Cubo

445 views

Published on

Published in: Entertainment & Humor
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
445
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Cubo

  1. 1. Series de Fourier y fen´meno de Gibbs o Roberto Rodr´ ıguez-del-R´ & Enrique Zuazua ıo Departamento de Matem´tica Aplicada a Universidad Complutense de Madrid 28040 Madrid, Espa˜a n e-mail: rr delrio@mat.ucm.es; zuazua@eucmax.sim.ucm.es Resumen En este trabajo describimos la g´nesis de las series de Fourier a e trav´s de los trabajos pioneros de finales del siglo XVIII y principios e del XIX en la resoluci´n de dos de las Ecuaciones en Derivadas Par- o ciales (EDP) m´s importantes: la ecuaci´n de ondas y la del calor. a o Las series de Fourier han generado un gran n´mero de trabajos de u investigaci´n y han dado nombre a una de las ´reas m´s importantes o a a del An´lisis Matem´tico, el An´lisis de Fourier o An´lisis Arm´nico. a a a a o Son muchas las cuestiones matem´ticas b´sicas y atractivas que las a a series de Fourier plantean. Entre ellas cabe destacar el fen´meno de o Gibbs, a cuyo an´lisis dedicamos parte de este trabajo. Por ultimo, co- a ´ mo apoyo a la lectura del art´ ıculo, se describen varios programas para el asistente matem´tico Matlab que permiten estudiar gr´ficamente a a estas cuestiones.1. Introducci´n o En cualquier curso introductorio de Ecuaciones en Derivadas Parciales(EDP) siempre podemos encontrar dos importantes ejemplos: la ecuaci´n de oondas que, en su versi´n m´s elemental, describe las vibraciones de una cuer- o ada fija en dos extremos y; la ecuaci´n del calor que describe c´mo fluct´a el o o ucalor a lo largo del tiempo a trav´s de un s´lido. Sin embargo, no siempre se e opone de manifiesto la importancia e influencia reales que estos dos problemas 1
  2. 2. han tenido en el desarrollo posterior de t´cnicas y teor´ que han enrique- e ıas,cido, y lo siguen haciendo hoy en d´ a la Matem´tica y sus aplicaciones. ıa, aEntre estas, cabe citar el desarrollo de las series trigonom´tricas y el An´lisis e ade Fourier, que iremos estudiando, en parte, a lo largo del art´ ıculo. El trabajo est´ estructurado de la forma siguiente: a En la secci´n 2, se ha hecho un peque˜o recorrido hist´rico de la g´nesis o n o edel An´lisis de Fourier, a partir de los primeros estudios relacionados con los aintentos de resolver el problema de la cuerda vibrante hasta llegar al fen´meno ode Gibbs. En la secci´n 3, se analizan los dos problemas cl´sicos de Ecuaciones en o aDerivadas Parciales que dieron lugar al An´lisis de Fourier : la ecuaci´n de a oondas y la del calor. En la secci´n 4, se estudian algunos aspectos cl´sicos del fen´meno de o a oGibbs. Por ultimo, en la secci´n 5, se incluyen los c´digos de algunos programas ´ o orealizados en Matlab para la elaboraci´n de las gr´ficas que aparecen en el o a ıculo, con una intenci´n claramente did´ctica.art´ o a Respecto de la bibliograf´ aunque no se ha pretendido que sea exhausti- ıa,va, s´ que se ha incluido una importante cantidad de las referencias hist´ricas ı ooriginales, de manera que el lector interesado, pueda recorrer por s´ mismo ılos pasos seguidos por los protagonistas del desarrollo de las cuestiones ma-tem´ticas mencionadas aqu´ a ı.2. Notas hist´ricas o2.1. Los precursores Una serie trigonom´trica es una expresi´n de la forma e o ∞ a0 + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (2.1) 2 k=1donde ak y bk con k = 0, 1, 2, . . . son constantes. Si tal serie converge para todox tal que −∞ < x < +∞, en alg´n sentido que precisaremos m´s adelante, u aentonces representar´ una funci´n peri´dica de per´ a o o ıodo 2π y bastar´ por atanto estudiar su restricci´n al intervalo [−π, π] o La cuesti´n de si una funci´n arbitraria f (x) (con x ∈ [−π, π]), puede o oexpresarse como una expansi´n del tipo (2.1) aparece a mediados del siglo o 2
  3. 3. XVIII asociada a los estudios de L. Euler (1701-1783) y de D. Bernouilli(1700-1782) sobre el problema de la cuerda vibrante, comentado en el apar-tado 3.1. Bernouilli llega al punto de plantearse la soluci´n del problema de la ocuerda vibrante en forma de serie trigonom´trica a partir de consideraciones ede tipo f´ ısico, que le llevan a pensar que la cuerda oscila involucrando variasfrecuencias al mismo tiempo, cuyas amplitudes respectivas dependen de laforma inicial de la vibraci´n, es decir, del modo en que se haya empezado a omover la cuerda. Esta posibilidad, descubierta por Bernouilli, es lo que hoyllamamos principio de superposici´n y ha resultado ser un principio de gran oimportancia en muchas ramas de la F´ ısica matem´tica. a Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resul-tado aparentemente parad´jico, de acuerdo con algunos conceptos matem´ti- o acos de su tiempo. A saber, el hecho de que una funci´n “arbitraria”pueda oser expresada en forma de serie trigonom´trica. Hay que tener en cuenta, eque para los matem´ticos contempor´neos de Euler, las curvas se divid´ a a ıanen dos clases: curvas “continuas curvas “geom´tricas”. En contraste con la 2 eterminolog´ adoptada hoy en d´ una curva se dec´ “continua”si sus orde- ıa ıa, ıanadas y sus abscisas pod´ conectarse mediante alguna f´rmula y = f (x). ıan oPor otra parte una curva se denominaba “geom´trica”si pod´ dibujarse de e ıaalguna forma con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, quela segunda categor´ de curvas era m´s amplia que la primera, ya que lo que ıa anosotros denominamos como una funci´n continua a trozos, puede dibujarse, opero no puede expresarse si no es con varias f´rmulas (sobre el desarrollo del oconcepto de funci´n, puede consultarse [Lu].) As´ si una funci´n “arbitra- o ı, oria”pod´ expresarse, por ejemplo, como una serie de senos (es decir, como ıa(2.1), pero con ak = 0 para k = 0, 1, 2, . . .), esto significar´ que cualquier ıacurva “geom´trica”ser´ tambi´n una curva “continua”, lo cual, para Euler e ıa ey sus contempor´neos, era simplemente incre´ a ıble. Por otra parte, para contribuir m´s a´n a este debate, la soluci´n al pro- a u oblema de la cuerda vibrante de Bernouilli compite con otra aportada porJ.R. d’Alembert (1717-1783) en forma de una onda que avanza y otra queretrocede, que se determinan a partir de la posici´n y velocidad iniciales de ola cuerda. En particular, d’Alembert consideraba que la manera m´s natural ade hacer que una cuerda empezase a vibrar era desplazarla de su posici´n ode equilibrio tirando de alg´n punto de ella. Esto hace que su posici´n ini- u ocial se pueda representar mediante dos rectas que forman un determinadoangulo (ver figura 1). Para d’Alembert la naturaleza de esta curva hac´ im-´ ıa 3
  4. 4. Posición inicial 0 Posición de equilibrio Figura 1: Posici´n inicial natural seg´n d’Alembert o uposible pensar en que pudiese expresarse como una serie trigonom´trica, ya eque se trata, como se ha comentado m´s arrriba, de una curva “geom´trica”, a emientras que la serie trigonom´trica ser´ una curva “continua”. e ıa2.2. Jean Baptiste Joseph Fourier La chaleur p´n´tre, comme la gravit´, toutes les substances de l’univers, ses e e e rayons occupent toutes les parties de l’espace. Le but de notre ouvrage est d’exposer les lois math´matiques que suit cet ´l´ment. Cette th´orie formera e ee e d´sormais une des branches importantes de la physique g´n´rale. e e e Th´orie analytique de la chaleur e Discours pr´liminaire. Joseph Fourier e Figura 2: Bar´n Jean Baptiste Joseph Fourier o 4
  5. 5. El problema de si una funci´n cualquiera puede representarse mediante ouna serie trigonom´trica reaparece m´s tarde con el matem´tico franc´s J. e a a eFourier (1768-1830). En una memorable sesi´n de la Academia Francesa de las Ciencias, el od´ 21 de diciembre de 1807, Fourier presentaba un trabajo que iba a abrir ıaun nuevo cap´ ıtulo en la historia de la matem´tica: la creaci´n del An´lisis a o aArm´nico o, como tambi´n se le conoce a partir de sus trabajos, el An´lisis o e ade Fourier. Fourier hab´ deducido una ecuaci´n que describ´ la conducci´n del calor ıa o ıa oa trav´s de los cuerpos s´lidos, la ecuaci´n del calor (que analizaremos en el e o oapartado 3.2). Pero no s´lo la hab´ deducido, sino que hab´ desarrollado un o ıa ıam´todo para resolverla, el m´todo de separaci´n de variables, procedimiento e e oque, en cierto modo, hab´ sido utilizado ya por Bernouilli para su soluci´n, ıa oaunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistem´tica en la aresoluci´n de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicaci´n de la t´cnica o o ede separaci´n de variables a la ecuaci´n del calor, le condujo a escribir la o osoluci´n en forma de serie trigonom´trica, e incluso llegar a afirmar que cual- o equier funci´n f (x), peri´dica de periodo 2π se puede poner como una serie o ode la forma (2.1). Y, para ello, incluso encontr´ las f´rmulas (de Fourier ) o oque permiten calcular los coeficientes de la serie asociada a la funci´n o 1 π ak = f (x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, . . . (2.2) π −π 1 π bk = f (x) sin(kx)dx, k = 1, 2, . . . (2.3) π −π Aunque la representaci´n de una funci´n en serie trigonom´trica se hab´ o o e ıaconsiderado antes de Fourier, como hemos visto en el apartado 2.1, nadieantes que Fourier puso de manifiesto la correspondencia entre funci´n y co- oeficientes. Sin embargo, tampoco el trabajo de Fourier fue aceptado a la primera,m´xime teniendo como parte del auditorio a matem´ticos como J.L. Lagran- a age (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827) y A.M. Legendre (1752-1833), quecriticaron abiertamente la falta de rigor del tratamiento de Fourier. De he-cho, Fourier tuvo que rehacer su trabajo ya que su memoria no fue aceptadaen un primer momento. No obstante, finalmente sus ideas fueron aceptadasy fueron expuestas, a˜os despu´s, en su obra de 1822, Th´orie analytique de n e ela chaleur ([Fo]). 5
  6. 6. Hay que a˜adir que el estudio de las series de Fourier contribuy´ de ma- n onera decisiva a clarificar la idea de funci´n hasta el moderno concepto de onuestros d´ Todo este tratamiento posterior est´ asociado a nombres ta- ıas. ales como P.G.L. Dirichlet (1805-1859), B. Riemann (1826-1866), G. Cantor(1845-1918) y H. Lebesgue (1875-1941). Para consultar el desarrollo hist´ri- oco posterior de las series de Fourier, hasta las aplicaciones recientes, puedeconsultarse la referencia [Du].2.3. Una protuberancia rompe la armon´ ıa Una de las muchas derivaciones interesantes, aunque desde luego no lam´s importante, a que ha dado lugar el an´lisis de Fourier, es el llamado a afen´meno de Gibbs, que surge a mediados del siglo XIX. A ´l dedicaremos o ela secci´n 4. Aqu´ s´lo vamos a mencionar algunas anotaciones hist´ricas de o ı o oeste “rinc´n del An´lisis Arm´nico”, (seg´n palabras de E. Hewitt y R.E. o a o uHewitt, [HH]). H. Wilbraham observ´ en 1848 ([W]) que, en puntos cercanos a una dis- ocontinuidad de una funci´n f , las sumas parciales de la serie de Fourier de f opresentaban un comportamiento oscilatorio an´malo que hac´ que las gr´fi- o ıa acas de las sumas parciales excedieran en aproximadamente el 9 % del valordel salto de la discontinuidad. Este trabajo de Wilbraham cay´ en el olvido, ohasta que hacia 1898 volvi´ a reaparecer en un contexto distinto. Fue de mano odel Premio Nobel en F´ ısica (1907) A. Michelson, cient´ıfico norteamericano,inventor y constructor de numerosos instrumentos f´ ısicos de gran precisi´n. oMichelson construy´ un aparato llamado analizador arm´mico que permit´ o o ıa,mec´nicamente, determinar hasta los 80 primeros componentes de la serie de aFourier, a partir de la gr´fica de una funci´n y = f (x). Michelson observ´ que a o opara una funci´n de tipo salto, en las cercan´ del punto de discontinuidad, o ıasaparec´ una extra˜a protuberancia que no aparec´ en la funci´n original. ıa n ıa oEn un principio crey´ que pod´ deberse a un defecto mec´nico del aparato. o ıa aUna vez verificado que pod´ no ser as´ escribe al f´ ıa ı, ısico-matem´tico J.W. aGibbs, que investig´ y explic´ el fen´meno ([G]) bas´ndose en la no con- o o o avergencia uniforme de la serie de Fourier en las cercan´ de un punto de ıasdiscontinuidad. Para tener una visi´n m´s completa de todos los avatares hist´ricos con- o a ocernientes a esta singular p´gina de la Historia de las Matem´ticas, incluidas a adisputas y controversias sobre la prioridad del descubrimiento, pueden con-sultarse las referencias [Go] y [HH]. 6
  7. 7. Este fen´meno, que se conoce como fen´meno de Gibbs (o fen´meno de o o oGibbs-Wilbraham), tiene consecuencias f´ ısicas interesantes. Por ejemplo, enel caso de circuitos el´ctricos en los que, por medio de un conmutador, se epueden crear saltos de voltage. Dado que este voltage puede sobrepasar loinicialmente previsto, resulta importante conocer esta desviaci´n en relaci´n o ocon la respuesta de los componentes del circuito.3. Ondas y calor3.1. El problema de la cuerda vibrante Consideremos la ecuaci´n de ondas o   utt − uxx = 0,  0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, (3.4) u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = 0, 0 < x < L.   El sistema (3.4) es un modelo simple para el an´lisis de las vibraciones de auna cuerda de longitud L (que ocupa el intervalo espacial x ∈ (0, L)) y queest´ fija en sus extremos x = 0, L. La inc´gnita u = u(x, t), que depende del a oespacio x y del tiempo t, denota la altura a la que se encuentra el punto x de lacuerda (del intervalo (0, L)), en el instante de tiempo t (ver figura 3). Se tratade una ecuaci´n en derivadas parciales de orden dos, complementada por dos ocondiciones de contorno que reflejan el que la cuerda est´ fija en sus extremos. ePara ver su derivaci´n a partir de las correspondientes consideraciones f´ o ısicasse puede consultar [St]. u u(x,t) 0 x L Figura 3: Cuerda En la ultima ecuaci´n de (3.4) se establecen las condiciones iniciales que ´ ola soluci´n ha de satisfacer en el instante t = 0. Al tratarse de una ecuaci´n o o 7
  8. 8. de segundo orden en tiempo imponemos tanto la configuraci´n inicial de u, ou0 , como la velocidad ut (x, 0) = 0, condici´n ´sta que expresa el hecho de o eque la cuerda se encuentra en reposo antes de soltarla. Sin embargo, en otrassituaciones, puede tener sentido dar un valor u1 (x) para la velocidad inicial,con lo que la condici´n quedar´ ut (x, 0) = u1 (x). o ıa Mediante ut (resp. ux ) denotamos la derivada parcial de u con respecto at (resp. x). De este modo, utt representa la derivada parcial de orden dos deu con respecto de t dos veces. M´s adelante tambi´n utilizaremos la notaci´n a e o∂t (resp. ∂x ) para denotar el operador de derivaci´n parcial con respecto a t o 2 2(resp. x). Asimismo ∂t (resp. ∂x ), denotar´ el operador de derivaci´n parcial a ocon respecto a t (resp. x) dos veces. Como hemos indicado en el apartado 2.1, en 1747 d’Alembert ([D1],[D2])propuso la siguiente expresi´n para la soluci´n general de la ecuaci´n de o o oondas sin condiciones de contorno u(x, t) = f (x + t) + g(x − t). (3.5)Conviene observar que la expresi´n de la soluci´n u que (3.5) proporciona o ono es m´s que la superposici´n de dos ondas de transporte: f (x + t) que se a odesplaza sin deformarse a velocidad 1 en la direcci´n negativa del eje de las ox, mientras que g(x − t) lo hace hacia la derecha. No es dif´ comprobar que ıcil(3.5) proporciona la expresi´n de la soluci´n general de la ecuaci´n de ondas. o o o 2 2En efecto, basta observar que el operador diferencial ∂t − ∂x involucrado enla ecuaci´n de ondas se puede factorizar como o 2 2 ∂t − ∂x = (∂t + ∂x ) (∂t − ∂x ) . (3.6)Vemos entonces que las dos ondas de transporte en las que se descompone lasoluci´n, corresponden a las soluciones de las ecuaciones o (∂t + ∂x ) u = 0; (∂t − ∂x ) u = 0 (3.7)respectivamente. En efecto, la soluci´n de la primera ecuaci´n es de la forma o ou = g(x − t) mientras que la de la segunda es u = f (x + t). Posteriormente, D. Bernouilli en 1753 en [Be] obtuvo soluciones de laecuaci´n de la cuerda vibrante de la siguiente forma: o ∞ kπ kπ u= bk cos t sin x . (3.8) k=1 L L 8
  9. 9. Si la longitud de la cuerda fuese L = π, las soluciones quedar´ ıan ∞ u= bk cos (kt) sin (kx) . (3.9) k=1Bernouilli hab´ llegado a esta soluci´n superponiendo soluciones de la forma ıa o uk = bk cos (kt) sin (kx) . (3.10)Un simple c´lculo permite comprobar que la funci´n definida en (3.10) es a osoluci´n de (3.4). Obviamente, en la ´poca de D. Bernouilli el concepto de o eserie de funciones, o incluso el propio concepto de funci´n, no estaban aun obien definidos, por lo que en este punto la serie (3.9) ha de ser interpretadade manera forma. Sin embargo, hemos querido constatar que D. Bernouillientendi´ que la superposici´n de soluciones de base como (3.10) permite o oconstruir clases m´s generales de soluciones de (3.4). a Una primera cuesti´n importante que se plantea de manera natural es la ocoincidencia de expresiones del tipo (3.5) y (3.9). Efectivamente, en la medidaen que para datos iniciales fijados (posici´n y velocidad inicial de la cuerda) ola soluci´n de (3.4) es unica, y si las dos representaciones (3.5) y (3.9) son o ´v´lidas, ambas han de coincidir. a Esto es efectivamente as´ Consideremos uno de los t´rminos involucrados ı. een (3.9). Es decir, una soluci´n de la forma cos(kt) sin(kx). Utilizando las of´rmulas trigonom´tricas habituales vemos que o e 1 cos(kt) sin(kx) = [sin (k(x + t)) + sin (k(x − t))] 2 1 = [fk (x + t) + fk (x − t)] 2donde fk (z) = sin (kz) .Tratando de un modo an´logo los dem´s t´rminos de (3.9) vemos que, efec- a a etivamente, la funci´n desarrollada en series de Fourier (3.9) puede ser escrita oen la forma (3.5) como superposici´n de dos ondas de transporte. o Esta simple observaci´n ilustra el modo en que en un desarrollo en se- orie de Fourier puede detectarse la velocidad a la que se propaga la funci´n orepresentada por dicha serie. Efectivamente, tal y como mencion´bamos ante- ariormente, como se desprende de la f´rmula de d’Alembert (3.5), la velocidad o 9
  10. 10. de propagaci´n en el modelo (3.4) es 1. Esto puede observarse tambi´n en o eel desarrollo en serie de Fourier (3.8) por el simple hecho de que a una os-cilaci´n espacial sin (kx) le corresponda una respuesta temporal de la forma obk cos(kt). Se observa asimismo que en la ecuaci´n de ondas considerada hay una oausencia de dispersi´n, entendiendo por dispersi´n el fen´meno seg´n el cual o o o ulos diferentes componentes de Fourier se propagan a velocidades distintas, taly como ocurre en el cl´sico modelo de Korteweg-de Vries [K] para el avance ade las olas o en la ecuaci´n de Schr¨dinger. o o Evidentemente, los efectos dispersivos hacen que la forma de la soluci´n ocambie completamente en el tiempo. Para convencerse de ´sto basta considerar la ecuaci´n de KdV linealizada: e o ut + uxxx = 0.En este caso, si el dato inicial es de la forma u(x, 0) = ak eikπx (3.11) k≥1la soluci´n correspondiente es o 3 π3 t u= ak eik eikπx . (3.12) k≥1Observamos entonces que las diferentes componentes de Fourier de la soluci´n o 3 3son de la forma eik π t eikπx = fk (k 2 π 2 t + x) con fk (z) = eikπz . Por lo tanto,cada componente de Fourier se propaga a una velocidad distinta −k 2 π 2 .3.2. El problema de la difusi´n del calor o Como hemos mencionado en el apartado 2.2, Fourier analiz´ el problema ode la difusi´n del calor en su tratado cl´sico de 1822, ([Fo]), llegando a esta- o ablecer, a partir de principios f´ısicos, la ecuaci´n general que deb´ satisfacer o ıala temperatura u ∂2u ∂2u ∂2u ∂u 2 + 2+ 2 = (3.13) ∂x ∂y ∂z ∂tque es la ecuaci´n (tridimensional) del calor. o 10
  11. 11. La ecuaci´n (unidimensional) del calor (cuya derivaci´n se puede ver en o o[Si], pp. 324-325) es   ut − uxx = 0,  0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, (3.14) u(x, 0) = u0 (x) 0 < x < L.   0 x L Figura 4: Varilla de longitud L El modelo (3.14) describe la variaci´n de la temperatura a lo largo de ouna varilla de longitud L (ver figura 4). Se supone que es lo suficientementedelgada como para que en todos los puntos de cada secci´n perpendicular a ola varilla se puede considerar el mismo valor de la temperatura. Suponemosasimismo, que la varilla est´ completamente aislada del exterior, de manera aque no pueda fluir calor a trav´s de su superficie lateral. e Las condiciones u(0, t) = u(L, t) = 0 son las condiciones de contorno,que nos indican que, en los extremos, la temperatura se mantiene nula. Enla pr´ctica, frecuentemente, estas condiciones se sustituyen por otras de la aforma ux (0, t) = ux (L, t) = 0, en las que queda reflejado el hecho de que elflujo de calor a trav´s de la frontera es nulo. e La ultima condici´n, u(x, 0) = u0 (x), es la condici´n inicial y describe, ´ o opor medio de la funci´n u0 (x), cu´l es la distribuci´n de temperaturas que o a ohab´ inicialmente a lo largo de la varilla. ıa Como ya hemos mencionado, J. Fourier no s´lo dedujo la ecuaci´n del o ocalor sino que estableci´ un programa sistem´tico de resoluci´n de Ecuaciones o a oen Derivadas Parciales, el m´todo de separaci´n de variables o m´todo de e o eFourier que involucra varias etapas: Descomposici´n de los datos del problema en series de Fourier. o Obtenci´n de la evoluci´n de cada coeficiente de Fourier en funci´n de o o o la EDP y de los datos. 11
  12. 12. Reconstrucci´n de la soluci´n como superposici´n de cada una de las o o o componentes de Fourier (serie de Fourier). A diferencia del procedimiento utilizado por d’Alembert y Euler que con-sist´ fundamentalmente en superponer soluciones elementales de la forma ıa(3.10), encontradas ad hoc para la ecuaci´n de ondas; Fourier ataca el pro- oblema de una manera m´s general. a En primer lugar se buscan soluciones que sean funciones con las variablesseparadas, u(x, t) = X(x)T (t) (3.15)Esto da lugar a dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, para X(x) e T (t),respectivamente que, junto con las condiciones de contorno, dan lugar a dosgrupos de soluciones1 Xk (x) = sin(kx), k = 1, 2, 3, . . . (3.16) 2 Tk (t) = e−k t , k = 1, 2, 3, . . . (3.17)(los detalles sobre la soluci´n de estos problemas pueden consultarse en cual- oquier texto de ecuaciones, por ejemplo, [Si] o [Zi]) Por lo tanto, las soluciones producto resultantes ser´n a 2 uk (x, t) = e−k t sin(kx), k = 1, 2, 3, . . . (3.18) Aplicando el principio de superposici´n, tambi´n ser´ soluci´n cualquier o e a ocombinaci´n lineal finita de las funciones anteriores, es decir, o b1 u1 (x, t) + b2 u2 (x, t) + . . . + bn un (x, t) (3.19) Sin embargo, Fourier va m´s all´ y afirma, sin preocuparse demasiado a asobre los problemas de convergencia, que tambi´n la siguiente funci´n es e osoluci´n de la ecuaci´n del calor o o ∞ 2 u(x, t) = bk e−k t sin(kx) (3.20) k=1 1 Estas soluciones corresponden realmente al caso en el que la longitud de la varilla esL = π. 12
  13. 13. Y para que esto sea as´ necesita que se satisfaga la condici´n inicial u(x, 0) = ı, ou0 (x). Por lo tanto, necesita poder desarrollar la funci´n u0 (x) en la forma o ∞ u(x, 0) = bk sin(kx) (3.21) k=1Pero, para Fourier, este problema queda resuelto en tanto en cuanto seaposible calcular los coeficientes bk mediante la f´rmula o 2 π bk = f (x) sin(kx)dx (3.22) π 0 Este es pues el punto controvertido del trabajo de Fourier y la raz´n opor la que Lagrange, Laplace y Legendre no van a aceptar el trabajo deFourier sin m´s. Sin embargo, el paso del tiempo y, fundamentalmente, los aposteriores trabajos de Dirichlet y de Riemann sobre las condiciones paraque una serie de Fourier sea convergente, acaban dando al an´lisis de Fourier ala importancia que realmente tiene. Fourier tambi´n estudia el caso estacionario (independiente del tiempo et) de la ecuaci´n del calor o ∂2u ∂2u ∂2u + + =0 (3.23) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2al que aplica tambi´n su m´todo de separaci´n de variables. Esta ecuaci´n, e e o oque se suele llamar ecuaci´n de Laplace ha dado lugar a la rama de las omatem´ticas denominada Teor´ del Potencial, de suma importancia a la a ıahora de estudiar fen´menos como la gravitaci´n. o o4. Fen´meno de Gibbs o Esta secci´n est´ enteramente dedicada al fen´meno de Gibbs. En pri- o a omer lugar lo describiremos mediante un ejemplo concreto: la funci´n salto, otambi´n veremos las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier para la fun- e aci´n delta de Dirac. Despu´s analizaremos las gr´ficas que se producen al o e asumar los t´rminos de las sumas parciales de Fourier de una forma diferente: eel m´todo de sumaci´n de Fej´r. Adem´s compararemos las gr´ficas obteni- e o e a adas mediante las sumas parciales de Fourier y las sumas parciales de Fej´r, eobservando un curioso fen´meno. o 13
  14. 14. 4.1. Fen´meno de Gibbs en series de Fourier o4.1.1. La funci´n salto o Consideremos la funci´n salto o −1 ; si −π ≤ x < 0 f (x) = (4.24) 1 ; si 0 ≤ x ≤ πLa N -´sima suma parcial correspondiente a su serie de Fourier viene dada epor la expresi´n o N a0 sN (x) = + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.25) 2 k=1donde los coeficientes de Fourier se calculan utilizando las f´rmulas (2.2) y o(2.3). Como f es una funci´n impar, ak = 0, para todo k = 0, 1, 2, . . . o Por otra parte, bk puede calcularse de forma expl´ıcita, obteni´ndose el esiguiente resultado: 2 1 − (−1)k bk = , para k = 1, 2, . . . π k Por tanto, para nuestra funci´n salto, la suma parcial de Fourier queda o N 2 1 − (−1)k sN (x) = sin(kx) (4.26) k=1 π k Por otra parte, como bk = 0 si k es par, la suma se puede escribir tambi´n ede la forma n 4 1 s2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) (4.27) π r=1 2r − 1 4 sin(3x) sin((2n − 1)x) = sin(x) + + ... + (4.28) π 3 2n − 1 Con el programa para Matlab incluido en el apartado 5.1, se puedendibujar las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier para la funci´n salto. a o 14
  15. 15. Una vez guardado con el nombre sumpar.m, 2 para activarlo, basta con escri-bir, por ejemplo, >>sumpar(30) y obtendremos la gr´fica de la suma parcial ade Fourier para N = 30 (ver figura 5). Fenómeno de Gibbs 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Figura 5: Suma parcial de Fourier N = 30 Sabemos que, si f y f son continuas, salvo en un n´mero finito de puntos ude discontinuidas de tipo salto, las sumas parciales de Fourier convergenpuntualmente a f (x) en los puntos de continuidad de f y a la media delos l´ ımites laterales en los puntos de discontinuidad (para una demostraci´n, ov´ase [M]). e Este resultado se aplica al caso particular de la funci´n salto que estamos oconsiderando y que presenta una singularidad en x = 0: una discontinuidadde tipo salto. En las figuras 5 apreciamos la forma en la que, efectivamente,cuando x = 0, las series de Fourier aproximan el valor de la funci´n en x, omientras que en x = 0 convergen a la media de los l´ ımites laterales, nula eneste caso puesto que [f (0−) + f (0+)]/2 = (1 − 1)/2 = 0. En este punto de discontinuidad x = 0 se aprecia tambi´n con claridad eel fen´meno de Gibbs. En efecto, se observa claramente que la gr´fica de o a 2 Para escribir el programa 5.1 se ha preferido la expresi´n (4.26) en lugar de (4.27) odebido a que, al ser m´s general, el programa se puede modificar f´cilmente para aplicarlo a aa cualquier otra funci´n. o 15
  16. 16. la suma parcial de Fourier excede a la de la funci´n salto en el punto de odiscontinuidad. Por ejemplo, a la derecha del punto x = 0 se ve c´mo la ogr´fica de la suma parcial de Fourier supera con nitidez a la de la funci´n a osalto. La gr´fica de la figura 6, donde este hecho se pone de manifiesto, ase ha conseguido haciendo primero >>sumpar(300), para generar la gr´ficaacompleta y despu´s, con el comando >>zoom, que permite seleccionar una ezona de la gr´fica, con el rat´n, para ampliarla. En la figura 7, se puede a oobservar c´mo las gr´ficas de las sumas parciales sobresalen por debajo de la o agr´fica de f (x), en las proximidades del punto (0,-1). a Fenómeno de Gibbs 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Figura 6: Suma parcial de Fourier N = 300, proximidades de (0,1) En la figura 5 observamos que el fen´meno de Gibbs tambi´n se produce o een los extremos x = ±π del intervalo (−π, π). Esto es debido a que la sumaparcial de Fourier aproxima a la extensi´n peri´dica de per´ o o ıodo 2π de lafunci´n salto, que presenta discontinuidades en los puntos de la forma x = kπ, ok∈Z I Se puede demostrar, para esta funci´n particular (ver [Na], pp. 662-663), oque el m´ximo de s2n−1 (x) m´s cercano a x = 0 (por la derecha) es el punto a a πx = 2n y que en este punto π 2 l´ s2n−1 ( ım ) = Si(π) ≈ 1,1790... (4.29) n→∞ 2n π x sin(t)Aqu´ y en lo sucesivo Si denota la funci´n Si(x) = ı o dt. 0 t 16
  17. 17. Fenómeno de Gibbs −0.8 −0.85 −0.9 −0.95 −1 −1.05 −1.1 −1.15 −1.2 −1.25 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Figura 7: Suma parcial de Fourier N = 300, proximidades de (0,-1)(Para evaluar aproximadamente Si(π), se puede utilizar el comando de Ma-tlab, sinint(pi)=1.8519..., ya que la primitiva de sin(t)/t, no se puedeexpresar con funciones elementales.3 ) El c´lculo (4.29) nos indica que las aproximaciones que nos ofrecen las asumas parciales de Fourier exceden al valor verdadero de la funci´n, a la oderecha, es decir, a f (0+) = 1 en 0,18, lo que supone aproximadamente un9 % de la longitud del salto, que en este caso es 2. En general, se puede demostrar el siguiente teorema, debido a M. Bˆcher o(ver [Bo], la demostraci´n puede verse tambi´n en [HH] y [C]): o e Teorema Sea f una funci´n real de variable real, con per´ o ıodo 2π. Supon-gamos que f y f son ambas continuas excepto para un n´mero finito de dis- ucontinuidades de tipo salto en el intervalo [−π, π]. Sea sN (x) la suma parcialde orden N de Fourier. Entonces, en un punto a de discontinuidad, las gr´fi-acas de las funciones sN (x) convergen al segmento vertical (ver figura 8) delongitud 2L = Si(π)|f (a+) − f (a−)| centrado en el punto (a, 1 (f (a+) + f (a−)). 2 π La raz´n entre la longitud del segmento L (al que tienden las gr´fi- o acas de las sN (x)) y la longitud del salto de la discontinuidad, es decir, 3 Curiosamente en algunas referencias cl´sicas esta constante aparece mal calculada. a 17
  18. 18. f(a+) Longitud del salto 1/2(f(a+)+f(a-)) L (Longitud del segmento vertical) f(a-) a X Figura 8: Fen´meno de Gibbs en un punto de discontinuidad oL = |f (a+) − f (a−)|, se denomina constante de Gibbs y su valor L 2 = Si(π) (4.30) L πcoincide, evidentemente, con el obtenido para nuestro caso particular en(4.29).4.1.2. Un importante ejemplo: la “funci´n”delta de Dirac o En 1926, el f´ ısico ingl´s P.A.M. Dirac (1902-1984), introdujo la “fun- eci´n”delta de Dirac ([Di]), (que denotaremos δ(x)) en conexi´n con sus es- o otudios sobre Mec´nica Cu´ntica. Realmente no se trata de una funci´n en el a a osentido ordinario del t´rmino, sino de una distribuci´n (ver [Sc]). e o La delta de Dirac viene caracterizada por las siguientes propiedades: 1. δ(x) = 0 si x = 0. 2. δ(0) no est´ definida. a 3. δ(x)dx = 1, siempre que el recinto de integraci´n incluya a x = 0. o 4. Si g(x) es una funci´n continua en I entonces o R, g(x)δ(x)dx = g(0). 18
  19. 19. En la figura 9 representamos la delta de Dirac en un sentido figurado: ladelta de Dirac puede interpretarse como una funci´n que se anula en todos olos puntos salvo en en x = 0, donde toma el valor infinito. Para a = 0, la funci´n δ(x − a), ser´ la misma funci´n o distribuci´n o ıa o opero trasladada a x = a. Y 0 X Figura 9: Delta de Dirac, δ(x) El concepto de la funci´n delta de Dirac, tambi´n llamada funci´n im- o e opulso unitario, resulta un modelo util en situaciones en las que, por ejemplo, ´tenemos un sistema mec´nico sobre el que act´a una fuerza externa de gran a umagnitud durante un breve instante de tiempo. En el caso extremo en el queesta fuerza estuviese concentrada en un punto, vendr´ representada por la ıadelta de Dirac. La delta de Dirac puede, efectivamente, entenderse como el l´ ımite de unasucesi´n de funciones que, con masa unidad, se concentran infinitamente en otorno a un punto. En efecto, sea f una funci´n regular tal que o f (x) = 0, si |x| > 1; f (x)dx = 1; f (x) ≥ 0, para todo x ∈ I R. Consideramos ahora la sucesi´n de funciones o 1 x f (x) = f ( ). 19
  20. 20. Este cambio de escala no altera la masa total de la funci´n, puesto que o 1 x f (x)dx = f ( )dx = f (y)dy = 1.Sin embargo, a medida que tiende a 0, el soporte de la funci´n f se contrae, opuesto que f (x) → 0 si |x| > .En el l´ ımite, cuando → 0, las funciones f , cada vez m´s concentradas, aconvergen a la delta de Dirac, puesto que 1 x f (x)g(x)dx = f ( )g(x)dx = f (x)g( x)dx −→ g(0) f (x)dx = g(0) = g(x)δ(x)dxcuando → 0, para toda funci´n g continua y acotada. o Vamos a calcular las sumas parciales de Fourier para la delta de Dirac.Pero, ¿c´mo puede expresarse con una serie trigonom´trica una “funci´n”tan o e osingular como la delta de Dirac? Si, como hemos visto en el la secci´n 2; ya fue odif´ que se aceptase, por parte de contempor´neos de Euler y Fourier, que ıcil auna funci´n de tipo salto se pudiera expresar a trav´s de su serie de Fourier; o eresulta interesante imaginar lo que habr´ pensado de quien intentase hacer ıanlo mismo para un objeto como la delta de Dirac. En realidad, lo que vamos a hacer es calcular las sumas parciales deFourier correspondientes a una determinada combinaci´n lineal de deltas de oDirac, ∆(x) = δ(x + zπ) − δ(x + zπ) (4.31) z=par z=imparque se obtiene al extender de manera peri´dica, con per´ o ıodo 2π la “fun-ci´n”que coincide con la delta de Dirac δ(x) en x = 0 y con −δ(x − π) oen el punto x = π, es decir, con la δ trasladada y cambiada de signo, lareflejada impar de la δ(x). Dicho de otra forma, la funci´n que hemos llama- odo ∆(x), est´ compuesta por: impulsos unitarios positivos en los m´ltiplos a upares de π, es decir, puntos de la forma . . . , −2π, 0, 2π, 4π, . . .; e impulsosunitarios negativos en los m´ltiplos impares de π, es decir, puntos de la for- uma . . . , −3π, −π, π, 3π, . . .. La gr´fica de esta funci´n se podr´ representar a o ıacomo en la figura 10. 20
  21. 21. Y 0 X Figura 10: “funci´n”∆(x) o Aplicamos nuevamente las f´rmulas (2.2) y (2.3) teniendo en cuenta que o∆(x) es una funci´n par, o 1 π 2 π ak = ∆(x) cos(kx)dx = ∆(x) cos(kx)dx π −π π 0 π = (δ(x) − δ(x − π)) cos(kx)dx 0 2 = (cos(0) − cos(kπ)) π 2 = (1 − (−1)k ) π 1 π bk = ∆(x) sin(kx)dx = 0 π −π Por tanto, la suma parcial de Fourier para la funci´n ∆(x) queda o N 2 s∆,N (x) = (1 − (−1)k ) cos(kx) (4.32) k=0 πque se puede expresar de la siguiente forma, dado que para los valores paresde k los sumandos se anulan: 4 n s∆,2n−1 (x) = cos((2r − 1)x) (4.33) π r=1 4 = [cos(x) + cos(3x) + . . . + cos((2n − 1)x)] (4.34) π 21
  22. 22. El programa de Matlab incluido en el apartado 5.2 puede utilizarsepara representar las sumas parciales descritas mediante la f´rmula (4.32). Su osintaxis es: >>deltafun(N,xmin,xmax), donde N es el n´mero de sumandos uy xmin y xmax son los valores del rango en el que queremos que aparezca lagr´fica. Por ejemplo, la gr´fica de la figura 11 se ha generado con el comando a a>>deltafun(30,-pi,pi) y, la gr´fica de la figura 12 se ha generado con el acomando >>deltafun(100,-5*pi,5*pi) (comp´rense estas gr´ficas con el a aesquema inicial de la funci´n ∆(x) mostrado en la figura 10). o deltafun(30,−pi,pi) 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Figura 11: suma de Fourier de ∆(x), N = 30 Los c´lculos y gr´ficas obtenidas requieren algunas observaciones: a a En primer lugar, con toda seguridad el lector ya se ha dado cuenta, la expresi´n obtenida en (4.33) es exactamente la derivada de la que o obtuvimos en (4.28) (esto explica la manera tan enrevesada en que se defini´ la funci´n ∆(x).) Es decir, o o d [s2n−1 (x)] = s∆,2n−1 (x) (4.35) dx Lo cual nos hace pensar que, en cierto sentido,4 la derivada de la funci´n o 4 Este sentido no es otro que el de la Teor´ de las Distribuciones, de la cual, la delta ıade Dirac no es m´s que un ejemplo, ver nuevamente [Sc]. a 22
  23. 23. deltafun(100,−5*pi,5*pi) 80 60 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Figura 12: suma de Fourier de ∆(x), N = 100salto (4.24) debe ser la “funci´n”∆(x) (4.31). oA partir de la observaci´n anterior; si la derivada de las sumas parciales ode la funci´n salto son las sumas parciales de la delta de Dirac, entonces ola integral de las sumas parciales de la delta ser´n las de la funci´n salto, a oes decir, x s2n−1 (x) = s∆,2n−1 (t)dt (4.36) 0Por otra parte, s∆,2n−1 (x) admite una expresi´n m´s c´moda: o a o n 4 s∆,2n−1 (x) = cos((2r − 1)x) π r=1 n 2 = 2 sin(x) cos((2r − 1)x) π sin(x) r=1 n 2 = [sin(2rx) − sin(2(r − 1)x)] π sin(x) r=1 n n−1 2 = sin(2rx) − sin(2rx) π sin(x) r=1 r=0 2 sin(2nx) = π sin(x) 23
  24. 24. Este hecho, junto con (4.36), proporciona la siguiente expresi´n para olas sumas parciales de Fourier de la funci´n salto: o 2 x sin(2nt) s2n−1 (x) = dt, (4.37) π 0 sin(t)mientras que d 2 sin(2nx) [s2n−1 (x)] = (4.38) dx π sin(x)Se puede comprobar de esta forma, que los puntos cr´ ıticos de las sumasparciales de la funci´n salto son los ceros de las sumas parciales de ola delta de Dirac. Es decir, que la altura que se alcanza en el primerm´ximo de la suma parcial de Fourier de la funci´n salto, a la derecha a ode x = 0, es la mitad del ´rea por debajo del arco central de la gr´fica a a11. Es decir, π π 2 2n sin(2nt) s2n−1 ( ) = dt. (4.39) 2n π 0 sin(t)Pasando al l´ ımite cuando n → ∞ y en virtud de (4.29), necesariamentehabremos de obtener el mismo valor. Por tanto, π 2n sin(2nt) π sin(t) dt −→ dt = Si(π) (4.40) 0 sin(t) 0 t(Ver [C], pp. 300-301.)En las gr´ficas de las figuras 11 y 12 parece observarse tambi´n algo a eparecido al fen´meno de Gibbs. Pero ahora es algo distinto a lo que oocurr´ con la funci´n salto. En la funci´n salto ve´ ıa o o ıamos que las gr´ficas ade las sumas parciales (figuras 6 y 7) exced´ o quedaban por debajo, ıan,de la funci´n en los alrededores de los puntos de discontinuidad. Aqu´ la o ısituaci´n es peor, porque esto ocurre no s´lo en las cercan´ de x = 0 o o ıassino a lo largo de los puntos de continuidad de la funci´n original, por oejemplo, en los puntos del intervalo (0, π). Adem´s esta situaci´n no a ocambia aunque aumentemos la cantidad de sumandos. ¿Cu´l es la raz´n a ode este comportamiento tan an´malo? Simplemente, ahora ni siquiera otenemos convergencia puntual. En efecto, si tomamos, por ejemplo, unpunto x0 ∈ (0, π), la funci´n original valdr´ ∆(x0 ) = 0. Sin embargo, o ıala sucesi´n o 24
  25. 25. 2 sin(2nx0 ) s∆,2n−1 (x0 ) = (4.41) π sin(x0 )no converge cuando n → ∞. De hecho, lo que ocurre es que la gr´fica de a 2 1s∆,2n−1 (x) oscila entre las gr´ficas de las dos funciones y = ± a , π sin(x)que acotan superior e inferiormente a s∆,2n−1 (x), es decir, 2 sin(2nx) 2 1 ≤ (4.42) π sin(x) π | sin(x)|En la figura 13 hemos dibujado la gr´fica de la suma parcial de la adelta de Dirac hasta el sumando N = 50 (que ser´ lo mismo que ıan = 25, seg´n la notaci´n s∆,2n−1 (x)), en el intervalo [ −π , π ] junto con u o 2 2 2 1las gr´ficas de las funciones y = ± a . π sin(x) deltafun(50,−pi/2,pi/2); y=+−(2/pi)(1/sin(x)) 30 20 10 0 −10 −20 −30 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Figura 13: “fen´meno de Gibbs”en delta Dirac, N = 50 oEntonces, ¿qu´ tipo de representaci´n es la que producen las sumas e oparciales de Fourier para la delta de Dirac en la que ni siquiera hayconvergencia puntual para los puntos de continuidad? La respuesta esque s´ hay convergencia, pero es una convergencia especial, una con- ıvergencia “d´bil”: como hemos podido ver m´s arriba, en la definici´n e a o 25
  26. 26. de la delta de Dirac, esta funci´n no se define de una manera cl´sica, o a dando sus valores, sino m´s bien a trav´s de sus efectos sobre otras a e funciones en el sentido de las distribuciones. Y en este sentido, las su- mas parciales de Fourier de la delta producen sobre otras funciones los mismos efectos, puesto que las oscilaciones se cancelan a trav´s de la e integraci´n. o4.2. M´todo de sumaci´n de Fej´r e o e En 1903, el matem´tico h´ngaro L. Fej´r (1880-1959), propuso una nueva a u eforma de sumar los t´rminos de la serie de Fourier. Se trata de sumar los epromedios de las sumas parciales y pasar al l´ ımite. Se obtiene as´ una nueva ısucesi´n de funciones que produce convergencia incluso en algunos casos en olos que la serie original no la tiene. Veamos c´mo se construye la suma Fej´r a partir de las sumas parciales o ede la serie de Fourier: dada la suma parcial de Fourier (4.25) construimosuna nueva sucesi´n con el promedio de las sumas parciales, o M 1 s0 (x) + s1 (x) + . . . + sM (x) σM (x) = sN (x) = . (4.43) M + 1 N =0 M +1La suma de Fej´r es entonces e s(x) = l´ σM (x). ım (4.44) M →∞ En cuanto a la convergencia de la suma de Fej´r se tiene el siguiente e Teorema de Fej´r ([Fe]) Sea f (x) definida en el intervalo (−π, π). Si ef es acotada, suponemos que es integrable; si no es acotada, suponemos que πla integral −π f (x)dx es absolutamente convergente. Entonces, para cual-quier punto x del intervalo las sumas parciales de Fej´r σM (x) convergen a e1 (f (x+) + f (x−)).2 Y como una consecuencia del Teorema de Fej´r tenemos que, e Si f (x) es continua en [a, b], entonces la sucesi´n de las medias aritm´ti- o ecas σ0 , σ1 , σ2 , . . . converge uniformemente a f (x) en el interior del intervalo(a, b). 26
  27. 27. 1 Obviamente, cuando f es continua en x, (f (x+) + f (x−)) = f (x) y, 2por tanto, σM (x) converge a f (x). Esta es la versi´n m´s cl´sica del teorema, utilizando la integral de Rie- o a amann y su demostraci´n se puede encontrar en [C], pp. 254-258. Para ver ouna versi´n m´s moderna, en t´rminos de la integral de Lebesgue, se puede o a econsultar [A], pp. 390-391. En la secci´n 5, se ha incluido un programa para Matlab, (el programa o5.3) para dibujar las gr´ficas de las sumas de Fej´r para la funci´n salto. Se a e otrata de hacer una peque˜a modificaci´n en el programa sumpar.m, introdu- n ociendo un nuevo bucle que promedie las sumas de Fourier. Por ejemplo, haciendo >>fejer(40), se obtiene la gr´fica de la figura 14. a Sumación de Fejér 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Figura 14: Sumaci´n parcial de Fej´r M = 40 o e Lo primero que se observa en la nueva gr´fica es que ahora tenemos un atipo de convergencia distinta, de hecho ahora tenemos convergencia uniforme(seg´n el teorema anterior) en el interior del intervalo (0, π) (y, por simetr´ u ıa,en (−π, 0)). Por otra parte se puede observar que la gr´fica de la suma de aFej´r cae por debajo (en el 0 < x < π, y por encima en −π < x < 0) de la egr´fica de f (x). De hecho, puede probarse, (ver nuevamente el cl´sico [C], pp. a a308) que todas las sumas parciales de Fej´r verifican |σM (x)| < 1, es decir, e 27
  28. 28. ahora no se produce el fen´meno de Gibbs y aunque la gr´fica sigue teniendo o alas mismas oscilaciones, ahora son mucho menores (de hecho, en la figura nose aprecian, habr´ que hacer zoom para visualizarlas.) ıa4.3. Fourier versus Fej´r e Dibujemos ahora las gr´ficas de las sumas de Fourier y las de Fej´r juntas. a eEn la figura 15, hemos dibujado, superpuestas, las gr´ficas de las sumas aparciales de Fourier y Fej´r hasta el sumando N = 11 en el intervalo [0, π]. En ela figura 16, se ha representado lo mismo, pero ahora en el intervalo [−π, π].En ambas figuras se puede observar c´mo las sumas parciales de Fourier y las ode Fej´r parecen coincidir en algunos puntos cr´ e ıticos de las sumas de Fourier.En concreto, en el intervalo [0, π], esto ocurre en los m´ ınimos y, debido a lasimetr´ impar, en el intervalo [−π, 0], ocurre en los m´ximos. ıa a Fourier y Féjer 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figura 15: Fourier versus Fej´r, N = 29 e Veamos que este curioso fen´meno no es s´lo aparente, ni debido a los o oerrores de redondeo, sino que ocurre de hecho: En primer lugar, si la N -´sima suma parcial de Fourier es e N a0 sN (x) = + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.45) 2 k=1 28
  29. 29. Fourier y Féjer 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Figura 16: Fourier versus Fej´r, N = 11 eentonces la N -´sima suma parcial de Fej´r, a partir de la expresi´n (4.43), se e e opuede escribir de la forma alternativa N a0 σN (x) = + βk [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.46) 2 k=1 kdonde βk = 1 − N +1 . Para el caso particular de la funci´n salto, estas expresiones se convierten oen n 4 1 s2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) (4.47) π r=1 2r − 1y n 4 2r − 1 1 σ2n−1 (x) = 1− sin((2r − 1)x) (4.48) π r=1 2n 2r − 1 Los puntos en que se cortan las gr´ficas de (4.47) y (4.48), han de ser asoluciones de la ecuaci´n o s2n−1 (x) − σ2n−1 (x) = 0 (4.49) 29
  30. 30. Por otra parte, si estos puntos son m´ximos o m´ a ınimos, es decir, puntoscr´ ıticos de la funci´n (4.47), entonces tambi´n deben verificar la ecuaci´n o e o d [s2n−1 (x)] = 0 (4.50) dx La ecuaci´n (4.49) la podemos escribir de la forma siguiente: o n 4 1 s2n−1 (x) − σ2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) = 0. (4.51) π r=1 2nPor tanto, n sin((2r − 1)x) = 0 (4.52) r=1que se puede transformar de la siguiente manera n n 1 0= sin((2r − 1)x) = 2 sin((2r − 1)x) sin(x) r=1 2 sin(x) r=1 n 1 = [cos(2(r − 1)x − cos(2x))] 2 sin(x) r=1 n−1 n 1 = cos(2rx) − cos(2rx) 2 sin(x) r=0 r=1 1 − cos(2nx) = 2 sin(x)Ahora bien, las soluciones de la ecuaci´n o 1 − cos(2nx) =0 (4.53) 2 sin(x)en el intervalo (0, π) son los puntos de la forma π 2π (n − 1)π x1 = , x2 = , . . . , xn−1 = (4.54) n n nY es sencillo comprobar que estos puntos son precisamente los m´ ınimos dela funci´n s2n−1 (x), ya que sab´ o ıamos, por (4.38), que d 2 sin(2nx) [s2n−1 (x)] = (4.55) dx π sin(x) 30
  31. 31. Luego, efectivamente las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier y las ade Fej´r se cortan en los m´ e ınimos de las primeras, en el intervalo (0, π) y, porla simetr´ en los m´ximos del intervalo (−π, 0) (excepto para el caso n = 1, ıa, aen el que no hay ning´n m´ u ınimo en (0, π).) La primera cuesti´n que aparece de manera inmediata es: ¿ocurrir´ esto o aen todos los casos? La respuesta es que no. Por ejemplo, en el caso de lafunci´n delta de Dirac, que analizamos en el apartado 4.1.2, se pueden dibujar oconjuntamente las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier y de Fej´r juntas, a ecomo hemos hecho en la figura 17, para observar que la gr´fica de Fej´r no a epasa por los puntos cr´ıticos mencionados antes. (Para dibujar las gr´ficas de alas sumas de Fej´r para la delta de Dirac incluimos el programa 5.4.) e deltafun(30,−pi/2,pi/2);deltafej(30,−pi/2,pi/2) 20 15 10 5 0 −5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figura 17: Delta de Dirac: Fourier versus Fej´r, N = 30 e Veamos no obstante, que tambi´n hay otros desarrollos en los que se da eesta coincidencia, como por ejemplo, en el caso de la funci´n o −x − 2 π 2 ; si −π ≤ x < 0 f (x) = (4.56) −x + 2 π 2 ; si 0 ≤ x ≤ π 31
  32. 32. que vamos a analizar utilizando una t´cnica distinta a la anterior. Esta fun- eci´n extendida peri´dicamente, con per´ o o ıodo 2π, a lo largo de todo el eje realse denomina a veces, funci´n “diente de sierra”. o Las sumas parciales de Fourier de esta funci´n son o N 1 sN (x) = sin(kx) (4.57) k=1 ky las sumas de Fej´r e N k 1 σN (x) = 1− sin(kx) (4.58) k=1 N +1 k 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figura 18: “Diente de sierra”: Fourier versus Fej´r, N = 30 e Ahora, para que las gr´ficas de (4.57) y de (4.58) se corten en los puntos acr´ ıticos de (4.57) hace falta que las ecuaciones N 1 sN (x) − σN (x) = sin(kx) = 0 (4.59) N + 1 k=1 32
  33. 33. y N d [sN (x)] = cos(kx) = 0 (4.60) dx k=1tengan soluciones comunes. O lo que es lo mismo, utilizando la f´rmula de oEuler eikx = cos(kx)+i sin(kx), que haya valores reales de x que sean soluci´n ode la ecuaci´n compleja o N N N cos(kx) + i sin(kx) = eikx = 0. (4.61) k=1 k=1 k=1Sumando la progresi´n geom´trica o e N eix (1 − eiN x ) eikx = = 0, (4.62) k=1 1 − eixla ecuaci´n se reduce a o 1 − eiN x = 0 (4.63)que tiene soluciones, en el intervalo (0, π) 2π 2π 2π x1 = ; x2 = 2. ; x3 = 3. ; . . . (4.64) N N N(el ultimo punto en el intervalo ser´ xu = NN π o xu = NN π, dependiendo ´ ıa −2 ´ −1de que N sea par o impar, respectivamente.) Adem´s, estos puntos son los am´ınimos en este intervalo. Se han incluido dos programas m´s para Matlab en la siguiente secci´n: a oel programa fousin.m, 5.5 y el fejsin, 5.6; que sirven para obtener las gr´fi- acas de (4.57) y (4.58), respectivamente. En la figura 18, hemos representadolas gr´ficas de las sumas de Fourier y las de Fej´r, correspondientes al va- a elor N = 30 (despu´s se ha hecho una ampliaci´n para que aparezca s´lo el e o ointervalo (0, π).) De hecho, se puede utilizar un argumento an´logo para demostrar que a n 1cualquier desarrollo de la forma sin(ak x), en el que ak sean enteros k=1 akpositivos en progresi´n aritm´tica, tambi´n lo verifica. N´tese que, de esta o e e o nforma, eiak x es una suma de una progresi´n geom´trica. o e k=1 33
  34. 34. 5. Programas para Matlab Para la realizaci´n de este trabajo se ha utilizado, en particular para ola parte gr´fica, el asistente Matlab, versi´n 5.3 Release R11, licencia de a ocampus de la Universidad Complutense de Madrid. Los c´digos de los pro- ogramas con los que se han obtenido las gr´ficas se incluyen a continuaci´n. a oCon peque˜as modificaciones se pueden adaptar a cualquier funci´n. Basta n ocon cambiar los valores de los coeficientes. No obstante, para algunos c´lculos y comprobaciones concretas, se ha autilizado tambi´n el asistente de C´lculo Simb´lico Derive. El lector po- e a odr´ consultar los comandos mediante los cuales se pueden dibujar sumas aparciales de Fourier y sumas de Fej´r puede verse en el trabajo de R. Ro- edr´ ıguez-del-R´ ([R]). Algunas gr´ficas de sumas de Fourier y sumas de Fej´r ıo a erealizadas con Derive, pueden verse en el art´ ıculo de J. Duoandikoetxea([Du]); art´ ıculo este ultimo en el que se puede encontrar un completo estu- ´dio del desarrollo hist´rico del An´lisis de Fourier desde sus or´ o a ıgenes hastanuestros d´ıas.5.1. Programa: sumpar.mfunction sumpar(n)% Sumas parciales de Fourier de la funci’on salto% f(x)= -1 si -pi<x<0% 1 si 0<x<pi% n es el n’umero de sumandos% Funci’on saltox = -pi:0.001:pi;f=-1*(x<0)+1*(x>0);% sumas parciales de Fouriers = zeros(size(x)); for k=1:n s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*x);ends = 2/pi*s;% gr’afica de las sumas parciales y de la funci’on salto 34
  35. 35. plot(x, s, ’r’, x, f, ’b’),grid;title(’Fen´meno de Gibbs’); o% Fin del programa sumpar.m5.2. Programa: deltafun.mfunction deltafun(n,xmin,xmax)% Sumas parciales de Fourier de la funci’on% Delta(x)=% =sum(delta(x+z*pi),z par)+sum(delta(x+z*pi),z impar)%% n es el n’umero de sumandos% [xmin,xmax] es el rango de la gr’aficadx=(xmax-xmin)/15000;x = xmin:dx:xmax;% sumas parciales de Fouriers = zeros(size(x)); for k=1:n s=s+(1-(-1)^k)*cos(k*x);end s = 2/pi*s;% gr’afica de las sumas parcialesplot(x, s),grid;% Fin del programa deltafun.m5.3. Programa: fejer.mfunction fejer(m)% Sumas de Fejer de la funci’on salto% f(x)= -1 si -pi<x<0% 1 si 0<x<pi% m es el n’umero de sumandos 35
  36. 36. % Funci’on saltox = -pi:0.001:pi;f=-1*(x<0)+1*(x>0);% sumas parciales de Fejerfej=zeros(size(x)); for n=1:m s = zeros(size(x)); for k=1:n s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*x); end s = 2/pi*s; fej=fej+s;endfej=fej/(m+1);% gr’afica de las sumas de Fejer y de la funci’on saltoplot(x, fej, ’r’, x, f, ’b’),axis([-4 4 -1.5 1.5]),grid;title(’Sumaci´n de Fej´r’); o e% Fin del programa fejer.m5.4. Programa: deltafej.mfunction deltafej(m,xmin,xmax)% Sumas parciales de Fejer de% la funci’on% Delta(x)=% =sum(delta(x+z*pi),z par)+sum(delta(x+z*pi),z impar)%% m es el n’umero de sumandos% [xmin,xmax] es el rango de la gr’aficadx=(xmax-xmin)/15000;x = xmin:dx:xmax;% sumas parciales de Fejerfej=zeros(size(x)); for n=1:m, 36
  37. 37. s = zeros(size(x)); for k=1:n, s=s+(1-(-1)^k)*cos(k*x); end s = 2/pi*s; fej=fej+s;endfej=fej/(m+1);% gr’afica de las sumas parcialesplot(x, fej),grid;% Fin del programa deltafej.m5.5. Programa: fousin.mfunction fousin(n)% Sumas parciales de Fourier de% la funci’on diente de sierra% f(x)= -x/2-pi/2 si -pi<x<0% -x/2+pi/2 si 0<x<pi%% n es el n’umero de sumandos% Funci’on sierrax = -pi:0.001:pi;f=(-x/2-pi/2).*(x<0)+(-x/2+pi/2).*(x>0);% sumas parciales de Fouriers = zeros(size(x));for k=1:n s=s+(1./k).*sin(k.*x);end% gr’afica de las sumas parciales y de la funci’on diente de sierraplot(x, s, ’r’, x, f, ’b’),grid;% Fin del programa fousin.m 37
  38. 38. 5.6. Programa: fejsin.mfunction fejer(m)% Sumas de Fejer de% la funci’on diente de sierra% f(x)= -x/2-pi/2 si -pi<x<0% -x/2+pi/2 si 0<x<pi%% m es el n’umero de sumandos% Funci’on diente de sierrax = -pi:0.001:pi;f=(-x/2-pi/2).*(x<0)+(-x/2+pi/2).*(x>0);% sumas parciales de Fejerfej=zeros(size(x));for n=1:m s = zeros(size(x)); for k=1:n s=s+(1/k).*sin(k*x); end fej=fej+s;endfej=fej/(m+1);% gr’afica de las sumas de Fejer y de la f. diente de sierraplot(x, fej, ’r’, x, f, ’b’),axis([-4 4 -2 2]),grid;% Fin del programa fejsin.mReferencias[A] T.M. Apostol. An´lisis Matem´tico, Segunda Edici´n, Revert´, Barcelo- a a o e na, 1982.[B] N.K. Bary. A Treatise on Trigonometric Series, Pergamon Press, Oxford, 1964. 38
  39. 39. [Be] D. Bernouilli. R´flexions et ´clarcissements sur les nouvelles vibrations e e des cordes expos´es dans les m´moires de l’Acad´mie de 1747 et 1748, e e e Hist. de l’Acad. Roy. de Berlin, 9 (1753), pp. 147-172 y pp. 173-195.[Bo] M. Bˆcher. On Gibbs’s Phenomenon, J. reine angew. Math, 144 (1914), o pp. 41-47.[Boy] C.B. Boyer. Historia de la matem´tica, Alianza Universidad Textos, a Madrid, 1987.[Br] R.L. Bracewell. Jean Baptiste Fourier, en el libro Grandes Matem´ticos, a Colecci´n Temas de Investigaci´n y Ciencia, 1, Prensa Cient´ o o ıfica S.A., Barcelona, 1995.[C] H.S. Carslaw. An Introduction to the Theory of Fourier’s Series and Integrals, Dover, Nueva York, 1952.[CGI] K. Chen, P. Giblin y A. Irving. Mathematical Explorations with Ma- tlab, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.[CH] S.L. Campbell y R. Haberman. Introducci´n a las Ecuaciones Diferen- o ciales con problemas de valor de frontera, McGrawHill, M´xico, 1998. e[D1] J.R. d’Alembert. Recherches sur la courbe que forme une corde tend¨e u mise en vibration, Hist. de l’Acad. Roy. de Berlin, 3 (1747), pp. 214-219 y Suite des recherches, 3 (1747), pp. 220-249.[D2] J.R. d’Alembert, Addition au m´moire sur la courbe que forme une e corde tend¨e, mise en vibration, Hist. de l’Acad. Roy de Berlin, 6 (1750), u pp. 355-360.[Di] P.A.M. Dirac. The Principles of Quantum Mechanics, Cuarta edici´n, o Oxford University Press, Oxford, 1958.[Du] J. Duoandikoetxea. An´lisis de Fourier: historia y aplicaciones recien- a tes, pp. 11-43 en [Z].[F] T.H. Fay y P.H. Kloppers. The Gibbs’ phenomenon, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 32, (2001), pp. 73-89.[Fe] L. Fej´r. Untersuchungen uber Fouriersche Reihen, Math. Annalen, 58, e ¨ (1903), pp. 51-69. 39

×