Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Ìåòîäû âû÷èñëåíèé               Æåñòêèå ñèñòåìû      Êàôåäðà òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè          Áîæêî Í. Ð., Ïëàòîøèí È. Â.Ñà...
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÑèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓËèíåéíûì îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì íàçûâàåòñ...
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÏðèâåäåíèå ñèñòåìû ÎÄÓ ê n íåçàâèñèìûì óðàâíåíèÿì                              ...
Æåñòêèå ñèñòåìûÆåñòêèå ñèñòåìû                                  y = Ay,                               @QAA E ìàòðèöà êîíñò...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ìåòîäû ÝéëåðàÌåòîä Ýéëåðà                                    yn+1 = (I + hA)yn .            ...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ìåòîäû ÝéëåðàÍåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà                             yn+1 = (I − hA)−1 yn .        ...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ìåòîäû ÝéëåðàÏðèìåð                                       y = Ay                           −...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ìåòîäû ÝéëåðàÏðèìåð         x      y1 (x)     Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà              Ìåòîä Ýéëåðà...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ìåòîäû ÝéëåðàÏðèìåð 0                0.02              0.04             0.06        0.08    ...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ       Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûËèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÐåøåíèå óðàâíåíèé âèäà y       =...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ    Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÕàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíÕàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ðåêóðð...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûËåììàÐàññìîòðèì ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå kEãî ïîðÿäêà           ...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÓñëîâèå äëÿ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàÈç @UA î÷åâèäíî...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÑõîäèìîñòü ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâËèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìå...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÂòîðàÿ ãðàíè÷íàÿ òåîðåìà 1    Íåÿâíûé ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòî...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÌåòîä Ãèðà (Gear)Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä ïðè βj = 0, j = 0, ...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ    Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÌåòîä òðàïåöèéÈç IH ïðè α0 = −1, α1 = 1, β = 1 , k = 1 ïîëó÷èì ...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÌåòîä òðàïåöèé                                             Im(hλ...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÍåÿâíûé ìåòîä ÝéëåðàÈç IH ïðè α0 = −1, α1 = 1, β = 1, k = 1 ïîëó...
Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ   Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÍåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà                                         Im(...
Ñïèñîê èñïîëüçîâàííûõ èñòî÷íèêîâ 1    indre ƒ¤li en sntrodu™tion to xumeri™—l en—lysisX indre ƒu¤liD h—vid             u  ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Жесткие системы ОДУ

557 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Жесткие системы ОДУ

  1. 1. Ìåòîäû âû÷èñëåíèé Æåñòêèå ñèñòåìû Êàôåäðà òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè Áîæêî Í. Ð., Ïëàòîøèí È. Â.Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. àêàäåìèêà Ñ. Ï. Êîðîë¼âà (íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò) IS äåêàáðÿ PHIP ãF
  2. 2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÑèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓËèíåéíûì îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì íàçûâàåòñÿóðàâíåíèå âèäà y = λy,ãäå λ E êîíñòàíòàFÑèñòåìîé ëèíåéíûõ ÎÄÓ íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà y = Ay, @IAãäå A E ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöàDy = (y1 y2 · · · yn )T E âåêòîðEôóíêöèÿ Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 2 / 21
  3. 3. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÏðèâåäåíèå ñèñòåìû ÎÄÓ ê n íåçàâèñèìûì óðàâíåíèÿì y = Ay, y(0) = y0 .Äëÿ ìàòðèöû AD ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé ðàçëè÷íûD ñóùåñòâóåòìàòðèöà M òàêàÿD ÷òî M AM −1 = Λ,ãäå Λ E äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöàF Òîãäà èñõîäíóþ ñèñòåìó ìîæíîïðèâåñòè ê ýêâèâàëåíòíîéX z = Λz, @PA z(0) = z0 = M y0 Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 3 / 21
  4. 4. Æåñòêèå ñèñòåìûÆåñòêèå ñèñòåìû y = Ay, @QAA E ìàòðèöà êîíñòàíòFÑèñòåìà @QA íàçûâàåòñÿ æåñòêîéDåñëè âñå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòèñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A îòðèöàòåëüíû è îòíîøåíèå íàèáîëüøåãîè íàèìåíüøåãî äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé âåëèêîF Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 4 / 21
  5. 5. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ìåòîäû ÝéëåðàÌåòîä Ýéëåðà yn+1 = (I + hA)yn . zn+1 = M yn+1 = M (I + hA)yn = = M (I + hA)M −1 zn = (I + hΛ)zn zn+1 = (I + hΛ)zn @RAÐåøåíèå ñèñòåìû áóäåò ñõîäÿùèìñÿD åñëè äëÿ j = 1, . . . , nX 1 Re(λj ) < 0Y 2 h|λj | < 2F Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 5 / 21
  6. 6. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ìåòîäû ÝéëåðàÍåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà yn+1 = (I − hA)−1 yn . zn+1 = M yn+1 = M (I − hA)−1 yn = = M (I − hA)−1 M −1 zn = (I − hΛ)−1 zn zn+1 = (I − hΛ)−1 zn @SAÐåøåíèå ñèñòåìû áóäåò ñõîäÿùèìñÿD åñëè äëÿ Re(λj ) < 0, j = 1, . . . , n Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 6 / 21
  7. 7. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ìåòîäû ÝéëåðàÏðèìåð y = Ay −8003 1999 1 A= , y(0) = . 23988 −6004 4Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿX λ1 = −7, λ2 = −14000 Ðåøåíèå ñèñòåìûX e−7x y(x) = 4e−7xÒF êF h|λ2 | = 56D òî ìåòîä Ýéëåðà äàåò áîëüøóþ ïîãðåøíîñòü ïðèx = 0.036F Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 7 / 21
  8. 8. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ìåòîäû ÝéëåðàÏðèìåð x y1 (x) Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà Ìåòîä Ýéëåðà HFHHH IFHHH IFHHH IFHHH HFHHR HFWUP HFWUQ HFWUP HFHHV HFWRT HFWRT HFWRS HFHIP HFWIW HFWPH HFWIV HFHIT HFVWR HFVWS HFVWQ HFHPH HFVTW HFVUI HFVTV HFHPR HFVRS HFVRU HFVRQ HFHPV HFVPP HFVPR HFVPH HFHQP HFUWW HFVHP HFUWR HFHQT HFUUU HFUVH HFWRI HFHRH HFUST HFUSW EVFRQH HFHRR HFUQS HFUQV SHSFUTW HFHRV HFUIS HFUIV EPUUUTFQSU Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 8 / 21
  9. 9. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ìåòîäû ÝéëåðàÏðèìåð 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 2 4 6 8 Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 9 / 21
  10. 10. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûËèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÐåøåíèå óðàâíåíèé âèäà y = λyÎáùèé âèä ìåòîäàX k k αj yn+j = h βj f (xn+j , yn+j ). j=0 j=0Äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì k (αj − λhβj )yn+j = 0 @TA j=0 Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 10 / 21
  11. 11. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÕàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíÕàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ @TAX k π(z; λh) = (αj − λhβj )z j j=0Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå π(z; λh) = ρ(z) − λhσ(z) @UA Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 11 / 21
  12. 12. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûËåììàÐàññìîòðèì ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå kEãî ïîðÿäêà αk yn+k + · · · + α1 yn+1 + α0 yn = 0, n = 0, 1, 2, . . . @VAñ αk = 0, α0 = 0, αj ∈ R, j = 0, 1, . . . , k è õàðàêòåðèñòè÷åñêèììíîãî÷ëåíîì ρ(z) = αk z k + · · · + α1 z + α0 .Ïóñòü zr , 1 ≤ r ≤ l, l ≤ k E êîðíè ìíîãî÷ëåíà ρD è ïóñòü mr ≥ 1 Eêðàòíîñòü êîðíÿ zr D ïðè÷åì m1 + · · · + ml = k F Åñëèïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } êîìïëåêñíûõ ÷èñåë óäîâëåòâîðÿåò @VAD òîãäà l yn = n pr (n)zr , ∀n ≥ 0, @WA r=1ãäå pr (n) E ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè mr − 1F Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 12 / 21
  13. 13. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÓñëîâèå äëÿ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàÈç @UA î÷åâèäíîD ÷òî êîðíè ìíîãî÷ëåíà π(z, λh) åñòü ôóíêöèèz = z(λh)Fäëÿ λ ∈ C, Re(λ) < 0 ðåøåíèå çàäà÷è y = λy, y(0) = y0 ,ñòðåìèòñÿ íà C ê íóëþ ïðè x → ∞FÐàçìåð øàãà h ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ìîæíî âûáðàòü òàêD ÷òî lim yn = 0F Òîãäà â ñèëó @WAn→∞ |zr | = |zr (λh)| < 1 Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 13 / 21
  14. 14. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÑõîäèìîñòü ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâËèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿäëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ λhD åñëè êàæäûé êîðåíü zr = zr (λh)ñîîòâåòñòâóþùåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà π(zr ; λh)óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ |zr (λh)| < 1FÎáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ëèíåéíîãî ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäàE ýòî ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê λh êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèD äëÿ êîòîðûõìåòîä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíîFËèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ À-ñòàáèëüíûìD åñëèîáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ñîäåðæèò ëåâóþ @ñ îòðèöàòåëüíîéäåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþA êîìïëåêñíóþ ïîëóïëîñêîñòüF Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 14 / 21
  15. 15. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÂòîðàÿ ãðàíè÷íàÿ òåîðåìà 1 Íåÿâíûé ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä ÀEñòàáèëåíY 2 Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîäD íå ÿâëÿþùèéñÿ ÀEñòàáèëüíûìD ìîæåò èìåòü ïîðÿäîê áîëüøå PF 3 ÀEñòàáèëüíûé ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ìàëîé ïîñòîÿííîé îøèáêîé E ýòî ïðàâèëî òðàïåöèéF Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 15 / 21
  16. 16. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÌåòîä Ãèðà (Gear)Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä ïðè βj = 0, j = 0, ..., k − 1 è βk = βíàçûâàþòñÿ ìåòîäîì ÃèðàF k αj yn+j = hβf (xn+k , yn+k ). j=0Äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìûX k αj yn+j = hβλj yn+k . @IHA j=0Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè ìåòîäà ÃèðàF Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 16 / 21
  17. 17. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÌåòîä òðàïåöèéÈç IH ïðè α0 = −1, α1 = 1, β = 1 , k = 1 ïîëó÷èì ôîðìëó òðàïåöèé 2 λh yn+1 = yn + (yn+1 + yn ) @IIA 2Ñîîòâåòñòâóþùèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò òîëüêî îäèíêîðåíüD îòëè÷íûé îò íóëÿX 1 + 1 λh 2 z= . 1 − 1 λh 2Ïðè÷åì |z| < 1D åñëè Re(λh) = hRe(λ) < 0D çíà÷èò ìåòîä òðàïåöèéäåéñòâèòåëüíî ÀEñòàáèëåíF Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 17 / 21
  18. 18. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÌåòîä òðàïåöèé Im(hλ) Re(hλ) Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 18 / 21
  19. 19. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÍåÿâíûé ìåòîä ÝéëåðàÈç IH ïðè α0 = −1, α1 = 1, β = 1, k = 1 ïîëó÷èì íåÿâíûé ìåòîäÝéëåðàX yn+1 = yn + hλyn+1 ,îòêóäà yn+1 = yn (1 − hλ)−1 . @IPAÒàê êàê |hλ − 1| > 1D òî íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ÀEñòàáèëåíF Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 19 / 21
  20. 20. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ ÎÄÓ Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÍåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà Im(hλ) Re(hλ) Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 20 / 21
  21. 21. Ñïèñîê èñïîëüçîâàííûõ èñòî÷íèêîâ 1 indre ƒ¤li en sntrodu™tion to xumeri™—l en—lysisX indre ƒu¤liD h—vid u u pF w—yers E g—m˜ridgeD g—m˜ridge …niversity €ressD PHHQF E RQQ pF 2 Âåðæáèöêèé ÂFÌF ×èñëåííûå ìåòîäû @ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿAX Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ‘òåêñò“X ÂFÌF Âåðæáèöêèé E ÌFX Âûñøàÿ øêîëàD PHHRF E QVP ñF Êàôåäðà ÒÌ (ÑÃÀÓ) Ìåòîäû âû÷èñëåíèé 15 äåêàáðÿ 2012 ã. 21 / 21

×