20140416 伊藤
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2015年3月卒業論文スライド
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20140416 伊藤
- 1. 市場価格変動のハイブリッド 力学系モデルの挙動解析 （卒論紹介） 工学系研究科 システム創成学専攻 和泉研究室 37-156306 伊藤友貴 2015年4月16日 1
- 3. 研究の背景 3 市場価格変動のモデルを考案 • マルチエージェント • 単純で決定論的 • 離散時間 H. Takayasu, H. Miura , 1992 A. Sato, H. Takayasu , 1998 A. Sato, H. Takayasu, 2002 石井 , 2010 連続時間モデルを提案 より基本的な，複雑性を生む 仕組みについては未解析 本研究の目的 市場価格変動のミクロな視点からの解析 現実に 近似 • パワースペクトル𝑓−2 に比例 • ARCH(1) 過程に近似 される確率的な価格変動 ダイナミクス モデルの性質を分析
- 4. (H. Takayasu, H. Miura, 1992) • 株や為替などの取引をする 𝑛 人の ディーラーの動きを単純なルールで決 定 • 各ディーラーの買い注文の価格： 𝐵𝑖 各ディーラーの売り注文の価格： 𝑆𝑖 (𝐵𝑖 − 𝑆𝑖 = 𝐿 （一定） ) あるペア 𝑖, 𝑗 について 𝐵𝑖 − 𝑆𝑗 ≥ 0 つまり， max{𝐵𝑖} − min 𝐵𝑗 ≥ 𝐿 (1) のとき，取引成立． 4 𝐵𝑖 𝑆𝑗 買い手 売り手 𝑆𝑖 𝐵𝑗 市場価格変動の決定論的モデル
- 5. Ai > 0 ： ディーラー 𝑖 の価格変化の速度 （石井， 2010） 𝑑𝐵 𝑖 𝑑𝑡 = +𝐴𝑖 （買い手） −𝐴𝑖 （売り手） 5 ディーラーモデル (連続時間モデル) 5 𝑆𝑖 売り手 買い手 𝐵𝑖 = 𝑆𝑗 𝐵𝑗 𝐵𝑖 𝐵𝑗 𝑆𝑖 𝑆𝑗 買い手 売り手 あるディーラーの提示する買値とあるディーラーの提示す る売値が一致した瞬間に取引 (𝑝 = max{𝐵𝑖}) ．
- 6. 数値実験 (𝑛 = 100) 連続時間モデルのシミュレーション 取り引き時刻の状態から次の取り引き時刻の状態への写像 のヤコビ行列をもとにリアプノフ指数を計算． 6 𝑡 × 107 𝑝(𝑡) • 複雑な変動，リアプノフ指数は 正でカオス的な挙動 • カオス的ダイナミクスの解析 が𝒏 = 𝟏𝟎𝟎では困難 𝒏 = 𝟑 で解析最大リアプノフ指数 0.01
- 7. ディーラー数 𝑛 = 3 ，B1(0) = 0, 𝐴1 = 1, 𝐿 = 1 でシミュレー ション． 7 数値実験 (𝑛 = 3) 取り引きの回数 取り引きの回数 𝑝 𝑝 𝐴2 = 2.8, 𝐴3 = 3.0 𝐴2 = 2.3, 𝐴3 = 3.5 発散 有界 (リアプノフ指数正)
- 8. 8 発散する振る舞いを起こす (𝐴3, 𝐴2）の抽出 (数値実験) ではカオス的でない発散する振る舞いをすることが予想される 発散（赤） 最大リアプノフ指数0 （緑） 考察 : 𝐴1 = 1 として正規化し，𝐴3 > 𝐴2 と仮定
- 9. 理論解析 : (𝐶1, 𝐶2) の推移 9 価格 𝐵1 𝐵2 𝐵3 𝐵1 𝐵2 − 𝐵1 𝐵3 − 𝐵1 𝐶1 𝐶2 = 𝐵2 − 𝐵1 𝐵3 − 𝐵1 で考える 𝐶1 𝐶2 推移の様子 • 赤い枠の中を直線的に 移動 • 枠にぶつかると方向を変 える (取引) 3次元 2次元 相対価格
- 10. 理論解析 :ヤコビ行列 10 (𝑚は取り引きの回数，𝑡 𝑚 は 𝑚回目の取り引き時の時刻, 𝑑𝐵 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑎𝑖) の写像のヤコビ行列 𝐽 を9種に分類，(𝐶1, 𝐶2)を12種類に分類． 価格を上げるディーラーが一人 価格を上げるディーラーが二人 𝐽2, 𝐽4, 𝐽6 (𝐴3 − 𝐴2 < 2 )
- 11. 11 数値実験の結果との対応：(𝐶1, 𝐶2) の推移 発散する場合 𝐽2 , 𝐽4, 𝐽6 をとらない(価格を上げるディーラーの数は変わらない) と予想される A2 = 2.3, A3 = 3.5A2 = 2.8, A3 = 3.0 A2 = 2.1, A3 = 7.6 リアプノフ指数0 周期的、発散 リアプノフ指数正 直線的に発散 リアプノフ指数正
- 12. 周期的挙動の特徴付け に入る場合，最終的に買い手・売り手の数が不変な， 周期的な推移になることを予想される. 複雑な挙動の特徴付け 「買い手・売り手の数が変化」 ⇒「最大リアプノフ指数正の複 雑な挙動」となることが予想される. 12 理論解析の結果 : (𝐶1, 𝐶2) の推移 における発散時の推移は2パターン(数値実験). 周期的で あり，リアプノフ指数は０（理論解析）. 2𝑙 < 𝐴2 < 𝐴3 < 2𝑙 + 2 (𝑙 は正の整数) のとき， 「挙動が周期的」 ⇒ 「 𝑨 𝟑 , 𝑨 𝟐 ∈ 」を証明 「買い手・売り手の数が不変」 ⇒「最大リアプノフ指数0」 を証明
- 13. 成果 • 𝑛 = 3 の場合における連続時間モデルのダイナミクスを2変 数の区分線形写像として記述した． • に入る場合においてはカオス的でない価格変動 をするという仮説に関して数値シミュレーションと理 論解析により部分的な説明を与えた. 今後の課題 • に入る場合には必ずカオス的ではない変動をするのか に対する更なる解析，及び 𝐴3 − 𝐴2 > 2 の場合での解析. • ディーラー数4以上の場合，各ディーラーの提示価格の漸化 式を複雑にした場合における解析. 13 まとめ
- 14. 理論解析: 周期的挙動の特徴付け 14 状態5, または12 ループ1またはループ2を2回繰り 返すことによる周期的な推移（※） • （※）の周期的な推移 • 売り手・買い手の数が変 化する推移 価格を上げるディーラーの数 の変化を繰り返した後（※）， の周期的な挙動になることが 予想される 理論解析 ループ1 ループ2 の推移による （※）以外の周期 的な挙動の可能性 （※）の推移をしない場合，何回かの取り引き 後価格を上げるディーラーの数が変化する推移 範囲の幅を 拡げる推移 推移後 予 想 ループ1 ループ2 を含む を含む または または
- 15. 写像 ，初期値 方向 に対するリアプノ フ指数はヤコビ行列を用いて以下のように定義 15 リアプノフ指数 の固有値を とするとき， はリアプノフ指数． 最大リアプノフ指数が正のとき，カオス的であるとする．
Editor's Notes
- まずは研究の背景はこのようになります．市場価格変動のミクロな視点からの解析のために、高安らによって市場価格モデルの決定論的モデルが考案されました．また，この決定論的モデルの価格変動についても調査され，モデルによって作られる価格変動は現実と同様に、パワースペクトルf＾｛ー２｝に比例し、またそのボラロティーはあーき過程に近似できるという特徴を持つことがわかりました．このような現実の変動に近似できるかという視点での研究が行われている一方で、モデルによって作られる変動の性質そのものについての研究は少ないのが現状です。それに近い研究が石井によって連続時間モデルを用いたダイナミクスの調査です。ただ、より基本的な複雑性を生む仕組みについては未調査であるのが現状です。そこで、本研究においては決定論的モデルにおいてどのような動き、条件が複雑な動きを生むのかについて調査することが大きな目的となっております。
- 次に、市場価格変動の決定論的モデルについて軽く説明します。ディーラーモデルとは、市場価格が取引をするディーラーの動きによって決まるという仮定の下に考えられたモデルです。ディーラーにはそれぞれ、売り注文価格と書い注文価格が設定され、あるディーラーの売り注文価格よりもあるディーラーの書い注文価格の方が高いときに取引がおこなわれることがこのモデルの基本となります。
- 次に連続時間モデルについて説明します。本モデルでは、このような漸化式のもと各ディーラーは価格を推移させていき、買い手の売値と売り手の売値が一致した瞬間に取引をさせています。売り手であったディーラーは価格を上げ，買い手であったディーラーは価格を下げるように動きます。
- 次に連続時間モデルのシミュレーションの結果について紹介致します．このように複雑な動きをし，また、リアプノフ指数を求めると正になり、カオス的な振る舞いであることがわかりました。ただ、n=100ではサイズが大きすぎて複雑な動きを生む仕組みについて調べることが難しいのでn=3で調査しました。
- N=3についてこのような条件のもと数値実験を行ったところ、次のように発散する振る舞いの場合と有界で、リアプノフ指数正の振る舞いの場合の二つにに大きく分けられることがわかりました。
- また、このような条件のもとで(a_3,a_2) のうち、発散するようなものの組、及び最大リアプノフ指数が0以下のものの組をプロットしたところ、このような結果になりました。この結果より、三角の中においてはカオス的でない振る舞い、発散する振る舞いをするのではないかという仮説がたてられました。
- 先ほどの予想が正しいかについて調べるにあたり、この式のように定義される相対価格（C_1,C_2）の推移について考えてみました。 （C_1、C＿２）の推移の様子はこの赤い枠の中を直線的に動きまわり、枠にぶつかるとその進む方向を変えるというものになっています。
- さらに、（C_1,C_2）が多角形の辺にぶつかったあとどのように移動するのかについて場合分けして考え、そのときの写像のヤコビ行列を求めました。このヤコビ行列の分布を買い手一人の場合と買い手が二人の場合の２つの場合に分けて図示するとこのようになります。J_2,J_4,J_6の青い部分にぶつかると価格を上げるディーラーの数が変わり、こっちからこっち、あるいはこっちからこっちへと移動するという特徴があります。
- また、（C_1,C_2）の推移にについて数値実験してみたところ次のような結果が得られました。大きくわけて周期的に動きながら発散するもの、周期的に近い動きをしながら発散するもの、よくわからない振る舞いをするものの3つの様子がみられました。この様子について観察した結果、価格を上げるディーラーの数が変わらない場合は発散するのではないかという仮説がたてられました。
- 以上のようなことを手がかりに（C_1,C_2）の推移についてさら場合分けをしながら解析をしたところ、このようなことがわかりました。周期的な挙動に関しては、まずは三角中に入る条件のもとでの発散時の推移は２パターンであることが数値実験からわかり、またこの推移は周期的であり、リアプノフ指数が0にることがわかりました。また、このような周期をする（C_1,C_2）の条件を求め、その条件がおきる条件を求めたところ。このような条件のもとでは三角の中に入ることがこの周期的な動きを生むために必要であることがわかりました。また、さらに（C_1,C_2）の条件について細かく場合分けしてその挙動について解析したところ、三角形に入る場合においては最初の何回かは価格を上げるディーラーの数が変化するかもしれないが、最終的には必ず買い手の数が変わらない、周期的な推移になりそうであることがわかりました。また、買い手売り手の数が変わらないような推移がどのようになるかを求めた結果、5つの推移のパターンの組み合わせであることがわかり、その組み合わせによってできる挙動のリアプノフ指数を理論的求めました。その結果、買い手売り手の数が不変ならば最大リアプノフ指数が0であることが示せ、また、この結果より、買い手・売り手の数が変化することがカオス的な挙動の原因となるのではないかという仮説が立てれました。
- 今回は、ディーラーモデルの中でも、比較的簡単なモデルである次のモデルを扱いました。このモデルおいては、漸化式に従って各ディーラーが価格を更新していき、先ほどの条件が成立し、取引が行われた後、取引時に買い手であったディーラーはその売値と買値を下げる動きをし、売り手であったディーラーはその買値と売値をあげる動きをするといったルールで各ディーラーが動くモデルになっています。