢏ െ തതതሻ૛
ࢃ ࢃ
1 24,06 gr 0,01 0,0001
2 24,09 gr 0,04 0,0016
3 24,00 gr -0,05 0,0025
4 24,05 gr 0,00 0,0000
5 24,07 gr 0,02 0,0004
௡
ܹ ൌ 24,05 ݃‫ݎ‬
෍ሺܹ௜ െ ܹሻଶ ൌ 0,0046
௜ୀଵ
3) Utilice el vernier para medir la altura y el diámetro de la pieza cilíndrica.
Realice 5 mediciones y coloque los resultados en la tabla IV
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9. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
MIDIENDO LA ALTURA
MIDIENDO EL DIAMETRO
TABLA IV
Medición Nº Altura Diámetro
1 5,17 cm 2,40 cm
2 5,15 cm 2,42 cm
3 5,19 cm 2,39 cm
4 5,16 cm 2,42 cm
5 5,14 cm 2,35 cm
݄ ൌ 5,162 ܿ݉ ‫ ܦ‬ൌ 2,396 ܿ݉
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10. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
5. Cuestionario
1. ¿Qué tipos de dificultades ha encontrado para realizar las
experiencias?
Una dificultad a considerar es en cuanto a los materiales de trabajo. Por ejemplo la
pieza cilíndrica utilizada presentaba un corte transversal asimétrico, causando
cierta dificultad para encontrar una posición adecuada para realizar la medición.
Otra dificultad también encontrada, es en cuanto a la medición con el micrómetro.
Era que al momento de medir el espesor de las hojas, al ser este un material
orgánico, la presión que se ejercía causaba errores en su medición ya que este
dependía del grado de presión que se ejercía al momento de medir el espesor de
las hojas.
Asimismo, en cuanto a la balanza, la dificultad encontrada es de tipo óptico, era
difícil encontrar sincronización del brazo de la balanza con el centro de medidas.
Otra dificultad es en cuanto a las estimaciones de las cifras de las milésimas,
puesto que es un cálculo aproximado por parte del observador generando así
errores en las mediciones.
2. ¿Cuáles han sido las fuentes de error de su experimento?
Las fuentes de error comunes encontradas son las siguientes:
Visual: la lectura que uno realiza es relativa, ya que cada individuo tiene una
estimación diferente.
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11. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
Material: Las tizas usadas se iban desgastando en el transcurso de las mediciones.
Ocasionando pérdida de materia para la hora de pesar.
Calibración: a la hora de realizar la calibración, ésta se realiza muy
aproximadamente.
3. Estime el valor real del espesor del grupo de papeles.
Este valor se puede obtener de los resultados que se obtuvieron de la muestra,
simplemente bastara en sacarle la media aritmética y su valor es: ‫ ܧ‬ൌ ‫ܧ∆ ± ܧ‬
∑ሺாିாሻమ ଴,଴଴ଷଷଶ଼
i) ܵ = ට =ට = √0,000666 = 0,0258
௡ ହ
ௌ ଴,଴ଶହ଼ ଴,ଶହ଼
ii) ܵ௡ = = = = 0,0129
√௡ିଵ √ହିଵ ଶ
ܵ௡ = ∆‫310,0 = ܧ‬
El valor real del espesor del grupo de papeles será: ‫ܧ∆ ± ܧ = ܧ‬
∴ ‫310,0 ± 2464,0 = ܧ‬
4. Calcule el error estándar de la masa de las tizas.
∑(ௐିௐ)మ ଴,଴଴ସ଺
i) ܵ=ට =ට = √0,00092 = 0,030332
௡ ହ
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12. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
ௌ ଴,଴ଷ଴ଷଷଶ ଴,଴ଷ଴ଷଷଶ
ii) ܵ௡ = = = = ∆ܹ = 0,015166
√௡ିଵ √ହିଵ ଶ
∴ ܵ௡ = ∆ܹ = 0,015166
5. Calcule el error relativo y porcentual de la pieza cilíndrica.
∆௭ ∆௭
El error relativo se obtiene de , el error porcentual se obtiene de x100%
௭ ௭
a) Para la altura, hallamos el ∆ℎ
Medición Nº Altura (ࢎ) (ࢎ࢏ − ࢎ) (ࢎ࢏ − ࢎ)૛
1 5,17 cm 0,008 0,000064
2 5,15 cm -0,012 0,000144
3 5,19 cm 0,028 0,000874
4 5, 16 cm -0,002 0,000004
5 5,14 cm -0,022 0,000484
௡
ℎ = 5,162 ܿ݉
෍(ℎ௜ − ℎ)ଶ = 0,00157
௜ୀଵ
Calculo de la Desviación Estándar: S
ܵൌට ೔
∑ሺ௛ ି௛ሻ ଴,଴଴ଵହ଻
ൌට
మ
= √0,000314 = 0,01772
௡ ହ
Hallando el Error Estándar de la media: ܵ௡
ௌ ଴,଴ଵ଻଻ଶ
ܵ௡ = = = 0,009
√௡ିଵ √ହିଵ
∴ ܵ௡ = ∆ℎ = 0,009
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13. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
b) Para el diámetro, hallamos ∆‫ܦ‬
Medición Nº Diámetro (ࡰ) (ࡰ࢏ − ࡰ) (ࡰ࢏ − ࡰ)૛
1 2,40 cm 0,004 0,000016
2 2,42 cm 0,024 0,000576
3 2,39 cm -0,006 0,000036
4 2, 42 cm 0,024 0,000576
5 2,35 cm -0,046 0,002116
௡
‫݉ܿ 693,2 = ܦ‬
෍(‫ܦ‬௜ − ‫)ܦ‬ଶ = 0,00332
௜ୀଵ
En seguida, hallamos la Desviación Estándar: S
ܵൌට
∑ሺ஽೔ ି஽ሻమ ଴,଴଴ଷଷଶ
ൌට = √0,000664 = 0,025768
௡ ହ
Hallando el error Estándar de la media: ܵ௡
ௌ ଴,଴ଶହ଻଺଼
ܵ௡ = = = 0,012884
√௡ିଵ √ହିଵ
∴ ܵ௡ = ∆‫310,0 = ܦ‬
c) Calculo del error ∆ܼ
∆Z = ඥ(∆‫)ܦ‬ଶ + (∆ℎ)ଶ = ඥ(0,013)ଶ + (0,009)ଶ = ඥ0,00025 = 0,0158
Como: ܼ = ℎ + ‫855,7 = 693,2 + 261,5 = ܦ‬
Entonces:
∆௓ ଴,଴ଵହ଼
Error relativo: = = 0,0209
௓ ଻,ହହ଼
∆௓ ଴,଴ଵହ଼
Error porcentual: x100% = x100% = 0,21%
௓ ଻,ହହ଼
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14. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
6. Indique el valor real de la masa de tizas.
Con los datos obtenidos en la pregunta 4 se obtiene:
ܹ ൌ ܹ ± ∆ܹ
ܹ = 24,05 ± 0,015
7. Estime los valores reales del diámetro de la base del cilindro y
.
de su altura.
Como: ‫݈ܽ݁ݎ ݎ݋݈ܸܽ . . … … … … … … … … … … ܦ∆ ± ܦ = ܦ‬
‫݉ܿ)310,0 ± 693,2( = ܦ‬
‫ = ܪ‬ℎ ± ∆ℎ … … … … … … … … … … … ܸ݈ܽ‫݈ܽ݁ݎ ݎ݋‬
‫݉ܿ)900,0 ± 261,5( = ܪ‬
8. ¿Qué conclusiones puede extraer de esta experiencia?
En cuanto a la balanza que se uso en este experimento, se llegó a la conclusión de
que esta mide la masa de los cuerpos (tizas), ya que en este proceso se comparan
PESOS pero lo que se obtiene es MASA, debido a que la gravedad que afecta a
ambos cuerpos es igual y se simplifica.
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15. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
En cambio las balanzas a resorte están calibradas en “kg f” y lo que se calcula aquí
“kg-f”
es el PESO puesto que por la ley de HOOKE existe un equilibrio de fuerzas que se
mide en Newtons.
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16. TEORIA DE ERRORES Y MEDICION FISICA EXPERIMENTAL I
9. Si dos objetos tienen por masas (100 ± 0,4) gr. y (50 ± 0,3) gr.
¿Cuál es el error en la suma de dichos pesos? ¿En cual de las
mediciones se cometió mayor error porcentual?
I) Sean las masas reales:
ሺ100 ± 0,4)݃‫ ≡ ݎ‬൫‫ܣ ± ܣ‬൯
(50 ± 0,3)݃‫)ܤ ± ܤ( ≡ ݎ‬
Error de la suma de los pesos:
∆ܼ = ඥ(∆ܼ)ଶ + (∆‫)ܤ‬ଶ
∆ܼ = ඥ(0,4)ଶ + (0,3)ଶ
∆ܼ = 0,5
II) El mayor error porcentual
Para la ૚࢘ࢇ medición
∆஺ ଴,ସ
=
஺ ଵ଴଴
∆஺
⇒ x100% = 0,4%
஺
Para la ૛ࢊࢇ medición
∆஻ ଴,ଷ
=
஻ ଵ଴଴
∆஻
⇒ x100% = 0,6%
஻
∴ ࡿࢋ ࢋ࢔ࢉ࢕࢔࢚࢘࢕ ࢓ࢇ࢙ ࢋ࢘࢘࢕࢘ ࢋ࢔ ࢒ࢇ ૛ࢊࢇ ࢓ࢋࢊ࢏ࢉ࢏ó࢔.
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