Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Методы вычисленийВычисление собственных значений матрицы      Кафедра теоретической механики               yudintsev@terme...
Задача на собственные значения и векторы [1], [2]Для известной матрицы A найти вектор x и число λ такие, что              ...
Характеристическое уравнение                                                                                a11 − λ   a1...
Свойства собственных значений   Собственные значения матрицы A равны собственным значениям   транспонированной матрицы AT ...
Собственные значения и собственные векторы матрицыЧастичная проблема собственных значенийОпределение одного или нескольких...
Задачи механики, приводящие к проблеме собственныхзначений   Исследование устойчивости механических систем.   Определение ...
Методы решенияПрямые методыРешение характеристического (векового) уравнения исходной илиподобной матрицы        λn − p1 λn...
Степенной методСтепенной итерационный метод   Дана матрица A с действительными положительными   коэффициентами (положитель...
Степенной методСтепенной итерационный метод   Обозначим собственные числа матрицы A                           λ1 , λ2 , λ3...
Степенной методАлгоритм   Выбираем произвольный вектор y0   Строим последовательность                        yk = Ayk−1 , ...
Степенной методАлгоритмДоказательство     Разложение вектора y0 по собственным векторам (в базисе     собственных векторов...
Степенной методАлгоритмДоказательство                        n                    n             n               n      n  ...
Степенной методАлгоритмДоказательство     Рассмотрим отношение                    (i)                 yk+1          c1 x1i...
Степенной методАлгоритмОпределение собственного вектора, соответствующего λ1     Для k-го шага итерации                   ...
Метод скалярных произведенийМетод скалярных произведений   Модификация степенного метода.   Метод скалярных произведений с...
Метод скалярных произведенийМетод скалярных произведений   Приближенное значение второго собственного числа               ...
Метод обратных итерацийОпределение |λ|minМетод обратных итераций     Пусть                               |λ1 | > |λ2 | > |...
Методы исчерпыванияМетоды исчерпывания   Пусть найдено первой собственное число и соответствующий   собственный вектор    ...
Методы исчерпыванияМетоды исчерпыванияАлгоритм    Алгоритм основан на преобразовании подобия матриц    Матрица B подобна м...
Методы исчерпыванияМетоды исчерпыванияАлгоритм    Сформируем матрицу H из компонент 1-го собственного вектора             ...
Методы исчерпыванияМетод исчерпыванияАлгоритм    Умножив левую и правую часть Ax1 = λ1 x1 на H1                Ax1 = λ1 x1...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)   Найти все собственные значения симметричной матрицы A                           ...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)   Суть метода вращений заключается в построении   последовательности R1 , R2 , . ....
Метод ЯкобиМетод ЯкобиДиагонализация тензора инерции                                 Тензор инерции твердого тела в базисе...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений    Пусть на k-ой итерации матрица A(k) имеет максимальный по модул...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений    Построим матрицу вращения, отличающейся от единичной матрицы   ...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений    Рассмотрим результат произведения                              ...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений                          (k)          (k)    Учитывая, что aij = a...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Оценка погрешности                         (k)    1 (k) (k)                 (k)  σ(...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Оценка погрешности                        (k)      σ(A(k) )     Поскольку (aij )2 ≥...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 0 [3]     Найти собственные значения матрицы                      ...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 1                                                               ...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 2                                                                ...
Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 2                                                                ...
Метод ЯкобиЗадание 7   Построить программу определения собственных чисел и   собственных векторов симметричной матрицы, ис...
ИсточникиСписок использованных источников   Соллогуб А. В. Козлов Д. И.   Применение ЭВМ в задачах проектирования летатель...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Решение задач на собственные значения

12,852 views

Published on

Метод вращений (метод Якоби)
Степенной метод

Published in: Education
  • Be the first to comment

Решение задач на собственные значения

  1. 1. Методы вычисленийВычисление собственных значений матрицы Кафедра теоретической механики yudintsev@termech.ruСамарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) 14 апреля 2012 г.
  2. 2. Задача на собственные значения и векторы [1], [2]Для известной матрицы A найти вектор x и число λ такие, что Ax = λx (1)или (A − λE)x = 0 (2) λ – собственное число матрицы A x – собственный вектор матрицы A (A − λE) – характеристическая матрица Определитель ||A − λE|| – характеристический (вековой) определитель матрицы A Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 2 / 36
  3. 3. Характеристическое уравнение   a11 − λ a12 ... a1n  a21  a22 − λ ... a2n  =0  ... ... ... ...  an1 an2 . . . ann − λили λn − p1 λn−1 − p2 λn−2 − p3 λn−3 − . . . − pn−1 λ − pn = 0Коэффициенты полинома характеристического уравнения: n p1 = i=1 aii = trA (след матрицы A). pk равен сумме всех диагональных миноров k-го порядка. pn равен определителю матрицы A. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 3 / 36
  4. 4. Свойства собственных значений Собственные значения матрицы A равны собственным значениям транспонированной матрицы AT . Собственные значения треугольной матрицы совпадают с её диагональными элементами. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические полиномы. Матрица B называется подобной матрице A, если существует такая неособенная матрица C, что: B = C−1 AC Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 4 / 36
  5. 5. Собственные значения и собственные векторы матрицыЧастичная проблема собственных значенийОпределение одного или нескольких собственных чисел: поискмаксимального или минимального собственного числаПолная проблема собственных значенийОпределение всех собственных чисел матрицы Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 5 / 36
  6. 6. Задачи механики, приводящие к проблеме собственныхзначений Исследование устойчивости механических систем. Определение собственных частот и форм механической системы. Определение главных центральных осей и главных моментов инерции твердого тела . Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 6 / 36
  7. 7. Методы решенияПрямые методыРешение характеристического (векового) уравнения исходной илиподобной матрицы λn − p1 λn−1 − p2 λn−2 − p3 λn−3 − . . . − pn−1 λ − pn = 0Метод Крылова, метод Данилевского, ...Итерационные методыСобственные значения и собственные векторы определяются какпределы некоторых последовательностей с заданной точностью.Метод вращений (метод Якоби), степенной метод, ... Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 7 / 36
  8. 8. Степенной методСтепенной итерационный метод Дана матрица A с действительными положительными коэффициентами (положительная матрица). Для положительной матрицы справедлива теорема Перрона: положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение λ1 ; λ1 имеет алгебраическую кратность 1; λ1 строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 8 / 36
  9. 9. Степенной методСтепенной итерационный метод Обозначим собственные числа матрицы A λ1 , λ2 , λ3 , . . . λn |λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > . . . > |λn | Собственные векторы x1 , x2 , x 3 , . . . xn Найти максимальное по модулю собственное число λ1 и соответствующий собственный вектор x1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 9 / 36
  10. 10. Степенной методАлгоритм Выбираем произвольный вектор y0 Строим последовательность yk = Ayk−1 , k = 1, 2 . . . На каждой итерации вычисляем отношение (i) (k) yk λ1 = (i) , yk−1 где i – номер любой компоненты вектора yk . Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 10 / 36
  11. 11. Степенной методАлгоритмДоказательство Разложение вектора y0 по собственным векторам (в базисе собственных векторов) n y0 = cj xj j=1 n n Ay0 = cj Axj = cj λj xj j=1 j=1 разложение собственных векторов в базисе единичных векторов e1 , e2 , . . . en n xj = xji ei i=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 11 / 36
  12. 12. Степенной методАлгоритмДоказательство n n n n n yk = A k y0 = cj λk xj = j cj λk j xji ei = cj xji λk ei j j=1 j=1 i=1 i=1 j=1Тогда i-я компонента вектора yk определяется следующим образом n (i) yk = cj xji λk j j=1i-я компонента вектора yk+1 : n (i) yk+1 = cj xji λk+1 j j=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 12 / 36
  13. 13. Степенной методАлгоритмДоказательство Рассмотрим отношение (i) yk+1 c1 x1i λk+1 + c2 x2i λk+1 + . . . + cn xni λk+1 1 2 n (i) = k + c x λk + . . . + c x λk yk c1 x1i λ1 2 2i 2 n ni n Учитывая, что |λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > . . . > |λn | k+1 k+1 (i) c2 x2i λ2 cn xni λn yk+1 1+ c1 x1i λ1 + ... + c1 x1i λ1 (i) = λ1 k k → λ1 при k → ∞ yk 1+ c2 x2i λ2 + ... + cn xni λn c1 x1i λ1 c1 x1i λ1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 13 / 36
  14. 14. Степенной методАлгоритмОпределение собственного вектора, соответствующего λ1 Для k-го шага итерации n n yk = A k y0 = cj λk xj = c1 λk x1 + j 1 cj λk xj = j j=1 j=2   n k cj λj c1 λk x1 + 1 xj  (3) c1 λ1 j=2 Для больших k yk ≈ c1 λk x1 1 Т.к. собственный вектор определяется с точностью до множителя, поэтому x1 ≈ y k Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 14 / 36
  15. 15. Метод скалярных произведенийМетод скалярных произведений Модификация степенного метода. Метод скалярных произведений сходится в 2 раза быстрее, чем степенной метод Формируются две последовательности yk = Ayk−1 , и yk = AT yk−1 , k = 1, 2, 3, . . . y0 = y0 Наибольшее по модулю собственное число определяется как следующее отношение скалярных произведений 2k λ2 yk · y k A k y0 · A T k y0 λ1 + O = = k−1 λ1 yk−1 · yk A y0 · AT k y0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 15 / 36
  16. 16. Метод скалярных произведенийМетод скалярных произведений Приближенное значение второго собственного числа (i) (i) yk − λ1 yk−1 λ2 ≈ (i) (i) yk−1 − λ1 yk−2 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 16 / 36
  17. 17. Метод обратных итерацийОпределение |λ|minМетод обратных итераций Пусть |λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > . . . > |λn | Тогда для собственных чисел обратной матрицы A−1 1 1 1 1 | |>| |>| | > ... > | | λn λn−1 λn−2 λ1 Формируют итерационную последовательность yk = A−1 yk−1 Вычисляют соотношения (i) (i) 1/λ(k) = yk /yk−1 , n Чтобы не вычислять обратную матрицу A−1 , yk определяют, решая СЛАУ Ayk = yk−1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 17 / 36
  18. 18. Методы исчерпыванияМетоды исчерпывания Пусть найдено первой собственное число и соответствующий собственный вектор (1) (2) (3) (n) λ1 , x1 = (x1 , x1 , x1 , . . . x1 ) Как найти вторую пару: λ2 , x2 ? Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 18 / 36
  19. 19. Методы исчерпыванияМетоды исчерпыванияАлгоритм Алгоритм основан на преобразовании подобия матриц Матрица B подобна матрице A если существует такая неособая матрица H, что B = HAH−1 тогда если Ax = λx то HAH−1 (Hx) = λHx ⇒ By = λy Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 19 / 36
  20. 20. Методы исчерпыванияМетоды исчерпыванияАлгоритм Сформируем матрицу H из компонент 1-го собственного вектора 1 0 0 ... 0   (1)  (1)  x1 x1  − x1 (2)   (2)   x(1) 1 0 . . . 0  x1    1   (3)   x(3)  x1 =  x 1  , H1 =  − 1  x(1) 0 1 . . . 0 (4)  .      1  .   . . . .  .  . . . . 0 (n) . . . .  x1  (n) x1  − (1) 0 0 ... 1 x1 Произведение матрицы H1 и собственного вектора x1 : H1 x1 = e1 = (1, 0, 0, 0, . . . , 0) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 20 / 36
  21. 21. Методы исчерпыванияМетод исчерпыванияАлгоритм Умножив левую и правую часть Ax1 = λ1 x1 на H1 Ax1 = λ1 x1 или H1 AH−1 (H1 x1 ) = λ1 (H1 x1 ) 1 Т.к. H1 x1 = e1 H1 AH−1 e1 = λ1 e1 1 и λ 1 b1 A2 = H1 A1 H−1 = 1 0 B2 Матрица B размерности n − 1 подобна матрице A и имеет собственные числа λ2 , λ3 , . . . λn Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 21 / 36
  22. 22. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений) Найти все собственные значения симметричной матрицы A Ax = λx Метод Якоби основан на преобразовании подобия симметричной матрицы A Λ = QT AQ Q – ортогональная матрица: Q−1 = QT Λ – диагональная матрица, составленная из собственных чисел Столбцы матрицы Q являются собственными векторами матрицы A AQ = ΛQ Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 22 / 36
  23. 23. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений) Суть метода вращений заключается в построении последовательности R1 , R2 , . . ., уменьшающей внедиагональные элементы матрицы A (R1 R2 R3 . . .)T · A · (R1 R2 R3 . . .) → Λ Эта последовательность преобразований матрицы A приводит её к диагональной матрице, у которой на главной диагонали стоят собственные числа. Точность решения характеризуется суммой квадратов внедиагональных элементов σ(A) = |aij |2 i=j Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 23 / 36
  24. 24. Метод ЯкобиМетод ЯкобиДиагонализация тензора инерции Тензор инерции твердого тела в базисе xyz недиагональный   Jx −Jxy −Jxz J = −Jxy Jy −Jyz  −Jxz −Jyz Jz Тензор инерции твердого тела в главном базисе x y z диагональный   Jx 0 0 J =  0 Jy 0  0 0 Jz Базис xyz можно совместить с x y z тремя последовательными поворотами вокруг осей x, y и z. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 24 / 36
  25. 25. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений Пусть на k-ой итерации матрица A(k) имеет максимальный по модулю внедиагональный элемент ak (i < j) ij   a11 a12 ... ... a1,n−1 ann  a21 a22 ... ... a2,n−1 a2n    ... ... ... ... ... ... A(k) = a  i1 ai2 ... aij ...  ain    ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... ... an,n−1 ann Необходимо найти такую ортогональную матрицу R(k) , чтобы в результате преобразования подобия произошло обнуление элемента ak . ij Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 25 / 36
  26. 26. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений Построим матрицу вращения, отличающейся от единичной матрицы элементами aii = ajj = cos ϕ, aij = − sin ϕ, aji = sin ϕ   1 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 1 ... 0 ... 0 ... 0 . . . . . . .   . . . . . . . . . . . ... . . . 0  0 ... cos ϕ(k) ... − sin ϕ(k) ... 0 (k) (k) 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 Rij (ϕ ) =  . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . .  0 ... 0 0 ... 0 ... 0   0  ... 0 sin ϕ(k) ... cos ϕ(k) ... 0 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 ... 1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 26 / 36
  27. 27. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений Рассмотрим результат произведения (k)T (k) A(k+1) = Rij A(k) Rij (k) Элементы матрицы B(k) = A(k) Rij отличаются от элементов матрицы A(k) только в i и j столбцах (k) (k) (k) bνi = aνi cos ϕ(k) + aνj cos ϕ(k) , (k) (k) (k) bνj = −aνi sin ϕ(k) + aνj cos ϕ(k) , (k)T Элементы матрицы A(k+1) = Rij B(k) отличаются от элементов матрицы B(k) только в i и j строках (k+1) (k) (k) aνi = bνi cos ϕ(k) + bνj sin ϕ(k) , (k+1) (k) (k) aνj = −bνi sin ϕ(k) + bνj cos ϕ(k) , Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 27 / 36
  28. 28. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Матрицы вращений (k) (k) Учитывая, что aij = aji (k+1) (k) (k) aij = bij cos ϕ(k) + bjj sin ϕ(k) = (k) = (−aii sin ϕ(k) + aij cos ϕ(k) ) cos ϕ(k) + (k) (k) + (−aji sin ϕ(k) + ajj cos ϕ(k) ) sin ϕ(k) = (k) 1 (k) (k) = aij cos 2ϕ(k) + (ajj − aii ) sin 2ϕ(k) (5) 2 ϕ(k) выбирается из условия (k) (k+1) (k) 2aij aij = 0 → tg2ϕ = (k) (k) aii − ajj Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 28 / 36
  29. 29. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Оценка погрешности (k) 1 (k) (k) (k) σ(Ak+1 ) = σ(A(k) )−2(aij )2 + (ajj −aii ) sin 2ϕ(k) +2aij cos 2ϕ(k) )2 = 2 (k) 1 (k) (k) = σ(A(k) ) − 2(aij )2 + (2aij ) = σ(A(k) ) − 2(aij )2 2 (k)Т.к. aij – максимальный по модулю элемент, то (k) (k) σ(A(k) ) σ(A(k) ) ≤ n(n − 1)(aij )2 → (aij )2 ≥ n(n − 1) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 29 / 36
  30. 30. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Оценка погрешности (k) σ(A(k) ) Поскольку (aij )2 ≥ n(n−1) (k) 2σ(A(k) ) σ(A(k+1) ) = σ(A(k) ) − 2(aij )2 ≤ σ(A(k) ) − = qσ(A(k) ) n(n − 1) где 2 q =1− , 0 ≤ q < 1, n ≥ 2 n(n − 1) σ(A(k+1) ) ≤ qσ(A(k) ) ≤ . . . ≤ q (k+1) (A(0) ) → σ(A(k) ) = q k σ(A(0) ) при k → ∞, σ(A(k) ) → 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 30 / 36
  31. 31. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 0 [3] Найти собственные значения матрицы   4 2 1 A = 2 5 3 1 3 6 с точностью σ(A) < ε = 0.3 a23 = 3, i = 2, j = 3 → ϕ(0) = arctan[2aij /(aii − ajj )] = −0.7033 Матрица вращения     1 0 0 1 0 0 R(0) = 0 cos ϕ(0) − sin ϕ(0)  = 0 0.76 0.65 0 sin ϕ(0) cos ϕ(0) 0 −0.65 0.76 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 31 / 36
  32. 32. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 1   4 0.87 2.06 A(1) = R(0)T AR(0) = 0.87 2.46 −0.03 2.06 −0.03 8.54 Оценка погрешности σ(A(1) ) = 0.872 + 2.062 + 0.032 > ε a13 = 2.06, i = 1, j = 3 → ϕ(1) = arctan[2aij /(aii − ajj )] = −0.3693 Матрица вращения cos ϕ(1) 0 − sin ϕ(1)     0.933 0 0.361 (1) R = 0 1 0 = 0 1 0  sin ϕ(1) 0 cos ϕ (1) −0.361 0 0.933 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 32 / 36
  33. 33. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 2   3.19 0.819 0.005 A(2) = R(1)T A(1) R(1) = 0.819 2.46 0.28  0.005 0.28 9.38 Оценка погрешности σ(A(2) ) = 0.8192 + 0.282 + 0.0052 > ε a12 = 0.819, i = 1, j = 2 → ϕ(2) = arctan[2aij /(aii − ajj )] = 0.5758 Матрица вращения cos ϕ(2) − sin ϕ(2) 0     0.8388 −0.5445 0 R(2) =  sin ϕ(2) cos ϕ(2) 0 = 0.5445 0.8388 0 0 0 1 0 0 1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 33 / 36
  34. 34. Метод ЯкобиМетод Якоби (метод вращений)Пример. Итерация 2   3.706 0.0003 0.1565 A(3) = R(2)T A(2) R(2) = 0.0003 1.929 0.232  0.1565 0.232 9.38 Оценка погрешности √ σ(A(3) ) = 0.00032 + 0.15652 + 0.2322 = 0.07839 < ε Собственные числа λ1 ≈ 3.706, λ2 ≈ 1.929, λ3 ≈ 9.38 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 34 / 36
  35. 35. Метод ЯкобиЗадание 7 Построить программу определения собственных чисел и собственных векторов симметричной матрицы, используя метод Якоби. Проверить работу программы, определив собственные числа матрицы   1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 1.0000 0.6667 0.5000 0.4000   A = 0.3333 0.6667 1.0000 0.7500 0.6000   0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 0.8000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 λ = (0.1560, 0.2728, 0.5010, 1.0035, 3.0666) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 35 / 36
  36. 36. ИсточникиСписок использованных источников Соллогуб А. В. Козлов Д. И. Применение ЭВМ в задачах проектирования летательных аппаратов. Куйбышевский авиационный институт, 1971. Клунникова М. М. Распопов В. Е. Лекции по курсу «Численные методы». Сибирский федеральный университет, 2007. Ревизников Д. Л. Формалёв В. Ф. Численные методы. Физматлит, 2004. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 14 апреля 2012 г. 36 / 36

×