Tema VII (Polinomios)

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Tema VII (Polinomios)

  1. 1. Tema VIIPolinomios<br />Precálculo<br />
  2. 2. Polinomios<br />Un monomio es un número o un producto de números y variables con exponentes enteros positivos.<br />Un polinomio es un monomio o la suma o resta de monomios.<br />Los polinomios no tienen variables en los denominadores o exponentes, no raíces o valores absolutos de variables y todas las variables tienen exponentes enteros positivos.<br />El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables.<br />
  3. 3. Identificando el Grado de un Monomio<br />Identifica el grado de cada monomio.<br />x4<br />12<br />4a2b<br />x3y4z<br />z6<br />5.6<br />8xy3<br />a2bc3<br />
  4. 4. Polinomios<br />El grado de un polinomio está dado por el término con el grado mayor.<br />Un polinomio está escrito en forma estándar cuando sus términos se escriben en orden de mayor a menor de acuerdo a su grado.<br />El coeficiente líder de un polinomio es el coeficiente del primer término de un polinomio cuando está escrito en forma estándar.<br />
  5. 5. Clasificación de un Polinomio<br />Un polinomio puede ser clasificado por su cantidad de términos.<br />Un polinomio con un término se conoce como un monomio.<br />Un polinomio con dos términos se conoce como un binomio.<br />Un polinomio con tres términos se conoce como un trinomio.<br />Un polinomio con cuatro términos o más se le conoce simplemente como un polinomio.<br />
  6. 6. Clasificación de un Polinomio<br />Un polinomio también puede ser clasificado por su grado.<br />
  7. 7. Clasificando Polinomios<br />Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.<br />
  8. 8. Clasificando Polinomios<br />Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.<br />
  9. 9. Clasificando Polinomios<br />Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.<br />
  10. 10. Clasificando Polinomios<br />Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.<br />
  11. 11. Clasificando Polinomios<br />Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.<br />
  12. 12. Clasificando Polinomios<br />Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.<br />
  13. 13. Sumando y Restando Polinomios<br />Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.<br />
  14. 14. Sumando y Restando Polinomios<br />Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.<br />
  15. 15. Sumando y Restando Polinomios<br />Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.<br />
  16. 16. Sumando y Restando Polinomios<br />Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.<br />
  17. 17. Multiplicando un Monomio y un Polinomio<br />Encuentra cada producto.<br />3x2(x3 + 4)<br />ab(a3 + 3ab2 – b3)<br />3cd2(4c2d – 6cd + 14cd2)<br />x2y(6y3 + y2 – 28y + 30)<br />4y2(y2 + 3)<br />fg(f4 + 2f3g – 3f2g2 + fg3)<br />
  18. 18. Multiplicando Polinomios<br />Encuentra cada producto.<br />(x – 2)(1 + 3x – x2)<br />(x2 + 3x – 5)(x2 – x + 1)<br />(3b – 2c)(3b2 – bc – 2c2)<br />(x2 – 4x + 1)(x2 + 5x – 2)<br />(a – 3)(2 – 5a + a2)<br />(y2 – 7y + 5)(y2 – y – 3)<br />
  19. 19. Expandiendo una Potencia de un Binomio<br />Encuentra el producto.<br />(x + y)3<br />(x + 4)4<br />(2x – 1)3<br />(a + 2b)3<br />
  20. 20. Triángulo de Pascal<br />1<br />1 1<br />1 2 1<br />1 3 3 1<br />1 4 6 4 1<br />1 5 10 10 5 1<br />6 15 20 15 6 1<br />1 7 21 35 35 21 7 1<br />
  21. 21. Utilizando el Triángulo de Pascal Para Expandir Expresiones Binomiales<br />Expande cada expresión.<br />(y – 3)4<br />(4z + 5)3<br />(x + 2)3<br />(x – 4)5<br />(k – 5)3<br />(6m – 8)3<br />
  22. 22. Utilizando División Larga para Dividir Polinomios<br />
  23. 23.
  24. 24. División Sintética<br />Para que funcione la división sintética, el polinomio debe estar escrito en forma estándar, utilizando 0 como coeficiente para cualquier término perdido y el divisor tiene que ser de la forma x – a.<br />Divide (2x2 + 7x + 9) ÷ (x + 2) utilizando división sintética.<br />
  25. 25. Utilizando División Sintética para Dividir Binomios Lineales<br />
  26. 26. Teorema del Residuo<br />Si la función polinomial P(x) es dividida por x – a, entonces el residuo r es P(a). <br />
  27. 27. Utilizando Sustitución Sintética<br />Utiliza sustitución sintética para evaluar el polinomio para el valor dado.<br />P(x) = x3 – 4x2 + 3x – 5 para x = 4<br />P(x) = 4x4 + 2x3 + 3x + 5 para x = - ½ <br />P(x) = x3 + 3x2 + 4 para x = -3<br />P(x) = 5x2 + 9x + 3 para x = 1/5<br />P(x) = 2x3 + 5x2 – x + 7 para x = 2<br />
  28. 28. Aplicaciones a Física<br />Un generador Van de Graaff es una máquina que produce voltajes muy altos utilizando niveles pequeños y seguros de corriente eléctrica. Una máquina tiene una corriente que puede ser modelada por I(t)= t + 2, donde t &gt; 0 representa el tiempo en segundos. La potencia del sistema puede ser modelada por P(t) = 0.5t3 + 6t2 + 10t. Escribe una expresión que represente el voltaje del sistema.<br />Nota: el voltaje V esta relacionada a la corriente I y potencia P por la ecuación V = P/I.<br />
  29. 29. Mas Aplicaciones<br />Escribe una expresión para el largo de un rectángulo con ancho x – 9 y área x2 – 14x + 45.<br />Escribe una expresión que represente el área de la cara de arriba de un prisma rectangular cuando su altura es x + 2 y el volumen del prisma es x3 – x2 – 6x.<br />
  30. 30. Teorema del Factor<br />Teorema<br />Para cualquier polinomio P(x), (x – a) es un factor de P(x) si y solamente si P(a) = 0.<br />Ejemplo<br />Como P(1) = 12 – 1 = 0, (x – 1) es un factor de P(x) = x2 – 1.<br />
  31. 31. Determinando Cuando un Binomio Lineal es un Factor<br />Determina cuando el binomio dado es un factor del polinomio P(x).<br />(x – 3); P(x) = x2 + 2x – 3<br />(x + 4); P(x) = 2 x4 + 8 x3 + 2x + 8<br />(x + 1); P(x) = x2 – 3x + 1<br />(x + 2); P(x) = 3 x4 + 6 x3 – 5x – 10 <br />
  32. 32. Factorizando por Agrupación<br />Factoriza cada expresión.<br />x3 + 3 x2 – 4x – 12<br />x3 – 2 x2 – 9x + 18<br />2 x3 + x2 + 8x + 4<br />x3 – x2 – 25x + 25<br />
  33. 33. Factorizando la Suma y la Diferencia de Dos Cubos<br />Suma de dos cubos<br />a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)<br />Diferencia de dos cubos<br />a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)<br />
  34. 34. Factorizando la Suma o Diferencia de Dos Cubos<br />Factoriza cada expresión.<br />5x4 + 40x<br />8y3 – 27<br />8 + z6<br />2x5 – 16x2<br />4x4 + 108x<br />125d3 – 8<br />
  35. 35. Utilizando Factorización para Resolver Ecuaciones Polinomiales<br />Resuelve cada ecuación polinomial por factorización.<br />3x5 + 18x4 + 27x3 = 0<br />x4 – 13x2 = -36<br />2x6 – 10x5 – 12x4 = 0<br />x3 – 2x2 – 25x = -50<br />
  36. 36. Multiplicidad de una Raíz<br />La multiplicidad de la raíz r es la cantidad de veces que x – r es un factor de P(x).<br />Cuando una raíz real tiene multiplicidad par, la gráfica de y = P(x) toca el eje de x pero no lo cruza.<br />Cuando una raíz real tiene multiplicidad impar mayor que 1, la gráfica de y = P(x) se dobla a la vez que cruza el eje de x.<br />
  37. 37. Teorema de las Raíces Racionales<br />
  38. 38. Teorema de las Raíces Irracionales<br />
  39. 39. Identificando Todas las Raíces Reales de una Ecuación Polinomial<br />Identifica todas las raíces reales de:<br />x3 + 3x2 – 10x – 24 = 0<br />4x4 – 21x3 + 18x2 + 19x – 6 = 0<br />x3 + 3x2 – 4x – 12 = 0<br />2x3 – 3x2 – 10x – 4 = 0<br />2x3 – 9x2 + 2 = 0<br />
  40. 40. Las siguientes aseveraciones son equivalentes:<br />Un número real r es una raíz de la ecuación polinomial P(x) = 0.<br />P(r) = 0<br />r es un intercepto en x de la gráfica de P(x).<br />x – r es un factor de P(x).<br />Cuando divides el polinomio P(x) por x – r, el residuo es 0.<br />r es un cero de P(x).<br />
  41. 41. Escribiendo Funciones Polinomiales Dados los Ceros<br />Escribe la función polinomial más simple con los siguientes ceros dados.<br />-3, ½ y 1<br />-2, 2 y 4<br />0, 2/3 y 3<br />-1, 2/3 y 4<br />
  42. 42. Teorema Fundamental del Álgebra<br />Toda función polinomial de grado n≥ 1 tiene por lo menos un cero, donde este puede ser complejo.<br />Corolario:<br />Toda función polinomial de grado n≥ 1 tiene exactamente n ceros, incluyendo las multiplicidades.<br />
  43. 43. Encontrando Todas las Raíces de una Ecuación Polinomial<br />Resuelve x4 + x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0 encontrando todas las raíces.<br />Resuelve x4 + 4x3 – x2 + 16x – 20 = 0 encontrando todas las raíces.<br />Resuelve x4 – 3x3 + 5x2 – 27x – 36 = 0 encontrando todas las raíces.<br />
  44. 44. Teorema de las Raíces Conjugadas Complejas<br />
  45. 45. Escribiendo una Función Polinomial con Ceros Complejos<br />

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