Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Нелинейная динамика спутников-гиростатов

9,585 views

Published on

Презентация с 10 Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики,
24-31 августа 2011

Published in: Technology
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Нелинейная динамика спутников-гиростатов

  1. 1. Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва Асланов В. С. Нелинейная динамика спутников-гиростатов Самара 2011
  2. 2. Постановка задачи Рассматривается движение спутников-гиростатов с изменяющейся структурой Изменение структуры может приводить к • изменению моментов инерции платформы и ротора • нарушению динамической симметрии системы относительно оси вращения Необходимы новые математические модели учитывающие эти процессыДинамику вращающихся тел изучали великие математики: Л.Эйлер, О.Коши, К.Якоби, С.Пуассон, Ж.Лагранж, С.Ковалевская идругие. Исследование поведения вращающихся тел в приложениях космической динамики посвящены работы: В.Румянцева,В.Сарычева и С.Мирера, Й.Виттенбурга, J.Cochran, R.Rand, S.Hall, P.Hughes, J.Kuang, X.Tong, J.Cavas, A. Vigueras и другие.
  3. 3. Содержание• Уравнения движения – Описание системы – Уравнения Эйлера – Уравнения в переменный Андуайе-Депри – Безразмерные уравнения• Невозмущенное движение – Типы гиростатов – Фазовое пространство – Аналитические решения• Спутник-гиростат с изменяющейся структурой – Деформация фазового пространства – Адиабатические инварианты – Стабилизация
  4. 4. 1. Уравнения движенияОписание системы  dG ω G 0 (1) dt  G J ω Gr a (2) Кинетический момент (КМ) системы  Gr Cr   (3) КМ ротора относительно платформы J Jp Jr (4) Тензор инерции системы  dG J 1  G Gr a G G J 1  G Gr a (5) dt Проекции КМ на оси Ox p y p z p G (Gx , Gy , Gz ) Структура тензора инерции системы с асимметричными платформой и ротором Jx J xy 0 J J xy Jy 0 (6) 0 0 Jz
  5. 5. 1. Уравнения движенияДинамические уравнения Эйлера 2 Gy J xy  J x J y Gr Gz Gx J z J xy 2 Gy J xy Jx Jz Jy  Gx (7) 2 Jz JxJ y J xy 2 Gz Gy J z J xy Gx J xy J y Jz Jx  Gx Gr  Gy (8) 2 J z (Jx J y J xy ) Jz GxGy J x Jy Gx2 Gy J xy 2  Gz (9) 2 JxJy J xy Уравнения для осесимметричного ротора, при J 0, ( , x, y, z ) Jy Jz  Gr Jz Jx  Gr Jx JyGx Gz Gy (10)  Gy Gz Gx (11)  Gz GxGy (12) Jy Jz Jz JxJz Jz JxJ y
  6. 6. 1. Уравнения движения Уравнения в переменных Депри Кинетический момент системыl, g, h, L, G, H - переменные Андуайе-Депри Gx G2 L2 sin l (13) Gy G2 L2 cos l (14) Gz L (15) Уравнения для асимметричного ротора Ar Br  1 (16) Ar Bp Ap cos 2l Ap Bp 2 Ar L Cr l L Fl (l , s, ) 2 Ap Ar Ar Bp C p Cr (17) 2 2 G L Ap B p sin 2l  L FL (l , s, ) 2 Ap Ar Ar Bp
  7. 7. 1. Уравнения движенияУравнение относительного движения Векторное уравнение движения платформы dG p ω Gp ga  Mc (18) dt Скалярная форма  1 1 G pz Gpx Gpy  g (19) BP AP Уравнение (19) в переменных Андуайе-Депри при малой асимметрии ротора G2 L2 Bp Ap Cr Cp  sin 2l  ga 2C p Ap Ar Ar Bp C p Cr (20) Cr ( C p  L) F (l , s, ) Cr (C p Cr )
  8. 8. 1. Уравнения движенияБезразмерные уравнения Безразмерные параметры Cp Cp Cp Ar a ,b ,c ,w (21) Ap Ar Bp Ar Cp Cr Cp Безразмерные переменные L Cr L C p  s , d (22) G G C p Cr Безразмерный внутренний момент Cp (23) ga 2  ga G Безразмерное время G t (24) Cp
  9. 9. 1. Уравнения движения Безразмерные уравнения s l s d a b b a cos 2l fl (l , s, ) 2 1 s b a 1 s 2 sin 2l f s (l , s, ) 2 (25) d s f (l , s, ) 1 c d f d (l , s, )Слагаемые, выделенные цветом, отличны от нуля для системы с асимметричным ротором
  10. 10. 2. Невозмущенное движениеГамильтонова форма уравненийКаноническая форма уравнений при 0 H s l s d a b b a cos 2l s 2 (26) H 1 s b a 1 s 2 sin 2l l 2Гамильтониан 1 s2 s2 H l, s a b (b a)cos 2l sd h const (27) 4 2s, d – обобщ. импульсы, l – позиционная координата, – цикл. координата, d const
  11. 11. 2. Невозмущенное движениеФазовые траектории и стационарные решения Решая 1 s2 s2 (28) H l, s a b (b a)cos 2l sd h 4 2 получим уравнение фазовой траектории a b 2 s2 4ds 4h a b (29) cos 2l 2 1 s b a Стационарные решения, определяющие структуру фазового пространства d d 1) cos 2l* 1, s* 2) cos 2l* 1, s* 1 b 1 a (30) 2 a b 2d 2 a b 2d 3) cos 2l* , s* 1 3) cos 2l* , s* 1 b a b a
  12. 12. 2. Невозмущенное движение Типы гиростатовПять типов гиростатов, определяемых соотношением моментов инерции # Тип подтип Условие Доп. условие a |d/(1-a)|<1 1 Oblate CP>A>B (b>a>1) b |d/(1-a)|≥1 2 Oblate-intermediate CP=A>B (b>a=1) |d/(1-a)| a |d/(1-a)|≥1 3 Intermediate b A>CP>B (b>1>a) |d/(1-a)|<1, |d/(1-b)|<1 c |d/(1-b)|≥1 4 Intermediate-prolate A>CP=B (b=1>a) |d/(1-b)| a |d/(1-b)|≥1 5 Prolate A>B>CP (1>b>a) b |d/(1-b)|<1
  13. 13. 2. Невозмущенное движение Сплюснутый гиростат (oblate) CP A B (b a 1) d dСтац. точки для случая 1а 1 Стац. точки для случая 1b 1 1 a 1 aСёдла Сёдла ls k , ss d / (1 a) (31) 2 a b 2d 2 cos 2ls , ss sgn d (33) b aЦентры Центры lc k , sc d/ 1 b (32) lc k , sc d/ 1 b (34)
  14. 14. 2. Невозмущенное движениеOblate-intermediate (2), Intermediate (3.a) Oblate-intermediate (2) Intermediate (3.a) CP A B (b a 1) A CP B (b a 1), d / (1 a) 1 Стационарные точки Стационарные точки сёдла сёдла 2 a b 2d 2 a b 2d cos 2ls , ss sgn d (35) cos 2ls , ss sgn d (37) b a b a центры центры lc k , sc d/ 1 b (36) lc k , sc d/ 1 b (38)
  15. 15. 2. Невозмущенное движение Промежуточный A CP B (b 1 a) Стационарные точки для случая 3b Сёдла 2 a b 2d 2 a b 2dcos 2ls , ss sgn d (39) cos 2ls , ss sgn d (41) b a b a центрыlc k , sc d/ 1 b (40) lc /2 k , sc d/ 1 b (42)
  16. 16. 2. Unperturbed motion Critical pointsIntermediate (3.c), Intermediate-prolate (4) Промежуточный (Intermediate) (3.c) Intermediate-prolate (4) A CP B (b 1 a), d b 1 A CP B (b 1 a) Стационарные точки Стационарные точки Сёдла Сёдла 2 a b 2d 2 a b 2d cos 2ls , ss sgn d (43) cos 2ls , ss sgn d (45) b a b a Центры Центры lc k , sc d/ 1 b (44) lc k , sc d/ 1 b (46)
  17. 17. 2. Невозмущенное движение Вытянутый гиростат A B CP (1 b a) d dСтационарные точки для случая 5a 1 Стационарные точки для случая 5b 1 1 b 1 b Сёдла Сёдла 2 a b 2d cos 2ls , ss sgn d (47) ls 0, ss d / (1 b) (49) b a Центры Центры lc k , sc d/ 1 a (48) lc k , sc d/ 1 a (50) 2 2
  18. 18. 2. Невозмущенное движение ИнтегралыИсключая l из (28), получим 1 2 2 s 1 s2 b a a b 2 s2 4ds 4h a b F4 (s) (51) 2 F4 (s) Полином 4 степени по sПосле разделения переменных и интегрирования (51) ds const (52) s1 s s s2 s s3 s s4 где A CP B CP / AB
  19. 19. 2. Невозмущенное движение РешенияУравнение сепаратрисы ds 4ei exp const, (53) s ss 2 (54) s ss s1 s s s2 ei exp 4 (s1..4 ), (s1..4 ), R( x) x x2 , x s ss , ei 2 / si ss , s1...4 s1...4 (a, b, h, d )Уравнения вращательных и колебательных траекторий 1 2sn2 ,k s 2 (55) 3 4 sn ,k 1...4 1...4 ( s1..4 ), ( s1..4 , )Координата l ( ) может быть полученподстановкой (54) или (55) в (29).
  20. 20. 3. Спутник гиростат переменной структуры Система с переменным моментом инерции Изменяющиеся параметры системы AR (t ) BR (t ) AR 0 f A (t ), CR (t ) CR 0 fC (t ) (56)Уравнения для переменных по времени a(t), b(t) сохраняют свой вид H s l s d a b b a cos 2l s 2 (57) H 1 s b a 1 s 2 sin 2l l 2
  21. 21. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства Ar увеличивается (a уменьшается) ss изменяется от d/(1-a) до -sgn d Oblate
  22. 22. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства Сёдла достигают положения /2± k при d 1 1 a Oblate 1a-1b
  23. 23. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства Дальнейшее увеличение Ar : ss = -sgn d, cos 2ls= (2-a-b+2d)/(b-a) Сёдла движутся к 0± k Oblate Oblate-intermediate Intermediate 3a
  24. 24. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства При|d/(1-a)|<1, |d/(1-b)|<1 зарождается «верхняя» сепаратриса Intermediate 3b
  25. 25. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства При |d/(1-a)|<1, |d/(1-b)|<1 «нижняя» сепаратриса исчезает Intermediate 3b
  26. 26. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства Седловые точки движутся к 0± k Prolate 5a
  27. 27. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства Седловые дочки достигают 0± k при d 1 1 b Prolate 5a-5b
  28. 28. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства d 1 1 b Prolate 5b
  29. 29. 3. Спутник гиростат переменной структурыДеформация фазового пространства
  30. 30. 3. Спутник гиростат переменной структуры Adiabatic InvariantsДля системы с изменяющимся H( ) можно ввести каноническую переменную - действие I( ) s l dl const (58)Интегрирование в (58) проводится на полном периоде вращения или колебаний. Используя замену x cos 2l xi xi (a, b, h, d , ) (59) интеграл (58) приводится к форме 1 2d b a x x1 x x2 I 2  b a x x 1 x 2 dx (60) 3 I2 2.1kg m2 , I3 1.6 kg m2 , I p 2.5 kg m2 , 0.005Интеграл действия – адиабатический инвариантплощадь ограниченная фазовой траекторией на полном периоде движения
  31. 31. 3. Спутник гиростат переменной структуры Адиабатические инвариантыПервый интеграл для системы с медленно меняющимися параметрами I d ( ), h( ) const (61)Вид интеграла определяется типом гиростата, видом движения (вращение, колебание).Структура интеграла I 0 1 (n1 , m) 2 (n2 , m) 3 (m) (62) (ni , m) - полный эллиптический интеграл третьего рода K (m) - полный эллиптический интеграл первого рода j j (a, b, h, d , ), j 0,1,2,3
  32. 32. 3. Спутник гиростат переменной структурыАдиабатические инварианты Изменение a( ), b( ) Изменение энергии системы h( ) Фазовая траектория Интеграл действия
  33. 33. 3. Спутник гиростат переменной структуры СтабилизацияПрограммное движение * при AR AR 0 f A (t ) • Стационарная точка для CP A d L s cos 1 b G • Начальное значение d d0 1 b0 cos * b0 CP / BP AR 0 • Дифференцируя CP d 1 cos * BP AR 0 f A (t )  CP f A (t )  d cos 2 * BP AR 0 f A (t )  f A (t ) ga t 2 CP G cos * BP AR 0 f A (t )
  34. 34. 3. Спутник гиростат переменной структуры ПримерAP 1.0 кг м2 , BP 0.6 кг м2 , CP 1.2 кг м2 , AR 0 0.08 кг м 2 G 1кг м2c 1 f A (t ) 1.92 10 4 t кг м2AR AR 0 f A (t ) l0 0, s0 0.81908 cos * 0.7 При действии внутреннего Вид движения «стабилизирующего» момента меняется из-за изменения моментов инерции вид движения сохраняется  f A (t ) ga t 0 ga t 2 CP G cos * BP AR 0 f A (t )
  35. 35. Заключение• Получены уравнения движения асимметричного одноосного гиростата с переменными моментами инерции.• Уравнения движения одноосных гиростатов приведены к двум обыкновенным дифференциальных уравнений первого порядка для канонических переменных Andoyer-Deprit.• Для невозмущенного движения, когда внутренний момент равен нулю, найдены стационарные решения и изучена их устойчивость.• Получены общие аналитические решения в эллиптических функциях и сепаратрисные решения в элементарных функциях уравнений движения осесимметричного свободного гиростата.• Для гиростатов с медленно меняющимися моментами инерции найдены адиабатические инварианты как функции полных эллиптических интегралов.• Рассмотрена задача по стабилизации заданного пространственного положения гиростата.
  36. 36. Литература1. Rumyantsev V.V.: On the Lyapunovs methods in the study of stability of motions of rigid bodies with fluid-filled cavities, Adv. Appl. Mech. 8, 183-232 (1964)2. Tong X., Tabarrok B., Rimrott F.: Chaotic motion of an asymmetric gyrostat in the gravitational field, Int. J. Non-Linear Mech. 30, 191-203 (1995)3. Kinsey K.J., Mingori D.L., Rand R.H.: Non-linear control of dual-spin spacecraft during despin through precession phase lock, J. Guidance Control Dyn. 19, 60-67 (1996)4. Hall C.D.: Escape from gyrostat trap states, J. Guidance Control Dyn. 21, 421-426 (1998)5. Hall, C. D., and Rand, R. H.: "Spinup Dynamics of Axial Dual-Spin Spacecraft," Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 17, n. 1, 30-37 (1994).6. Anchev, A.: On the stability of the permanent rotations of a heavy gyrostat. J. of Applied Mathematics and Mechanics, 26, n 1, 22-28 (1962).7. Kane,T.R.: Solution of the Equations of rotational motion for a class of torque-free gyrostats. AIAA Journal, 8, n 6, 1141-1143 (1970).8. Elipe, A.: Gyrostats in free rotation. IAU Colloquium, 165, 1-8 (1991).9. El-Sabaa, F.M.: Periodic solutions and their stability for the problem of gyrostat. Astrophysics and Space Science, 183, 199-213 (1991).10. Cochran, J. E., Shu, P.-H., and Rew, S. D.: Attitude Motion of Asymmetric Dual-Spin Spacecraft, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 5, n 1, 37-42 (1982).11. Cavas, J.A., Vigueras,A.: An integrable case of rotational motion analogue to that of Lagrange and Poisson for a gyrostat in a Newtonian force field, Cel.Mech.Dynam.Astron., 60, 317-330 (1994).12. El-Gohary, A. I.: On the stability of an equilibrium position and rotational motion of a gyrostat, Mech. Res. Comm., 24, 457-462 (1997).13. El-Gohary A.: On the control of programmed motion of a rigid containing moving masses, Int. J. Non-Linear Mech, 35, n 1, 27-35(2000).14. El-Gohary A.: On the stability of the relative programmed motion of a satellite gyrostat, Mechanics Research Communications, 25, n 4, 371-9 (1998).
  37. 37. Литература15. El-Gohary A.: Optimal stabilization of the rotational motion of rigid body with the help of rotors, Int. J. Non-Linear Mech., 35, n 3, 393-403 (2000).16. El-Gohary, A., Hassan, S.Z.: On the exponential stability of the permanent rotational motion of a gyrostat, Mechanics Research Communications, 26, n 4, 479-488 (1999).17. Tsogas, V., Kalvouridis, T.J., Mavraganis, A.G.: Equilibrium states of a gyrostat satellite moving in the gravitational field of an annular configuration of N big bodies, Acta Mechanica, 175, n 1-4, 181-195 (2005).18. Kalvouridis, T.J.: Stationary solutions of a small gyrostat in the Newtonian field of two massive bodies, Nonlinear Dynamics, 61, n 3, 373-381 (2010).19. Balsas, M.C., Jimenez, E.S., Vera, J.A.: The motion of a gyrostat in a central gravitational field: phase portraits of an integrable case, J. Nonlinear Math.Phys.,15, 53-64 (2008).20. Neishtadt A.I., Pivovarov M.L.: Separatrix crossing in the dynamics of a dual-spin satellite, J. of Applied Mathematics and Mechanics, 64, 741-746 (2000).21. Aslanov V.S., Doroshin A.V.: Chaotic dynamics of an unbalanced gyrostat. J. of Applied Mathematics and Mechanics, 74, 524-535 (2010).22. Hughes, P.C.: Spacecraft Attitude Dynamics, Wiley, New York (1986).23. Andoyer H.: Cours de Mechanique Celeste, Vol. 1, Gauthier-Villars (1923).24. Deprit A.: A free rotation of a rigid body studied in the phase plane, American Journal of Physics, 35 , 424 – 428 (1967)25. Korn G., Korn T.: Mathematical handbook, McGraw-Hill Book Company, New York (1968).26. Gradshteyn I., Ryzhik I.: Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, San Diego (1980).27. Born M.: Problem of atomic dynamics, Massachusetts Institute of technology, Cambridge, Mass. (1926).28. Wolfram MathWorldive Mathematics Resource (http://mathworld.wolfram.com/).

×