Презентация к семинару кафедры теоретической механики. По материалам статьи “Detumbling Space Debris Using Modified Yo-Yo Mechanism” (Юдинцев В. В., Асланов В. С.) Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 40, No. 3. https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/1.G000686 (2017), pp. 714-721.

1. Модификация механизма Йо-Йо
Гашение угловой скорости орбитальной ступени при помощи
механизма Йо-Йо без образования космического мусора
Юдинцев В. В., Асланов В. С.
Кафедра теоретической механики
28 марта 2017 г.

2. Содержание
1 История
2 Применение
3 Модель классического варианта механизма
4 Механизм Йо-Йо и космический мусор
5 Модель пространственного движения
6 Механизм без отделяющихся элементов
7 Результаты
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 2 / 46

3. Предисловие
Презентация подготовлена
по материалам инженерной
заметки “Detumbling Space
Debris Using Modified Yo-Yo
Mechanism” (Юдинцев В. В.,
Асланов В. С.) Journal of
Guidance, Control, and
Dynamics, Vol. 40, No. 3
(2017), pp. 714-721.
https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/1.G000686
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 3 / 46

4. История

5. Йо-Йо
440 г. до н.э.
https://en.wikipedia.org/wiki/Yo-yo
Miller, Stephen G. (2004). Ancient Greek Athletics. Yale University
Press. pp. 169–
“Наши дни”
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 5 / 46

6. Патент
Механизм Йо-Йо изобретён в
лаборатории реактивного
движения Калифорнийского
технологического института
(Caltech) в 1961 году.
Патент US 3030049 A. Авторы: Jr
William C. Pilkington, William S.
Mcdonald, Willard H. Wells.
В патенте не используется термин
Йо-Йо (Yo-Yo)
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 6 / 46

7. Фазы движения
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 7 / 46

8. Применение

9. КА DAWN (Рассвет): Земля-Веста-Церера
АМС для исследования
Весты и Цереры (2007 г.)
Вторая космическая
скорость сообщалась III
ступенью РН Дельта-2
III ступень
стабилизировалась
вращением: 46 оборотов в
минуту
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 9 / 46

10. КА DAWN (Рассвет): Земля-Веста-Церера
За 5 секунд до отделения
КА от III ступени
срабатывал Йо-Йо
механизм
Длина троса: 12 метров
Масса груза: 1.44 кг (массы
грузов подбирались с
точностью до 1 грамма)
Время работы механизма 4
секунды
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 9 / 46

11. Модель классического варианта механизма

12. Две фазы движения
Фаза 1 - увеличение свободной длины троса
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 11 / 46

13. Две фазы движения
Фаза 2 - вращение троса вокруг точки закрепления
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 12 / 46

14. Кинетическая энергия
Фаза 1
2T = J ˙φ2
+ m(˙x2
+ ˙y2
)
Координаты груза
x = a cos ϑ + l sin ϑ
y = a sin ϑ − l cos ϑ
Длина троса
l = a(ϑ − φ)
2T = J ˙φ2
+ m(l2 ˙ϑ2
+ a2
˙φ2
)
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 13 / 46

15. Кинетическая энергия
Фаза 2
Координаты груза
x = a cos ϑ + l cos γ
y = a sin ϑ + l sin γ
Длина троса l = const
2T = J ˙φ2
+ m[a2
˙φ2
+
+ 2al cos(ϑ − γ) ˙φ˙γ + l2
˙γ2
]
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 14 / 46

16. Законы сохранения
Закон сохранения энергии:
2T0 = (J + ma2
)ω2
0 = 2Tk = Jω2
k + m(a ωk + l ˙γ)2
(1)
Закон сохранения кинетического момента:
K0 = (J + ma2
)ω0 = Kk = Jω0 + m(l + a)(aωk + l˙γ) (2)
Исключая из двух уравнений ˙γ:
r =
ωk
ω0
=
(
G+1
l/a+1
)2
− (G + 1)
G
, G =
J(1 − r)
ma2
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 15 / 46

17. Упрощаем
Момент инерции объекта относительно оси вращения
значительно больше начального момента инерции груза
относительно той же оси:
J ≫ ma2
→ G =
J(1 − r)
ma2
≫ 1
тогда:
r =
ωk
ω0
=
(
G+1
l/a+1
)2
− (G + 1)
G
≈
≈
(
G+1
l/a+1
)2
− (G + 1)
G + 1
=
G + 1
(l/a + 1)2
− 1
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 16 / 46

18. Упрощаем
r =
G + 1
(l/a + 1)2
− 1 ← G =
J(1 − r)
ma2
⇒
J
m(l + a)2
=
1 + r − (l/a + 1)−2
1 − r
Если длина троса больше длины окружности катушки
l/a > 2π
то
J
m(a + l)2
=
1 + r − (l/a + 1)−2
1 − r
≈
1 + r
1 − r
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 17 / 46

19. Проектные параметры
J
m(a + l)2
=
1 + r
1 − r
, r =
ωk
ω0
l =
√(
1 − r
1 + r
)
J
m
− a
ωk = ω0
J − m(a + l)2
J + m(a + l)2
J. V. Fedor, Theory And Design Curves for a Yo-Yo De-spin Mechanism for Satellites, Greenbelit, 1961.
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 18 / 46

20. Проектные параметры
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
m(l + a)2
/J
ωk/ω0
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 19 / 46

21. Пример
Продольный момент инерции ступени РН: 1300 кг·м2
Радиус ступени: 1 м
Масса двух грузов: m = 2 · 6.5 кг
Длина троса для полной остановки вращения ступени
(r = 0):
l =
√
J/m − a =
√
1.3 · 103/13 − 1 ≈ 9.0 м
Погрешность по отношению к точной формуле: 0.6 %
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 20 / 46

22. Погрешности
Конечная угловая скорость:
ωk = ω0
J − m(a + l)2
J + m(a + l)2
Влияние погрешности начальной угловой скорости:
∆ωk ≈
∂ωk
∂ω0
∆ω0 =
J − m(a + l)2
J + m(a + l)2
∆ω0 =
ωk
ω0
∆ω0 = ωkεω0
Относительная погрешность конечной угловой скорости равна
относительной погрешности начальной угловой скорости:
εωk
= εω0
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 21 / 46

23. Погрешности
Конечная угловая скорость:
ωk = ω0
J − m(a + l)2
J + m(a + l)2
Влияние погрешности определения момента инерции объекта:
∆ωk ≈
∂ωk
∂J
∆J = ω0
2m(a + l)2
[m(a + l)2 + J]2 JεJ =
εJ
2
ω0
εJ – относительная погрешность момента инерции.
Для ωk = 0
∆ωk ≈
εJ
2
ω0
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 22 / 46

24. Йо-Йо с упругим тросом
Оптимальное значение
жёсткости:
c∗
= arg min
c
δωk(δω0)
c∗
=
ω2
0(1 − r2
)J
2r (l + a)(l + a + δ)
где r = ω0/ωk,
δ =
r(l0 + a)
1 − r
Патент US 3229930 A
J. V. Fedor, Analytical Theory of the stretch Yo-Yo for de-spin of Satellites, Greenbelt, 1963, стр. 7-8.
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 23 / 46

25. Механизм Йо-Йо и космический мусор

26. Стыковочный модуль
Сближение стыковочного модуля с целью
Стыковка или захват
Гашение продольной угловой скорости
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 25 / 46

27. Проблемы
Плоскость “катушки”
расположена далеко
от центра масс
объекта
Объект движется
вокруг центра масс
произвольным
образом
При работе
механизма Йо-Йо
образуется
космический мусор
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 26 / 46

28. Йо-Йо и космический мусор
В 2003 вблизи станции
пролетели фрагменты
механизма Yo-Yo
образовавшиеся в результате
выведения РН
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 27 / 46

29. Модель пространственного движения

30. Схема системы
q = (x, y, z, ψ, θ, φ, α1, β1, α2, β2)
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 29 / 46

31. Кинематические соотношения
Положение грузов
ri = r + A(ρd + Adρi), i = 1, 2 (3)
Абсолютная скорость грузов
vi =
dri
dt
= v + A˜ω(ρd + Adρi) + AAd ˙ρi (4)
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 30 / 46

32. Относительное движение. Фаза 1
Положение грузов относительно катушки:
ρi =


−li sin βi
li cos βi sin αi + d/2 cos αi
d/2 sin αi − li cos βi cos αi

 (5)
Скорость грузов относительно катушки:
˙ρi =
d
2


− sin βi
(2li cos αi/d + sin αi) cos βi − sin αi
(2li sin αi/d − cos αi) cos βi + cos αi

 ˙αi+
+ li


− cos βi
− sin βi sin αi
sin βi cos αi

 ˙βi (6)
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 31 / 46

33. Относительное движение. Фаза 2
Положение грузов относительно катушки:
ρi =


−li sin βi
d/2 cos αi + li cos βi sin(αi + γi)
d/2 sin αi − li cos βi cos(αi + γi)

 (7)
Скорость грузов относительно катушки:
˙ρi = li


0
cos βi cos(αi + γi)
cos βi sin(αi + γi)

 ˙γi + li


cos βi
− sin βi sin(αi + γi)
sin βi cos(αi + γi)

 ˙βi (8)
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 32 / 46

34. Уравнения движения
Кинетическая энергия:
2T = mv2
+ ωT
Jω + m1v2
1 + m2v2
2 (9)
Уравнения движения:
d
dt
∂T
∂˙qi
−
∂T
∂qi
= 0, i = 1, . . . , n (10)
Обобщенные координаты для различных фаз движения
I,I q = (x, y, z, ψ, θ, φ, α1, β1, α2, β2)
I,II q = (x, y, z, ψ, θ, φ, α1, β1, γ2, β2)
II,II q = (x, y, z, ψ, θ, φ, γ1, β1, γ2, β2)
II,_ q = (x, y, z, ψ, θ, φ, γ1, β1)
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 33 / 46

35. Механизм без отделяющихся элементов

36. Идея
Грузы – оболочки, заполненные жидкостью
Оболочки раскрываются в момент отделения грузов
^ Жидкость “закипает” и замерзает, превращаясь в
кристаллики льда, рассеиваясь в пространстве
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 35 / 46

37. Фазовая диаграмма
http://www1.lsbu.ac.uk/water/water_phase_diagram.html
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 36 / 46

38. Возможная конструкция груза
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 37 / 46

39. Механизм Super-ZIP
K. Y. Chang, “Pyrotechnic devices, shock levels, and their applications,” in Proceedings of the
Pyroshock Seminar, ICSV9, 2002.
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 38 / 46

40. Возможная конструкция груза
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 39 / 46

41. Габариты груза
Продольный момент инерции ступени РН: 1300 кг·м2
Радиус ступени: 1 м
Масса двух грузов: m = 2 · 6.5 кг
Длина троса для полной остановки вращения ступени
(r = 0):
l =
√
J/m − a =
√
1.3 · 103/13 − 1 ≈ 9.0 м
Необходимый диаметр полости для груза массы 6.5 кг,
заполненного водой:
dm = 2
3
√
3V
4π
= 2
3
√
3 · 6.5 · 10−3 м3
4π
≈ 23 см
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 40 / 46

42. Результаты

43. Параметры
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 42 / 46

44. Угловая скорость
Начальный угол нутации объекта 11 градусов.
ωx
ωy
ωz
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t, с
ω,рад/с
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 43 / 46

45. Угол выхода тросов из плоскости
Начальный угол нутации объекта 11 градусов.
β1
β2
0 5 10 15
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
t, с
β1,β2,рад
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 44 / 46

46. Натяжение тросов
Начальный угол нутации объекта 11 градусов.
T1
T2
0 5 10 15
0
10
20
30
40
t, c
T1,T2,H
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 45 / 46

47. Выводы
Предложена конструкция грузов, позволяющая исключить
образование космического мусора при работе механизма
Йо-Йо
Разработана математическая модель пространственного
движения механизма
Показана возможность использования механизма Йо-Йо
для гашения угловой скорости объектов космического
мусора, вращающихся преимущественно вокруг
продольной оси
Самарский университет Модификация механизма Йо-Йо 46 / 46