Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
СЛАУ специального вида     Методы численного решения СЛАУ      Кафедра теоретической механикиСамарский государственный аэр...
Содержание1   Трехдиагональные системы. Метод Прогонки2   Симметричные матрицы3   Симметричные, положительно определенные ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЛенточные матрицыОпределение 1.Матрица A называется ленточной, если её элементы ai...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЛенточные матрицы                                               1, 4 1, 5 1, 6    ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиТрехдиагональные системы a11 a12 0          0     0     0                0       x...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиМетод прогонки  1 −ξ0       0   0   0   0          0      x0                     ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиМетод прогонкиАлгоритм [1]  1    Подставим x0 из (2) в (1)                        ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиМетод прогонкиАлгоритм [1]  1    Подставим x0 из (2) в (1)                        ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3    Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1)                         ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3    Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1)                         ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3    Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1)                         ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3    Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1)                         ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритмПрогоночные формулы    Прямой ход прогонки                            Bk  ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритмПрогоночные формулы    Прямой ход прогонки                            Bk  ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиТрехдиагональные системыУсловие существования решенияОпределение 4.Прогонка называ...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиТрехдиагональные системыУсловие существования решенияTheoremПрогонка устойчива и к...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Решить задачу глобальной сплайн-интерполяции. На плоскости задана серия...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Условия непрерывности:    S(xi ) = yi - условие интерполяции (сплайн пр...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Указанные выше условия приводят к необходимости решения следующейСЛАУ с...
Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Необходимо реализовать следующий алгоритм работы программы:    загрузит...
Симметричные матрицыLDM T - разложение                                   A = LU = LDMTTheoremЕсли все ведущие главные подм...
Симметричные матрицыLDM T - разложениеАлгоритм       Пусть известны j − 1 столбцов матрицы L, j − 1 элементов       диагон...
Симметричные матрицыLDM T - разложениеАлгоритм         Пусть известны j − 1 столбцов матрицы L, j − 1 элементов         ди...
Симметричные матрицыLDM T - разложениеАлгоритм [3]     Определение dj = vj     Определение mji = vi /di , i = 1, . . . j −...
Симметричные матрицыLDM T - разложение   LDMT разложение матрицы A, как и LU разложение, требует   около 2n3 /3 арифметиче...
Симметричные матрицыLDLT - разложениеTheoremЕсли A – симметричная невырожденная матрица, то в разложенииA = LDMT L = M.Док...
Симметричные матрицыLDLT - разложениеАлгоритм                                                                        ...
Симметричные матрицыLDLT - разложениеАлгоритм [3]for j=1:n  for i=1:j-1    v(i) = L(j,i)*d(i)  end  v(j)=A(j,j)-L(j,1:j-1)...
Симметричные матрицыLDLT - разложениеПример                         A = LDLT                                       ...
Симметричные, положительно определенные системыПоложительно определенная матрицаДля вещественной положительно-определенной...
Симметричные, положительно определенные системыПоложительно определенная матрицаЗадачи механики      Общий вид матричного ...
Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоДля симметричной положительно определенной матрицы справедли...
Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоАлгоритмПусть известны первые j − 1 столбцов матрицы G. Прир...
Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоАлгоритм                                           j        ...
Симметричные, положительно определенные системыРазложение ХолецкогоАлгоритм [3]for j=1:n  v(j:n)=A(j:n,j)  for k=1:j-1    ...
Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоРешение СЛАУ                                 Ax = b → G GT x...
Симметричные, положительно определенные системыЗадание 6Напишите функцию   x = SolveHol(A,b)решения системы линейных уравн...
ИсточникиСписок использованных источников   В. Ф. Волков.   Численные методы.   Издательство физико-математической литерат...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Решение систем линейных уравнений: трехдиагональные, симметричные и положительно определённые системы

3,504 views

Published on

Рассматриваются методы решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными, симметричными и положительно определенными матрицами коэффициентов.

Published in: Education
  • Be the first to comment

Решение систем линейных уравнений: трехдиагональные, симметричные и положительно определённые системы

  1. 1. СЛАУ специального вида Методы численного решения СЛАУ Кафедра теоретической механикиСамарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) yudintsev@termech.ru 17 марта 2012 г.
  2. 2. Содержание1 Трехдиагональные системы. Метод Прогонки2 Симметричные матрицы3 Симметричные, положительно определенные системы4 Источники Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 2 / 32
  3. 3. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЛенточные матрицыОпределение 1.Матрица A называется ленточной, если её элементы aij удовлетворяютусловиям aij = 0 при l < i − j и j − i > m для некоторыхнеотрицательных чисел l , m.l + m + 1 – ширина ленточной матрицыОпределение 2.Если m = 0, то матрица A – левая ленточнаяЕсли l = 0, то матрица A – правая ленточнаяОпределение 3.Если l = m = 1,то матрица A называется трехдиагональной. Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 3 / 32
  4. 4. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЛенточные матрицы 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 6 4, 2 4, 3 5, 3 5, 4 6, 4 6, 5 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 4 / 32
  5. 5. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиТрехдиагональные системы a11 a12 0 0 0 0 0 x1 b1     ...a21 a22 a23 0 0 0 ... 0   x2   b2      0 a32 a33 a34 0 0 ... 0   x3   b3      0 0 a43 a44 a45 0 ... 0   x4  =  b4     . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ...  ...   ...      0 ... 0 0 0 an−1,n−2 an−1,n−1 an−1,n  xn−1  bn−1  0 ... 0 0 0 0 an,n−1 an,n xn bnЗадачи, приводящие к необходимости решения СЛАУ стрехдиагональной матрицей Сплайн-интерполяция Задачи аэро-гидро динамики Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 5 / 32
  6. 6. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиМетод прогонки 1 −ξ0 0 0 0 0 0 x0     ... ν0 A1 −C1 B1 0 0 0 ... 0   x1   F1     0 A2 −C2 B2 0 0 ... 0   x2   F2     0 0 A3 −C3 B3 0 ... 0   x3  =  F3     . . . . . . ... ... ... ... ... ...  ...   ...     0 ... 0 0 0 An−1 −Cn−1 Bn−1  xn−1  Fn−1  0 ... 0 0 0 0 −ξn 1 xn νn Aj xj−1 − Cj xj + Bj xj+1 = Fj , j = 1, 2, . . . n − 1. (1) x0 = ξ0 x1 + ν0 (2) xn = ξn xn−1 + νn (3) Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 6 / 32
  7. 7. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиМетод прогонкиАлгоритм [1] 1 Подставим x0 из (2) в (1) A1 (ξ0 x1 + ν0 ) − C1 x1 + B1 x2 = F1 (4) B1 A1 ν0 − F1 x1 = ξ1 x2 + ν1 , где ξ1 = , ν1 = (5) C1 − A1 ξ0 C1 − A1 ξ0 2 Подставим x1 из (5) в следующее уравнение (1), получим уравнение, связывающее x2 и x3 : x2 = ξ2 x3 + ν2 (6) или для k xk−1 = ξk−1 xk + νk−1 , k < n − 1 (7) Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 7 / 32
  8. 8. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиМетод прогонкиАлгоритм [1] 1 Подставим x0 из (2) в (1) A1 (ξ0 x1 + ν0 ) − C1 x1 + B1 x2 = F1 (4) B1 A1 ν0 − F1 x1 = ξ1 x2 + ν1 , где ξ1 = , ν1 = (5) C1 − A1 ξ0 C1 − A1 ξ0 2 Подставим x1 из (5) в следующее уравнение (1), получим уравнение, связывающее x2 и x3 : x2 = ξ2 x3 + ν2 (6) или для k xk−1 = ξk−1 xk + νk−1 , k < n − 1 (7) Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 7 / 32
  9. 9. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3 Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1) Ak (ξk−1 xk + νk−1 ) − Ck xk + Bk xk+1 = Fk (8) 4 Разрешаем уравнение (8) относительно xk xk = ξk xk+1 + νk (9) где Bk Ak νk−1 − Fk ξk = , νk = (10) Ck − Ak ξk−1 Ck − Ak ξk−1 5 Подставим (9) для k = n − 1 в (3) : xn = ξn (ξn−1 xn + νn−1 ) + νn (11) 6 xn → (9) → xn−1 → xn−2 . . . → x1 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 8 / 32
  10. 10. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3 Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1) Ak (ξk−1 xk + νk−1 ) − Ck xk + Bk xk+1 = Fk (8) 4 Разрешаем уравнение (8) относительно xk xk = ξk xk+1 + νk (9) где Bk Ak νk−1 − Fk ξk = , νk = (10) Ck − Ak ξk−1 Ck − Ak ξk−1 5 Подставим (9) для k = n − 1 в (3) : xn = ξn (ξn−1 xn + νn−1 ) + νn (11) 6 xn → (9) → xn−1 → xn−2 . . . → x1 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 8 / 32
  11. 11. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3 Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1) Ak (ξk−1 xk + νk−1 ) − Ck xk + Bk xk+1 = Fk (8) 4 Разрешаем уравнение (8) относительно xk xk = ξk xk+1 + νk (9) где Bk Ak νk−1 − Fk ξk = , νk = (10) Ck − Ak ξk−1 Ck − Ak ξk−1 5 Подставим (9) для k = n − 1 в (3) : xn = ξn (ξn−1 xn + νn−1 ) + νn (11) 6 xn → (9) → xn−1 → xn−2 . . . → x1 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 8 / 32
  12. 12. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритм 3 Подставим xk−1 в k-ое уравнение системы (1) Ak (ξk−1 xk + νk−1 ) − Ck xk + Bk xk+1 = Fk (8) 4 Разрешаем уравнение (8) относительно xk xk = ξk xk+1 + νk (9) где Bk Ak νk−1 − Fk ξk = , νk = (10) Ck − Ak ξk−1 Ck − Ak ξk−1 5 Подставим (9) для k = n − 1 в (3) : xn = ξn (ξn−1 xn + νn−1 ) + νn (11) 6 xn → (9) → xn−1 → xn−2 . . . → x1 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 8 / 32
  13. 13. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритмПрогоночные формулы Прямой ход прогонки Bk Ak νk−1 − Fk ξ0 , ν0 → ξk = , νk = , k = 1, . . . n − 1 Ck − Ak ξk−1 Ck − Ak ξk−1 νn + ξn νn−1 xn = 1 − ξn ξn−1 Обратный ход прогонки xk = ξk xk+1 + νk , k = n − 1, n − 2, . . . 0 Количество арифметических операций с плафающей точкой (флопов), необходимых для решения СЛАУ методом прогонки пропорционален размеру матрицы ∼ 2n Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 9 / 32
  14. 14. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиАлгоритмПрогоночные формулы Прямой ход прогонки Bk Ak νk−1 − Fk ξ0 , ν0 → ξk = , νk = , k = 1, . . . n − 1 Ck − Ak ξk−1 Ck − Ak ξk−1 νn + ξn νn−1 xn = 1 − ξn ξn−1 Обратный ход прогонки xk = ξk xk+1 + νk , k = n − 1, n − 2, . . . 0 Количество арифметических операций с плафающей точкой (флопов), необходимых для решения СЛАУ методом прогонки пропорционален размеру матрицы ∼ 2n Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 9 / 32
  15. 15. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиТрехдиагональные системыУсловие существования решенияОпределение 4.Прогонка называется корректной, если знаменатели в прогоночныхформулах не обращаются в нуль.Определение 5.Прогонка называется устойчивой, если |ξi | < 1 для всех i = 0, 1, . . . n Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 10 / 32
  16. 16. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиТрехдиагональные системыУсловие существования решенияTheoremПрогонка устойчива и корректна если [2] |Cj | ≥ |Aj | + |Bj | ≥ |Aj | ≥ 0, |ξ0 | < 1, |ξn | ≤ 1Доказательство.Пусть для некоторого j, |ξj−1 | < 1. Рассмотрим выражение Cj − ξj−1 Aj . |Cj − ξj−1 Aj | ≥ |Cj | − |ξj−1 ||Aj | > |Cj | − |Aj | ≥ 0Поэтому |Bj | |Cj | − |Aj | |ξj | = ≤ < 1, |Cj − ξj−1 Aj | = 0, |Cj − ξj−1 Aj | |Cj | − |ξj−1 ||Aj | |1 − ξn ξn−1 | ≥ 1 − |ξn ||ξn−1 | > 0 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 11 / 32
  17. 17. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Решить задачу глобальной сплайн-интерполяции. На плоскости задана серияточек: (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ), xi = xj для i = j. Необходимо провести через этиточки кубический сплайн, плавно соединив заданные точки без разрывовзначений функции, а также первой и второй производных. Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 12 / 32
  18. 18. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Условия непрерывности: S(xi ) = yi - условие интерполяции (сплайн проходит через заданные точки); S(xi − 0) = S(xi + 0) - непрерывность; S (xi − 0) = S (xi + 0) - непрерывность первой производной; S (xi − 0) = S (xi + 0) - непрерывность второй производной;Всего, для n интервалов 4n − 2 условий. Каждый кубический сплайн Sk (x)имеет 4 неизвестных коэффициента (4n для всех интервалов). Недостающиедва условия можно определить задав значение первой или второйпроизводной на концах заданного интервала интерполяции: в точках x0 , xn . Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 13 / 32
  19. 19. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Указанные выше условия приводят к необходимости решения следующейСЛАУ с трехдиагональной матрицей относительно неизвестныхqi , i = 1, n − 1: hi hi + hi+1 hi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 qi−1 + qi + qi+1 = − , i = 1, n − 1, 6 3 6 hi+1 hiс дополнительными условиями на границах интервала интерполяции: q0 = qn = 0После того неизвестные величины найдены, сплайн 3 степени для каждогоинтервала [xi−1 , xi ] записывается следующим образом: (xi − x)3 (x − xi−1 )3 yi−1 hi S(x) = qi−1 + qi + − qi−1 (xi − x)+ 6hi 6hi hi 6 yi hi + − qi (x − xi−1 ) hi 6 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 14 / 32
  20. 20. Трехдиагональные системы. Метод ПрогонкиЗадание 5.1Необходимо реализовать следующий алгоритм работы программы: загрузить из файла таблицу с узлам интерполяции: пары (xi , yi ) в каждой строке, разделенные пробелами; сформировать трехдиагональную матрицу коэффициентов уравнения; решить систему линейных уравнений, построить сплайны; вывести в файл пары (xj , yj ) так, чтобы между узлами интерполяции было не менее 5 дополнительных точек. Построить график полученной кусочной функции и показать на графике точки исходной таблицы xi , yi . Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 15 / 32
  21. 21. Симметричные матрицыLDM T - разложение A = LU = LDMTTheoremЕсли все ведущие главные подматрицы A невырожденны, тогдасуществуют единственные нижние унитреугольные матрицы L и M, иединственная диагональная матрица D, такие, что A = LDMTДоказательство. 1 LU разложение существует и оно единственно. 2 Пусть D = diag (d1 , d2 , . . . , dn ), di = uii = 0. Матрица D невырожденная. 3 A = LU = LD(D−1 U) 4 D−1 U = MT – верхняя унитреугольная матрица. Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 16 / 32
  22. 22. Симметричные матрицыLDM T - разложениеАлгоритм Пусть известны j − 1 столбцов матрицы L, j − 1 элементов диагональной матрицы D и j − 1 строк матрицы M:      1 0 0 . 0 d1 0 0 . 0 1 m21 m31 . mn1  l21 1 0 . 0 0 d2 0 . 0 0 1 m32 . mn2        l31 l32 1 . 0 0 0 d3 . 0 0 0 1 . mn3        l41 l42 l43 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . mn4       . . .  . . .  . . .  ln1 ln2 ln3 . lnn 0 0 0 . dnn 0 0 0 . mnn Приравняем j-е столбцы уравнения A = LDMT A(1 : n, j) = Lv, v = DMT ej Решение нижней треугольной системы ( верхняя“ часть системы – ” строки с 1 по j) относительно v(1 : j) L(1 : j, 1 : j) · v(1 : j) = A(1 : j, j) → v(1 : j) = . . . Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 17 / 32
  23. 23. Симметричные матрицыLDM T - разложениеАлгоритм Пусть известны j − 1 столбцов матрицы L, j − 1 элементов диагональной матрицы D и j − 1 строк матрицы M:    1 0 0 . 0 d1 d1 m21 d1 m31 . d1 mn1 l21 1 0 . 0 0 d2 d2 m32 . d2 mn2     l31 l32 1 . 0 0 0 d3 . d3 mn3     l41 l42 l43 . 0 0 0 0 . 0    . . .  . . .  ln1 ln2 ln3 . lnn 0 0 0 . dnn Приравняем j-е столбцы уравнения A = LDMT A(1 : n, j) = Lv, v = DMT ej Решение нижней треугольной системы ( верхняя“ часть системы – ” строки с 1 по j) относительно v(1 : j) L(1 : j, 1 : j) · v(1 : j) = A(1 : j, j) → v(1 : j) = . . . Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 17 / 32
  24. 24. Симметричные матрицыLDM T - разложениеАлгоритм [3] Определение dj = vj Определение mji = vi /di , i = 1, . . . j − 1 Определение j-го столбца матрицы L (решение “нижней” части системы): L(j + 1 : n, 1 : j) · v(1 : j) = A(j + 1 : n, j) L(j + 1 : n, j) · v (j) = A(j + 1 : n, j) − L(j + 1 : n, 1 : j − 1) · v(1 : j − 1)for j=1:n Решить L(1:j,1:j) v(1:j) = A(1:j,j) для v(1:j) for i=1:j-1 M(j,i)= v(i)/d(i) end d(j)=v(j) L(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-L(j+1:n,1:j-1)v(1:j-1))/v(j)end Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 18 / 32
  25. 25. Симметричные матрицыLDM T - разложение LDMT разложение матрицы A, как и LU разложение, требует около 2n3 /3 арифметических операций с плавающей точкой (флопов). Разложение симметричной матрицы, можно выполнить в 2 раза меньшим количеством операций n3 /3. Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 19 / 32
  26. 26. Симметричные матрицыLDLT - разложениеTheoremЕсли A – симметричная невырожденная матрица, то в разложенииA = LDMT L = M.Доказательство. 1 Рассмотрим матрицу M−1 A(M−1 )T = M−1 LD Эта матрица является и симметричной (левая часть) и нижней треугольной (правая часть), следовательно она диагональна. 2 Матрица D невырождена, поэтому M−1 L – диагональна 3 В то же время M−1 L нижняя унитреугольная, следовательно M−1 L = E Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 20 / 32
  27. 27. Симметричные матрицыLDLT - разложениеАлгоритм     1 0 0 . 0 d1 0 0 . 0 1 l21 l31 . ln1  l21 1 0 . 0   0 d2 0 . 0 0 1 l32 . ln2       l31 l32 1 . 0   0 0 d3 . 0 0 0 1 . 0      l41 l42 l43 . 0  0 0 0 . 0 0 0 0 . 0     . . .  . . .  . . .  ln1 ln2 ln3 . lnn 0 0 0 . dnn 0 0 0 . lnn   d1 lj,1  ...  v=  dj−1 lj,j−1  dj v (j) = A(j, j) − L(j, 1 : j − 1) · v(1 : j − 1) Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 21 / 32
  28. 28. Симметричные матрицыLDLT - разложениеАлгоритм [3]for j=1:n for i=1:j-1 v(i) = L(j,i)*d(i) end v(j)=A(j,j)-L(j,1:j-1)*v(1:j-1) d(j)=v(j) L(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-L(j+1:n,1:j-1)*v(1:j-1))/v(j)end Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 22 / 32
  29. 29. Симметричные матрицыLDLT - разложениеПример A = LDLT       10 20 30 1 0 0 10 0 0 1 2 3 20 45 80  = 2 1 0  0 5 0 0 1 4 30 80 171 3 4 1 0 0 1 0 0 1Решение СЛАУ v L D LT x = b, u Lu = b → Dv = u → LT x = v → x Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 23 / 32
  30. 30. Симметричные, положительно определенные системыПоложительно определенная матрицаДля вещественной положительно-определенной матрицы ∀ x ∈ Rn , x = 0 : xT Ax > 0TheoremЕсли матрица A ∈ Rn×n является положительно определенной иматрица X ∈ Rn×k имеет ранг k, то матрица B = XT AX ∈ Rk×k такжеположительно определена [3].Следствия: 1 Если A – положительно определенная матрица, то все её главные подматрицы положительно определенные, все диагональные элементы положительны. 2 Если A – положительно определенная матрица, то разложение A = LDMT существует и матрица D = diag (d1 , d2 , d3 , . . . dn ) имеет положительные диагональные элементы. Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 24 / 32
  31. 31. Симметричные, положительно определенные системыПоложительно определенная матрицаЗадачи механики Общий вид матричного уравнения движения механической системы H(q)¨ + C(q, q) = Q(q, q) q ˙ ˙ H(q) – обобщенная матрица масс Кинетическая энергия системы (для стационарных связей) 1 T = T2 = qT H(q)q ≥ 0 ˙ ˙ 2 H(q) – симметричная положительно определенная матрица Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 25 / 32
  32. 32. Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоДля симметричной положительно определенной матрицы справедливатеорема:TheoremЕсли матрица A ∈ Rn×n является симметричной положительноопределенной, то существует единственная нижняя треугольнаяматрица G ∈ Rn×n с положительными диагональными элементами,такая, что A = GGT .Доказательство.Т.к. A симметричная, то существует LDLT разложение. Т.к. элементыdk положительны √ следствие), то матрица √ (2 √G = L · diag ( d1 , d2 , . . . dn ) вещественная, нижняя треугольная сположительными диагональными элементами и выполняетсясоотношение A = GGT . Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 26 / 32
  33. 33. Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоАлгоритмПусть известны первые j − 1 столбцов матрицы G. Приравнивая j-естолбцы уравнения A = GGT : j A(:, j) = G (j, k)G(:, k) k=1 2   g11 g11 g21 g11 g31 A =  g11 g21 2 2 g21 + g22 g21 g31 + g22 g32  2 2 g11 g31 g21 g31 + g22 g32 g31 + g32 + g332j столбец         a12 g11 g21 g11 0 a22  =  2 2 g21 + g22  = g21 g21  + g22 g22  a32 g21 g31 + g22 g32 g31 g32 Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 27 / 32
  34. 34. Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоАлгоритм j A(:, j) = G (j, k)G(:, k) → k=1 j−1 G (j, j)G(:, j) = v = A(:, j) − G (j, k)G(:, k) k=1 1 Вычисление вектора v по известным j − 1 столбцам матрицы G. 2 Вычисление G(j : n, j) = v(j : n)/ v (j). Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 28 / 32
  35. 35. Симметричные, положительно определенные системыРазложение ХолецкогоАлгоритм [3]for j=1:n v(j:n)=A(j:n,j) for k=1:j-1 v(j:n)=v(j:n)-G(j,k)*G(j:n,k) end G(j:n,j)=v(j:n)/sqrt(v(j))end Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 29 / 32
  36. 36. Симметричные, положительно определенные системыМетод ХолецкогоРешение СЛАУ Ax = b → G GT x = b u Gu = b → GT x = u → x = Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 30 / 32
  37. 37. Симметричные, положительно определенные системыЗадание 6Напишите функцию x = SolveHol(A,b)решения системы линейных уравнений с положительно-определеннойсиметричной матрицей коэффициентов A. Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 31 / 32
  38. 38. ИсточникиСписок использованных источников В. Ф. Волков. Численные методы. Издательство физико-математической литературы, 2001. В. Е. Распопов and М. М. Клунникова. Лекции по курсу «Численные методы». Сибирский федеральный университет, 2007. Дж. Голуб and Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. Мир, 1999. Кафедра ТМ (СГАУ) СЛАУ специального вида 17 марта 2012 г. 32 / 32

×