Propiedades relaciones binarias

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Propiedades de las relaciones en un conjunto. Equivalencia y orden

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Propiedades relaciones binarias

  1. 1. PROPIEDADES DE LASRELACIONES BINARIAS Prof. Lic. Teresa Fernández
  2. 2. Propiedad reflexivaR  A2Sea R una relación binaria R en A, (A  ).Diremos que R es reflexiva si aA, a R aEn N la relación R definida por: “x R y  x divide a y” es reflexiva ya que xN, x R x porque x divide a x Prof.Lic. Teresa Fernández
  3. 3. Propiedad reflexiva 1 0 0 1Si la relación R es reflexiva 1 1 1 0entonces la diagonal MR   pertenece a la relación. En 0 0 1 1la matriz asociada, la  diagonal es toda de 1. 0 1 0 1 Si la relación R es reflexiva entonces A todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle). Prof.Lic. Teresa Fernández
  4. 4. Propiedad arreflexivaDiremos que R es arreflexiva si a  A : aRa 0 0 0 1   1 0 1 0 M  R 0 0 0 1   0  1 0 0  En N la relación R definida por: “a R b  a < b”. Es arreflexiva ya que ningún número natural es menor que sí mismo. Prof.Lic. Teresa Fernández
  5. 5. Propiedad no reflexiva Diremos que R es no reflexiva si a  A / aRa 1 0 0 1 1 0 1 0 MR    0 0 0 1   0 1 0 1En N la relación R definida por: “a R b  a es el doble de b”.es no reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de 1 Prof.Lic. Teresa Fernández
  6. 6. Propiedad simétrica Diremos que R es simétrica si  a, b A: a R b  b R a1) En Z la relación R definida por: “a R b  a – b es múltiplo de 2”. es simétrica ya que si a R b  hay pZ tal que a – b = 2p  b – a = 2(-p) con -p  Z  b R a Prof.Lic. Teresa Fernández
  7. 7. Propiedad simétrica Si la relación R es 1 1 0 1 simétrica sobre A 1 0 1 0 entonces los pares MR   relacionados se reflejan 0 1 1 0 respecto a la diagonal   principal, en la matriz 1 0 0 1 asociada. Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una A flecha la tiene en las dos direcciones Prof.Lic. Teresa Fernández
  8. 8. Propiedad asimétrica Diremos que R es asimétrica si  a, b A: a R b  b R a No hay 1 1 0 1 No hay pares que   M  0 0 0 0 flecha de ida se reflejen R 0  1 1 0  y vuelta en a través de 0  0 0 1  ningún par la diagonal de elementos.En Z la relación R definida por: “a R b  a < b”. es asimétrica ya que si a< b , b por lo tanto no será menor que a. Prof.Lic. Teresa Fernández Prof.Lic. Teresa Fernández
  9. 9. Propiedad antisimétricaDiremos que R es antisimétrica si  a, b A: [a R b  b R a]  a = bOtra manera de expresarlo: Si ab  [ (a,b)  R  (b,a)  R ]En N la relación R definida por: “x R y  x divide a y” es antisimétricaYa que si a R b y b R a entonces existen n, m N tales que:b = an y a = bm.Sustituyendo en esta última,a = bm = (a.n).m  n.m = 1 n = m = 1  a = b. Prof.Lic. Teresa Fernández
  10. 10. Propiedad antisimétrica 1 1 0 1Si la relación R es antisimétrica 0 0 1 0pueden existir pares por encima o por MR   debajo de la diagonal pero ningún par 1 0 1 1tiene reflejo respecto a la diagonal   0 1 0 0principal excepto la diagonal misma. La relación R es antisimétrica si para cada par de elementos distintos A relacionados la flecha está solo en un sentido Prof.Lic. Teresa Fernández
  11. 11. Propiedad TransitivaDiremos que R es transitiva si  a, b, c A: [a R b  b R c]  a R cEn N la relación R definida por: “x R y  x divide a y” es transitiva yaque si a R b y b R c entonces existen n, m N tales que: b = an y c =bm. Sustituyendo en esta última: c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m N b R c. Cada vez que hay un camino de un elemento a otro pasando por un elemento intermedio, también existe un camino entre ambos elementos directamente. Prof.Lic. Teresa Fernández
  12. 12. Propiedad Transitiva La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino.A Prof.Lic. Teresa Fernández
  13. 13. R  A2 M : matriz asociadaIn : matriz identidad Mt : matriz transpuesta*R es reflexiva  In  M*R es simétrica  M = Mt*R es transitiva  M2  M*R es antisimétrica  M  Mt  In Nota : S y T matrices booleanas del mismo orden S T si sij  t ij Prof.Lic. Teresa Fernández
  14. 14. Siendo A , la Relación diagonal, definida de la siguiente manera:   = (a,a) A2 / a  A A R es reflexiva  A  R;R es simétrica  R = R-1;R es arreflexiva  A  R =  ;R es antisimétrica  R  R-1  A ;R es transitiva  R2  R;R es asimétrica  R  R-1 =  Prof.Lic. Teresa Fernández
  15. 15. Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria sobre A, es una Relación de equivalenciasi satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es simétrica R es transitivaSon de equivalencia:1) En Z la relación R definida por: a R b  a – b es múltiplo de 3.2) Dado un conjunto D U, la relación: ARB  A  D = B D Prof.Lic. Teresa Fernández
  16. 16. Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcialsi satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es antisimétrica R es transitivaEn este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenadoSon Relaciones de orden:1) En D60 , el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida por: a R b  a divide a b.2) En R, la relación definida por a R b  a  b. Prof.Lic. Teresa Fernández
  17. 17. Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden totalsi es una relación de orden parcial y además se satisface que:  a, b A: [a R b  b R a]En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado Prof.Lic. Teresa Fernández

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