Exercícios de progressões: Aritmética e Geométrica

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Exercícios de progressões aritmética e geométrica para o vestibular.

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Exercícios de progressões: Aritmética e Geométrica

  1. 1. Blog Cálculo Básico www.calculobasico.blogspot.com.br Exercícios - Progressões: Aritmética e Geométrica
  2. 2. Blog Cálculo Básico www.calculobasico.blogspot.com.br Exercícios - Progressões: Aritmética e Geométrica Resolução por Prof.: Rony Henrique Barros – PVS Cederj (PDC) E-mail: rony.henrique@hotmail.com – Tel.: (21) 9274-0861 Pg 40 1) ‫ܪ‬ ൌ ܽଵ ൅ ܽଶ ൅ ܽଷ ൅ ‫ڮ‬ ൌ ܵ∞. Observe que os termos da sequência dada crescem em PG. Por semelhança de triângulos, temos que ௔భ ௕ ൌ ௔మ ௖ ֜ ௔మ ௔భ ൌ ௖ ௕ ൌ ‫.ݍ‬ ‫ܪ‬ ൌ ܽ 1 െ ܿ ܾ ൌ ܾܽ ܾ െ ܿ 2) ‫ܣ‬ଵ ൌ 2଻ . ‫ܤ‬ଵ ൜ ‫ܣ‬௧ ൌ ሺ2ଶሻ௧ିଵ . ‫ܣ‬ଵ ‫ܤ‬௧ ൌ 6௧ିଵ . ‫ܤ‬ଵ . a) ‫ܤ‬ଶ ൌ 6. ‫ܤ‬ଵ ൌ 20 ൅ ‫ܤ‬ଵ ֜ ‫ܤ‬ଵ ൌ ଶ଴ ହ ൌ 4. ‫ܣ‬ଵ ൌ 2଻ . 4 ൌ 2଻ . 2ଶ ൌ 2ଽ ൌ 512. b) ‫ܣ‬௧ ൏ ‫ܤ‬௧ ֜ 2ଶ௧ିଶ . 2ଽ ൏ 6௧ିଵ . 2ଶ ֜ 2ଶ௧ା଻ ൏ 2௧ିଵ . 3௧ିଵ . 2ଶ ֜ 2ଶ௧ା଻ ൏ 2௧ାଵ . 3௧ିଵ ֜ ଶమ೟శళ ଶ೟శభ ൏ 3௧ିଵ ֜ 2௧ା଺ ൏ 3௧ିଵ ֜ log 2௧ା଺ ൏ log 3௧ିଵ ֜ ሺ‫ݐ‬ ൅ 6ሻ. log 2 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ. log 3 ֜ ‫ݐ‬ ൅ 6 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ. ୪୭୥ଷ ୪୭୥ଶ ֜ ‫ݐ‬ ൅ 6 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ logଶ 3 ֜ ‫ݐ‬ ൅ 6 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ. 1,6 ֜ 7,6 ൏ 0,6‫ݐ‬ ֜ ‫ݐ‬ ൐ ଻଺ ଺ ൎ 13. A partir 13/05/2005. 3) ሺ1,3,5,7, … ሻ ܽଵ଴ ൌ 1 ൅ ሺ10 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 9.2 ൌ 19. LETRA C 4) a) ܳ ൌ ሺ1,3,5, … ሻ ‫ݍ‬ହ଴ ൌ 1 ൅ ሺ50 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 49.2 ൌ 99. b) Já possuímos a quantidade de termos da linha 50, agora basta encontrar o primeiro e o último termo desta sequência. Observando a sequência formada pela primeira coluna, temos: ሺ1,2,3,4, … ሻ. Daí, ܽହ଴ ൌ 1 ൅ 49.1 ൌ 50. Agora encontraremos o último termo da sequência da linha 50, assim: ܾଽଽ ൌ 50 ൅ ሺ99 െ 1ሻ. 1 ൌ 50 ൅ 98 ൌ 148. Portanto, ܵ ൌ ሺହ଴ାଵସ଼ሻ.ଽଽ ଶ ൌ ଵଽ଼.ଽଽ ଶ ൌ 99.99 ൌ 99ଶ . c) Calculemos em função de ݊ a quantidade de termos: ‫ݍ‬௡ ൌ 1 ൅ ሺ݊ െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 2݊ െ 2 ൌ 2݊ െ 1 O primeiro termo da ݊ െ é‫ܽ݉݅ݏ‬ linha: ܽ௡ ൌ 1 ൅ ሺ݊ െ 1ሻ. 1 ൌ ݊ O último termo da ݊ െ é‫ܽ݉݅ݏ‬ linha: ܾଶ௡ିଵ ൌ ݊ ൅ ሺ2݊ െ 1 െ 1ሻ. 1 ൌ ݊ ൅ ሺ2݊ െ 2ሻ. 1 ൌ ݊ ൅ 2݊ െ 2 ൌ 3݊ െ 2 Calculando finalmente a soma: ܵ ൌ ሺ݊ ൅ 3݊ െ 2ሻሺ2݊ െ 1ሻ 2 ൌ ሺ4݊ െ 2ሻሺ2݊ െ 1ሻ 2 ൌ ሺ2݊ െ 1ሻሺ2݊ െ 1ሻ ൌ ሺ2݊ െ 1ሻଶ
  3. 3. 5) Bolero Samba Fox 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 4 4 6 5 5 Soma 20 15 15 Total: 20 ൅ 15 ൅ 15 ൌ 20 ൅ 30 ൌ 50. LETRA B 6) 77 ൊ 4 ൌ 19 ܿ‫݉݋‬ ‫݋ݐݏ݁ݎ‬ 1. Logo ocorreram 19 aniversários. 7) Seja ‫ܥܤ‬ ൌ ‫.ݔ‬ Observemos que ‫ݔ‬ ൅ ‫ܦܥ‬ ൌ 2, além disso, ஺஻ ஻஼ ൌ ஻஼ ஼஽ ֞ ଶ ௫ ൌ ௫ ஼஽ ֞ ‫ݔ‬ଶ ൌ 2‫.ܦܥ‬ ቄ ‫ݔ‬ ൅ ‫ܦܥ‬ ൌ 2 ‫ݔ‬ଶ ൌ 2‫ܦܥ‬ ֜ ‫ݔ‬ଶ ൌ 2ሺ2 െ ‫ݔ‬ሻ ֞ ‫ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݔ‬ െ 4 ൌ 0 ֜ ‫ݔ‬ ൌ െ2 േ ඥ2ଶ െ 4.1. ሺെ4ሻ 2.1 ൌ ିଶേ√ଶ଴ ଶ ൌ ିଶേଶ√ହ ଶ ൌฎ ௫வ଴ െ 1 ൅ √5. ‫ݍ‬ ൌ ஻஼ ஺஻ ൌ ௫ ଶ ൌ ିଵା√ହ ଶ . ܵ∞ ൌ ଶ ଵି షభశ√ఱ మ ൌ ଶ మశభష√ఱ మ ൌ ସ ଷି√ହ . ሺଷା√ହሻ ሺଷା√ହሻ ൌ ସሺଷା√ହሻ ଽିହ ൌ 3 ൅ √5. LETRA D Pg 41. 8) 1 െ ଵ ଶ ൅ ଵ ସ െ ଵ ଼ ൅ ଵ ଵ଺ … Separemos em duas partes: ܵ∞భ ൌ 1 ൅ 1 4 ൅ 1 16 ൅ ‫ڮ‬ ൌ 1 1 െ 1 4 ൌ 1 3 4 ൌ 4 3 ܵ∞మ ൌ െ 1 2 െ 1 8 െ 1 32 െ ‫ڮ‬ ൌ െ 1 2ൗ 1 െ 1 4ൗ ൌ െ1 2 . 4 3 ൌ െ 2 3 ܶ‫݈ܽݐ݋‬ ൌ ܵ∞భ ൅ ܵ∞మ ൌ ସ ଷ െ ଶ ଷ ൌ ଶ ଷ . LETRA B 9)ሺ‫,ݒ‬ ‫,ܧ‬ 1ሻ Usando o termo médio de uma PA, temos: ‫ܧ‬ ൌ ‫ݒ‬ ൅ 1 2 ֜ ݉‫ݒ‬ଶ 2 ൌ ‫ݒ‬ ൅ 1 2 ֜ 1. ‫ݒ‬ଶ 2 ൌ ‫ݒ‬ ൅ 1 2 ֜ ‫ݒ‬ଶ െ ‫ݒ‬ െ 1 ൌ 0 ‫ݒ‬ ൌ 1 ൅ ඥ1 െ 4.1. ሺെ1ሻ 2 ൌ 1 ൅ √5 2 ൌ ߶ LETRA B 10) ‫݌‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ 4,3. 10ଵ଺ . ሺ100% െ 16%ሻ௧ିଵ ൌ 4,3. 10ଵ଺ . ሺ84%ሻ௧ିଵ com ‫ݐ‬ ൒ 1. Assim, ‫݌‬ሺ1ሻ ൌ 4,3. 10ଵ଺ e ‫ݍ‬ ൌ ଼ସ ଵ଴଴ ܵ∞ ൌ 4,3. 10ଵ଺ 1 െ 84 100 ൌ 4,3. 10ଵ଺ 16 100 ൌ 4,3. 10ଵ଺ . 10ଶ 16 ൌ 43. 10ଵ଻ 16 ؆ 2,7. 10ଵ଻ LETRA D
  4. 4. 11) O primeiro termo da décima linha é ݇ െ é‫݋݉݅ݏ‬ ൅ 1 termo da sequência ሺ1,3,5, … ሻ, onde ݇ ൌ 1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ ‫ڮ‬ ൅ 9 ൌ ሺଵାଽሻ.ଽ ଶ ൌ 45. ܽ௞ାଵ ൌ ܽସ଺ ൌ 1 ൅ ሺ46 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 90 ൌ 91 O último termo é: ܽହହ ൌ 1 ൅ 54.2 ൌ 109. ܵ ൌ ሺ91 ൅ 109ሻ. 10 2 ൌ 100.10 ൌ 1000 LETRA C Blog Cálculo Básico www.calculobasico.blogspot.com.br Prof.: Rony Henrique Barros – PVS Cederj (PDC) E-mail: rony.henrique@hotmail.com – Tel.: (21) 9274-0861

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