FUNDAMENTOS MATEMATICOS

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Conceptos básicos para el estudio de las matemáticas financieras

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  • necesito impartir la materia de mate financieras y estoy recopilando apuntes y nec. informacion....
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FUNDAMENTOS MATEMATICOS

  1. 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS TEMA: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 1. Porcentaje o Tanto por Ciento 2. Redondeo de Números 3. Orden de las Operaciones. Signos de Agrupación 4. Exponentes y Logaritmos. Propiedades 5. Uso de la Calculadora 6. Expresiones Algebraicas y Ecuaciones 7. Progresiones AUTOR: tulio a. Mateo Duval Santo Domingo, D. N. Rep. Dom.
  2. 2. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos MATEMÁTICAS FINANCIERAS ■ FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS En este tema se abordan y revisan algunos conceptos básicos tanto de la aritmética como del álgebraelemental que son esenciales para el estudio y el aprendizaje de las matemáticas financieras. 1. PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO El término porcentaje, representado por el símbolo %, expresa lo mismo que la palabra centésimo (0.01 ó1/100). El tanto por ciento no es más que una razón o proporcionalidad que se establece entre una parte (o cantidad)respecto a 100 unidades del total. Se emplea para indicar aumentos, disminuciones, utilidades, tasas de interés, tasas de descuentos, etc. El símbolo de porcentaje % se utiliza comúnmente en la escritura y al hablar, pero no en los cálculos. Alefectuar cualquier operación aritmética, la cantidad presentada como porcentaje se debe cambiar a su forma decimal oa la de un quebrado o fracción equivalente. Para escribir cualquier porcentaje en forma decimal basta con suprimir el símbolo % y desplazar el puntodecimal dos lugares a la izquierda. Asimismo para expresar un porcentaje como un quebrado o fracción equivalente sesuprime el símbolo %, tomándose esa cantidad como el numerador de una fracción cuyo denominador será igual a100. Luego se simplifica la fracción hasta donde sea posible. ▶ Ejemplos 1. Exprese 25% en: a) Decimal b) Fracción 25 b) 25 % = 25 1 a) 25 % = = 0 . 25 = 100 100 4 2. Exprese 40% en: a) Decimal b) Fracción 40 2 a) 40 % = 0.40 b) 40 % = = 100 5 3. Exprese 5/8 % en: a) Decimal b) Fracción 5 5 8 0.625 5 58 5 1 a) %= = = 0.00625 b) %= = = 8 100 100 8 100 800 160 4. Exprese 17½ % en: a) Decimal b) Fracción 17 .5 35 35 2 35 7 a) 17 ½ % = 17 .5 % = = 0.175 b) 17 ½ % = %= = = 100 2 100 200 40 Como al efectuar los cálculos se acostumbra trabajar los porcentajes en su forma decimal, entonces al resolverun problema en que se pida obtener un tanto por ciento, éste se obtendrá en su forma decimal. Luego para dar larespuesta en por ciento, se deberá pasar de decimal a porcentaje, colocando simplemente el punto decimal dos lugaresa la derecha y adicionando el símbolo %. De igual forma, si se debe cambiar una fracción a porcentaje, se expresaprimero la fracción en decimal y después se cambia a porcentaje. ▶ Ejemplos 1. Exprese 0.0874 en porcentaje: 0.0874 = 8.74 % 1
  3. 3. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos 3 2. Exprese 3/8 en porcentaje: = 0.375 = 37 .5 % 8 3. Exprese 2 ¾ en porcentaje: 2¾ = 2.75 = 275 % • Resuelva 1) Cambie los siguientes porcentajes a decimales: a) 23% b) 7% c) 13.5% d) 8¾% e) 5/8 % f) 0.0234% 2) Exprese las siguientes cantidades en porcentajes: a) 0.23 b) 3.85 c) 7¼ d) 0.00429 e) 5/16 f) 7/8 3) Obtenga el 17½% de 2,500 4) ¿Qué porcentaje de 136 es 17? 5) ¿De qué número es 56 el 80%? 2. REDONDEO DE NÚMEROS Cuando los problemas financieros arrojen resultados con números de varios decimales, se redondeará a dosdecimales en los casos que se deba dar una respuesta que se refiera a dinero (pesos y centavos), lo cual no es másque un caso particular de la modalidad general a emplear. El criterio a usar para aproximar o redondear un número es el siguiente: 1. Se establece el número deseado de decimales y se toma en cuenta sólo el valor del siguiente decimal. 2. Si el primer dígito que se desprecia es igual o mayor que 5, entonces el último dígito que se retiene seincrementa en 1. 3. Si el primer dígito que se desprecia es menor que 5, entonces el último dígito que se retiene permanece sincambio. Para ser más precisos al obtener la respuesta de un problema, se recomienda no efectuar redondeos en losresultados intermedios, sino dejar para hacerlo al final del proceso de cálculo. ▶ Ejemplo Redondear el número X = 83 .367459805 a ocho, seis, cuatro y dos cifras decimales. SOLUCIÓN: X = 83 .36745981 Con 8 decimales X = 83 .367460 Con 6 decimales X = 83 .3675 Con 4 decimales X = 83 .37 Con 2 decimales • Redondear hasta las centésimas a) 28.079 b) 127.1638 c) 482.7449 d) 62.995 e) 93.0063 2
  4. 4. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos 3. ORDEN DE LAS OPERACIONES. SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Al trabajar con las matemáticas financieras se manejan cantidades que se representan mediante números reales,así como operaciones que se deben realizar en un estricto orden, ya que, de no hacerlo así, probablemente seobtendrían resultados erróneos. Cuando se está frente a una serie mixta de operaciones, éstas se deben realizar de izquierda a derecha,respetando el orden siguiente: 1. Realizar todas las operaciones que están contenidas dentro de los signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves). 2. Resolver las potencias y raíces. 3. Resolver las multiplicaciones y divisiones. 4. Resolver las sumas y restas. Los signos de agrupación usualmente se emplean para encerrar una serie de operaciones, las cuales seefectúan siguiendo las pautas marcadas por dichos signos: Primero se realizan las operaciones que aparecenentre paréntesis, posteriormente las que se encuentran entre corchetes y, por último, las que se encuentran entre llaves,multiplicando el resultado obtenido en cada caso por el número que aparezca delante del signo de agrupacióncorrespondiente. ▶ Ejemplo 1. Resuelva: 30 + 11 − 5 * 8 ÷ 20 SOLUCIÓN: Primero se llevan a cabo la multiplicación y la división y luego se efectúan la suma y la resta. RESPUESTA: 39 2. Resuelva: 12 ,000 (1 + 0.24 * 120 / 360 ) SOLUCIÓN: Primero se efectúan las operaciones que están entre paréntesis y luego el valor obtenido se multiplicapor 12,000. RESPUESTA: 12,960 ⎡ (14 + 0 . 08 * 200 ) ⎤ 3. Resuelva: 73 ⎢ 9 − ⎥ ⎣ 5 ⎦ SOLUCIÓN: Primero se efectúan las operaciones que están entre paréntesis, dividiendo el resultado entre 5.Después se realiza la resta que aparece entre corchetes y luego el valor obtenido se multiplica por 73. RESPUESTA: 219 [(1.18 + 1.82 ) 5 − 3] 4. Resuelva: 0.03 SOLUCIÓN: Primero se efectúa la suma que aparece entre paréntesis y luego se eleva a la 5ta. potencia. Despuésse realiza la resta que aparece entre corchetes, dividiendo el resultado entre 0.03. RESPUESTA: 8,000 2⎧ ⎪ ⎡ ⎛ 1,567 .35 ⎞ ⎤⎫⎪ 5. Resuelva: ⎨101 + 200 ⎢ 6 ⎜ ⎟ − 0.88 ⎥ ⎬ 5⎪ ⎢ ⎝ ⎣ 2.15 ⎠ ⎥⎪ ⎦⎭ ⎩ SOLUCIÓN: Primero se lleva a cabo la división que aparece entre paréntesis. Después se resuelve la raíz sexta yluego la resta que está entre corchetes, multiplicando el valor obtenido por 200. Finalmente se realiza la suma queaparece entre llaves y luego el resultado se multiplica por 2/5. RESPUESTA: 210 3
  5. 5. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos 4. EXPONENTES Y LOGARITMOS. PROPIEDADES. El logaritmo de un número positivo “N” en base “a” es el exponente “x” al que se debe elevar la base “a” paraobtener dicho número, es decir: Log a N = x si y sólo si ax = N Donde: N 〉 0; a ≠ 1; a〉0 Por ejemplo: a) log 2 8 = 3 en forma ex ponencial 23 = 8 b) log 3 81 = 4 en forma ex ponencial 3 4 = 81 Todo número positivo diferente de la unidad puede ser la base de un sistema de logaritmos. Sin embargo sólohay dos sistemas de logaritmos que se usan con regularidad y que vienen integrados en las calculadoras científicas yfinancieras: Los primeros se conocen como logaritmos comunes o decimales, cuya base es 10, y los segundos, seconocen como logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número irracional e = 2.718 281 828 459… Cuando se trabaja con el sistema de logaritmos comunes o decimales, se utiliza el símbolo log y sesobreentiende la base 10. De igual forma en el sistema de logaritmos naturales o neperianos se usa el símbolo ln y sesobreentiende la base “e“. En cualquier otro caso, debe escribirse la base. LOGARITMOS DECIMALES (base 10) y NATURALES (base “e” = 2.718 281 828 459…) a) log 36 = 1.55630250 (logaritmo de 36 en base 10) ⇒ 101.55630250 = 36 b) ln 45 = 3.80666249 (logaritmo de 45 en base “e”) ⇒ e 3.80666249 = 45 4
  6. 6. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos ▶ Ejemplos 1. Usando calculadora, obtenga el logaritmo decimal de los números: 1230, 13.085 y 0.000796. a) log 1230 = 3.08990511 b) log 13.085 = 1.11677373 c) log 0.000796 = -3.09908693 2. Usando calculadora, obtenga el logaritmo natural de los números: 4.7, 132.08 y 0.00278. a) ln 4.7 = 1.54756251 b) ln 132.08 = 4.88340780 c) ln 0.00278 = -5.88530435 Antilogaritmo Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número. En este caso de lo que se trata es deobtener el número a que corresponde un logaritmo dado. Si x = Log a N luego N = Anti log a x Por ejemplo, si el log x = 2.301030, entonces el antilogaritmo de 2.301030 se obtiene: X = anti log 2 . 301030 = 10 2 .301030 Al resolver la potencia, se tiene: X = 200 Como vemos, el antilogaritmo de un logaritmo dado se obtiene mediante la definición de logaritmo, usando lastablas o por medio de calculadoras electrónicas. Para hallar los antilogaritmos decimal y natural de un número pormedio de calculadora, se usan las teclas 10x y ex, respectivamente. ▶ Ejemplos 1. Usando calculadora, obtenga el antilogaritmo decimal de los números: 1.94939 y -1.29073. a) antilog 1.94939 = 101.94939 = 89 b) antilog (-1.29073) = 10-1.29073= 0.0512 2. Usando calculadora, obtenga el antilogaritmo natural de los números: 6.308317 y -1.46101791. a) anti ln 6.308317 = e6.308317 = 549.12 b) anti ln (-1.46101791) = e-1.46101791 = 0.232 3. Resuelva por medio de logaritmos. 137.24 * (15.27) 2 X= 295.16 Log X = log 137.24 + 2 log 15.27 – log 295.16 Log X = 2.13748071 + 2(1.18383904) – 2.47005750 Log X = 2.13748071 + 2.36767808 – 2.47005750 Log X = 2.03510129 X = Antilog 2.03510129 = 108.41797 5
  7. 7. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos 5. USO DE LA CALCULADORA Debemos destacar que se supondrá que el alumno tiene a su alcance una calculadora, bien sea científica ofinanciera, para efectuar los cálculos que envuelven la resolución de los problemas financieros. En ese aspecto, es degran ayuda saber que dichas calculadoras están programadas o diseñadas para trabajar siguiendo el orden de prioridadde las operaciones antes mencionado. De modo que, para ejecutar con la calculadora una serie mixta de operacionescombinadas con signos de agrupación, sólo tenemos que introducir dicha serie tal cual es y luego la calculadora seencargará de procesarla en su debido orden. 6. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Una expresión algebraica es una combinación de letras y números (constantes), vinculados mediante lasoperaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Las letras suelen representar cantidades cuyadescripción se conoce, pero no su valor, por lo que se les llama variables. Por ejemplo, en la expresión algebraicaP= ¾ b m5, se tiene que “P”, “b” y “m” designan variables y “¾” y “5” son números o constantes. Ejemplos de expresiones algebraicas: a) x2 + 2xy – 9 b) 5a3 – ¼ ab2 – 0.8b3 c) ½ p – i t3 + 275 d) 7x + 3.25 Cuando se asignan valores a cada una de las variables de una expresión algebraica y se realizan lasoperaciones indicadas, el número que se obtiene es el valor numérico de la expresión para los valores asignados a lasvariables. En tal caso, se dice que se ha evaluado la expresión algebraica. ▶ Ejemplo Evaluar la expresión algebraica: a2b – 3ab2 – 9b3 para a = 3 y b = – 2. a2b – 3ab2 – 9b3 = 32 * (– 2) – 3 * 3 * (– 2)2 – 9 * (– 2)3 = – 18 – 36 + 72 = 18 Una ecuación es un enunciado matemático que establece la igualdad de dos expresiones algebraicas llamadasmiembros de la ecuación. Los valores de las variables (o incógnitas) que satisfacen la igualdad, es decir, los que laconvierten en una proposición verdadera son llamados raíces o soluciones y forman el conjunto solución de la ecuación.Hallar esos valores es resolver la ecuación. Las ecuaciones tienen variadas formas, pero hay algunas que se destacan por su utilidad en la resolución deproblemas financieros y de negocios. A seguidas se analizan tales casos. Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita “x” es aquella en la que lavariable “x” aparece elevada a un exponente 1. Toda ecuación lineal con una incógnita se puede reducir a la forma: b a x + b = 0 con una única solución x=− , si a ≠ 0 a Las siguientes son ecuaciones lineales: 1. 20 x + 7 = 5 (3 x − 8 5) 2. 19,250 = 14,000( 1 + 0.15 t ) 3. 3 y −8 = 3 4. 9,109.20 = P( 1 + 0.24 *109 365) La solución de una ecuación lineal implica despejar la incógnita, esto es, aislar la incógnita dejándola sola en unmiembro de la ecuación. Eso normalmente se realiza siguiendo los pasos siguientes: a) Efectuar las operacionesindicadas; b) Transposición de términos; c) Simplificar (o reducir) los términos semejantes; y d) Separación o despejede la incógnita. ▶ Ejemplo Resuelva las ecuaciones lineales anteriores: 1. 20 x + 7 = 5 (3 x − 8 5) 6
  8. 8. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos Se efectúa el producto indicado, luego la transposición de términos, se simplifican los términos semejantes y, porúltimo, se divide entre 5. 20 x + 7 = 15 x − 8 20 x − 15 x = −8 − 7 5 x = −15 15 x = − = −3 es la solución. 5 2. 19,250 = 14,000( 1 + 0.15 t ) Se dividen los dos miembros de la igualdad entre 14000, luego se resta la unidad y finalmente se divide entre0.15. 19,250 =1 + 0.15 t 14,000 1.375 − 1 = 0.15 t 0.375 =t 0.15 t = 2 .5 es la solución. 3. 3 y −8 = 3 Para eliminar la raíz tercera, se elevan los dos miembros de la igualdad a la potencia 3. Luego se les suma 8 aambos miembros. y − 8 = 33 y − 8 = 27 y = 27 + 8 y = 35 es la solución. 4. 9,109.20 = P( 1 + 0.24 *109 365) Se despeja a “P” transponiendo el paréntesis (está multiplicando pasa dividiendo) al primer miembro: 9,109.20 =P (1 + 0.24 *109 / 365) P = 8,499.99 es la solución Ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita “x” es aquelladonde el mayor exponente de la variable “x” es igual a 2. La forma general de una ecuación cuadrática esa x 2 + b x + c = 0 , en la que " a" , " b" , " c" son consta ntes y " a ≠ 0 " . Si todas las constantes son diferentes decero, se dice que la ecuación cuadrática es completa; en caso de que “b” ó “c”, o ambas sean nulas, la ecuación sedice que es incompleta. Las siguientes son ecuaciones cuadráticas: 2 2 1. 3 x 2 − 7 x − 6 = 0 2. x − 8 x + 7 = 0 3. x − 16 = 0 7
  9. 9. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos La resolución de una ecuación de segundo grado envuelve la obtención de sus dos raíces o soluciones, lo cualordinariamente se realiza por factorización, por el método de completar el cuadrado o por la fórmula general. 2 Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma a x + b x + c = 0 : −b ± b 2 − 4 ac x = 2a ▶ Ejemplo Resuelva las ecuaciones cuadráticas anteriores: 1. 3x 2 − 7 x − 6 = 0 a=3 b = -7 c = -6 x1 = ? x2 = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula general, se tiene: − (−7) ± ( − 7 ) 2 − 4 ( 3 )( − 6 ) 7 ± 11 x = = x1 =3 ; x 2 = −2 3 2 (3) 6 2. x 2 − 8x + 7 = 0 Aunque esta ecuación puede ser resuelta con la fórmula general, esta vez se hará con los otros dos métodos yamencionados: por factorización y por el método de completar el cuadrado. A) RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN Se factoriza el trinomio mediante el producto de dos factores lineales. Luego, como es sabido, que si unproducto es cero, por lo menos uno de los factores es cero, entonces se procede a igualar cada factor a cero y adespejar a “x” en cada caso, resultando las dos raíces de la ecuación: ” x1” y “ x 2”. ( x − 1) ( x − 7) = 0 ( x − 1) = 0 x 1 =1 ( x − 7) = 0 x 2 =7 B) RESOLUCIÓN COMPLETANDO EL CUADRADO Se dejan en el primer miembro de la igualdad los dos términos que contienen la incógnita y luego se les suman aambos miembros una constante 1 de modo que en el primer miembro quede definido un trinomio cuadrado perfecto.Luego de factorizar el trinomio se le extrae la raíz cuadrada a ambos miembros, obteniéndose de la igualdad resultantelas dos raíces de la ecuación: ” x1” y “ x 2”. x 2 − 8x + 7 = 0 x 2 − 8 x = −7 x 2 − 8 x + (−4) 2 = (−4) 2 − 7 x 2 − 8 x + 16 = 16 − 71 La constante se obtiene elevando al cuadrado el cociente que resulta de dividir el segundo término del primer miembro entre el doble de la raízcuadrada del primero. 8
  10. 10. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos ( x − 4) 2 = 9 ( x − 4) 2 = 9 x−4 = ±3 x − 4 = −3 x 1 =1 x−4 =3 x 2 =7 3. x 2 − 16 = 0 Aunque esta ecuación se puede resolver con la fórmula general o por factorización, esta vez se hará despejandola incógnita. Para tal fin se realiza la transposición del término independiente del primer miembro al segundo miembro yluego se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros, obteniéndose directamente las dos raíces de la ecuación: ” x1” y “x 2”. x 2 − 16 = 0 x 2 = 16 x 2 = 16 x = ±4 x1 =4 x 2 = −4 Ecuaciones exponenciales. Una ecuación exponencial es aquella cuya incógnita es un exponente ó formaparte de éste. Las siguientes son ecuaciones exponenciales: 2 4 x +1 −2 x 2 x −3 1. 3 = 81 2. 5 x =1 3. 5 = 14 La resolución de una ecuación exponencial generalmente se efectúa expresando ambos miembros de laecuación como potencia de la misma base, y luego procediendo a igualar los exponentes 2. En otros casos la soluciónse obtiene al aplicar logaritmo de la misma base en ambos miembros de la igualdad. ▶ Ejemplo Resuelva las ecuaciones exponenciales anteriores: 1. 3 4 x +1 = 81 Se convierte la ecuación en la igualdad de dos potencias de bases iguales, procediendo luego a igualar losexponentes, de donde se despeja la incógnita. 3 4 x +1 = 34 4x + 1 = 4 4x = 4 −1 x =3 4 es la solución.2 Si dos potencias son iguales y sus bases son también iguales, luego necesariamente sus exponentes tienen que serlo. 9
  11. 11. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos 2 −2 x 2. 5x =1 Se convierte la ecuación en la igualdad de dos potencias de bases iguales, procediendo luego a igualar losexponentes, de donde se despeja la incógnita, resultando las dos raíces de la ecuación: ” x1” y “ x 2”. 2 −2 x 5x = 50 x2 − 2x = 0 x ( x − 2) = 0 x= 0 x1 =0 es una solución. x−2 =0 x 2 =2 es una solución. 3. 5 2 x −3 = 14 Se aplica logaritmo decimal (o de cualquier base) en ambos miembros de la igualdad y se procede a despejar laincógnita. (2 x − 3) log 5 = log14 log14 (2 x − 3) = log 5 2 x − 3 = 1.64 2 x = 1.64 + 3 2 x = 4.64 x = 4.64 2 x = 2.32 es la solución. Ecuaciones logarítmicas. Una ecuación logarítmica es aquella cuya incógnita aparece afectada por unlogaritmo. Las siguientes son ecuaciones logarítmicas: 2 x 1. log x = 3 + log 2 2. log 6 ( x − 5 x ) = 2 10 Al resolver una ecuación logarítmica que contenga varios logaritmos, los mismos deben expresarse, de serposible, como el logaritmo de una sola expresión. Se aplica la definición de logaritmo, pasando la igualdad de la formalogarítmica a la forma exponencial. En otros casos se aplica la relación que establece que: log A = log B ⇔ A = B.A partir de la ecuación resultante, se obtiene el (o los) valor(es) de la incógnita. ▶ Ejemplo Resuelva las ecuaciones logarítmicas anteriores: x 1. log x 2 = 3 + log 10 Al aplicar las propiedades relativas al logaritmo de una potencia, un cociente y de un producto y mediante latransposición de dos términos se logra el logaritmo de una sola expresión, el cual expresado en forma exponencialpermite obtener el valor de la incógnita. 10
  12. 12. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos 2 log x = 3 + log x − log10 2 log x − log x + log10 = 3 log x + log10 = 3 log10 x = 3 10 x = 103 10 x = 1000 x = 100 es la solución. 2. log 6 ( x 2 − 5 x ) = 2 La ecuación se pasa de la forma logarítmica a la forma exponencial y, a partir de la igualdad resultante, seobtiene el (o los) valor(es) de la incógnita. ( x 2 − 5 x) = 6 2 x 2 − 5 x = 36 x 2 − 5 x − 36 = 0 ( x − 9) ( x + 4) = 0 x − 9= 0 x1 =9 es una solución. x+4 =0 x 2 = −4 es una solución. 7. PROGRESIONES Una sucesión es un conjunto ordenado de números que se deducen de acuerdo a una regla determinada. Se lellama término general “an” a la regla que sigue la sucesión, donde el subíndice “n” indica la posición del término. Porejemplo, el conjunto 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, … es una sucesión cuyo término general es: an = n2 – n. Las progresionesson casos particulares de las sucesiones, donde cada término se obtiene al sumar o multiplicar el anterior por unaconstante (progresiones aritméticas y geométricas) 3. Progresión Aritmética. Es una sucesión de números llamados términos, tales que cada uno de ellos, aexcepción del primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia común 4. Si se genera unaprogresión aritmética, siendo “a1” el primer término, “d” la diferencia común y “n” el número de términos, se tiene:a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, a1+4d, . . ., a1+(n –1)d 5 . Luego, el término general o n-ésimo término de unaprogresión aritmética resulta ser: a n = a 1 + ( n − 1) d3 Estas sirven de base para deducir varias fórmulas de las matemáticas financieras.4 La diferencia común de una progresión aritmética dada se calcula restando el valor de un término cualquiera menos el que le preceda.5 El coeficiente numérico que acompaña la “d” en el último o n-ésimo término se dedujo al observar que el coeficiente de cada término es unomenos que el correspondiente número de orden del término. 11
  13. 13. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos ▶ Ejemplos 1. Encuentre los primeros 4 términos de la progresión aritmética an = 3n + 1. a1 = 3(1)+1 = 4 a2 = 3(2)+1 = 7 a3 = 3(3)+1 =10 a4 = 3(4)+1 =13 2. Encuentre el término número 17 de la progresión aritmética: 2, 7, 12, … a1 = 2 d = 56 n = 17 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula del término general, se obtiene: a17 = 2 + (17–1) 5 = 82 3. ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética: 2, 9, 16,…,149? a1 = 2 d = 7 an = 149 Despejando a “n” de la fórmula del término general, se tiene: a n = a1 + ( n − 1) d a n − a1 = n −1 d a n − a1 n= +1 d Sustituyendo los valores conocidos en la expresión anterior, se obtiene: 149 − 2 n= + 1 = 22 7 RESP.: 22 Términos Suma de los términos de una progresión aritmética. La suma de los términos de una progresiónaritmética recibe el nombre de SERIE ARITMÉTICA. La fórmula para obtener la suma de los “n” primeros términos “Sn” deuna progresión aritmética es: n n Sn = ( a1 + a n ) ó Sn = [ 2a1 + (n − 1)d ] 7 2 26 La diferencia común “d” se obtiene restando cualquier término del siguiente.7 La fórmula de la izquierda se usa cuando se conocen el primero y el último término de la progresión, mientras que para los demás casos se usa lafórmula de la derecha. 12
  14. 14. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos ▶ Ejemplos 1. Encuentre la suma de los primeros 25 términos de la progresión aritmética: 2, 5, 8, 11, . . . a1 = 2 n = 25 d = 3 S25 =? n Luego sustituyendo los valores conocidos en la fórmula S n = [ 2a1 + (n − 1)d ] , se obtiene: 2 25 S 25 = [ 2 * 2 + ( 25 − 1) 3 ] = 950 2 2. Determine el noveno término y la suma de los primeros veinte términos de la progresión aritmética: 2, 6, 10,… a) a1 = 2 n=9 d =4 a9 = ? Luego sustituyendo los valores conocidos en la fórmula a n = a 1 + ( n − 1) d , se obtiene: a 9 = 2 + ( 9 − 1) 4 = 34 b) a1 = 2 n = 20 d =4 S20 =? n Luego sustituyendo los valores conocidos en la fórmula S n = [ 2a1 + (n − 1)d ] , se obtiene: 2 20 S 20 = [ 2 * 2 + (20 − 1)4 ] = 800 2 Progresión Geométrica. Es una sucesión de números llamados términos, cada uno de los cuales, aexcepción del primero, se obtiene multiplicando el término precedente por una cantidad fija llamada razón común 8. Sise genera una progresión geométrica, siendo “a1” el primer término, “r ” la razón común y “n” el número de términos, setiene: a1, a1 r, a1 r2, a1 r3, a1 r4 , . . ., a1 rn-1 9 . Luego, el término general o n-ésimo término de unaprogresión geométrica resulta ser: a n = a1 r n − 1 ▶ Ejemplos 1. Encuentre el noveno término de la progresión geométrica: 3, 12, 48, 192, . . . a1 = 3 r = 12/3 = 4 n=9 a9 = ? n −1 Luego sustituyendo los valores conocidos en la fórmula a n = a1 r se obtiene: a 9 = 3 * 4 ( 9 −1) = 196 ,6088 La razón común de una progresión geométrica dada se calcula dividiendo cualquier término entre el que le preceda.9 El exponente del último o n-ésimo término se dedujo al observar que el exponente de cada término es uno menos que el correspondiente númerode orden del término. 13
  15. 15. Tulio A. Mateo Duval Fundamentos Matemáticos 2. Si el término #12 de una progresión geométrica es 118,098 y su razón es 3, ¿cuál es su primer término? a12 = 118,098 r=3 n = 12 a1 = ? n −1 Despejando “a1“ de la fórmula a n = a1 r , se tiene: a12 = a1 r 11 a12 118 , 098 a1 = = =2 3 r 11 311 Suma de los términos de una progresión geométrica. La suma de los términos de una progresióngeométrica recibe el nombre de SERIE GEOMÉTRICA. La fórmula para obtener la suma de los “n” primeros términos “Sn”de una progresión geométrica es: a1 (1 − r n ) Sn = si r ≠ 1 ó Sn = n a1 si r = 1 (1 − r ) ▶ Ejemplos 1. Encuentre la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24, 48,… a1 = 3 r=2 n = 10 S10 = ? a1 (1 − r n ) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula S n = , se tiene: (1 − r ) 3 (1 − 2 10 ) S 10 = = 3, 069 (1 − 2 ) 2. La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es 2,541. Si la razón común es 1/3,encuentre el primer término. S5 = 2,541 r = 1/3 n=5 a1 = ? a1 (1 − r n ) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula S n = , se tiene: (1 − r ) a1 [ 1 − (1 3 ) 5 ] 2 ,541 = (1 − 1 3 ) Despejando “a1 “ de la igualdad anterior se obtiene: 2 ,541 ( 1 − 1 3 ) a1 = = 1, 701 [ 1 − (1 3 ) 5 ] 14

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