Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

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Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

  1. 1. ´ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM S´ ´ ISMICA ANISOTROPICA Elias da Concei¸ao c˜ Disserta¸ao de Mestrado apresentada ao c˜ Programa de P´s-gradua¸ao em Engenharia o c˜ Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´rios ` obten¸ao do t´ a a c˜ ıtulo de Mestre em Engenharia Civil. Orientadores: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson Dors Rio de Janeiro Fevereiro de 2011
  2. 2. ´ ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM S´ ´ ISMICA ANISOTROPICA Elias da Concei¸ao c˜ ¸˜DISSERTACAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ´ ¸˜ALBERTO LUIZ COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DEENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE ´JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A ¸˜ ˆOBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIACIVIL.Examinada por: Prof. Webe Jo˜o Mansur, Ph.D. a Dr. Cleberson Dors, D.Sc. Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc. Dr. Andr´ Bulc˜o, D.Sc. e a Prof. Cl´udio Jos´ Martins, D.Sc. a e RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL FEVEREIRO DE 2011
  3. 3. Concei¸˜o, Elias da ca Estudo sobre operadores ac´sticos para modelagem us´ ısmica anisotr´pica/Elias da Concei¸ao. – Rio de Janeiro: o c˜UFRJ/COPPE, 2011. XIV, 100 p.: il.; 29, 7cm. Orientadores: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson Dors Disserta¸ao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de c˜Engenharia Civil, 2011. Referˆncias Bibliogr´ficas: p. 87 – 94. e a 1. Modelagem S´ ısmica. 2. Diferen¸as Finitas. c 3.Anisotropia. 4. Equa¸ao Ac´stica Anisotr´pica. c˜ u o 5.Equa¸ao Pseudo-Ac´stica Anisotr´pica. I. Mansur, Webe c˜ u oJo˜o et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, aCOPPE, Programa de Engenharia Civil. III. T´ ıtulo. iii
  4. 4. A resposta certa, n˜o importa a nada: o essencial ´ que as e perguntas estejam certas. M´rio Quintana aiv
  5. 5. Agradecimentos Agrade¸o ao meus orientadores Prof. Webe Jo˜o Mansur e Cleberson Dors, pelos c avaliosos conselhos e incont´veis aux´ a ılios na prepara¸ao deste trabalho. c˜ Agrade¸o aos pesquisadores Ilya Tsvankin, Vladimir Grechka, Pat F. Daley, Paul cJ. Fowler, Michael Slawinski e Alcides Aggio por disporem seus tempos com in´meras uexplica¸oes sobre anisotropia. c˜ Aos amigos do LAMEC, expresso minha gratid˜o pela companhia e discuss˜es. a oEspecialmente a Leandro Di Bartolo, Wilson Duarte, Viviane Ferreira, Israel Nunes, `Wilian Jeronimo, Edivaldo J´nior, Franciane Peters, Pablo Oyarz´n, Cid Monteiro, u uGilmar e Raphael. Obrigado a Ivone pela ajuda com os trˆmites burocr´ticos du- ` a arante o curso. Agrade¸o tamb´m ao Prof. Roberto Fernandes de Oliveira pelos excelentes cursos c eministrados e a Josias Silva pelo primeiro contato com a modelagem s´ ısmica. Obrigado a minha fam´ sem a qual n˜o chegaria at´ aqui, em especial a minha ılia, a em˜e pelos valores ensinados. Muito obrigado a Jos´ Ernesto Valete pelo incentivo e a eapoio. Minha sincera gratid˜o e meu muito obrigado a minha noiva Gabriela, pela a `cumplicidade e apoio durante toda minha vida acadˆmica. e Por fim, agrade¸o a CAPES pelo apoio financeiro prestado durante todo o curso. c v
  6. 6. Resumo da Disserta¸˜o apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos ca `necess´rios para a obten¸ao do grau de Mestre em Ciˆncias (M.Sc.) a c˜ e ´ ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM S´ ´ ISMICA ANISOTROPICA Elias da Concei¸ao c˜ Fevereiro/2011Orientadores: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson DorsPrograma: Engenharia Civil Neste trabalho, s˜o estudadas as equa¸˜es de ondas ac´sticas e pseudo-ac´stica a co u uem meios transversalmente isotr´picos com eixo de simetria vertical (VTI), desen- ovolvidas por Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] e Kl´ e Toro [3]. Destaca-se ıeque o estudo busca a compreens˜o sobre a natureza da propaga¸˜o das ondas e a cados fenˆmenos que as governam, tal como suas limita¸oes. A modelagem s´ o c˜ ısmica ´ eempregada com a finalidade de ilustrar os fenˆmenos presentes. Os tempos de trˆn- o asito s˜o comparados com os originados pela modelagem el´stica anisotr´pica para a a oavalia¸ao da precis˜o cinem´tica da equa¸˜o pseudo-ac´stica. c˜ a a ca u vi
  7. 7. Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of therequirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) STUDY ABOUT ACOUSTIC OPERATORS FOR SEISMIC ANISOTROPIC MODELING Elias da Concei¸ao c˜ February/2011Advisors: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson DorsDepartment: Civil Engineering In this research, acoustic and pseudo-acoustic wave equations in vertical trans-verse isotropic media (VTI), developed by Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] andKl´ and Toro [3] are studied. It is emphasized that the study seeks the understand- ıeing the nature of wave propagation, as well as the phenomena that control it, andits limitations. The seismic modeling is applied in order to illustrate present phe-nomena. The travel times are compared with those that come from elastic modelingto evaluate kinematic accuracy of pseudo-acoustic wave equation. vii
  8. 8. Sum´rio aLista de Figuras xiLista de Tabelas xiiiLista de Abreviaturas xiv1 Introdu¸˜o ca 1 1.1 Considera¸˜es preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1 1.2 Revis˜o bibliogr´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 3 1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Teoria da Elasticidade 6 2.1 Princ´ ıpios b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6 2.1.1 Deforma¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 6 2.1.2 Tens˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7 2.1.3 Rela¸˜o constitutiva da elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . 10 ca 2.2 Nota¸ao de Voigt para o tensor de elasticidade . . . . . . . . . . . . . 11 c˜3 Anisotropia e Sistemas de simetria 13 3.1 Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Sistemas de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.1 Grupo de simetria e transforma¸oes . . . . . . . . . . . . . . . 14 c˜4 Propaga¸˜o de ondas em meios el´sticos anisotr´picos ca a o 21 4.1 Equa¸˜o da onda el´stica para meios isotr´picos . . . . . . . . . . . . 21 ca a o 4.1.1 Ondas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Equa¸˜o da onda el´stica para meios anisotr´picos . . . . . . . . . . . 24 ca a o viii
  9. 9. 4.3 Equa¸˜o de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ca 4.4 Parˆmetros de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a 4.4.1 Parˆmetros de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a 4.4.2 Parˆmetro de Alkhalifah e Tsvankin . . . . . . . . . . . . . . 33 a5 Propaga¸˜o de ondas em meios ac´ sticos e pseudo-ac´ sticos aniso- ca u u tr´picos o 34 5.1 Aproxima¸˜es de velocidade e rela¸oes de dispers˜o para meios VTI . 34 co c˜ a 5.1.1 Aproxima¸ao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 c˜ 5.1.2 Aproxima¸ao de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 c˜ 5.1.3 Aproxima¸ao de Muir c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Equa¸˜o de onda pseudo-ac´stica e ac´stica anisotr´pica . . . . . . . 36 ca u u o 5.2.1 Equa¸ao Pseudo-Ac´stica Anisotr´pica . . . . . . . . . . . . . 37 c˜ u o 5.2.1.1 Formula¸ao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . 37 c˜ 5.2.2 Equa¸oes Ac´sticas Anisotr´picas . . . . . . . . . . . . . . . . 38 c˜ u o 5.2.2.1 Formula¸ao de Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 c˜ 5.2.2.2 Formula¸ao de Kl´ e Toro . . . . . . . . . . . . . . . 39 c˜ ıe 5.3 An´lise das aproxima¸˜es de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 a co6 Modelagem num´rica para propaga¸˜o de ondas e ca 42 6.1 Discretiza¸˜o das Equa¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ca c˜ 6.1.1 Discretiza¸ao para a formula¸ao de Alkhalifah . . . . . . . . . 43 c˜ c˜ 6.1.2 Discretiza¸ao para as formula¸˜es de Zhang e Kl´ . . . . . . . 45 c˜ co ıe 6.1.3 Formula¸˜o el´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ca a 6.2 Condi¸˜es iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 co 6.2.1 Condi¸ao de Dirichlet e Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 50 c˜ 6.3 Condi¸˜o de estabilidade e dispers˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ca a 6.3.1 Estabilidade num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 e 6.3.2 Dispers˜o num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 a e 6.4 Fonte S´ ısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.5 Matriz de tempo de trˆnsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 a7 Exemplos e Discuss˜es o 57 7.1 Formula¸ao El´stica e Pseudo-Ac´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 c˜ a u ix
  10. 10. 7.1.1 Meio Homogˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 e 7.1.2 Interfaces Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.1.3 Interface Inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.1.4 Modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.2 Formula¸ao Ac´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 c˜ u 7.2.1 Meio Homogˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 e8 Conclus˜es e Trabalhos Futuros o 85Referˆncias Bibliogr´ficas e a 87A Discretiza¸˜o pelo M´todo de Diferen¸as Finitas ca e c 95 A.1 Operadores de diferen¸as finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 cB Simetrias do tensor de elasticidade 99 x
  11. 11. Lista de Figuras 2.1 For¸as atuando sobre um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 8 2.2 Tens˜es distribu´ o ıdas em um cubo infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . 9 3.1 Modelo VTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.1 Polariza¸ao das ondas s´ c˜ ısmicas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.1 Compara¸˜o para as aproxima¸oes de velocidade de fase . . . . . . . 41 ca c˜ 6.1 Estˆncil de diferen¸as finitas o caso pseudo-ac´stico . . . . . . . . . . 44 e c u 6.2 Estˆncil de diferen¸as finitas para o caso ac´stico . . . . . . . . . . . 46 e c u 6.3 Malha intercalada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.4 M´todo da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 e 6.5 Fun¸ao fonte e seu espectro de frequˆncias. . . . . . . . . . . . . . . . 55 c˜ e 7.1 Instantˆneos para o campo de press˜o em meio homogˆneo - Formu- a a e la¸ao Pseudo-Ac´stica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 c˜ u 7.2 Instantˆneos para o campo de tens˜o vertical (σzz ) em meio homogˆ- a a e neo - Formula¸˜o El´stica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ca a 7.3 Frentes de onda para as velocidades de fase e grupo . . . . . . . . . . 60 7.4 Mecanismo de forma¸ao da onda SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 c˜ 7.5 Compara¸˜o das MTT’s para meio homogˆneo . . . . . . . . . . . . . 63 ca e 7.6 Compara¸˜o das MTT’s para formula¸ao el´stica e pseudo-ac´stica ca c˜ a u no meio homogˆneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 e 7.7 Modelo de velocidade e parˆmetros de anisotropia para interfaces pa- a ralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 xi
  12. 12. 7.8 Instantˆneos do campo de press˜o (Interfaces Paralelas - Primeira a a camada isotr´pica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 o7.9 Instantˆneos do campo de press˜o (Interfaces Paralelas - Primeira a a camada anisotr´pica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 o7.10 Sismogramas para modelo de interfaces paralelas . . . . . . . . . . . . 697.11 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade para interfaces paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.12 Compara¸ao das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Interfaces paralelas) 71 c˜ a u7.13 Modelo de velocidade e parˆmetros de anisotropia para interface in- a clinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.14 Instantˆneos do campo de press˜o (Interfaces Inclinada/Pseudo- a a Ac´stica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 u7.15 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade (Anticlinal) . . 757.16 Modelo anticlinal para velocidade V pz e parˆmetros de anisotropia . . 76 a7.17 Instantˆneos do campo de press˜o (Anticlinal/Pseudo-Ac´stica) . . . 78 a a u7.18 Instantˆneos do campo de tens˜o vertical (Anticlinal/El´stica) . . . . 79 a a a7.19 Sismogramas para modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.20 Compara¸ao das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Anticlinal) . . . . 81 c˜ a u7.21 Instantˆneos para o campo de press˜o em meio anisotr´pico homogˆ- a a o e neo - Formula¸˜o Ac´stica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ca u7.22 Frentes de onda para a velocidade grupo - Aproxima¸ao de Thomsen c˜ e Muir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1 Discretiza¸ao pelo M´todo das Diferen¸as Finitas (MDF) . . . . . . . 98 c˜ e c xii
  13. 13. Lista de Tabelas 7.1 Parˆmetros utilizados na modelagem (Meio Homogˆneo) . . . . . . . 58 a e 7.2 Parˆmetros utilizados na modelagem (Interfaces Paralelas) . . . . . . 65 a 7.3 Parˆmetros utilizados na modelagem (Interface Inclinada) . . . . . . 72 a 7.4 Parˆmetros utilizados na modelagem (Anticlinal) . . . . . . . . . . . 77 a xiii
  14. 14. Lista de Abreviaturas CCNR Condi¸oes de contorno n˜o reflexivas, p. 49 c˜ a CFL Courant-Friedrichs-Lewy, p. 52 MDF M´todo das Diferen¸as Finitas, p. 1 e c MEF M´todo dos Elementos Finitos, p. 1 e MTT Matriz de tempo de trˆnsito, p. 56 a MVF M´todo dos Volumes Finitos, p. 2 e SH Onda S (cisalhante) com polariza¸ao horizontal, p. 24 c˜ SV Onda S (cisalhante) com polariza¸ao vertical, p. 24 c˜ TI Transversalmente Isotr´pica, p. 3 o TTI Tilted Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de simetria qualquer), p. 3 VTI Vertical Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de sime- tria vertical), p. 3 AVO Amplitude versus offset (afastamento), p. 3 xiv
  15. 15. Cap´ ıtulo 1Introdu¸˜o ca1.1 Considera¸˜es preliminares co Atualmente na ´rea de Petr´leo e G´s a procura por novas reservas de hidro- a o acarbonetos em areas antes nunca exploradas, particularmente em aguas ultra - pro- ´ ´fundas, requer um alto ´ ındice de investimento em novas metodologias por parte dasempresas de explora¸ao, tendo em vista a alta complexidade geol´gica envolvida e c˜ oa presen¸a de fortes barreiras, como domos salinos, que dificultam a passagem das condas s´ ısmicas. O desenvolvimento de t´cnicas computacionais mais robustas e eficientes, pode eauxiliar no desafio de contornar as dificuldades inerentes ` profundidade de explora- a¸ao e a complexidade geol´gica da subsuperf´c˜ ` o ıcie, permitindo assim simular a presen¸a cde reservas cada vez mais delgadas e irregulares. Nesse contexto, a Modelagem S´ ısmica ´ uma linha de pesquisa importante para a eexplora¸ao de petr´leo. Por meio da modelagem, ´ poss´ estimar o comportamento c˜ o e ıvele as caracter´ ısticas das ondas em subsuperf´ ıcie, sendo util tanto para a compreens˜o ´ ado fenˆmeno da propaga¸ao das ondas, como ferramenta auxiliar nos processos de o c˜imageamento. Existem formula¸oes diversas para realizar a modelagem s´ c˜ ısmica [4],sendo relevantes no contexto deste trabalho os m´todos baseados na equa¸ao da e c˜onda no dom´ ınio do tempo, seja el´stica ou ac´stica. a u Na modelagem os m´todos num´ricos desempenham um papel de destaque, onde e eos mais empregados para modelar ondas s´ ısmicas s˜o: M´todo das Diferen¸as Finitas a e c(MDF), M´todo dos Elementos Finitos (MEF), M´todo dos Volumes Finitos (MVF) e e 1
  16. 16. e M´todo Pseudo-Espectral [4]. e Para a modelagem fornecer resultados precisos o modelo f´ ısico, que descreveo meio geol´gico a ser explorado, deve ser o mais realista poss´ o ıvel. Dessa forma,explorar modelos que contemplem a anisotropia, isto ´, a varia¸ao das propriedades e c˜do meio com a dire¸ao [5], [6], [7], torna-se importante tendo em vista o atual cen´rio c˜ ada explora¸˜o brasileira que contempla novos horizontes ainda desconhecidos e cada cavez mais complexos. A anisotropia passou a ter um impacto significativo na ind´stria de explora¸ao u c˜nos ultimos trinta anos, devido a novas metodologias de aquisi¸ao de dados que ´ c˜contemplam os efeitos anisotr´picos, e principalmente a evolu¸ao computacional o c˜que passou a permitir o uso de algoritmos mais precisos, revelando falhas no modeloisotr´pico [8]. o Embora a anisotropia tenha sido aplicada na area de explora¸ao de hidrocar- ´ c˜bonetos nas ultimas trˆs d´cadas, seu estudo remonta desde o s´culo XIX, quando ´ e e efoi iniciado por reconhecidos F´ ısicos e Matem´ticos, como Augustin Louis Cauchy, aAugustin-Jean Fresnel, Lord Kelvin e George Green [8]. Green foi o primeiro ausar a energia de deforma¸˜o e propor que poderiam haver 21 constantes el´sticas ca a[9]; Lord Kelvin foi o primeiro a formular a equa¸ao da onda el´stica para meios c˜ aanisotr´picos [8]. o Na Geof´ ısica, as pesquisas aplicadas ao tema iniciaram-se no final do s´culo XIX ee in´ do XX com os trabalhos pioneiros de Maurice Rudzki [10],[11]. No artigo de ıcioHelbig et al. [8] h´ um fragmento do trabalho de Rudzki [10] de 1897 que diz: a “If we have said that rocks must be treated as homogenous media, we did not mean to imply that these media would be isotropic. Many rocks can, of course, be regarded as isotropic, but in layered rocks one observes often an orientation of the grains — one should think of the orientation of mica flakes in gneiss and — moreover the structure of layered me- dia is generally different parallel and perpendicular to the layers. The dependence of the physical properties is shown by the well-known fact that the conductivity of heat in layered media is different in directions perpendicular and parallel to the layers. We have still another reason to regard some rocks as anisotropic media. Rocks, in particular those at 2
  17. 17. greater depth, are subject to large, and by far not always uniform iso- tropic pressure. But it is known that an isotropic body under uniaxial pressure can and will behave as a birefringent one ”. Dessa forma, Rudzki previa que rochas poderiam apresentar natureza aniso-tr´pica, fato atualmente conhecido. Por essa raz˜o determinados meios geol´gicos o a opassaram a ser tratados como tal. Diversas classes de anisotropia s˜o encontradas na natureza, como: monocl´ a ınica,ortotr´pica ou ortorrˆmbica, tetragonal, trigonal, c´bica e transversa isotr´pica ou o o u otransversalmente isotr´pica (TI) [12], sendo a transversa isotr´pica e a ortorrˆmbica o o oas mais aplicadas em s´ ısmica de explora¸˜o. ca Muitas forma¸oes geol´gicas s˜o TI, como as forma¸oes de xisto, que s˜o dispos- c˜ o a c˜ atas em camadas horizontais e causam anisotropia do tipo VTI (Vertical TranverseIsotropic), isto ´, anisotropia TI com eixo de simetria vertical. Na hip´tese em que e oo eixo de simetria est´ disposto em qualquer dire¸˜o, a anisotropia ´ dita ser TTI a ca e(Tilted Tranverse Isotropic).1.2 Revis˜o bibliogr´fica a a Atualmente o tema anisotropia cresceu consideravelmente na area de modelagem ´s´ ısmica. Um dos primeiros trabalhos encontrados na area de modelagem s´ ´ ısmicaanisotr´pica pertence a Peter Mora, que em 1989 desenvolveu um algoritmo baseado oem Diferen¸as Finitas em 3D para meios heterogˆneos com 21 coeficientes el´sticos c e a[13]. Posteriormente Igel et al. [14] desenvolveram operadores de diferen¸as finitas cpara meios com simetria qualquer, utilizando grid intercalado e interpola¸ao dos c˜tensores de tens˜o e deforma¸˜o. No entanto a estrat´gia introduzida por estes a ca eautores causa erros nas velocidades de fase e grupo das ondas, os quais dependemda interpola¸ao e do grau de anisotropia utilizado. c˜ Na linha de modelagem el´stica para meios TI, Tsingas et al. [15] formularam aoperadores para meios VTI, utilizando o esquema de MacCormack [16], esquema estederivado das equa¸oes de Lax-Wendroff [17], podendo ser aplicado para an´lises de c˜ aAVO (Amplitude versus offset). Faria e Stoffa [18] desenvolveram operadores parameios VTI baseados no trabalho de Levander para meios isotr´picos [19], sendo o 3
  18. 18. que os operadores apresentados mostraram-se mais est´veis em rela¸ao aos m´todos a c˜ ecl´ssicos de Diferen¸as Finitas at´ ent˜o adotados. a c e a Apesar da anisotropia ser classicamente um comportamento exibido por s´lidos, oem alguns tipos de aplica¸˜es geof´ co ısicas pode-se negligenciar as ondas cisalhantes.Nestes casos pode ser mais adequado adotar formula¸˜es que simulem apenas a pro- copaga¸ao da onda qP (quasi-P) no meio anisotr´pico, para buscar principalmente a c˜ oredu¸ao do custo computacional e a gera¸ao de imagens em profundidade relaciona- c˜ c˜das somente ao modo de onda P. Neste sentido, Tariq Alkhalifah [1] desenvolveu uma formula¸ao para meios ac´s- c˜ uticos anisotr´picos (i.e., somente onda qP) com simetria VTI, a partir de um trabalho oanterior, onde obteve a rela¸ao de dispers˜o para meios transversos isotr´picos [20]. c˜ a oA formula¸ao consiste em um sistema de equa¸oes diferenciais de quarta ordem aco- c˜ c˜pladas no espa¸o, tendo como parˆmetros a velocidade de normal moveout (V pn )1 , e c aos parˆmetros de anisotropia de Thomsen [21]. a Dando continuidade ao trabalho de Tariq, Kl´ e Toro [3] desenvolveram uma ıeequa¸ao semelhante, onde no entanto o sistema de equa¸˜es diferenciais possue de- c˜ corivadas acopladas no espa¸o e tempo, tornando o processo de resolu¸ao complicado c c˜e com maior custo computacional. Posteriormente foram realizadas extens˜es da oequa¸ao de Tariq para meios TTI, entre as quais destacam-se as de Zhang et. al [2] c˜e Zhou et al. [22]. Devido a equa¸˜o de Alkhalifah apresentar derivadas acopladas, tornando o pro- cacesso de discretiza¸ao extenso, diversos autores propuseram formula¸oes equivalentes c˜ c˜com a finalidade de eliminar o acoplamento das derivadas, entre os quais merecemdestaque, Zhou et al. [23], Zhang e Zhang [24], Du et al. [25] e Duveneck et al. [26].No trabalho de Fowler et al. [27], ´ encontrada uma compila¸˜o sobre as diferentes e caaproxima¸˜es para o desacoplamento das derivadas, al´m das vantagens computa- co ecionais para cada uma destas diferentes formula¸oes. Empregando a equa¸ao de c˜ c˜Alkhalifah, diversos algoritmos de migra¸ao foram implementados, entre eles Zhang c˜e Zhang [24], destacando-se aqueles de Bale et al. [28], Du et al. [29] e Fletcher etal. [30]. 1 Velocidade da onda obtida a partir do tempo de normal moveout, o qual ´ dado pela diferen¸a e centre o tempo de percurso (t x ) para uma distˆncia espec´ a ıfica fonte-receptor e o tempo (t0 ) para adistˆncia nula fonte-receptor. a 4
  19. 19. 1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho O enfoque deste trabalho reside no estudo da natureza das equa¸oes ac´sticas c˜ uanisotr´picas para meios transversos isotr´picos com eixo de simetria vertical (VTI) o odesenvolvidas por H´ctor Kl´ Linbin Zhang e Tariq Alkhalifah. Compreender os e ıe,fenˆmenos presentes nas equa¸oes ac´sticas anisotr´picas, suas limita¸oes e dificul- o c˜ u o c˜dades inerentes ser´ o enfoque principal do trabalho. A modelagem s´ a ısmica ser´ aempregada como ferramenta de an´lise das equa¸oes de ondas envolvidas, onde a a c˜partir da mesma os tempos de trˆnsito ser˜o avaliados utilizando como parˆmetro a a ade compara¸ao os tempos originados pela modelagem el´stica anisotr´pica. c˜ a o A estrutura do trabalho est´ dividida em oito cap´ a ıtulos: no cap´ ıtulo 2, ´ realizada euma breve revis˜o sobre os principais conceitos da teoria de elasticidade. S˜o apre- a asentados os tensores de tens˜o, deforma¸˜o e a rela¸˜o constitutiva da elasticidade, a ca caconceitos importantes para a dedu¸ao da equa¸˜o el´stica da onda. c˜ ca a No cap´ ıtulo 3 introduz-se o conceito de anisotropia, onde as diferentes classifica-¸oes para cada tipo de anisotropia e as diversas varia¸oes do tensor de elasticidadec˜ c˜em fun¸˜o das classes de simetria ser˜o abordadas. ca a No cap´ ıtulo 4, as equa¸˜es de onda el´stica em meios isotr´picos e anisotr´picos co a o os˜o apresentadas, tal como as rela¸˜es de velocidades anal´ a co ıticas para o meio trans-verso isotr´pico. Os diferentes parˆmetros para caracteriza¸ao da anisotropia s˜o o a c˜ adetalhados como fun¸ao das propriedades do meio. c˜ No cap´ ıtulo 5, ser˜o vistas as aproxima¸oes de fase para velocidades de onda P, a c˜as rela¸oes de dispers˜o, e as equa¸oes ac´sticas anisotr´picas derivadas a partir de c˜ a c˜ u ocada rela¸ao de velocidade apresentada. c˜ No cap´ ıtulo 6, ´ descrito todo o tratamento num´rico para a resolu¸ao das equa- e e c˜¸oes el´sticas e ac´sticas.c˜ a u No cap´ ıtulo 7, est˜o os exemplos empregados para an´lise das equa¸oes, as dis- a a c˜cuss˜es a respeito dos resultados, e as respectivas pondera¸˜es. o co Por fim, no cap´ ıtulo 8 constam as conclus˜es, bem como os trabalhos futuros. o 5
  20. 20. Cap´ ıtulo 2Teoria da Elasticidade2.1 Princ´ ıpios b´sicos a A teoria da elasticidade ´ o alicerce para a compreens˜o dos fenˆmenos que e a oenvolvem a propaga¸˜o de ondas el´sticas. Neste cap´ ca a ıtulo ser˜o introduzidos alguns aprinc´ ıpios b´sicos sobre elasticidade. As se¸˜es que seguem est˜o baseadas em Lay a co ae Wallace [31], Landau et al. [32] e Slawinski [33].2.1.1 Deforma¸˜o ca Quando corpos est˜o sujeitos a for¸as eles sofrem deforma¸ao, isto ´, a distˆncia a ` c c˜ e aentre dois pontos quaisquer do corpo ´ alterada devido a a¸ao de tens˜es. Desde que e c˜ oessas deforma¸oes sejam infinitesimais, elas podem ser caracterizadas pelo tensor de c˜segunda ordem: 1 ∂ui ∂u j εi j = + , i, j = 1, 2, 3 = x, y, z, (2.1) 2 ∂x j ∂xionde u = u(r) ´ o vetor deslocamento com componentes (u x , uy , uz ). e Dado tensor ´ conhecido como Tensor de deforma¸˜es infinitesimais, sendo sua e coforma matricial dada por:    ε11 ε12 ε13          εi j =  ε21 ε22 ε23 .                 ε31 ε32 ε33     6
  21. 21. As deforma¸oes com i c˜ j em (2.1) s˜o chamadas de deforma¸˜es angulares a coou cisalhantes, e com i = j, deforma¸oes normais. As deforma¸oes normais est˜o c˜ c˜ arelacionadas a varia¸˜es de volume, sendo compressional a deforma¸ao negativa e ` co c˜dilatacional a positiva, enquanto as deforma¸oes angulares est˜o associadas ao cisa- c˜ alhamento. Uma importante caracter´ ıstica do tensor de deforma¸ao infinitesimal ´ c˜ esua simetria, expressa por: εi j = ε ji . (2.2) O tra¸o do tensor de deforma¸ao ´ chamado de dilata¸˜o c´bica (Θ), ou seja, c c˜ e ca u 3 3 ∂ui Θ= εii = = ·u (2.3) i=1 i=1 ∂xi onde a equa¸ao (2.3) corresponde a uma mudan¸a fracional no volume do corpo, c˜ cexpressa por: ∆V V1 − V0 = =Θ (2.4) V0 V0sendo,V0 = Volume Inicial;V1 = Volume Final.2.1.2 Tens˜o a Quando h´ for¸as atuando sobre um s´lido, cada ponto do mesmo ´ afetado, a c o ecriando um campo de deforma¸oes associado as tens˜es aplicadas em cada ponto do c˜ ocorpo. Existem basicamente dois tipos de for¸as externas, as for¸as de volume e as c cfor¸as de superf´ c ıcie. Como exemplo de for¸a de volume pode-se citar a for¸a peso, c cP = mg (ou simplesmente peso), onde a massa m = m(ρ,v) ´ fun¸ao da densidade e e c˜volume do material, e como for¸as de superf´ c ıcie, a for¸a de atrito e a for¸a normal. c c Para compreender e definir o conceito de tens˜o, imagina-se inicialmente um acorpo em equil´ ınio Ω e contorno Γ , sujeito a um conjunto de for¸as ıbrio, com dom´ cexternas, conforme apresentado na figura (2.1(a)). Uma vez que o referido corpo est´ aem equil´ ıbrio, ao se realizar um corte imagin´rio no mesmo, passando pelo ponto a 7
  22. 22. Q, conforme ilustrado na figura (2.1(b)), encontrar-se-˜o for¸as internas chamadas a ctens˜es, respons´veis pelo equil´ o a ıbrio local. (a) For¸as externas atuando sobre um corpo c (b) For¸as externas e corte transversal paralelo ao plano x2 x3 c no ponto Q. Figura 2.1: For¸as atuando sobre um corpo c Considerando a ´rea hachurada da figura (2.1(b)) constitu´ de elementos infi- a ıdanitesimais de area ∆S , sobre os quais atuam tamb´m for¸as internas infinitesimais ´ e c∆F no ponto Q, sendo n o vetor normal a superf´ ˆ ıcie. Pode-se definir o vetor detens˜o de Cauchy como, a ∆F T (k) = lim (2.5) ∆S →0 ∆S ındice k, especifica o elemento de superf´ ∆S sobre o qual o vetor de tens˜oonde, o ´ ıcie aest´ atuando. a Com isto as tens˜es na face x1 , s˜o definidas como: o a ∆F1 ∆F2 ∆F3 σ11 = lim , σ12 = lim , σ13 = lim (2.6) ∆S 1 →0 ∆S 1 ∆S 2 →0 ∆S 2 ∆S 3 →0 ∆S 3onde, 8
  23. 23. ∆S 1 = ∆S · x1 , ∆S 2 = ∆S · x2 , ∆S 2 = ∆S · x3 . ˆ ˆ ˆsendo, x1 , x1 e x1 , vetores unit´rios para as dire¸˜es x1 , x2 e x3 respectivamente. ˆ ˆ ˆ a co Procedendo-se analogamente para as se¸˜es nas faces x2 e x3 , o vetor de tens˜es co ofica definido como: 3 Ti = σ ji n j , i ∈ {1, 2, 3}. (2.7) j=1onde:    σ11 σ12 σ13          σi j =  σ21 σ22 σ23 .                 σ31 σ32 σ33    com os elementos diagonais correspondendo as tens˜es normais, e os demais as ten- o `s˜es cisalhantes. A figura (2.2) apresenta as distribui¸˜es de tens˜es em um cubo o co oinfinitesimal. Figura 2.2: Tens˜es distribu´ o ıdas em um cubo infinitesimal. Para o caso ac´stico, onde as tens˜es cisalhantes n˜o est˜o presentes, a matriz u o a ade tens˜es assume a forma: o    −P 0   0        σi j =  0 −P 0 , P = −σ11 = −σ22 = −σ33                   0 0 −P   9
  24. 24. sendo P a press˜o, definida como o negativo da tens˜o normal (Lei de Pascal). a a Atrav´s da aplica¸ao da condi¸ao de equil´ e c˜ c˜ ıbrio do momento angular ([32], [33])no cubo da figura (2.2) demonstra-se a rela¸˜o de simetria, ca σi j = σ ji . (2.8) Como consequˆncia o n´mero de termos independentes relacionado ao tensor de e utens˜es ´ reduzido a seis, de forma similar ao que ocorre com o tensor de deforma¸˜o o e ` ca(2.2).2.1.3 Rela¸˜o constitutiva da elasticidade ca A rela¸ao constitutiva fornece a rela¸ao entre tens˜o e deforma¸ao, espec´ c˜ c˜ a c˜ ıficapara um dado meio. Segundo Slawinski [33], tal rela¸˜o n˜o decorre de qualquer ca aprinc´ ıpio f´ ısico fundamental, no entanto n˜o contraria nenhum outro. a No caso da elasticidade, a rela¸ao constitutiva, tamb´m chamada de Lei de Hooke c˜ egeneralizada, ´ expressa como: e 3 3 σi j = Ci jkl εkl (2.9) k=1 l=1onde Ci jkl ´ um tensor de 4a ordem, chamado de m´dulo el´stico ou tensor de elasti- e o acidade, que define as propriedades materiais do meio. Em um espa¸o tridimensional c ıpio 34 = 81 componentes. Por´m, devido aso tensor de elasticidade tem a princ´ esimetrias dos tensores de tens˜o e deforma¸˜o anteriormente descritas, o n´mero de a ca uconstantes independentes se reduz a 36. A interpreta¸˜o f´ ca ısica do tensor de elas-ticidade pode ser entendida como o n´mero de dire¸˜es necess´rias para mensurar u co aalguma propriedade do material [33]. 10
  25. 25. 2.2 Nota¸˜o de Voigt para o tensor de elastici- ca dade Pelo fato do tensor de elasticidade ser de 4a ordem, sua representa¸ao ´ de dif´ c˜ e ıcil 1visualiza¸˜o. No entanto a nota¸ao de Voigt ca c˜ explora a simetria dos tensores,transformando tensores de 2a ordem em vetores e tensores de 4a ordem em matrizes ´quadradas. E importante notar que apesar da nota¸ao permitir esse intercˆmbio, c˜ amatrizes e tensores s˜o entidades diferentes. a Escrevendo ent˜o o tensor de elasticidade Ci jkl como uma matriz Cmn de dimens˜o a a6x6, considerando os pares (i, j) e (k, l) (com i ≤ j e k ≤ l), atrav´s da nota¸ao de e c˜Voigt, m = iδi j + (9 − i − j)(1 − δi j ) (2.10) n = kδkl + (9 − k − l)(1 − δkl )onde δmn ´ o delta de Kronecker, ou seja, e   0, se m n  δmn =    1, se m = n  obtem-se a seguinte matriz:       C11 C12 C13 C14 C15 C16           C21 C22 C23 C24 C25 C26                 C31 C32 C33 C34 C35 C36     C= .           (2.11) C41 C42 C43 C44 C45 C46                 C51 C52 C53 C54 C55 C56                  C61 C62 C63 C64 C65 C66 Entretanto, de acordo com (B.8), vide Apˆndice (B), Cmn = Cnm , logo (2.11) e 1 Woldemar Voigt - F´ ısico alem˜o, em 1887 foi um dos primeiros a formular as transforma¸˜es a code coordenadas entre sistemas de referˆncia em repouso e em movimento e 11
  26. 26. assume a seguinte forma:       C11 C12 C13 C14 C15 C16           C12 C22 C23 C24 C25 C26                 C13 C23 C33 C34 C35 C36     C= .           (2.12) C14 C24 C34 C44 C45 C46                 C15 C25 C35 C45 C55 C56                  C16 C26 C36 C46 C56 C66 Por fim reescrevendo a equa¸˜o (2.9) matricialmente tem-se: ca σ = Cε. (2.13)ou,          σ11         C11 C12 C13 C14 C15 C16      ε11               σ22   ε22       C12 C22 C23 C24 C25 C26                                    σ33   ε33     C13 C23 C33 C34 C35 C36              =              .     (2.14) σ23        C14 C24 C34 C44 C45 C46   2ε23                                 σ13        C15 C25 C35 C45 C55 C56   2ε13                                 σ12         C16 C26 C36 C46 C56 C66   2ε12 onde o fator 2, presente em ε23 , ε13 e ε12 resulta da simetria do tensor de deforma¸ao, c˜para k l. Essa nota¸˜o ´ conveniente para explorar as diferentes formas da matriz ca e(2.12) sob transforma¸˜es que a deixam invariante, ou seja, cada grupo de simetria coda matriz (2.9) leva-a a formas distintas, essas formas caracterizam os diferentestipos de anisotropia. 12
  27. 27. Cap´ ıtulo 3Anisotropia e Sistemas de simetria3.1 Anisotropia A anisotropia representa a dependˆncia de uma determinada propriedade com a edire¸ao de medi¸˜o da mesma; no caso da sismologia de explora¸ao, com a velocidade c˜ ca c˜das ondas s´ ısmicas. O fato de determinados meios apresentarem anisotropia est´ relacionado `s suas a acomposi¸oes minerais e varia¸oes de temperatura [34], [35]. De acordo com Tsvankin c˜ c˜[6], anisotropia e heterogeneidade dependem da escala, isto ´, um mesmo meio pode eser heterogˆneo e isotr´pico para pequenos comprimentos de onda ou heterogˆno e o eanisotr´pico para comprimentos de onda maiores. Por exemplo, meios dispostos em ofinas camadas podem causar anisotropia TI, para comprimentos de onda maiores quea espessura da camada. Tal tipo de anisotropia ´ comum em bacias sedimentares ecaracterizadas por um eixo de simetria vertical (VTI), figura (3.1). Segundo Thomsen [21], a anisotropia em sequˆncias sedimentares, ´ causada e epelos seguintes fatores: • Anisotropia intr´ ınseca devido ` orienta¸ao dos gr˜os minerais; a c˜ a • Finas camadas isotr´picas, desde que o comprimento de onda seja maior que o a espessura da camada; • Fraturas verticais ou inclinadas. Uma das consequˆncias da anisotropia na modelagem s´ e ısmica reside no tempode propaga¸˜o das ondas, tendo influˆncia direta no imageamento s´ ca e ısmico, ou seja, 13
  28. 28. Figura 3.1: Modelo VTI, possui o eixo vertical como eixo sim´trico por rota¸ao. e c˜a anisotropia causa varia¸oes no posicionamento dos refletores em sub-superf´ c˜ ıcieem rela¸˜o ao caso isotr´pico. Por essa raz˜o o estudo da anisotropia na ´rea de ca o a asismologia de explora¸ao possui relevˆncia consider´vel. c˜ a a3.2 Sistemas de simetria As rela¸˜es que se seguem, tal como as descri¸˜es f´ co co ısicas presentes nesta se¸ao, c˜est˜o baseadas em [12] e [33]. a Alguns meios geol´gicos possuem simetria material, ou seja, medindo-se a ve- olocidade da onda nos mesmos, em diversas orienta¸oes de um dado sistema de co- c˜ordenadas, a velocidade ter´ a mesma magnitude. Com sistemas de coordenadas aapropriados, a verifica¸ao das simetrias de um meio ´ feita atrav´s do tensor de c˜ e eelasticidade (2.11).3.2.1 Grupo de simetria e transforma¸˜es co Para expressar a matriz de elasticidade (2.12) para diferentes tipos de anisotropia,´ necess´rio adotar um sistema de coordenadas apropriado que permita reconhecere aas simetrias do meio, isto ´, ´ preciso um grupo de simetria que deixe invariante a e ematriz (2.12) sob uma transforma¸˜o. Um grupo capaz de efetuar tal opera¸ao ´ o ca c˜ egrupo O(n) denotado por: O(n) := { A ∈ Mat (R, n), A−1 = AT }. 14
  29. 29. onde Mat(R, n) ´ o conjunto de todas as matrizes reais n x n, e O( n) ´ o grupo das e ematrizes ortogonais n x n. Basicamente o interesse sobre O( n) se restringe a doistipos de matrizes do grupo, rota¸˜es e reflex˜es, as quais introduzem as transforma- co o¸oes ortogonais necess´rias para o estudo dos diferentes tipos de anisotropia.c˜ aDefini¸˜o 3.2.1 O conjunto de transforma¸˜es ortogonais dadas pela matriz A, o ca coqual deixa as propriedades el´sticas do meio invariantes, ´ chamado de grupo de a esimetria do meio. De acordo com a teoria de grupo, se determinada matriz ´ invariante sob uma etransforma¸ao ortogonal dada pelas matrizes A1 , A2 , ela tamb´m ser´ invariante sob c˜ e ao produto A1 A2 . Al´m disso se uma matriz ´ invariante sob A, sob A−1 tamb´m o e e eser´ [33]. a A transforma¸ao utilizada em (2.12) a fim de encontrar as diferentes classes de c˜simetria, ´ do tipo: e C = MT CMA . A (3.1) A matriz de elasticidade ´ invariante sob a transforma¸˜o (3.1), dada pela matriz e caMA , chamada de matriz de Bond. Tal matriz ´ obtida atrav´s de transforma¸oes e e c˜ortogonais sob os tensores de tens˜o e deforma¸ao1 .Dessa forma a equa¸ao (3.1) a c˜ c˜imp˜e uma condi¸ao para encontrar as simetrias materiais da matriz de elasticidade. o c˜A matriz de Bond ´ escrita como: e    A2  A2 A2 A12 A13 A11 A13 A11 A12      11 12 13         A2   A2 A2 A22 A23 A21 A23 A21 A22       21 22 23         A2  A2 A2 A32 A33 A31 A33 A31 A32  MA =  31 32 33 .          2A21 A31 2A22 A32 2A23 A33 A22 A33 + A23 A32 A21 A33 + A23 A31 A21 A32 + A22 A31                 2A11 A31 2A12 A32 2A13 A33 A12 A33 + A13 A32 A11 A33 + A13 A31 A11 A32 + A12 A31                11 21 2A12 A22 2A13 A23 A12 A23 + A13 A22 A11 A23 + A13 A21 A11 A22 + A12 A21   2A A   (3.2) Os termos Ai j s˜o as entradas das matrizes de rota¸ao, reflex˜o ou ambas multi- a c˜ aplicadas, uma vez que a matriz continua invariante em rela¸ao a multiplica¸ao. c˜ c˜ 1 Maiores detalhes sobre como encontrar a matriz MA , ver [33] 15
  30. 30. Cada sistema de simetria descrito pelo tensor de elasticidade caracteriza umtipo de anisotropia do meio geol´gico, com um n´mero de coeficientes el´sticos o u aindependentes, que variam de acordo com o grau de simetria. A seguir ser˜o descri- atos alguns sistemas de simetria de importante aplica¸ao na sismologia de explora¸˜o. c˜ ca 1. Simetria de Ponto A simetria de ponto ´ um sistema pertencente a todo meio, e consiste de uma e reflex˜o em torno da origem do sistema de coordenadas, ou seja, a matriz A ´ a e da forma:    −1 0 0            A-I :=  0 −1 0    = −I.     (3.3)           0 0 −1   Utilizando as entradas de (3.3) em (3.2), a matriz torna-se:       1 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0                 0 0 1 0 0 0     =  = I.     MA−I       (3.4) 0 0 0 1 0 0                 0 0 0 0 1 0                  0 0 0 0 0 1  Logo a equa¸ao (3.1) pode ser reescrita como: c˜ C = IT CI. A qual ´ satisfeita identicamente para todo C. Portanto a simetria de ponto e pertence ao grupo de simetria de qualquer meio. 16
  31. 31. 2. Meio Tricl´ ınico       C11 C12 C13 C14 C15 C16           C12 C22 C23 C24 C25 C26                 C13 C23 C33 C34 C35 C36     = .     Ctrc       (3.5) C14 C24 C34 C44 C45 C46                 C15 C25 C35 C45 C55 C56                  C16 C26 C36 C46 C56 C66  O modelo anisotr´pico mais geral possui 21 coeficientes independentes. Esse o grande n´mero inviabiliza a sua aplica¸ao em sismologia; a unica simetria u c˜ ´ exibida ´ a simetria de ponto. e3. Meio Monocl´ ınico Possui uma reflex˜o sobre o plano como grupo de simetria, escolhendo a matriz a A de forma que a reflex˜o seja sobre o plano x1 x2 , ou seja , ao longo do eixo a x3 ,    1 0 0          A3 =  0 1 0 .             (3.6)       0 0 −1   Expressando (3.2),       1 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0                 0 0 1 0 0 0     = .     MA3       (3.7) 0 0 0 −1 0 0                 0 0 0 0 −1 0                  0 0 0 0 0 1  17

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