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Evolución de la temperatura diurna
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Interpolación Polinomial
Polinomios Osculadores: Interpolación de
Hermite
Interpolación Racional: Aproximaci...
Ajuste
Polinomios de Taylor
Mínimos Cuadrados
Minimización de normas
Aproximación Racional
Series de Fourier
Curvas de Bez...
Interpolación Polinómica
Segmentaria
Limitaciones de la interpolación polinómica
Grado del polinomio
Carácter de la funció...
Interpolación Polinomica
Segmentaria: Splines
Interpolación Segmentaria
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Interpolación Segmentaria
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Perfil para un diseño
Polinomio interpolador
Aplicaciones
Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s)
Geología
Aeronáutica y automoción
Economía
Procesamiento de señales e im...
Interpolación Polinómica
Segmentaria
≤
Dados n+1 puntos (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn) con
x0<x1…<xn, una función spline d...
Splines Lineales
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
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Splines Lineales
Interpolación Segmentaria
Lineal: Función de Runge
-1 0 1
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Spline lineal
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Splines Cúbicos
Spline cúbico
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Condiciones de interpolación
n+1 ecuaciones
Condiciones de conexión
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Condiciones Naturales
Teorema 1
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Condiciones sobre la derivada
Teorema 2
Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un único
s(x) spline cúb...
Matriz del sistema
M
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Splines Cúbicos
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Interpolación Lineal
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  1. 1. Hora 6 8 10 12 14 16 18 20 Grados 7 9 12 18 21 19 15 10 Un problema de Aproximación Evolución de la temperatura diurna 4 8 2 0 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 6 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 2 Hora Grados
  2. 2. Interpolacion Interpolación Polinomial Polinomios Osculadores: Interpolación de Hermite Interpolación Racional: Aproximaciones de Pade Interpolación segmentaria: Splines Otros
  3. 3. Ajuste Polinomios de Taylor Mínimos Cuadrados Minimización de normas Aproximación Racional Series de Fourier Curvas de Bezier B-Splines
  4. 4. Interpolación Polinómica Segmentaria Limitaciones de la interpolación polinómica Grado del polinomio Carácter de la función a interpolar Alternativa propuesta: Splines. Numéricamente estable Matrices dispersas Agradable a la vista
  5. 5. Interpolación Polinomica Segmentaria: Splines Interpolación Segmentaria Interpolación Segmentaria Lineal Interpolación Segmentaria Cúbica Condiciones Naturales Condiciones sobre la derivada
  6. 6. Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge -1 0 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Spline lineal -1 0 1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Polinomio grado 4 y x = + 1 1 25 2
  7. 7. Perfil para un diseño Polinomio interpolador
  8. 8. Aplicaciones Ingeniería y Diseño (CAD/CAM, CNC’s) Geología Aeronáutica y automoción Economía Procesamiento de señales e imágenes (Reconocimiento de patrones, recuperación de imágenes) Robótica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorología (Mapas climáticos, detección de inundaciones,...) Mundo Virtual Distribuido Multiusuario
  9. 9. Interpolación Polinómica Segmentaria ≤ Dados n+1 puntos (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn) con x0<x1…<xn, una función spline de orden k (k-Spline) sobre dichos puntos es una función S verificando: (i) S(x) = qk(x) polinomio de grado k, x ∈[xk,xk+1], k=0,1,...,n-1 (ii) S(xk) = yk, k=0,1,...,n (iii) [ ]1 0 1,k S C x x− ∈
  10. 10. Splines Lineales Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton q x x x x x y x x x x yk k k k k k k k k( ) = − − + − − + + + + 1 1 1 1 q x f x f x x x x y y y x x x x k k k k k k k k k k k ( ) [ ] [ , ]( ) ( ) = + − = = + − − − + + + 1 1 1
  11. 11. Splines Lineales
  12. 12. Interpolación Segmentaria Lineal: Función de Runge -1 0 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Spline lineal -1 0 1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Polinomio grado 4 y x = + 1 1 25 2
  13. 13. Splines Cúbicos Spline cúbico 4n incógnitas Condiciones de interpolación n+1 ecuaciones Condiciones de conexión 3(n-1) ecuaciones q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( )= + − + − + −2 3 ( )k kS x y= 1 1 1 ' ' 1 1 1 '' '' 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k k k k q x q x q x q x q x q x + + + + + + + + + = = =
  14. 14. h a a h a a k k k k k k+ − −= − − −1 1 1 3 3 ( ) ( ) h c h h c h c k k k k k k k− − − + + + + 1 1 1 1 2( ) = a f x k nk k= =( ), , ,...,0 1 b h a a h c c k nk k k k k k k= − − + = −+ + 1 3 2 0 1 11 1( ) ( ), , ,..., d c c h k nk k k k= − = −+( ) / ( ), , ,1 3 0 1 1 h x xk k k= −+1 q x a b x x c x x d x xk k k k k k k k( ) ( ) ( ) ( )= + − + − + −2 3 n-1 ecuaciones y n+1 incógnitas
  15. 15. Condiciones Naturales Teorema 1 Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un único s(x) spline interpolante cúbico para f(x) en [x0,xn] tal que s’’(x0) = 0 y s’’(xn) = 0. cn = s’’(xn)/2 = 0 s’’(x0) = 2c0 = 0 → c0 = 0.
  16. 16. Matriz del sistema M h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h n n n n n n n n n n = + + + + + +                  − − − − − − − − − − 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                     
  17. 17. p h a a h a a h a a h a a n n n n n n = − − − − − −                          − − − − − 3 3 3 3 1 2 1 0 1 0 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )   Términos independientes
  18. 18. Ejemplo de la temperatura 5 10 15 20 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Hora Grados Spline cúbico 5 10 15 20 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Hora Grados Polinomio interpolador
  19. 19. Condiciones sobre la derivada Teorema 2 Sea f(x) una función definida en [x0,xn]. Entonces existe un único s(x) spline cúbico interpolante para f(x) en [x0,xn].tal que s’(x0) = f’(x0) y s’(xn) = f’(xn). 2 3 30 0 0 1 0 1 0 0h c h c h a a f x+ = − −( ) '( ) h c h c f x h a an n n n n n n n− − − − −+ = − −1 1 1 1 12 3 3 '( ) ( ).
  20. 20. Matriz del sistema M h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h n n n n n n n n n = + + + + +                     − − − − − − − − − 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1                ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      
  21. 21. Términos independientes p h a a f x h a a h a a h a a h a a f x h a a n n n n n n n n n n = − − − − − − − − − −                         − − − − − − − 3 3 3 3 3 3 3 3 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 1 ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) 
  22. 22. Splines Cúbicos
  23. 23. Interpolación segmentaria con MATLAB Interpolación segmentaria cúbica ps = spline(x,y) % Devuelve el Spline, no los coeficientes [x,s] = unmkpp(ps) % Devuelve los coeficientes ps = mkpp(x,s) syy = spline(x,y,xx) = ppval(ps,xx) Interpolación segmentaria lineal lyy = interp1(x,y,xx)
  24. 24. -1 0 1 0 0.5 1 Spline Natural -1 0 1 0 0.5 1 Spline Derivada -1 0 1 0 0.5 1 Interpolación Lineal -1 0 1 0 0.5 1 Spline de MATLAB

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