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Apostila estatística

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Apostila de estatística

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Apostila estatística

  1. 1. Um guia passo a passo para quem não quer reprovar em Estatística, aprendendo como resolver as questões de prova Apostila 1 Média, Moda, Mediana, Desvio padrão, variância, Coeficiente de Variação e conceitos importantes. Série: Como não reprovar em Estatística. Isaias Lira – Como não passar em Estatíscia www.usaforbrazil.wix.com/consultoria
  2. 2. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 1 INTRODUÇÃO Sobre mim Olá meu nome é Isaías Mechillemoth, sou Bacharel em Estatística pela UFPE, trabalhei com iniciação científica durante 3 anos desenvolvendo novas técnicas estatísticas para análise de imagens digitais, trabalhei também analisando dados socioeconômicos na Prefeitura do Recife e também atuei analisando dados de acidentes de trânsito na CTTU (Companhia de Trânsito e Transporte Urbano) ocorridos nas vias desta cidade. Além disto, tenho uma Consultoria em estatística (www.estatistica.k6.com.br), aonde venho realizando inúmeras consultorias de analise de dados para dissertações de mestrado, teses de doutorado, artigos e demais publicações, além de alguns trabalhos encomendados pela prefeitura do Recife. Paralelamente venho capacitando profissionais e professores universitários para desenvolverem suas próprias análises estatísticas tão necessárias nos seus artigos. O QUE TE OFEREÇO Toda esta experiência trabalhando com Estatística me fez desenvolver um método próprio que chamo de “Método de resolução passo a passo”, que é uma forma simples de resolver os exercícios de estatística, que a meu ver, é o que um aluno realmente precisa: saber resolver exercícios, pois a prova é baseada nos exercícios. Algumas características deste método: - Não precisa de nenhum conhecimento prévio. Vou te ensinar Estatística do ZERO, mesmo que você já saiba alguma coisa.
  3. 3. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 2 - Não é usado por professores, porque numa sala de aula é humanamente impossível que o professor esclareça todas as dúvidas de cada um dos alunos. - Conteúdos separados por temas. Serão disponibilizadas várias apostilas com temas separados para que sua mente consiga assimilar cada coisa em separado. Você vai aprender uma coisa de cada vez. - Não está em nenhum livro, pois os livros já acreditam que você já sabem de alguma coisa. Além disto, os exercícios que são resolvidos no livro são os mais fáceis e os exercícios mais complicados (que caem na prova) não estão resolvidos no livro e neste caso como você vai conseguir resolver se você não sabe nem o básico? Realmente é complicado. - Não está disponível na internet, pois na internet é tudo muito solto, jogado e você precisa de algo completamente organizado para que as coisas possam fazer algum sentido. - Linguagem direta. As apostilas de nossa série estão numa linguagem clara e bastante acessível, excluindo os termos complicados que dificultam o aprendizado. Você sentirá como se estivesse ao meu lado numa aula particular. - Funciona de verdade, pois é fruto de várias experiências em aulas para alunos de diferentes áreas do conhecimento. Este meu próprio método de ensino aprovado e com 100% de resultado positivo que se traduz em pegar na sua mão e te mostrar tudo passo a passo, na certeza de que você aprenderá o que está sendo dito. Se você não dá valor ao seu tempo e se você vier a reprovar não fará diferença para você, então toda esta série de conteúdos não é para você. Mas se você não suporta a ideia de atrasar sua vida na faculdade reprovando esta disciplina e por isso deseja fazer de tudo para ter no mínimo u bom para se dar bem nas provas de Estatística, então seja bom desempenho e aproveitamento na disciplina.
  4. 4. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 3 QUAIS SÃO OS SEUS PROBLEMAS EM ESTATÍSTICA? Estou escrevendo este guia prático, pois provavelmente você está fazendo a disciplina de Estatística ou talvez ainda irá iniciar, mas deve estar enfrentando os seguintes problemas:  Não consegue entender os livros de Estatística? Muito provavelmente você gastou seu precioso dinheiro comprando livros de Estatística na esperança de resolver seus problemas. Além disto, investiu seu valiosíssimo tempo lendo estes livros e começou lendo o primeiro capítulo, mas talvez, já nas primeiras páginas percebeu que já não estava entendendo mais nada e a cada nova página surgiam novas dúvidas, ficando assim impossível de compreender o que estava escrito e muito menos aplicar na vida real (que é o principal objetivo que quero te passar, ou seja, como o conhecimento estatístico pode te ajudar na sua vida e carreira). Os livros são fortes fontes de conhecimento, porém com relação a Estatística os autores não tem muito a preocupação de saber se você o está entendendo ou não, ou seja, a linguagem dos livros são bastante teóricas e não estão “traduzidas” de uma forma que qualquer pessoa possa entender, enfim, os livros de Estatística assumem que você já sabe alguma coisa.  Não consegue aprender com tudo o que tem na Internet? Muito provavelmente você foi ao Google ou Youtube procurando algo sobre Estatística e apesar do grande volume de informações encontradas, você
  5. 5. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 4 começa a perceber que a maioria daquilo não faz sentido, pois é muita informação e você não consegue juntar as coisas. Na internet você encontra uma avalanche de informações sobre Estatística, porém tudo está fragmentado, não tem uma ordem lógica e sistemática e neste caso a sua mente não consegue juntar uma coisa com outra para que tudo faça sentido. Além disto, como na internet qualquer pessoa escreve o que quer, estas informações que você deve estar consumindo podem ser falsas.  Não consegue entender as aulas da disciplina de Estatística? Possivelmente você deve ter passado pela experiência de fazer uma disciplina de Estatística e logo percebeu, desde as primeiras aulas, que aquilo era muito complicado, totalmente estranho e ainda por cima seu professor(a) não te explicava passo a passo as coisas, mas sim continuava enchendo a turma de mais e mais assuntos. Por conta disto, provavelmente você não consegue resolver as listas de exercícios e assim tem tido as piores notas da sua vida ou até mesmo já está a caminho de ser reprovado, atrasando ainda mais o seu curso e sua vida profissional.
  6. 6. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 5 Quase todos os cursos obrigam o aluno a fazer ao menos uma disciplina de Estatística, seja você do curso de Engenharia ou de Psicologia. A razão para isto é que em tudo precisamos de Estatística, em tudo! Você pode até não entender para que serve saber Estatística, mas em algum momento da sua carreira você vai precisar analisar dados e ai este conhecimento pode te trazer uma posição melhor no seu trabalho ou na sua carreira.  Não consegue bons Professores particulares? Talvez você tenha tentado ter aulas particulares com professores de Estatística e percebeu imediatamente que é muito caro ter UMA hora com eles e para o que você precisa aprender você deveria investir no mínimo umas 10 horas. Você também deve ter percebido que estes professores são bem raros e não tinham tempo disponível na hora que você precisava (a noite, finais de semana, etc.), pois você não tem tempo e gostaria ter aulas no seu tempo livre. Além disto, provavelmente o(a) professor(a) particular também não conseguiu tirar todas as suas dúvidas sobre os temas e ainda sim você percebeu insegurança nele(a). Professor particular de Estatística é uma boa opção, mas não é fácil encontrá-los assim como não é fácil pagar o valor exigido por eles. Além disto, eles estão sempre muito ocupados, dificultando assim os encontros. Ainda por cima, nem todos possuem o domínio do que você precisa saber.
  7. 7. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 6 O QUE REALMENTE VOCÊ DESEJA? Sei que apesar de estar enfrentando estes problemas, você:  Provavelmente você deve desejar entender a linguagem da Estatística para assim poder ler os livros e artigos e entender os resultados apresentados.  Provavelmente você deve ter um forte interesse em saber como juntar de uma forma lógica as informações que você acha na internet e saber julgá-las se são verdadeiras ou falsas.  Muito possivelmente você está interessado(a) em saber o que o professor está falando nas aulas de Estatística, para assim poder argumentar, questionar e trocar ideias com ele sobre o que você tem aprendido, aplicado e desenvolvido. Quando não se sabe de nada, nem dúvidas se têm, já percebeu? Você deve desejar resolver todas as listas de exercícios que tiver pela frente, bem como ter as melhores notas para poder passar por média e se livrar de Estatística.
  8. 8. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 7  Provavelmente você quer saber o necessário de Estatística para não precisar gastar fortunas com professores particulares.  Também acredito que muito provavelmente você tem uma grande vontade de saber como aplicar a Estatística na sua carreira Profissional, ampliando sua área de atuação e se destacando de todos os seus concorrentes até chegar um momento em que tenha que escolher o salário que deseja receber e trabalhar na empresa que desejar, por conta da disputa das empresas por você, pois você terá o que eles precisam. CASOS REAIS Com o dia a dia de mais de 6 anos ajudando alunos e professores, posso citar vários e vários casos, como o do Alisson, estudante de Psicologia da UFPE que enfrentava o problema de não conseguir entender as aulas da disciplina de Estatística. Ele até que tentou bastante ler livros, mas não entendia pois a linguagem era muito pesada para ele. A cada página que lia se sentia cada vez mais incapaz por não saber nada de nada. Para entender a pesada teoria dos livros recorria à busca por informações na internet, que também não davam resultado, pois um falava que deveria fazer uma coisa outro dizia que o correto era fazer uma outra coisa e assim ele ficava cada vez mais perdido sem saber como juntar tanta informação e sem saber julgar qual informação era a correta e qual era a falsa, ficando ainda mais com dúvidas. Alisson também tentava até participar das aulas da disciplina, mas como o professor não dava atenção às dúvidas de cada aluno, a aula corria e ele continuava acumulando suas dúvidas que o deixavam ainda mais deprimido, por tanta coisa estava sendo dita em sala e nada era captado. Ele tentou ainda buscar professores particulares e depois de tanto procurar encontrou alguns que não tinha tempo para ele e nem dominavam exatamente o que ele precisava aprender. Foi então que ele nos procurou e com toda a paciência trabalhamos no conteúdo que ele precisava e de uma forma muito simples, ensinamos a ele o nosso Método de
  9. 9. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 8 Resolução passo a passo, onde ele foi capaz de resolver os exercícios de todas as provas da disciplina. O resultado foi a tão desejada aprovação. Poderia ficar aqui contando os casos reais das pessoas que me procuram com os mesmos problemas e que tenho ajudado a todos a superarem estes problemas e ainda passarem a ter amor pela Estatística. O MÉTODO DE RESOLUÇÃO PASSO A PASSO Este tal método que falo é a minha maneira particular de organizar os conteúdos e a forma que tento conduzir sua mente para um aprendizado sistemático através da organização das etapas em alguns passos principais, como uma receita de bolo, onde qualquer pessoa poderá seguir os passos e ter sucesso nas provas da disciplina. Você não encontrará este método em nenhum livro de Estatística, pois é algo que desenvolvi com vários anos de estudo e aplicações em minhas consultorias. O QUE VOCÊ VAI APRENDER NESTA SÉRIE DE APOSTILAS Nesta série, você vai aprender como resolver as questões mais fáceis até as mais difíceis que são possíveis questões de provas nos principais assuntos que possivelmente você irá estudar. Hoje iniciaremos com uma introdução, onde abordaremos: Capitulo 1 – Para que preciso aprender isto. Neste capítulo vou te explicar como a Estatística pode te ajudar a resolver aqueles seus problemas. Capítulo 2 – O que a Estatística faz. Neste capítulo falaremos uma forma diferente para você aprender de vez o que é Variável Quantitativa, Qualitativa, População, Parâmetro, Amostra, Estimador e Estimativa. Capítulo 3 – Medidas de Centralidade. Neste capítulo te dou detalhes de como você entender o que significa Média, Moda e Mediana.
  10. 10. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 9 Capítulo 4 – Medidas de Dispersão. Neste capítulo vou te ensinar passo a passo como calcular e interpretar as medidas: amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação. Em resumo, nosso objetivo é tirar você do Ponto A (onde você tem o problema de não saber nada de Estatística) ao Ponto B (satisfação em saber como responder questões de provas) No final quero te fazer UM PEDIDO pessoal! Ponto A Nossa Série Ponto B
  11. 11. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 10 1. “PÃRÃ QUE PRECISO ÃPRENDER ISTO?” Motivo emergencial: Eu irei me dirigirei a você sabendo que primeiro de tudo você qer ser aprovado em Estatística e para isto você não precisa saber detalhes da teoria, mas sim saber como resolver as questões da prova. Um pouco mais além: ao mesmo tempo, Estatística é uma ferramenta, ela serve para resolver problemas. Porém, a solução que ela fornece nenhuma outra ciência pode dar. Dominar nem que seja o mínimo é se destacar no mercado. Com toda a certeza, o profissional ou qualquer pessoa de um modo geral que nos dias atuais souber analisar dados de forma estatística terá um futuro brilhante pela frente, pois tudo hoje tende ao Big Date, ou seja, as empresas investem bastante recurso para registrar uma imensidão de dados de operações de vendas ou administrativas para entender o comportamento dos clientes, por exemplo. Você não precisa se formar em Estatística para poder fazer uso desta ferramenta a seu favor. Você pode ganhar bastante dinheiro na sua área de atuação, apenas se estiver alfabetizado nas principais técnicas estatísticas. Este treinamento tem o objetivo de fazer com que você inicie do zero na análise estatística de dados, fazendo uso do SPSS. O aluno ou profissional que sabe fazer análises estatísticas é muito mais disputado pelas melhores empresas e é apresentado aos melhores salários. O professor ou pesquisar que conhece as principais técnicas estatísticas é certamente mais ágil e pioneiro nas suas publicações e artigos. Olhe ao seu redor, a concorrência é gigantesca, todos querendo serem melhores do que os outros, e você vai ser apagado? Se destacar é uma questão de SOBREVIVÊNCIA no mercado! Se destaque com o que as empresas precisam mais, se destaque aprendendo tudo o que vamos te ensinar gratuitamente a partir de agora.
  12. 12. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 11 2. O QUE Ã ESTÃTISTICÃ FÃZ? Basicamente a estatística estuda a variabilidade das coisas. Se tudo permanecer igual, nada temos de interessante para estudar, pois já se sabe como será o futuro. Porém, quando ocorre uma variabilidade (que sempre ocorre) ai sim, a Estatística entra. Um primeiro passo é saber o seu objetivo. Objetivo Tudo se começa com um objetivo. Antes mesmo de pesquisar os dados você deve se perguntar “para que eu vou iniciar este negócio? O que que eu quero mostrar?”. Imagine que você tem um interesse, digamos: “quero saber quanto ganha em média um morador de Recife”. Pronto. Este é o seu objetivo. Para poder atingir este objetivo você precisa definir seu universo: Universo De quem você quer saber a renda média? Renda familiar ou renda do chefe do domicílio? De todos, inclusive homens e mulheres? Jovens, adultos, idosos? De que faixa etária? Enfim, você deve ir buscando o seu “público alvo” da pesquisa, ou seja, aqueles indivíduos (ou objetos) de maior interesse. Digamos que você esteja interessado em saber a renda média dos chefes de família residentes em Recife com idade entre 18 e 49 anos e de ambos os sexos. Este é o seu universo.
  13. 13. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 12 Amostra Normalmente não se tem tempo disponível e nem recursos suficientes para pesquisarmos todos os indivíduos (ou objetos) da população, ou seja, você teria tempo e dinheiro suficiente para entrevistar todos os residentes em Recife com idade entre 18 e 49 anos e de ambos os sexos e perguntar sobre suas rendas? Provavelmente não. Então o que é que se faz? Escolhe-se (através de um processo de amostragem) uma amostra (subconjunto) desta população, onde seja possível fazer a coleta de dados. Digamos que por um processo de amostragem, foram sorteados alguns 3 bairros do Recife e neles algumas ruas foram sorteadas e nelas vamos em todas as residências. Variáveis e tipos A variável é a informação que você vai coletar dos indivíduos na sua amostra. Digamos que nas residências selecionadas na amostra, devemos perguntar quanto é a renda do chefe da família. Por falar em variáveis, existem diferentes tipos:  Variáveis Qualitativas: são aquelas que expressão qualidades, atributos. Por exemplo, Sexo é uma variável com dois atributos: masculino ou feminino. Outro exemplo é a variável Estado Civil que possui atributos como “casado”, “solteiro”, “divorciado”, e etc. As variáveis qualitativas se dividem em duas: o Variáveis qualitativas nominais: aquelas onde seus atributos não possuem ordem, pois são apenas classificações nominais, ou seja, Sexo “masculino” ou “feminino”, Estado Civil “solteiro”, “casado” ou
  14. 14. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 13 “divorciado”. Perceba que os atributos destas duas variáveis não possuem ordem. o Variáveis qualitativas Ordinais: são aquelas onde seus atributos estão em uma determinada ordem lógica, por exemplo, Grau de Instrução: nível fundamental incompleto, Nível fundamental completo, Nível médio incompleto, Nível médio completo, Nível superior e etc. Perceba que estes atributos estão em ordem.  Variáveis quantitativas: são aquelas que expressão quantidade numérica, exemplo, idade (34, 35, 60 anos), peso, altura e etc. Parâmetros É aquela medida que se tem interesse numa população, ou seja, como nosso interesse é estudar a renda média dos chefes de família residentes no Recife, então este parâmetro é esta renda média. Como é a renda média da população então ela é desconhecida, pois você não vai entrevistar todos os indivíduos da sua população. Estimadores Como você não conhece o parâmetro populacional (a média, por exemplo), você tenta aproximar pela média amostral (ou seja, somando tudo e dividindo pela quantidade).Este cálculo foi para se aproximar do verdadeiro valor do parâmetro procurado. Em outras palavras, todo o cálculo feito na amostra, com o objetivo de chegar a uma aproximação do verdadeiro valor do parâmetro desconhecido, chamamos de parâmetro.
  15. 15. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 14 Estimativas Ela é um particular valor do estimador. Por exemplo, se procuramos saber a renda média, e tentamos achar uma aproximação para ela por meio da média amostral (somar todos os salários da amostra e depois dividir pelo tamanho da amostra) e se obtivemos, por exemplo, que esta média amostral foi de R$ 980,00 então esta é uma estimativa para a verdadeira renda média populacional. Consegue compreender?
  16. 16. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 15 3. Medidas de Centralidade Conversamos que você deve ter uma amostra e com base nela você tem vários valores da sua variável de interesse. Ex: uma amostra de 200 indivíduos onde cada um informa a sua renda mensal. A partir disto, podemos como os dados se concentram, ou seja, os dados se concentram em torno de qual valor? MÉDIA A média é a medida mais procurada pelos pesquisadores. Não tem segredos, de posse dos números 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛 , pode-se calcular facilmente a média comando todos e dividindo pela quantidade deles, ou seja: 𝑥̅ = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛 Questão de prova 1. Em um determinado mês, o relatório administrativo de uma empresa mostrou que os funcionários do departamento financeiro apresentavam as idades de 21, 24, 20 e 35 anos. Um novo funcionário de 45 anos de idade será contratado no mês seguinte e será alocado para o mesmo departamento. De quanto será o aumento percentual na idade média dos funcionários do departamento financeiro da empresa?
  17. 17. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 16 Resolução: Passo 1: primeiro calcule a média do grupo inicial (antes da admissão do outro funcionário): 𝑥̅ 𝑖 𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛 = 21 + 24 + 20 + 35 4 = 100 4 = 25 Passo 2: agora calcule a média do novo grupo, ou seja, com o acréscimo do outro funcionário: 𝑥̅ 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛 = 21 + 24 + 20 + 35 + 45 5 = 145 5 = 29 Passo 3: verifique que a média no inicio era 𝑥̅𝑖 𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 25 𝑎𝑛𝑜𝑠, passando a ser 𝑥̅ 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 29 𝑎𝑛𝑜𝑠 , ou seja, a entrada do outro funcionário provocou um aumento de 4 anos na média. Este aumento (4 anos) representa quando (%) em relação ao 25? 4 25 𝑥100 = 16% Portanto, a entrada deste funcionário causou um aumento de 16% na média das idades do grupo. Questão de prova 2. Com o objetivo de analisar o nível de glicose no sangue de um grupo de 90 pacientes hipertensos, um exame de glicose foi realizado tendo então os resultados postos numa tabela (abaixo). Existe um protocolo no hospital de que caso o grupo de pacientes apresente nível médio de glicose acima de 110 mg/dL cada um dos indivíduos deste grupo é imediatamente submetido a um exame mais rigoroso. Com base nas medidas mostradas na tabela a seguir, você diria que todos passarão por este novo exame mais detalhado? Nível de glicose (mg/dL) Frequência 132 12 130 11 120 1 111 23
  18. 18. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 17 180 40 156 3 Total 90 Resolução Passo 1: Entender a tabela. Como você percebe, existem 12 (frequência) pessoas com nível de glicose de 132 mg/dL, 11 pessoas com nível de glicose de 130 mg/dL, uma pessoa (frequência) com nível de glicose de 120 mg/dL e assim por diante. Então, é como se você tivesse os seguintes dados: 132 132 132 132 132 .... 132 (12 vezes) 130 130 130 130 130 130 ... 130 (11 vezes) 120 111 111 111 111 ... 111 (23 vezes) ... etc A tabela foi uma forma de resumir estes dados. Passo 2: foi dito que de acordo com o protocolo existente no hospital “um grupo de pacientes que apresente nível médio de glicose acima de 110 mg/dL o grupo passará por um exame mais aprofundado. Ou seja, precisamos calcular a média deste grupo e ver se é maior do que este valor. 𝑥̅ = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛 = (132 + 132 + ⋯ + 132) + (130 + 130 + ⋯ + 130) + ⋯ + (156 + ⋯ + 156) 90 = (132 𝑥 12) + (130 𝑥 11) + 120 + (111 𝑥 23) + ⋯ + (156 𝑥 3) 90 = 13355 90 = 148,4
  19. 19. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 18 Então, em média, estes pacientes possuem um nível de glicose de 148,4 mg/dL e como é superior a média permitida, este grupo será sim encaminhado a um novo exame mais detalhado. MODA É também uma importante medida de tendência central, onde o objetivo é identificar o número que mais aparece. Questão de Prova 3. Com base na tabela abaixo (a mesma da questão anterior) encontre a moda. Nível de glicose (mg/dL) Frequência 132 12 130 11 120 1 111 23 180 40 156 3 Total 90 Resolução Passo 1: Como foi dito, você deve encontrar o número que mais se repete, e como a tabela acima significa que por exemplo o número 132 aparece 12 vezes, o número 120 uma única vez e 156 aparece 3 vezes, etc. Desta forma temos que a moda é o número 180, pois é o que aparece mais (40 vezes). Questão de Prova 4. Com base nos dados a seguir calcule a moda. a) 5 7 7 7 9 12 14 A moda é 7, pois é o que mais se repete. b) 5 7 7 7 9 9 9 12 14
  20. 20. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 19 A modas são 7 e 9 pois sãos os valores que mais se repetem. c) 5 7 9 12 14 18 23 Não percebemos nenhuma repetição, logo não temos moda. MÉDIANA Esta é uma importante medida e tem duas situações: i) quanto a quantidade de números é ímpar e ii) quando a quantidade de números é par. 1) n ímpar Questão de prova 5. Em uma vistoria de qualidade numa fábrica de garrafas, o gestor coletou uma amostra de 7 peças produzidas. Em cada uma das garrafas foi registrado o diâmetro como mostra a tabela abaixo: Garrafa Diâmetro(cm) 1 12,3 2 12,9 3 13,1 4 12,1 5 11,9 6 11,8 7 12,7 Calcule a mediana e interprete o seu valor. Resolução Passo 1: ordenar os dados. (Para a mediana, você precisa primeiro ordenar os dados). 11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 Passo 2: verificar a quantidade dos números e ver se é par ou ímpar. Como n=7 é ímpar, devemos seguir o seguinte processo:
  21. 21. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 20 Calcule n+1  n+1 = 7 + 1 = 8 Divida por 2  8/2 = 4 A mediana será o 4 o número, ou seja: 1 o 2 o 3 o 4 o 11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 Por isso que você precisa ordenar primeiro. Perceba que quando n é ímpar a mediana é exatamente a posição central. A interpretação para este valor é que 50% das garrafas possuem diâmetro abaixo de 12,3 cm 2) n par Questão de prova 6. Imagina que o mesmo gestor de qualidade decide vistoriar mais 3 peças além das 7 primeiras: Garrafa Diâmetro(cm) 1 12,3 2 12,9 3 13,1 4 12,1 5 11,9 6 11,8 7 12,7 8 14,5 9 16,9 10 13,7 Calcule a mediana e interprete o seu valor. Resolução Passo 1: ordenar os dados. (Para a mediana, você precisa primeiro ordenar os dados). 11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9
  22. 22. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 21 Passo 2: verificar a quantidade dos números e ver se é par ou ímpar. Como n=10 é par, devemos seguir o seguinte processo: Calcule 𝑛 2 = 10 2 = 5 A mediana será a média entre o 5 o número e o próximo (6 o ), ou seja: 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7o 8o 9o 10 o 11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9 Md = (𝟏𝟐.𝟕 + 𝟏𝟐.𝟗) 2 = 25.6 2 = 12.8 cm Perceba que quando n é par a mediana é a média das duas posições centrais. Você pode interpretar este valor da seguinte forma: 50% das garrafas possuem diâmetro abaixo de 12,8 cm.
  23. 23. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 22 4. Medidas de Dispersao Além das medidas de centralidade, podemos entender os dados a partir de forma como eles estão dispostos. Em outras palavras, essas medidas de dispersão vão nos dizer se os números estão muito próximos ou muito distantes um dos outros. AMPLITUDE A amplitude é o campo de variação dos dados, ou seja: A = Máximo – Mínimo. Questão de prova 7. Ache a amplitude dos dados da tabela abaixo: Garrafa Diâmetro(cm) 1 12,3 2 12,9 3 13,1 4 12,1 5 11,9 6 11,8 7 12,7 8 14,5 9 16,9 10 13,7 Resolução: Colocando em ordem estes dados temos: 11.8 11.9 12.1 12.3 12.7 12.9 13.1 13.7 14.5 16.9 Então: Amplitude = Max – Min = 16.9 – 11.8= 5.1
  24. 24. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 23 Logo a amplitude (ou campo de variação) é de 5,1 cm. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO A Variância amostral (s2 ) está mais relacionada à variabilidade geral dos dados e pode ser calculada usando a expressão a seguir: 𝑉(𝑋) = 𝑠2 = ∑ (𝑥𝑖 − 𝑥̅)2𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 OU seja: 𝑉(𝑋) = 𝑠2 = ∑ (𝑥𝑖 − 𝑥̅)2𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 = (𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2 𝑛 − 1 Que nada mais é do que você pegar o primeiro número e diminuir ele da média, ou seja, 𝑥1 − 𝑥̅ , depois eleva o resultado ao quadrado, ou seja (𝑥1 − 𝑥̅)2 . Agora devemos fazer o mesmo para o segundo número, ou seja, o segundo número menos a média 𝑥2 − 𝑥̅ , esse resultado eleva ao quadrado  (𝑥2 − 𝑥̅)2 . Fazer isto com todos os números. Depois soma todos esses resultados: (𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2 E depois divide toda esta soma por n-1: (𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2 𝑛 − 1 Este é o valor da variância. 𝑠2 = (𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2 𝑛 − 1 Obs: alguns professores chamam a variância de s2 , outros chamam de Var(x) e outros chamam 𝜎2 (“sigma 2”).
  25. 25. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 24 O desvio-padrão (s) é a raiz quadrada da variância: 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2 𝑛 − 1 Sabe o que significa o desvio padrão? Imagine que você quer estudar a renda média de dois bairros: Boa Viagem e Casa Forte. O bairro de boa viagem tem a área da orla da praia onde os salários são muito altos e também no mesmo bairro existe uma comunidade carente onde existem muitos salários bastante baixos. Ou seja, se você pegar uma amostra de pessoas deste bairro você vai ter pessoas dizendo que ganham R$ 12.000, R$ 7.600 (orla) e também pessoas dizendo que ganham R$450,00 ou R$ 890, (comunidade carente), por exemplo. Em outras palavras, dentro deste bairro os valores estão bastantes distantes um dos outros, ou seja, existe um desequilíbrio de valores, os valores estão bastante heterogêneos. O outro bairro (Casa Forte) é um bairro nobre no Recife, onde as pessoas recebem mais ou menos a mesma coisa, ou seja, os valores de renda estão bastantes próximos um dos outros e neste caso dizemos que estão pouco dispersos, mais homogêneos. Esta forma como os dados estão distribuídos é chamada de dispersão dos dados que é calculada pelo desvio padrão. Quando este desvio padrão é alto dizemos que os números estão bastante dispersos um dos outros (como é o caso do bairro de Boa Viagem) e quando o desvio padrão é baixo dizemos que os dados estão mais concentrados, menos dispersos, mais homogêneos, mais próximos um dos outros. Mas, o que é o desvio padrão baixo ou alto?  Quando o desvio padrão estiver próximo da média dizemos que ele é alto e consequentemente está acontecendo alta variabilidade dos dados.  Quando o desvio padrão estiver muito abaixo da média dizemos que ele é baixo e consequentemente os dados estão mais concentrados.
  26. 26. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 25 Mas, o que quer dizer “próximo” ou “longe” da média? Veremos no coeficiente de variação... COEFICIENTE DE VARIAÇÃO O coeficiente de variação vai te dizer o quanto (em percentual %) o desvio padrão se aproxima da média. Se o coeficiente de variação for próximo de zero dizemos que o desvio padrão é baixo e neste caso está acontecendo baixa variabilidade. Mas se o coeficiente de variação for próximo de 100% significa que o desvio padrão é alto e neste caso está acontecendo alta variabilidade dos dados. Outras classificações também são apropriadas:  Se o coeficiente de variação estiver entre 0% e 15% então dizemos que ocorre uma variabilidade muito baixa;  Se o coeficiente de variação estiver entre 15% e 30% então dizemos que ocorre uma variabilidade baixa;  Se o coeficiente de variação estiver entre 30% e 60% então dizemos que ocorre uma variabilidade moderada;  Se o coeficiente de variação estiver entre 60% e 80% então dizemos que ocorre variabilidade alta;  Se o coeficiente de variação estiver entre 80% e 100% então dizemos que ocorre a variabilidade alta; Você pode calcular o Coeficiente de Variação dividindo o desvio padrão pela média, depois multiplica o resultado por 100. Ou seja: 𝐶𝑉 = 𝑠 𝑥̅ .100
  27. 27. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 26 Questão de prova 8. Uma empresa de construção civil fabrica tijolos de acordo com a exigência estabelecida de que estes tijolos devem suportar no mínimo uma força de compressão média de 15 kg/cm2 e que o desvio padrão não deve ser superior a 10% da média. Em um ensaio realizado em um lote de tijolos pelo Engenheiro da Qualidade do cliente, foram registrados os seguintes dados de uma amostra de 5 tijolos, para sua resistência à compressão em kg/cm2 : 12 11 10 9 8,5 11,5 a) Nestas condições, o Engenheiro da Qualidade aprovará ou reprovará o lote de tijolos? Passo 1. A exigência diz que a média deve ser de no mínimo 15 kg/cm2 , então devemos calcular a média destes números: 𝑥̅ = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛 = 62 6 = 10,3 Como você pode ver, a média é menor do que 15, logo este lote de tijolos será rejeitado. b) O que você tem a dizer sobre a dispersão das resistências? Como vimos, a dispersão dos valores são explicadas pelo desvio padrão e pelo coeficiente de variação. Passo 1. Calcular o desvio padrão: 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2 𝑛 − 1 = √ (12 − 10,3)2 + (11 − 10,3)2 + (10 − 10,3)2 + (9 − 10,3)2 + (8,5 − 10,3)2 + (11,5 − 10,3)2 6 − 1 = √ 9,83 5 = √1,967 = 1,4
  28. 28. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 27 Como você pode perceber o desvio padrão (1,4) é bem abaixo da média (10,3), sugerindo então que possivelmente ocorre pouca variabilidade nas resistências. Passo 2. Calcular o Coeficiente de variação: 𝐶𝑉 = 𝑠 𝑥̅ .100 = 1,4 10,3 .100 = 0,1359223 𝑥 100 = 13,6% Como o CV é 13,6% dizemos que realmente os tijolos estão sendo produzidos com uma resistência de dispersão baixa, ou seja, os tijolos produzidos possuem resistências próximas. Questão de prova 9. João deseja verificar o seu próprio desempenho nas provas de Inglês e Português. As notas das suas provas recentes estão a seguir: Inglês 1ª prova 3,5 2ª prova 7,8 3ª prova 9,3 4ª prova 5,1 Português 1ª prova 8,8 2ª prova 9,3 3ª prova 8,5 4ª prova 2,2 a) Em qual matéria ele em média saiu melhor?
  29. 29. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 28 Resolução: Inglês Média = 𝑥̅ 𝑖 𝑛𝑔𝑙ê𝑠 = 𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥 𝑛 𝑛 = 3,5 + 7,8 + 9,3 + 5,1 4 = 25,7 4 = 6,42 Português Média = 𝑥̅ 𝑝 𝑜𝑟𝑡𝑢𝑔𝑢ê𝑠 = 𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥 𝑛 𝑛 = 8,8 + 9,3 + 8,5 + 2,2 4 = 28,8 4 = 7,2 Como percebemos, em média, o João foi melhor em Português, pois foi onde ele obteve a maior média. b) Em qual matéria obteve menor dispersão? A dispersão dos dados é determinada pelo desvio padrão e pelo coeficiente de variação. Você precisa calcular estas medidas para cada matéria: Inglês - Desvio padrão = 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (3.5−6.4)2+(7.8−6.4)2+(9.3−6.4)2+(5.1−6.4)2 4−1 = √ 20,4675 3 = √6,8225 = 2,61 - CVingles= 𝑠 𝑥̅ .100 = 2,61 6,4 .100 = 0,2527734 𝑥 100 = 𝟐𝟓, 𝟑% Português - Desvio padrão = 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟 = √ (8,8−7,2)2+(9,3−7,2)2+(8,5−7,2)2+(2,2−7,2)2 4−1 = √ 33,66 3 = √11,22 = 3,35
  30. 30. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 29 - CVportugues= 𝑠 𝑥̅ .100 = 3,35 7,2 .100 = 0,4652778 𝑥 100 = 𝟒𝟔, 𝟓% Como o Coeficiente de variação das notas de inglês é menor do que o coeficiente de variação das notas de Português, concluímos que as notas de inglês estão mais homogêneas, mais próximas uma das outras.
  31. 31. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 30 Ãnexo Bom pessoal, esperamos que você tenha gostado da nossa aula. Meu objetivo é fazer com que você aprenda facilmente a Estatística, sem muitas teorias e muito mais exercícios. Isto facilita na hora de sua prova. Os conceitos que vimos são muito importantes, pois é comum que exercício como estes que vimos caiam na sua prova. Algumas dificuldades podem surgir na tentativa de fazer com que você dê o seu primeiro passo: i) Medo. Você pode até ficar com medo de estar fazendo certo ou não. O medo não pode te impedir de avançar para o novo, o desconhecido, pois é no novo que estão nossas maiores descobertas. ii) Dúvidas. Você pode no caminho ter dúvidas de como fazer, mas lembre-se que as dúvidas são um sinal de que você estará avançando. E à medida que você for consumindo minhas novas aulas você irá tirando suas dúvidas e tendo dúvidas cada vez mais interessantes à medida que avança em nível de conhecimento estatístico, tendo cada vez mais facilidade de obter boas notas nas suas provas de Estatística. Posso citar o caso do Astier, um aluno meu que estava fazendo um doutorado nos Estados Unidos e como o nível exigido era muito alto, ele fez de tudo, gastou dólares com livros e muito tempo pesquisando na internet, mas nada disto deu resultado. Ele continuava sem conseguir fazer as atividades solicitadas pelos seus tutores. Foi ai que ele me procurou e fiz um acompanhamento com ele durante 2 meses, onde apliquei meu método de ensino passo a passo com ele e logo o mesmo começou a ficar cada vez mais interessado em aprender mais sobre a Estatística, foi
  32. 32. Apostila 1 – Série “Como não reprovar em Estatística”. www.usaforbrazil.wix.com/consultoria Página 31 assim que fizemos um aprofundamento em teorias e aplicações mais recentes da Estatística. O Resultado foi que ele além de ter notas 9,8 em Estatística no doutorado naquela universidade nos Estados Unidos, ele ainda passou a amar a Estatística. Ou seja, uma pessoa normal fazendo um doutorado em Psicologia em uma conceituada faculdade americana, saiu do zero em Estatística para um aprofundamento que eu mesmo não havia ministrado para ninguém ainda. Tudo isto foi possível por ter aprendido facilmente conosco a Estatística. Então? Mãos à obra!. Gostaria de agradecer a você, pois sem você nada disto teria sido feito. Nos próximos dias novas aulas serão lançadas com o objetivo de resolver outros exercícios de provas que você possa enfrentar, pois o que queremos é que você consiga realizar as provas com muito mais facilidade. UM PEDIDO Se você acha que fiz bem em te passar esta informação gratuitamente e acredita que ela será um bom começo para você então faz um favor para mim, preciso saber se estou de fato ajudando as pessoas a entenderem a Estatística:  Deixa um comentário aqui... Este material te serviu em alguma coisa? http://usaforbrazil.wix.com/consultoria#!gratis/c11sg Que tal avançar ainda mais? Neste link acima você também terá acesso aos nossas próximas aulas. Vamos lá? Contatos para dúvidas: www.usaforbrazil.wix.com/consultoria consultoria-estatistica@hotmail.com

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