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Sistemas en pds

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Sistemas en pds

  1. 1. Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Ingenier´ Electr´nica ıa o Notas de ClaseProcesamiento Digital de Se˜ ales n EL-5805 Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya e Versi´n de 28 de julio de 2011 o
  2. 2. PrefacioEstas notas de clase pretenden ofrecer al estudiante una gu´ para el curso “EL-5805 Pro- ıacesamiento Digital de Se˜ales”. No deben considerarse bajo ninguna circunstancia como nfuente de informaci´n unica. En cada cap´ o ´ ıtulo se hace referencia a fuentes bibliogr´ficas aadicionales que el estudiante debe revisar por su cuenta, con ejercicios adicionales y mayordetalle en su presentaci´n. oEl concepto del curso se ha orientado en las sugerencias de los autores John G. Proakis yDimitris G. Manolakis [15] para un programa semestral de curso de pregrado, con algunasadiciones y principalmente res´menes de la materia considerados necesarios. M´s detalles u ade los temas tratados aqu´ se podr´n entonces encontrar del cap´ ı a ıtulo 1 al cap´ ıtulo 8 delmencionado libro de texto.Las presentes notas de clase se han adaptado espec´ ıficamente al curso “ProcesamientoDigital de Se˜ales” de la Escuela de Ingenier´ Electr´nica del Tecnol´gico de Costa Rica, n ıa o opero se ponen a disposici´n libre para que sean de provecho a quien las necesite. oDr. Jos´ Pablo Alvarado Moya eCartago, 28 de julio de 2011 Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´n- o NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ una carta a Creati- ıe ve Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. c 2005-2011 Pablo Alvarado Escuela de Electr´nica o Tecnol´gico de Costa Rica o
  3. 3. ´Indice general´Indice de tablas v´Indice de ejemplos viiLista de s´ ımbolos y abreviaciones ix1 Introducci´n o 1 1.1 Se˜ales . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Elementos de un sistema PDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Ventajas del procesamiento digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ´ 1.5.1 Areas de aplicaci´n . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Implementaci´n . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Se˜ ales y Sistemas de Variable Discreta n 13 2.1 Se˜ales de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 13 2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ales de variable discreta n . . . . . 14 2.1.2 Clasificaci´n de se˜ales de variable discreta . . . . . . . . . o n . . . . . 16 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia . . . . . . . . . . n . . . . . 21 2.2.1 Se˜al sinusoidal continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 22 2.2.2 Se˜al sinusoidal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 22 2.2.3 Exponenciales complejos relacionados arm´nicamente . . . o . . . . . 26 2.3 Sistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Descripci´n entrada-salida de sistemas . . . . . . . . . . . o . . . . . 27 2.3.2 Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Clasificaci´n de los sistemas discretos . . . . . . . . . . . . o . . . . . 31 2.3.4 Interconexi´n de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 35 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo . a . . . . . 35 2.4.1 T´cnicas de an´lisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a . . . . . 35 2.4.2 Descomposici´n de una se˜al en impulsos . . . . . . . . . . o n . . . . . 36 i
  4. 4. ii ´ Indice general 2.4.3 Convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 37 2.4.4 Propiedades de la convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 42 2.4.5 Sistemas LTI causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.6 Estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo . . . . . . 43 2.4.7 Sistemas de respuesta finita e infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias . . . . . . . 46 2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias con coe- ficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.3 Soluci´n de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes . o . 51 2.5.4 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . 56 2.6 Correlaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 58 2.6.1 Autocorrelaci´n y correlaci´n cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 58 2.6.2 Propiedades de la correlaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 59 2.6.3 Correlaci´n de secuencias peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 60 2.6.4 Secuencias de correlaci´n de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . o . 61 2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 67 3.1 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 La transformada z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.1 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 Localizaci´n de los polos y el comportamiento en el dominio o de n para se˜ales causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . 75 3.2.3 La funci´n de transferencia de un sistema LTI . . . . . . . . o . . . . 77 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 79 3.3.1 Respuesta de sistemas con funci´n de transferencia racional . o . . . . 79 3.3.2 Condiciones iniciales no nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.3 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente . . . . . . . e . . . . 82 3.3.4 Causalidad y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.5 Cancelaci´n polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 83 3.3.6 Polos de orden m´ltiple y estabilidad . . . . . . . . . . . . . u . . . . 83 3.3.7 Estabilidad de sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874 An´lisis frecuencial a 91 4.1 Espectro de se˜ales continuas . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 Espectro de se˜ales continuas peri´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 Espectro de se˜ales continuas aperi´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1 Espectro de se˜ales discretas peri´dicas . n o . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.2 Espectro de se˜ales discretas aperi´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 99 c 2005-2011 — P. Alvarado
  5. 5. ´Indice general iii 4.2.3 Relaci´n entre las transformadas de Fourier y z . . . . . . . . . . . 100 o 4.2.4 El teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ales discretas . . . . . . . 109 n 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.1 La funci´n de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 o 4.4.2 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente a entradas sinusoidales113 e 4.4.3 Respuesta en r´gimen permanente a se˜ales de entrada peri´dicas . 114 e n o 4.4.4 Respuesta a se˜ales de entrada aperi´dicas . . . . . . . . . . . . . . 115 n o 4.4.5 Relaciones entre la funci´n de transferencia y la respuesta en fre- o cuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.6 C´lculo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 a 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 117 4.5.1 Filtros ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5.2 Filtros paso alto, paso bajo y paso banda . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5.3 Resonadores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5.4 Filtros ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5.5 Filtros peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.6 Filtros paso todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.7 Osciladores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.6 Sistemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.6.2 Sistemas de fase m´ ınima, fase m´xima y fase mixta . . . . . . . . . 132 a 4.6.3 Identificaci´n de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 o 4.7 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.2 La transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.7.3 Relaci´n de la DFT con otras transformadas . . . . . . . . . . . . . 141 o 4.7.4 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.5 Filtrado lineal basado en la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.7.6 Filtrado de secuencias de larga duraci´n . . . . . . . . . . . . . . . 149 o 4.7.7 An´lisis espectral de se˜ales usando la DFT . . . . . . . . . . . . . 150 a n5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 153 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas . . . . . . . . . . . n o . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.1 Muestreo de se˜ales pasa-bajos . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . 156 5.1.2 Muestreo de se˜ales pasa-banda . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . 156 5.2 Cuantificaci´n de se˜ales de amplitud continua . . o n . . . . . . . . . . . . . . 160 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.1 N´meros codificados con coma fija . . . . u . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.2 N´meros codificados con coma flotante . . u . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4.1 Circuito de muestreo y retenci´n . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4.2 Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 c 2005-2011 — P. Alvarado
  6. 6. iv ´ Indice general 5.4.3 Aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.4.4 Convertidor paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4.5 Convertidor en subrangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.4.6 Convertidor delta-sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.1 Fuentes de tensi´n conmutadas o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.2 Resistencias conmutadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.3 Condensadores conmutados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.5.4 Redes resistivas R − 2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.5.5 Conversi´n DAC delta-sigma . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826 Implementaci´n de sistemas discretos o 183 6.1 N´mero de Condici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u o . . . . . . . . . . . 183 6.2 Estructuras directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.2.1 Estructuras directas para filtros FIR sim´tricos e . . . . . . . . . . . 188 6.3 Grafos de flujo de se˜al y estructuras transpuestas . . . n . . . . . . . . . . . 188 6.4 Muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.5 Sistemas en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.6 Sistemas paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947 Introducci´n al dise˜ o de filtros digitales o n 197 7.1 Causalidad y sus implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.2.1 Dise˜o de filtros FIR por el m´todo de ventanas . . . . . . . . . . . 203 n e 7.2.2 Dise˜o de filtros optimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 n ´ 7.3 Dise˜o de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos211 n o 7.3.1 Dise˜o por aproximaci´n de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 212 n o 7.3.2 Dise˜o por invarianza impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 n 7.3.3 La transformada z adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3.4 Dise˜o por transformaci´n bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 n o 7.3.5 Filtros Anal´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 o 7.4 Transformaci´n de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 oBibliograf´ ıa 219A Octave y Matlab 221B Respuestas a Problemas 225´Indice alfab´tico e 231 c 2005-2011 — P. Alvarado
  7. 7. ´Indice de tablas 1.1 Caracter´ ısticas de las se˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 2 2.1 Propiedades de se˜ales de variable discreta. . . . . . . . n . . . . . . . . . . . 16 2.2 Propiedades de sistemas discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Ejemplo de convoluci´n de dos secuencias finitas. . . . o . . . . . . . . . . . 38 2.4 Forma general de la soluci´n particular para diversos o tipos de se˜al de n entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 Propiedades de la transformada z bilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Transformada z de algunas funciones comunes . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3 Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales . . 86 4.1 Propiedades de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2 Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1 Est´ndar de coma flotante IEEE 754-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 a 5.2 Algunos n´meros especiales en precisi´n simple . . . . . . . . . . . . . . . 166 u o 5.3 Algunos n´meros especiales en precisi´n doble . . . . . . . . . . . . . . . . 167 u o −1 −2 6.1 M´dulos de segundo orden con funci´n de transferencia H(z) = b0 +b11zz−1 +a2 z−2 o o 1+a +b2 z para sistemas en tiempo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.1 Simetr´ en filtros FIR de fase lineal . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . 203 7.2 Funciones utilizadas como ventanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 Descomposici´n de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). . . . . o . . . . . . . . . . . 210 7.4 Caracter´ ısticas de Filtros Paso Bajo Anal´gicos . . . . o . . . . . . . . . . . 215 7.5 Transformaciones de frecuencia para filtros anal´gicos. o . . . . . . . . . . . 216 7.6 Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. . . . . . . . . . . . . . 217 v
  8. 8. vi ´ Indice de tablas c 2005-2011 — P. Alvarado
  9. 9. ´Indice de ejemplos2.1 Escal´n unitario como suma de impulsos desplazados . . o . . . . . . . . . . . 142.2 Operaciones b´sicas con se˜ales . . . . . . . . . . . . . . a n . . . . . . . . . . . 152.3 Se˜ales de energ´ y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . n ıa . . . . . . . . . . . 182.4 Simetr´ de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . 202.5 Descripci´n entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 272.6 Salida de sistema acumulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10 Descomposici´n en impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 362.11 Convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 372.12 Longitud de la convoluci´n de dos se˜ales finitas . . . . . o n . . . . . . . . . . . 382.13 Reacci´n de sistemas con respuesta exponencial . . . . . . o . . . . . . . . . . . 402.14 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.15 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.16 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.17 Linealidad de sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.18 Soluci´n homog´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . 522.19 Respuesta de entrada nula para sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . 522.20 Respuesta de entrada nula con ra´ de multiplicidad 2 . . ız . . . . . . . . . . . 532.21 Soluci´n particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 542.22 Soluci´n total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 552.23 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo peri´dico . o . . . . . . . . . . . 924.2 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo aperi´dicoo . . . . . . . . . . . 96 vii
  10. 10. viii ´ Indice de ejemplos c 2005-2011 — P. Alvarado
  11. 11. Lista de s´ ımbolos y abreviacionesNotaci´n general oA Matriz.   a11 a12 · · · a1m  a21 a22 · · · a2m    A= . . .. .   . . . . . .  . an1 an2 · · · anm + ∗IN , IN Conjunto de los n´meros naturales sin cero IN+ = IN{0}. uIN, IN0 Conjunto de los n´meros naturales IN = {0, 1, 2, . . .}. uZ Conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. uQ Conjunto de los n´meros racionales Q = {q | q = n ; n, d ∈ Z}. u dIR Conjunto de los n´meros reales. uC Conjunto de los n´meros complejos. u∆ Cuanto. Distancia entre dos niveles de cuantificaci´n.oeq (t) o eq (n) Error de cuantificaci´n. oF Frecuencia en ciclos por unidad de tiempo para se˜ales de variable continua. nf Frecuencia en ciclos por muestra para se˜ales de variable discreta. nFs Frecuencia de muestreo de una se˜al anal´gica. Fs = 1/T n oh(n) Respuesta al impulsoH(ω) Respuesta en frecuencia∠H(ω) Respuesta en fase| H(ω) | Respuesta en magnitudH(z) Funci´n de transferencia oIm(z) o zIm Parte imaginaria del n´mero complejo z u √ j¡ j = −1 Mapeo de un dominio temporal al dominio frecuencial o z Mapeo de un dominio frecuencial al dominio temporal o zRe(z) o zRe Parte real del n´mero complejo z uT [·] Transformaci´n realizada por un sistema oT Intervalo de muestreo. T = 1/FsTp Periodo fundamental Tp = 1/F para se˜ales de variable continua. nx(n) Se˜al de variable discreta. n ix
  12. 12. x Lista de s´ ımbolos y abreviacionesx Vector.   x1  x2  T   x = [x1 x2 . . . xn ] =  .  .. xny Escalar.z∗ Complejo conjugado de zΩ Frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo para se˜ales de variable n continua.ω Frecuencia angular en radianes por muestra para se˜ales de variable discreta. nAbreviacionesBIBO Entrada acotada – Salida acotada (bounded input – bounded output)DSP Digital Signal Processing (o Processor ).FIR Respuesta finita al impulso (Finite Impulse Response)IIR Respuesta infinita al impulso (Infinite Impulse Response)LTI Sistema lineal e invariante en el tiempo (Linear and Time Invariant)PDS Procesamiento Digital de Se˜ales. nSQNR Relaci´n se˜al a ruido de cuantificaci´n (signal to quantization noise ratio). o n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  13. 13. Cap´ ıtulo 1Introducci´n oEl Procesamiento Digital de Se˜ales (PDS) es un area de la ciencia y la ingenier´ que n ´ ıase ha desarrollado r´pidamente desde la segunda mitad del siglo XX. Tanto los aportes ate´ricos como de aplicaci´n contin´an extendi´ndose desde y hacia varias areas del saber. o o u e ´Los avances en el procesamiento y compresi´n de audio y video, as´ como las nuevas o ıtecnolog´ en comunicaciones digitales (telefon´ celular, modems ADSL, etc.) son quiz´ ıas ıa alos ejemplos de aplicaci´n m´s representativos del PDS. o a1.1 Se˜ ales nPara definir las tareas del PDS se requiere primero precisar el concepto de se˜al , con- nsiderada aqu´ como aquella observaci´n de una magnitud f´ ı o ısica en funci´n de variables oindependientes de tiempo y espacio, realizada de tal modo que la se˜al contenga informa- nci´n de los procesos observados. oEn general, toda se˜al contiene informaci´n que se desea extraer o modificar de acuerdo n oa los requisitos de cada aplicaci´n particular. Sism´grafos, por ejemplo, registran se˜ales o o ns´ ısmicas que contienen informaci´n sobre intensidad y caracter´ o ısticas espectrales de lossismos, con ayuda de las cuales pueden determinarse entre otras cosas la ubicaci´n de oepicentros y la naturaleza de los s´ ısmos. Las se˜ales electrocardiogr´ficas permiten al n am´dico determinar el estado del coraz´n de sus pacientes. e oLa tabla 1.1 resume las caracter´ısticas utilizadas para clasificar las se˜ales. Las se˜ales son n nrepresentadas por funciones matem´ticas de una o m´s variables. Una se˜al de voz, por a a nejemplo, puede representarse como una funci´n de una variable temporal f (t), im´genes o ase pueden considerar como funciones de dos variables espaciales f (x, y), y v´ ıdeo como unase˜al espacio-temporal f (x, y, t). nLas funciones pueden ser adem´s escalares o vectoriales. Si la voz se captura con un amicr´fono monof´nico, la se˜al el´ctrica de salida tendr´ por ejemplo un solo valor de o o n e atensi´n el´ctrica en cada instante de tiempo. Por otro lado, un electroencefalograma o e 1
  14. 14. 2 1.1 Se˜ales nprovee un conjunto o vector de se˜ales el´ctricas provenientes de los diferentes electrodos n epara cada instante t: T f (t) = f1 (t) f2 (t) . . . fn (t)Otro ejemplo de se˜ales vectoriales utilizadas frecuentemente en ingenier´ son las im´genes n ıa aen color, en las que cada elemento de la imagen o pixel se representa como un vector enun espacio de color, donde las componentes del vector pueden, por ejemplo, representarlos valores de los colores primarios rojo, verde y azul. A cada una de las componentes delas se˜ales vectoriales se les denomina usualmente canales y por lo tanto a la se˜al se le n ndenota como multicanal .Las variables de las que depende la se˜al pueden ser discretas o continuas. La salida de nun foto-transistor puede, por ejemplo, ser obtenida en todo instante de tiempo t (variablecontinua), mientras que el n´mero de llamadas realizado por hora es una se˜al que el ICE u npuede generar para instantes discretos de tiempo nT distanciados por un intervalo de T =1 h (variable discreta). Los puntos donde la variable independiente de una se˜al discreta nest´ definida no deben ser necesariamente equidistantes; sin embargo, usualmente este tipo ade distribuci´n homog´nea de las muestras se utiliza por su conveniencia computacional o ey manejabilidad matem´tica. aLos valores que puede tomar una se˜al pueden ser tambi´n discretos o continuos. As´ el n e ı,voltaje del fototransistor puede tomar cualquier valor real en un intervalo, mientras queel n´mero de llamadas es siempre un valor entero. Tambi´n los valores de una funci´n u e odiscreta pueden ser equidistantes o seguir otros patrones m´s complejos (como el lo- agar´ıtmico). El t´rmino digital se utiliza para se˜ales de variables independientes discretas e ny de valores discretos, mientras que anal´gica es una se˜al con variables independientes o ncontinuas y valores continuos. El an´lisis matem´tico involucrado en el tratamiento de a ase˜ales digitales pueden simplificarse si se realiza a trav´s de funciones de valor continuo n ey variable discreta, llamadas usualmente se˜ales en tiempo discreto, por representar la nvariable independiente generalmente instantes de tiempo definidos. Este ser´ el enfoque autilizado en este documento.Un ultimo criterio de car´cter matem´tico para clasificar las se˜ales es su naturaleza ´ a a nestad´ ıstica: las se˜ales pueden ser deterministas si puede especificarse con precisi´n la n oforma de la funci´n. Por ejemplo, para se˜ales determin´ o n ısticas definidas en el tiempo,sus valores en el pasado, presente y futuro son siempre conocidos (por ejemplo, una Tabla 1.1: Caracter´ ısticas de las se˜ales n Caracter´ ıstica Valores N´mero de variables u una variable multiples variables Dimensionalidad escalar vectorial (multicanal) Variables independientes discretas continuas Valores de la se˜al n discretos continuos Naturaleza estad´ ıstica deterministas aleatorias c 2005-2011 — P. Alvarado
  15. 15. 1 Introducci´n o 3se˜al senoidal). Por otro lado, las se˜ales aleatorias o estoc´sticas solo permiten una n n adescripcion aproximada de la forma de su funci´n, por tener asociado un comportamiento oimpredecible (por ejemplo, un generador de ruido, una se˜al s´ n ısmica, una se˜al ac´stica n ude voz).Asociado a la naturaleza estad´ ıstica de la se˜al se distingue adem´s entre se˜ales es- n a ntacionarias y no estacionarias. Las se˜ales estacionarias son aquelas cuyos par´metros n aestad´ısticos no var´ en el tiempo, lo que de ninguna manera implica que el valor de ıanla se˜al se constante. Por otro lado, la se˜ales no estacionarias tienen par´metros es- n n atad´ısticos que var´ en el tiempo. ıanEn el presente texto se estudiar´n se˜ales de una variable, de valor escalar, digitales y a nde naturaleza determinista. En cursos de procesamiento de im´genes se extienden los aconceptos a se˜ales vectoriales (usualmente tres dimensiones) de dos variables discretas nespaciales (x, y). El an´lisis de se˜ales estoc´sticas es tema usual para cursos de posgrado; a n asin embargo, es en este curso introductorio donde se presentan todas las bases necesariaspara comprender los conceptos avanzados.En principio las se˜ales pueden corresponder a cualquier tipo de magnitud f´ n ısica observa-da; sin embargo, por medios electr´nicos solo se˜ales el´ctricas pueden ser procesadas, por o n elo que usualmente se requieren transductores o sensores que realicen la correspondienteconversi´n. o1.2 SistemasEl t´rmino sistema denota a una colecci´n o conjunto de elementos interrelacionados que e oconforman un todo unificado. Su ra´ etimol´gica es el t´rmino latino syst¯ma, que a su ız o e evez proviene del griego σ υ στ ηµα relacionado con los conceptos combinar e instalar. ´Un sistema puede formar parte de otro sistema de mayor nivel, en cuyo caso al primerose le denomina subsistema del segundo. Los diferentes subsistemas intercambian por logeneral informaci´n, materia o energ´ para lograr alg´n objetivo. Los t´rminos se˜ales o ıa u e nde entrada o de salida se utilizan entonces para abstraer ese flujo de informaci´n, materia oo energ´ en el concepto matem´tico de funciones. ıa aEl sistema entonces puede interpretarse como un conjunto de subsistemas que lograntransformar una se˜al en otra. Estos dispositivos pueden ser entes f´ n ısicos, como un circuitoelectr´nico, o virtuales, como algoritmos implementados en software. oEn la literatura actual se tiende a diferenciar entre dos tipos de tareas de los sistemas:procesamiento y an´lisis. Se dice que un sistema procesa una se˜al si la se˜al de salida a n ntiene las mismas caracter´ ısticas sem´nticas de la entrada: por ejemplo, si la entrada arepresenta una se˜al de voz, la salida de un sistema procesador ser´ tambi´n voz aunque n a equiz´ modificada para cumplir ciertos requisitos de la aplicaci´n. Se dice que un sistema a orealiza an´lisis de la se˜al, si la salida tiene otra naturaleza sem´ntica a la entrada. a n a c 2005-2011 — P. Alvarado
  16. 16. 4 1.3 Elementos de un sistema PDSPor ejemplo, un m´dulo de un reconocedor de habla puede extraer de una se˜al de voz o ninformaci´n sobre la presencia de la vocal ‘a’ en ella. Usualmente el an´lisis de una se˜al o a nse realiza a trav´s de diversos pasos de procesamiento de la se˜al, junto con tareas de e nreconocimiento o codificaci´n de patrones. oEn resumen, el procesamiento digital de se˜ales1 , abreviado PDS o DSP por sus siglas en ningl´s (Digital Signal Processing) se refiere al proceso de modificaci´n de una se˜al digital e o nen un sistema, realizado para destacar o suprimir diferentes caracter´ ısticas de la se˜al que ntienen alg´n significado especial para una aplicaci´n en particular. u o1.3 Elementos de un sistema PDSLa mayor´ de las se˜ales en ciencia e ingenier´ tienen una naturaleza anal´gica, es decir, ıa n ıa otanto las variables independientes de las funciones que las representan como sus valoresson continuos. Matem´ticamente estas se˜ales se representan como funciones f (t) a n f : IR → IRes decir, relaciones matem´ticas que mapean valores reales en valores reales. Este tipo ade se˜ales pueden ser tratadas directamente utilizando sistemas anal´gicos, como por n oejemplo filtros pasivos o analizadores de frecuencia (figura 1.1). Se˜al de n Procesador Se˜al de n Entrada Anal´gico o Salida Anal´gica o de Se˜al n Anal´gica o Figura 1.1: Procesamiento anal´gico de una se˜al [15]. o nEl procesamiento digital (figura 1.2) requiere transformar las se˜ales de entrada a un nformato digital, es decir, a funciones f (n) f : Z → Z.Esto ocurre en una etapa llamada conversi´n anal´gica-digital (A/D). o oLa se˜al digitalizada es tratada luego en el procesador digital de se˜ales, que puede ser n ndesde un computador de prop´sito general, pasando por sistemas empotrados basados en omicrocontroladores, hasta circuitos digitales espec´ ıficamente dise˜ados para realizar las ntareas de procesamiento deseadas; sin embargo, las configuraciones programables tantoen software como en hardware reconfigurable son las que han brindado al procesamiento 1 En la literatura en castellano se encuentran los t´rminos tratamiento o procesamiento de se˜ales e ncomo sin´nimos. La preferencia de autores y traductores espa˜oles por el primero radica en la acepci´n o n oprincipal de proceso en la variante dialectal ib´rica como “causa civil o criminal”, que no se aplica tanto een Latino Am´rica. e c 2005-2011 — P. Alvarado
  17. 17. 1 Introducci´n o 5 Se˜al de n Procesador Se˜al de n Convertidor Convertidor Entrada Digital de Salida A/D D/A Anal´gica o Se˜al n Anal´gica o Figura 1.2: Procesamiento digital de una se˜al anal´gica [15]. n odigital una flexibilidad inalcanzable con sistemas anal´gicos equivalentes. El vertiginoso oavance en la electr´nica digital ha permitido el uso cada vez m´s generalizado de las o at´cnicas digitales de procesamiento. En la actualidad hasta los m´s peque˜os tel´fonos e a n ecelulares utilizan algoritmos de alta complejidad que hace tan solo 15 a˜os hubieran nrequerido computadores de gran tama˜o y costo. nEl ultimo paso del procesamiento digital consiste en convertir la salida del bloque procesa- ´dor a una se˜al anal´gica, lo que ocurre en el llamado convertidor digital-anal´gico (D/A). n o oEn aplicaciones de an´lisis de se˜al, la ultima etapa puede no ser necesaria, cuando la a n ´informaci´n a extraer se obtiene directamente de las representaciones digitales. o1.4 Ventajas del procesamiento digitalPara poder representar una se˜al anal´gica por medio de una se˜al digital sin que sufra n o np´rdidas de informaci´n considerables, la se˜al anal´gica debe ser digitalizada con una e o n otasa de muestreo suficientemente alta (esto se analizar´ con suficiente detalle en cap´ a ıtulosposteriores). La tecnolog´ digital impone l´ ıa ımites de velocidad de procesamiento, que,aunque cada vez menos restrictivos, determinan los anchos de banda de se˜ales que pue- nden ser tratadas digitalmente. Es por esto que los sistemas anal´gicos siguen siendo oirreemplazables en aplicaciones con se˜ales de anchos de banda en el orden de los gi- ngaherz. Otro ambito de dominio anal´gico son sistemas de bajo consumo de potencia (en ´ oel orden de los microwatts). Tanto los m´dulos de conversi´n ADC como DAC, as´ como o o ılos microcontroladores o microprocesadores digitales tendr´n siempre un mayor consumo ade potencia en la implementaci´n de filtros digitales que filtros hom´logos anal´gicos, o o o ode capacitores conmutados, implementados en tecnolog´ integradas. ıasEn casos donde las se˜ales pueden ser digitalizadas sin perder informaci´n de forma n oconsiderable y se cuenta con suficiente tiempo y potencia para realizar las conversionesy los c´lculos necesarios, es preferible utilizar un sistema digital sobre su equivalente aanal´gico. Esto por varias razones: oLos sistemas digitales son usualmente m´s baratos y confiables para el procesamiento de ase˜ales. Como ya se mencion´, pueden utilizarse sistemas programables, por lo que a n otrav´s de cambios en el software pueden modificarse o adaptarse sus caracter´ e ısticas, pro-veyendo as´ un alto grado de flexibilidad en el dise˜o. Adem´s, las precisiones alcanzables ı n acon sistemas digitales son usualmente mucho mayores que los circuitos anal´gicos, en los oque el error acumulado en forma de ruido aumenta con cada etapa de procesamiento. c 2005-2011 — P. Alvarado
  18. 18. 6 1.4 Ventajas del procesamiento digitalUn sistema digital funciona en toda su vida util exactamente de la misma manera, y ´la fabricaci´n de dispositivos asegurar´ en todos ellos un comportamiento id´ntico. Esto o a econtrasta con los dise˜os anal´gicos, donde las caracter´ n o ısticas de los componentes, pasivosy activos, var´ con el tiempo y donde la tolerancia de cada componente alterar´ en ıan aalguna medida el funcionamiento del sistema total. Adem´s del envejecimiento de los acircuitos, el funcionamiento de los sistemas anal´gicos tiende a ser m´s sensible a cambios o aen la temperatura y a fuentes externas de interferencia que los sistemas digitales. En estesentido se dice que los sistemas digitales son m´s robustos que los sistemas anal´gicos. a oOtra ventaja de los sistemas de procesamiento digital tiene que ver con las posibilidadesde almacenamiento. Los niveles de ruido introducidos en sistemas de almacenamientoanal´gicos (como cintas magn´ticas) son extremadamente altos comparados con el alma- o ecenamiento pr´cticamente sin p´rdidas (excepto las introducidas por la propia digitaliza- a eci´n) de se˜ales digitales. Por este motivo, con se˜ales digitales es m´s factible realizar o n n alos llamados procesamientos “fuera de l´ ınea” (off-line), donde el tratamiento de la se˜al nse realiza en otro tiempo al de la captura de la se˜al. Esto es muy util por ejemplo en as- n ´tronom´ donde las altas cantidades de informaci´n capturadas por los radio-telescopios ıa, opueden ser entonces analizadas mucho despu´s de la adquisici´n de datos, sin riesgos de e oproducir conclusiones incorrectas producto de imprecisiones del almacenaje. Otro ejemploes el an´lisis de im´genes m´dicas, donde altos vol´menes de informaci´n son analizados a a e u oen procesos autom´ticos o semi-autom´ticos a posteriori en la detecci´n de enfermedades a a oy el planeamiento de operaciones quir´rgicas. uPero quiz´ una de las ventajas fundamentales del procesamiento digital es la complejidad aalcanzable por medio de algoritmos de software, para los cuales pueden incluso no existirequivalentes anal´gicos. Debido a las consiguientes simplificaciones en los procesos de odise˜o de sistemas digitales y considerando la predictibilidad en el incremento de las ncapacidades de procesamiento y memoria (por ejemplo, por medio de la Ley de Moore), seacostumbra desarrollar los modernos y complejos algoritmos para el tratamiento digitalde se˜ales utilizando equipos de alto costo y tal vez de dimensiones volum´tricas que n eexceden las limitaciones espaciales, puesto que se asume que en los pr´ximos a˜os se podr´ o n aintegrar y mejorar el hardware utilizado hasta satisfacer las expectativas de aparatosdom´sticos. Como ejemplo, los nuevos est´ndares de codificaci´n de video del grupo e a oMPEG necesitan varios microprocesadores de ultima generaci´n para funcionar, y a´n ´ o uas´ no alcanzan las velocidades necesarias para desplegar los videos con la naturalidad ıdeseada. Se parte del hecho que en un corto plazo los prototipos actuales podr´n seraintegrados y comercializados hasta en sistemas port´tiles. a c 2005-2011 — P. Alvarado
  19. 19. 1 Introducci´n o 71.5 Aplicaciones1.5.1 ´ Areas de aplicaci´n oLas aplicaciones del procesamiento digital de se˜al son hoy en d´ incontables. Las m´s n ıa aconocidas, pero no las unicas, se resumen a continuaci´n: ´ o • Aplicaciones automotrices Control del motor, sistemas antibloqueo (ABS), sistemas de navegaci´n, analisis de o vibraci´n, etc. o • Electr´nica de consumo o Radio y televisi´n digital, sistemas de video (DVD, Blue-Ray, etc.), juguetes educa- o tivos, instrumentos musicales, sistemas de impresi´n y despliegue, como monitores o de plasma, LED, LCD, etc. • Industria Control num´rico, monitorizaci´n de l´ e o ıneas de potencia, rob´tica, sistemas de segu- o ridad. • Instrumentaci´no Generaci´n de funciones, emparejamiento de patrones, procesamiento s´ o ısmico, an´lisis a espectral, an´lisis de transcientes. a • Medicina Equipo de diagn´stico, monitorizaci´n de pacientes, pr´tesis auditivas, visuales y o o o mec´nicas, equipos de ultrasonido, tomograf´ MRI, etc. a ıa, • Telecomunicaciones Modems, ecualizadores de se˜al, codificadores y decodificadores, telefon´ celular, n ıa multiplexaci´n, cancelaci´n de eco, repetidores de se˜al, compensaci´n de canal, o o n o modulaciones de espectro ensanchado, video-conferencia, cifrado de datos • Voz/Habla Verificaci´n de locutor, mejoramiento de se˜al, reconocimiento de habla, s´ o n ıntesis de hablaEl tratamiento de se˜ales ac´sticas es utilizado entre otros en el almacenamiento y trans- n umisi´n eficientes de sonido digital (MP3, OggVorbis, etc.), el procesamiento profesional ode sonido en industria musical y cinematogr´fica, el manejo de se˜ales de ultrasonido a npara elaboraci´n de im´genes m´dicas, o el procesamiento de voz humana, necesario para o a ecodificar, encriptar, reconocer o sintetizar el habla.El procesamiento de im´genes bidimensionales permite analizar las se˜ales obtenidas por a nmedio de c´maras industriales, hoy en d´ frecuentemente encontradas en las l´ a ıa ıneas de pro-ducci´n; adem´s, el procesamiento de im´genes tomadas por sat´lite permiten identificar o a a eentre otras cosas el tipo de uso del suelo, facilitan la construcci´n de mapas actualizados, oetc. Esta area es central en la codificaci´n y compresi´n de se˜ales de video, tal y como ´ o o nlos establecen los est´ndares MPEG (Motion Picture Expert Group). a c 2005-2011 — P. Alvarado
  20. 20. 8 1.5 AplicacionesEl procesamiento de im´genes tridimensionales se utiliza por ejemplo en el an´lisis y a ageneraci´n de im´genes de resonancia magn´tica (MRI), utilizadas en medicina como o a einstrumento de observaci´n de tejidos internos de un paciente, sin tener la necesidad de outilizar procedimientos quir´rgicos. uLas t´cnicas modernas de an´lisis permiten obtener mejores resoluciones y aumentar la e aconfiabilidad de la informaci´n producida por sonares y radares. Por otro lado, el estu- odio digital de se˜ales s´ n ısmicas y volc´nicas permite incorporar t´cnicas de simulaci´n y a e oreconocimiento de patrones que mejoran la predicci´n de zonas y periodos de riesgo. oEn los procesos de automatizaci´n industrial el procesamiento digital es en la actualidad oomnipresente, pues a pesar de que la mayor´ de los sensores producen salidas anal´gicas, ıa oestas son transformadas casi inmediatamente a se˜ales digitales para permitir una trans- nmisi´n m´s confiable y sin mayores p´rdidas a las unidades de procesamiento, para facilitar o a ela aplicaci´n de algoritmos de extracci´n de la informaci´n de inter´s, y para hacer posible o o o ela utilizaci´n de t´cnicas confiables de almacenamiento de la informaci´n, que puede ser o e ola base luego para el mejoramiento de los procesos productivos, en el c´lculo de costos, aetc.En la preparaci´n de se˜ales para su transmisi´n y en su decodificaci´n y mejoramiento del o n o olado de los receptores, el procesamiento digital juega un papel cada vez m´s importante. aUn ejemplo lo representan los m´dems utilizados actualmente para permitir enlaces de oalta velocidad a trav´s de las l´ e ıneas telef´nicas de cobre, denominado ADSL (Asymmetric oDigital Subscriber Line), donde el procesamiento digital es utilizado para codificar ydecodificar las tramas y las se˜ales de acuerdo a los est´ndares de modulaci´n digitales. n a o1.5.2 AlgoritmosConceptos algor´ıtmicos cl´sicos del procesamiento digital, encontrados en las areas de apli- a ´caci´n anteriores son: compresi´n, cifrado, reconocimiento, identificaci´n, sintetizaci´n, o o o oeliminaci´n de ruido, estimaci´n espectral y filtrado, solo por mencionar algunos. o oLa compresi´n consiste en la reducci´n de capacidad necesaria para almacenar o transmitir o ouna se˜al. En telefon´ celular se˜al de la voz es comprimida para poder transmitirla en n ıa nanchos de banda relativamente peque˜os, comparados con los utilizados en telefon´ fija. n ıaLos est´ndares MPEG contienen sofisticados algoritmos de compresi´n de im´genes que a o apermiten reducir en factores de 8 a 12 veces las se˜ales de video. nEl cifrado es necesario cuando la confidencialidad de la informaci´n en las se˜ales debe o nser asegurada. Algoritmos complejos codifican la informaci´n de forma tal que solo el odestinatario pueda decodificarla.Tareas de reconocimiento intentan inferir de patrones en la se˜al, informaci´n contenida n ode forma impl´ıcita. Por ejemplo, de una se˜al de voz puede reconocerse tanto el mensaje nhablado, como el hablante (reconocimiento de habla y de voz, respectivamente). Enim´genes m´dicas pueden utilizarse algoritmos para reconocer tejidos malignos y benignos, a e c 2005-2011 — P. Alvarado
  21. 21. 1 Introducci´n o 9o en im´genes industriales pueden ser reconocidos caracteres, formas de productos, el aensamblaje correcto de partes, etc.La identificaci´n est´ relacionada con el reconocimiento. Aqu´ no se intenta descubrir una o a ıidentificaci´n para el contenido de una se˜al, sino verificar que una identidad previamente o ndada es compatible con la se˜al. M´todos de identificaci´n se utilizan, junto con la n e oencriptaci´n, en aplicaciones de alta seguridad. oLa sintetizaci´n permite producir se˜ales artificiales similares a aquellas generadas a o ntrav´s de fen´menos f´ e o ısicos. Es utilizada por ejemplo en la elaboraci´n de efectos ac´sticos o ue imitaci´n de instrumentos musicales en sintetizadores de sonido. Otro ejemplo es la osintetizaci´n de voz humana, utilizada en interfaces avanzadas hombre-m´quina. o aLas se˜ales transmitidas por canales anal´gicos usualmente son perturbadas con ruido, es n odecir, con alteraciones indeseables que no contienen ninguna informaci´n relevante para ola aplicaci´n. Por medio del procesamiento digital es posible aplicar diversos algoritmos oque permiten reducir el efecto de dichas distorsiones.El filtrado es un concepto b´sico del procesamiento digital que forma parte de pr´cticamente a acualquier otro algoritmo. El sistema que realiza esta tarea se denomina filtro, y permiteel paso de solo ciertas “componentes” de su se˜al de entrada, y bloqueando el paso de notras. Algunos detalles ser´n presentados en los cap´ a ıtulos 4.5 y 7.La estimaci´n espectral es utilizada en varias areas de las comunicaciones para encontrar o ´los rangos de frecuencias en que se concentra la energ´ de una se˜al (como en el caso del ıa narriba mencionado ADSL).1.5.3 Implementaci´n oEl dise˜o de algoritmos para resolver las tareas mencionadas anteriormente se fundamenta nen teor´ matem´ticas que aseguran su funcionamiento bajo limitaciones pre-establecidas. ıas aPara cada algoritmo se puede elegir aquella estrategia de implementaci´n que mejor sa- otisfaga los requisitos de una aplicaci´n particular. Esto puede involucrar o • plataformas de prop´sito general, como un computador personal; o • plataformas empotradas, incluyendo tel´fonos celulares, PDA, controles en m´quinas, e a etc. Seg´n sea la demanda computacional requerida, ´stas plataformas se pueden u e basar en – microprocesadores de prop´sito general, o o – microcontroladores especializados en el tratamiento de se˜ales digitales (PDS, n Procesadores Digitales de Se˜ales) n • hardware reconfigurable, que se emplea en aplicaciones de alto desempe˜o, para el n cual los PDS no tienen suficientes prestaciones, • circuitos integrados de aplicaci´n espec´ o ıfica (ASIC), utilizados si se espera una pro- ducci´n en masa (como decodificadores del formato de audio Mp3) o • implementaci´n de circuitos de procesamiento en tiempo discreto. o c 2005-2011 — P. Alvarado
  22. 22. 10 1.5 AplicacionesEn la ultima estrategia la se˜al nunca es convertida a un formato digital, pero se incluye ´ naqu´ por basarse su dise˜o en las teor´ de an´lisis de se˜ales en tiempo discreto, a tratar ı n ıas a nen este documento.El desarrollo de tecnolog´ de implementaci´n de algoritmos ha tendido en los ultimos ıas o ´a˜os a simplificar los procesos, de modo que utilizando lenguajes de alto nivel (como npor ejemplo el lenguaje C, o MatLab) sea posible obtener con los compiladores adecua-dos el c´digo optimizado para el procesador particular utilizado o incluso la descripci´n o oen VHDL o Verilog del circuito que realiza la tarea descrita en C. Esto reduce costosal acelerar los procesos de implementaci´n y evita el entrenamiento de los ingenieros en otecnolog´ cuya vigencia se restringe a unos pocos a˜os. Sin embargo, en casos con restric- ıas nciones cr´ ıticas es inevitable recurrir ya sea a la optimizaci´n de algoritmos en ensamblador odel PDS empleado o la optimizaci´n manual de los circuitos. o1.5.4 CasosLos codificadores de voz (o codecs) utilizados en telefon´ celular son un ejemplo de ıaalgoritmos complejos imposibles de realizar con circuitos anal´gicos, al menos en el tama˜o o nde un tel´fono celular actual. En GSM, por ejemplo, la se˜al anal´gica adquirida por el e n omicr´fono es muestreada a 8 kHz, con 13 bits por muestra, lo que equivale a 104 000 bit/s. oSeg´n la calidad deseada o disponible, la salida de los codecs reducen el ancho de banda ua un rango entre 4,75 kbit/s y 13 kbit/s, es decir, permiten factores de compresi´n de 21 oa 8 veces.Otro caso impresionante es el de los diversos algoritmos para compresi´n de video. Consi- oderando que una imagen de televisi´n tiene 320×200 pixels aproximadamente y cada pixel onecesita 24 bits para ser representado digitalmente con suficiente precisi´n, entonces una osola imagen necesita, sin compresi´n alguna, 187,5 kB para ser almacenada. Un segundo ode video, asumiendo una frecuencia de 30 im´genes por segundo, necesitar´ 5,6 MB. Una a ıapel´ ıcula que tarde 90 minutos requerir´ entonces m´s de 30 GB, lo que ser´ imposible ıa a ıade almacenar en las tecnolog´ actuales de DVD. Solo con los sofisticados algoritmos de ıascodificaci´n de video y sonido pueden almacenarse no solo la se˜al de video, sino varias o nversiones ac´sticas en diferentes idiomas, y materiales adicionales con video y audio, en upoco m´s de 4 GB de espacio, con factores de compresi´n m´s de 10 veces. La implemen- a o ataci´n de los codificadores y decodificadores se realiza en circuitos integrados de aplicaci´n o oespec´ıfica tanto en las c´maras comerciales, como en las unidades de DVD y Blue-ray. aIncluso los sistemas de transmisi´n de radio y televisi´n modernos est´n cambiando de o o aser completamente anal´gicos a conceptos digitales. Los nuevos formatos de televisi´n o ode alta definici´n (HDTV) son completamente digitales, que no ser´ pr´cticos sin la o ıan apresencia de los algoritmos para el procesamiento y compresi´n adecuadas de las se˜ales o nen cuesti´n. oLos discos Blue-Ray se utilizan para almacenar v´ıdeo apto para HDTV. Soportan elformato 1080p24, lo que implica una resoluci´n de 1920×1080 p´ o ıxeles con exploraci´n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  23. 23. 1 Introducci´n o 11progresiva2 , as´ como una tasa de 24 cuadros por segundo. Una imagen tiene as´ casi 2,1 ı ımillones de p´ ıxeles que requieren un espacio de 5,93 MB de almacenamiento sin compre-si´n. Esto implica que para la tasa de 24 im´genes por segundo se requiere almacenar o a142,4 MB por cada segundo de v´ ıdeo sin comprimir. La tasa de transmisi´n de datos oestandarizada para este formato de HDTV es de 4,5MB/s, que es un factor aproximada-mente 32 veces menor al de la se˜al cruda (sin compresi´n). Las t´cnicas de compresi´n n o e odel v´ ıdeo utilizan algoritmos de PDS m´s avanzados que sus equivalentes en un DVD, apara lograr alcanzar dicha tasa y as´ poder almacenar todos los datos (v´ ı ıdeo, texto, audio)en un disco con 25 GB de capacidad.Medicina es quiz´ una de las ´reas que m´s ventajas ha tomado del procesamiento digital a a ade se˜ales. Las nuevas tecnolog´ de visualizaci´n de ultrasonido permiten por ejemplo la n ıas oreconstrucci´n de una imagen tridimensional del feto en el vientre de la madre, ayudando oas´ al ginec´logo a tomar las precauciones del caso cuando algo no est´ en orden. El ı o emanejo digital de tomograf´ computarizadas y de im´genes de resonancia magn´tica ıas a epermite la visualizaci´n de tejidos internos en formatos legibles para los m´dicos. Los o eequipos m´s modernos permiten incluso hacer uso de la llamada realidad aumentada, adonde im´genes reconstruidas a partir de las mediciones se superponen a las reales para aguiar a los cirujanos en operaciones delicadas.La creaci´n de pr´tesis cada vez m´s complejas es tambi´n posible gracias a las t´cnicas o o a e ede procesamiento digital. El implante de c´clea, por ejemplo, permite a personas sordas ovolver a escuchar utilizando el an´lisis digital de las se˜ales ac´sticas obtenidas con un a n umicr´fono. Similar a este ultimo se trabaja en la actualidad en los implantes de retina, o ´donde complejos algoritmos de PDS intentan transformar la se˜al capturada por una nc´mara en impulsos el´ctricos que pueden ser acoplados al nervio optico en el ojo de a e ´personas ciegas. 2 la exploraci´n progresiva implica que la imagen se genera progresivamente l´ o ınea por l´ ınea en un solocuadro, y es lo opuesto a la exploraci´n entrelazada, donde la imagen se genera a trav´s de dos cuadros, o euno que contiene las l´ ıneas pares y otro con las impares. c 2005-2011 — P. Alvarado
  24. 24. 12 1.6 Problemas1.6 ProblemasProblema 1.1. Busque un ejemplo de se˜al para cada una de las 32 posibles ncombinaciones de las caracter´ ısticas de las se˜ales indicadas en la Tabla 1.1. nProblema 1.2. Una se˜al puede clasificarse seg´n cinco criterios: n u N´mero de variables u (Una variable o Multiples variables) Dimensi´n del valor o (Escalar o Vectorial ) Variables independientes (Discretas o Continuas ) Valores de la se˜al n (Discretas o Continuas ) Naturaleza estad´ ıstica (Determinista o Aleatoria )Utilice las letras may´sculas indicadas en negrita para identificar las caracter´ u ısticas delas se˜ales a continuaci´n. Si alguna caracter´ n o ıstica no se aplica o puede interpretarse con ıquelo con ∗.cualquier valor de la propiedad, ind´ Se˜al n Caracter´ ıstica N´m. Variables (U/M/∗) ıstica (D/A/∗) Dimensi´n (E/V/∗) Variables (D/C/∗) Valores (D/C/∗) o Estad´ u Imagen tomada por una c´mara digital a color a Registro mensual de la posici´n de o una bandada de aves migratorias Se˜ales de salida de un micr´fono est´reo n o e Se˜al digital n Se˜al anal´gica n o c 2005-2011 — P. Alvarado
  25. 25. Cap´ ıtulo 2Se˜ ales y Sistemas de nVariable Discreta2.1 Se˜ ales de variable discreta nSea x(n) una se˜al de variable discreta, es decir, una funci´n definida para n entero. La n ofigura 2.1 muestra una t´ıpica representaci´n gr´fica de una se˜al de este tipo. A n se le o a ndenomina n´mero de muestra y a x(n) la n-´sima muestra de la se˜al. u e n x(n) n −1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 2.1: Representaci´n gr´fica de una funci´n real de variable discreta x(n). o a oN´tese que x(n) no est´ definida para n no entero. Un error com´n es considerar que la o a use˜al es cero “entre” las muestras, cuando en realidad all´ simplemente la funci´n no est´ n ı o adefinida. La suposici´n de que la se˜al es cero entre muestras es v´lido solo para una o n ase˜al de variable real x(t), que es otro concepto diferente. nAdem´s de la representaci´n gr´fica se utilizan aqu´ otras tres notaciones: a o a ı 1. Funcional:  1  para n = 1  x(n) = 5−n para 2 ≤ n ≤ 4   0 el resto Esta representaci´n es la forma m´s compacta de representar se˜ales cuyo compor- o a n tamiento puede ser expresado directamente por expresiones algebraicas cerradas. 13
  26. 26. 14 2.1 Se˜ales de variable discreta n 2. Tabular n . . . -1 0 1 2 3 4 5 . . . x(n) . . . 0 0 1 3 2 1 0 . . . En programas computacionales como MatLab[12] u Octave[5] las se˜ales se repre- n sentan con esta notaci´n, donde las dos filas de la tabla se interpretan como dos o arreglos de datos independientes. 3. Como secuencia. Una secuencia de duraci´n infinita con el origen en n = 0 (indicado con “↑”) se o representa como x(n) = {. . . , 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .} ↑ Si la secuencia es 0 para n < 0 se suele representar como x(n) = {0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .} ↑ y si es finita x(n) = {0, 1, 3, 2, 1} ↑ Si la secuencia inicia en cero, entonces usualmente se omite la flecha: x(n) = {0, 1, 3, 2, 1} Por su brevedad y simpleza notacional, ´sta ser´ la representaci´n de se˜ales de e a o n preferencia en el presente texto.2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ ales de variable discreta nSe describen a continuaci´n algunas transformaciones elementales para se˜ales de variable o nindependiente discreta (o tiempo discreto). Estas transformaciones son la base de opera-ciones m´s complejas en el procesamiento digital de se˜ales y se utilizar´n a menudo en a n a´ste y los siguientes cap´e ıtulos.DesplazamientoLa se˜al x(n) se desplaza k muestras sustituyendo la variable n por n − k. Si k > 0 la nse˜al se retarda k muestras y si k < 0 la se˜al se adelanta k muestras. n nEn la manipulaci´n fuera de l´ o ınea (off-line) ambos tipos de desplazamiento son posibles;sin embargo, en sistemas de tiempo real o en l´ ınea (on-line), solo el retraso de la funci´n oes realizable.Ejemplo 2.1 Utilizando desplazamientos exprese el escal´n unitario u(n) en t´rminos o ede una suma de impulsos δ(n) desplazados.Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado

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