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Cálculo do volume de líquido no interior de um cilindro deitado em função da altura (h) formada entre o fundo do cilindro ...
Alunos:  Carlos Eduardo Gonçalves Arantes   Cassiano Germanovix de Oliveira   Eduardo Rovanni do Nascimento   Rodrigo de J...
Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h
Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h L h R
Limites de Integração L h +R -R 0 y x z -R+h
Limites de Integração L 0 y x z No eixo y - os limites são 0 e L
Limites de Integração h 0 y x z -R+h No eixo z - os limites são -R e -R+h -R
Limites de Integração 0 y x z No eixo x os limites são  e
Limites de Integração Como,  e  Temos que:     
Obtendo a integral tripla (Por simetria)
Resolvendo a integral tripla por coordenadas cartesianas
Para resolver a integral acima, é necessário que façamos uso da técnica de substituição trigonométrica
Utilizando substituição trigonométrica
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para: 0    h    2R; L > 0; e R > 0.
Testando a validade da equação <ul><li>Há 3 pontos onde pode-se testar a validade da equação através da lógica e geometria...
Quando h=0
Quando h=R (Meio Cilindro)
Quando h=2R (Cilindro Inteiro)
Obtendo a equação específica Para o cilindro utilizado na prática temos: R = 7,275 cm L = 29,8 cm Assim:
Medidas Realizadas <ul><li>Para comprovar na prática a equação, foi inserido um volume pré-definido de líquido no recipien...
Valores Obtidos <ul><li>Para V=0    h = 0; </li></ul><ul><li>Para V=1L    h = 3,726 cm; </li></ul><ul><li>Para V=2L    ...
Volume Obtido <ul><li>Para h = 0    V=0; </li></ul><ul><li>Para h = 3,726 cm    V = 1002,047 ml (esperado 1000 ml); </li...
Fatores contribuintes para a margem de erro <ul><li>Erro de paralaxe na leitura; </li></ul><ul><li>Deformações e/ou irregu...
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Cálculo do volume

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Cálculo do volume

  1. 1. Cálculo do volume de líquido no interior de um cilindro deitado em função da altura (h) formada entre o fundo do cilindro e a superfície deste líquido
  2. 2. Alunos: Carlos Eduardo Gonçalves Arantes Cassiano Germanovix de Oliveira Eduardo Rovanni do Nascimento Rodrigo de Jesus Godoy Curso: Engenharia Elétrica Disciplina: Cálculo II Professor: Valdemir Antunes Turma: 3º Semestre
  3. 3. Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h
  4. 4. Entendendo o Problema Calcular o volume do líquido contido no cilindro , em função da altura h L h R
  5. 5. Limites de Integração L h +R -R 0 y x z -R+h
  6. 6. Limites de Integração L 0 y x z No eixo y - os limites são 0 e L
  7. 7. Limites de Integração h 0 y x z -R+h No eixo z - os limites são -R e -R+h -R
  8. 8. Limites de Integração 0 y x z No eixo x os limites são e
  9. 9. Limites de Integração Como, e Temos que:  
  10. 10. Obtendo a integral tripla (Por simetria)
  11. 11. Resolvendo a integral tripla por coordenadas cartesianas
  12. 12. Para resolver a integral acima, é necessário que façamos uso da técnica de substituição trigonométrica
  13. 13. Utilizando substituição trigonométrica
  14. 25. Para: 0  h  2R; L > 0; e R > 0.
  15. 26. Testando a validade da equação <ul><li>Há 3 pontos onde pode-se testar a validade da equação através da lógica e geometria espacial: </li></ul><ul><li>Quando h=0; </li></ul><ul><li>Quando h=R; (Meio Cilindro) </li></ul><ul><li>Quando h=2R (Cilindro inteiro). </li></ul>
  16. 27. Quando h=0
  17. 28. Quando h=R (Meio Cilindro)
  18. 29. Quando h=2R (Cilindro Inteiro)
  19. 30. Obtendo a equação específica Para o cilindro utilizado na prática temos: R = 7,275 cm L = 29,8 cm Assim:
  20. 31. Medidas Realizadas <ul><li>Para comprovar na prática a equação, foi inserido um volume pré-definido de líquido no recipiente e medido a altura h. </li></ul><ul><li>Foram realizadas 4 medidas: </li></ul><ul><li>V=0 (Sem líquido) </li></ul><ul><li>V=1L </li></ul><ul><li>V=2L </li></ul><ul><li>V=3L </li></ul>
  21. 32. Valores Obtidos <ul><li>Para V=0  h = 0; </li></ul><ul><li>Para V=1L  h = 3,726 cm; </li></ul><ul><li>Para V=2L  h = 6,17 cm; </li></ul><ul><li>Para V=3L  h = 8,486 cm; </li></ul>
  22. 33. Volume Obtido <ul><li>Para h = 0  V=0; </li></ul><ul><li>Para h = 3,726 cm  V = 1002,047 ml (esperado 1000 ml); </li></ul><ul><li>Para h = 6,170 cm  V = 2000,166 ml (esperado 2000 ml); </li></ul><ul><li>Para h = 8,486 cm  V = 3000,77 ml (esperado 3000 ml); </li></ul>
  23. 34. Fatores contribuintes para a margem de erro <ul><li>Erro de paralaxe na leitura; </li></ul><ul><li>Deformações e/ou irregularidades na superfície; </li></ul><ul><li>Precisão da escala do paquímetro; </li></ul><ul><li>Possível inclinação do paquímetro na obtenção das medidas; </li></ul><ul><li>Ângulo de contato formado entre o líquido e o vidro devido à tensão superficial, dependente das características do líquido utilizado; </li></ul>

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